普通化學文本分析

文本資料：Steven S. Zumdahl《Chemical Principles》 [72]

共有 36 個學系選用本書，分別是：

A09、A22、A23、A26、A34、A58、A59、B01、B02、B04、B06、B07、B08、B10、

B12、D09、G07、G09、G10、I 06、I 07、I 15、K17、L12、L13、L14、M06、M12、

M19、M20、Q25、Q26、Q27、Q28、Q35、Q37 詳細校系編號對照請見表 3.2.18

在整本書中，我將有限的數學式記載下來，其中並不包含化學反應式與過多的文字 敘述，亦不包含每章後面的 Exercise 內容；數學式子以高三數學選修 II 的微積分教材

內容作為記載重點，並詳實記載出處頁碼；能運用高中以下數學教材內容即可理解的數 學式，本研究將部分內容整理於附錄 A.8 中。

以下是文本中數學式的整理與分析：

內容 分析

( u) F ma m

t

= = ∆

∆

Where F represents force , a represents the acceleration , ∆ represents a change in u velocity , and ∆ represents a given length of t time.

Since we assume that the particle has constant mass , we can write

( )

u mu

F m

t t

∆ ∆

= =

∆ ∆

5.6 The Kinetic Molecular Theory of Gases

運用到物理學中的牛頓 第二運動定律，其中 a 代表加 速度，而加速度的定義是位移 對時間的兩次導數，亦為速度 對時間的一次導數，在這裡定 義了 u∆ 為速度變化量，等於 使用了微分的觀念。

p.157

圖 4.2.4.1 普化文本，Chemical Principles，

5^th，p.161

2 32

2

( ) 4 2

2

B mu k T

B

f u m u e

π k T π

  −

=  

 

Where

5.6 The Kinetic Molecular Theory of Gases

Maxwell-Boltzmann

distribution(馬克斯威爾-波茲 曼常態分佈曲線)

由此分配函數圖形可以 發現其使用常態分配的觀 念。在這個函數定義中使用了 歐拉數 e。而此分配函數確實 與微積分有相關。

p.161

u = velocity in m/s

m = mass of a gas particle in kg

kB= Boltzmann’s constant=1.38066 10× ⁻²³ J/K T = temperatire in K

The product of f u du represents the fraction ( ) of gas molecules with velocities between u and u+du , where du represents an infinitesimal velocity increment.

在此說明了 du 為速度的微 小增量，此即微積分觀念。

p.161

圖 4.2.4.2 普化文本，Chemical Principles，

5^th，p.308

8.5 Titrations and pH Curves 利用 Titration 滴定法製作 pH 酸鹼值曲線圖。製圖過程 以實驗為基礎，國中數學教授 的坐標平面來描點坐標，當中 並未用微積分的口吻深入探 討曲線的行為。

p.308

Infinite-Step Expansion. If one continues to increase the number of steps , the magnitude of

wn (for an n-step process)

1 n

n i i

i

w P V

=

=

∑

∆

Continues to increase

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

整本書第一次提到無限的字 眼，並利用無窮級數的觀念引 導下一個積分的式子。

p.408

Now we consider the limiting case – a process in which P_ex is changed by infinitesimally small increments . This case corresponds to use of an infinite number of weights , each differing from the previous one by an infinitesimally small mass . Under these conditions the successive volume changes become

infinitesimally small ( V)d , and the process

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

此為計算若氣體體積由 V ₁ 膨脹到 V 膨脹氣體的外部₂ 壓力 P_ex 所作的功。

p.408

requires an infinite number of steps . The mathematical operation needed to sum the steps in this instance is the integral

2

1 V V ex

Work =

∫

P dV

The diagram corresponding to this process is given in Fig. 10.8.

圖 4.2.4.3 普化文本，Chemical Principles，

5^th，p.409

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

看完上一個積分算式後再來 看這張圖 10.8，將 V 到 ₁ V ₂ 作一分割，且

V_i V_i V_i−1

∆ = − ，將其視為膨脹 的體積增量，而 d 視為活塞_i 頭移動的對應距離，若 P 代_i 表壓力 P 對應第 i 個增量的 值，則活塞頭所受的力為 P _i 與活塞頭面積的乘積

2

P riπ 。因此，在第 i 個增量 所作的功為

2

2 2

Vⁱ V

i i i i i

P r d P r P

π π r

π

∆ 

=  = ∆

 

，所以，

1

V

n

i i

i

W P

=

≈

∑

∆ 而當分割的範數趨近於零 時，此近似值更佳，故

2

1 V

V P V W =

∫

d

p.409

Since P_ex ≈P_gas=P in the reversible expansion , by use of the ideal gas law ,

ex V

P ≈P=nRT

and ²

1 V

rev V

Total work = V

V nRT d w_∞ = w =

∫

Since n and T are held constant in this experiment ,

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

利用 5.3 中介紹的理想氣體方 程式 PV =nRT 得到

V

P=nRT，再將前一積分是作 變換推導，計算過程中使用到

的技巧為 1

ln ^b x a dt

=

∫

t

p.410

2

1 V

rev V

V V w =nRT

∫

d

_{2 1} ²

1

(ln V ln V ) ln V

nRT nRT V 

= − =  

  In this specific experiment V₂ =4V₁ . Therefore ,

rev ln 4 1.4 w =nRT = nRT

And since P₁V₁=nRT , w_rev =1.4 VP_{1 1} For this particular expansion .

, 0

a b> 。此觀念超過高三下 選修數學 II 的教材內容，並 且需先學習

ln 1 0

d x x

dx = x ， > 。然而 ln 為自然對數，亦非高中數 學有提及的內容。

2

max rev

1

ln V w w nRT V 

= =  

 

2 rev

1

ln V w nRT V 

= −  

 

2

rev rev

1

ln V q w nRT V 

= − =  

 

2

rev rev

1

ln V w q nRT V 

= − = −  

  Or in terms of pressures ,

1

rev rev

2

ln P

w q nRT

P

 

= − = −  

 

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

這裡我們記載幾個運用到自 然對數 ln 的地方，這些式子 單純地出現 ln，並沒有牽扯 到其他觀念。

p.449 中也有用到此式來計 算例題。

p.410

p.412 p.449

Infinite-Step Compression . Notice that in compressing the gas isothermally , as the number of steps increases , the work required to compress the gas decreases . If we compress the gas in an infinite number of steps (in which , at all times P_ex ≈P) , the work required is

10.2 The Isothermal Expansion and Compression of an Ideal Gas

在此計算過程中運用的觀念 如前相同。

p.411

2

1

V 2

V 1

1

1 1 1

' V ln V V ln V 1.4 V

4V

w P d nRT

nRT P

∞

 

= =  

 

 

=  =

 

∫

(In this specific experiment V₂ =4V₁ .)

B ln S =k Ω Where

kB = Boltzmann’s constant , the gas constant per molecule (R N/ _A)

Ω = the number of microstates corresponding to a given state (including both position and energy)

10.3 The Definition of Entropy 運用到自然對數 ln，這些式 子單純地出現 ln，並沒有牽 扯到其他觀念。關於 entropy 有許多 ln 的計算，為避免版 面過長不再贅述

p.414

2

1

ln V S nR V 

∆ =  

  with

2 rev

1

ln V q nRT V 

=  

 

10.3 The Definition of Entropy 運用到自然對數 ln，這些式 子單純地出現 ln，並沒有牽 扯到其他觀念。

p.416

Temperature Dependence of Entropy

For an isothermal process we have seen that the change in entropy is defined by the relationship

qrev

S T

∆ =

We can calculate ∆ for a change in S temperature from T₁ to T₂ by summing infinitesimal increments in entropy at each temperature T：

dqrev

dS= T

Using integration , we have

2 2

1 2

1 1

rev

V V

T T

T T

S dS dq

→ T

∆ =

∫

=

∫

If the process is carried out at constant pressure , then

rev P

dq =nC dT

for n moles of substance . Thus

10.4 Entropy and Physical Changes

這段課文中運用了前面提到 的觀念來引進熱力學的概 念，而因 q^rev

S T

∆ = ，當溫度從 T1 到 T₂ 的增量十分微小 時，可以利用積分是得到

2 2

1 2

1 1

rev

V V

T T

T T

S dS dq

→ T

∆ =

∫

=

∫

^，而

此一過程若在固定壓力下完 成，我們藉由 dq_rev =nC dT_P 導出下一個積分式

2 2

1 2

1 1

rev

V V

T T

T P T

dq dT

S nC

T T

∆ → =

∫

=

∫

1 2

2

V V

1 P ln S nC T

→ T

 

⇒ ∆ =  

 

p.416

2 2

1 2

1 1

rev

V V

T T

T P T

dq dT

S nC

T T

∆ → =

∫

=

∫

assuming that C is constant between _P T and ₁ T . Performing the integration gives 2

1 2

2

V V

1 P ln S nC T

→ T

 

∆ =  

 

Similarly , for a process carried out at constant volume

1 2

2

V V V

1

ln T

S nC

→ T

 

∆ =  

 

最後，在同理的說明若此一推 導在固定體積下完成，則可以 得到

1 2

2

V V V

1

ln T

S nC

→ T

 

∆ =  

 

(1)

J 373 (2.00 mol) 75.3 ln

K mol 323

S    

∆ =    

   

=21.7 J/K

(3)

J 423 (2.00 mol) 36.4 ln

K mol 373

S    

∆ =    

   

=9.16 J/K

10.4 Entropy and Physical Changes

運用到自然對數 ln，而其中 373、323 與 423 為

100 C^° 、 50 C^° 與 150 C^° 的 絕對溫度值，但這裡並沒有詳 細說明計算 373

ln 323

 

 

  與 ln 423

373

 

 

  的過程，而這裡計 算 373

ln 323

 

 

 與 423 ln 373

 

 

  的 過程應屬於對數計算的範疇。

p.418

1 2

2

V V

1

ln T

S nC

→ T

 

∆ =  

  where C is C_P or C _V

10.8 Entropy Changes in Chemical Reactions

運用到自然對數 ln，這些式 子單純地出現 ln，並沒有牽 扯到其他觀念。

p.427

ln( ) G=G^°+RT P

reactants products

G G G

∆ =

∑

−

∑

(10.7)

ln( ) G G^° RT Q

∆ = ∆ +

10.10 The Dependence of Free Energy on Pressure

10.11 Free Energy and Equilibrium

這裡列出幾個在 10.10 中運 用到自然對數 ln 的地方，這 些式子單純地出現 ln，並沒 有牽扯到其他觀念。

p.434

~ p.441 p.475

另外，在 11.4 Dependence of the Cell Potential on

Concertration 當中也有利用 到 ∆G= ∆G^°+RT ln( )Q 來 作計算。

2

2

ln( ) H S

K RT R

° °

−∆ ∆

= +

and

1

1

ln( ) H S

K RT R

° °

−∆ ∆

= +

Subtracting the second equation from the first gives the combined equation：

2

1 2 1

1 1 ln(K ) H

K R T T

° 

=−∆  − 

 

This is called the van’s Hoff equation after the Dutch chemist Jacobus van’s Hoff .

10.11 Free Energy and Equilibrium

這裡列出幾個在 10.10 中運 用到自然對數 ln 的地方，這 些式子單純地出現 ln，並沒 有牽扯到其他觀念。

p.442

Recall that the energy of an ideal gas depends only on its temperature：E=nC T_V

So for an adiabatic process ,

ext V V

E w P nC T

∆ = = − ∆ = ∆

For an infinitesimal adiabatic change ,

ext V V

dE= −P d =nC dT

Assume that the adiabatic expansion or

cpmpression is carried out reversibly . That is , Pext is only infinitesimally different from P_gas

ext gas

(P ≈P ) .

Then _{ext gas} V P =P = nRT

Thus , for a reversible , adiabatic expansion – compression , we have

V ext V gas V V

V dE=nC dT = −P d = −P d = −nRT d

and V _V V

nRT d nC dT

− =

10.14 Adiabatic Process 此小節主要在講的是絕熱過 程，此段課文利用理想氣體方 程式為基礎，考慮能量的微小 變化，進而延伸到積分關係 式。

在計算的過程中利用到了變 數變換的技巧，由

ext V V

E w P nC T

∆ = = − ∆ = ∆

ext V V

dE= −P d =nC dT 與

ext gas

V P =P =nRT

將 C^V

T dT 轉變為

V V Rd

− ，進而推導到

2 2

1 1

V

V V

1 1

V V

T

C T dT R d

T = −

∫ ∫

如此變數變換的技巧，並非高 三選修數學 II 裡微積分的教 材內容。

p.447

which can be rearranged to ^V V V

C R

dT d

T = − We can derive an expression for a reversible , adiabatic change from V to ₁ V and from ₂ T ₁ to T by summing (integrating) the ₂

infinitesimal changes required：

2 2

1 1

V

V V

1 1

V V

T

C T dT R d

T = −

∫ ∫

where C is assumed to be independent of _V temperature over the interval T to ₁ T . ₂ Evaluating the integrals gives

2 2 1

V

1 1 2

V V

ln ln ln

V V

C T R R

T

     

= − =

     

     

Taking the antilog of each side we have

V

2 1

1 2

V V

C R

T T

   

  = 

   

Since C_P =C_V+ , we can write R

V ( V)

2 1

1 2

V V

C CP C

T T

    −

  = 

   

or ^V

( 1) ( 1)

2 1 1

1 2 2

V V

V V

CP

T C

T

γ

− −

     

= =

     

      where

V

CP

γ =C Thus

-1

2 1

-1

1 2

V V T T

γ

= γ or T₁V₁^γ−1=T₂V₂^γ−1

Using the ideal gas law we can also express this result in terms of pressure . Since in this case ,

1 1 2 2

1 2

V V

P P

T = T then

-1

2 2 2 1

-1

1 1 1 2

V V V V T P

T P

γ

= = γ and P₁V₁^γ =P₂V₂^γ

10.14 Adiabatic Process 這段課文裡繼續作前面積分 的計算，計算的過程中運用到 的是對數的基本觀念與簡單 的四則運算；其中有提及反對 數，但是指對數觀念於高一數 學程度即可理解，

p.447 p.448

本書共有 22 章，而多數學系修習普通化學均是一學年課程，其中依多數學系在大 一上學期的課程大綱，大多選用這本書為指定教科書的學系，上學期的授課內容均到第

11 章為止，第 12 章以後為下學期之授課範圍，由於本篇論文的研究目的為大一上學 期必修課程與高中微積分的關聯性，因此文本分析作到第 11 章為止。

在書中能看的到的數學式子多是具備〈科學記號〉、〈指數律〉、〈百分比率〉、〈單位 換算〉、直線方程式與四則運算等相關國中代數知能即可，但是其中還是有不少與微積 分直接相關的式子，大多式子都是在第五章以後出現，更以第十章為最多。

分析此本書籍過後可以發現，若學生以高中微積分的觀念來面對這門科目，尚不足 以完全理解，所有數學的式子與微積分有直接相關的雖然不算非常多，但是卻用到不少 高三數學選修 II 中沒有學習過的內容，其中包含了歐拉數 e 的使用，自然對數的微分 與積分，另外還有變數變換的積分技巧，而這些內容均是大一微積分才會學習到的內容。

在文檔中 國 立 中 央 大 學 (頁 101-111)