統計學文本分析

文本資料：McClave , Benson , Sincich《Statistics For Business & Economics》 [67]

在此篇論文的研究對象學系中共計有 21 個學系開設「統計學」一門課程，由於統 計學書籍眾多，在調查各學系選用教科書後發現各系選用的教科書重複比率並不高，文 本分析選擇 [67] 一書的原因是此書於 Amazon 網路書店 [76] 的銷售排行是我們查到 所有書籍中最高，基於此一客觀條件，經過與指導教授單維彰博士討論過後，決定選擇 此本書籍作分析。

在開設「統計學」一門課程的學系中，使用此本書的有 H07 – 北大統計系，與 M21 – 東海統計系。本書共有 14 章，在查詢北大與東海兩系的授課大綱後，大一上學期的授 課內容為第一章至第七章，因此此一小節將針對 1 ~ 7 章進行記載，記載內容以高三數 學選修 II 的微積分教材內容作為重點，能運用高中以下數學教材內容即可理解的數學式 不記載或簡述；並詳實記載出處頁碼。

以下是文本中數學式的整理與分析：

內容 分析 頁碼

Probability Distribution , Mean , and Variance for a Poisson Random Variable

( ) ( 0,1, 2...)

!

xe

p x x

x λ ⁻λ

= =

2

µ λ

σ λ

=

=

where λ= Mean number of events during given unit of time , area , volumn , etc.

e= 2.71828

Chapter 4 Random Variables amd Probability Distribution

4.4 The Poisson Distribution (Optional)

Poisson 分佈式離散型機率分佈的 其中一種，其概念為：若隨機變數 X 是在已知時間間隔或某一指定區 域中所發生的出象數，則產生此隨 機變數數值的實驗稱為 Poisson experiments。實驗期間發生的出象 數目 X 稱為 Poisson random variable，其機率分佈稱為 Poisson distribution。

書本中並沒有說明平均數 λ 與 變異數 σ² 的推導過程，而機率密 度函數 p x 亦沒有特別說明，但( ) 我們站在數學的角度觀察機率密 度函數可以發現其中牽涉到了歐 拉數 e，雖在此課文中並沒有說明 歐拉數的來由與定義，但是此分配 函數確實與微積分有相關。

p.218

Students with knowledge of calculus should note that the probability that x assumes a value in the interval a< < x b is ( ) ^b ( )

P a< <x b =

∫

a f x dx，assuming the integral exists . Similar to the requirement for a discrete probability distribution , we require f x( )≥ and 0 ^∞ f x dx( ) 1

−∞ =

∫

^.

Chapter 4 Random Variables amd Probability Distribution

4.6 The Uniform Distribution (Optional)

此段課文內容特別說明了機率

( )

P a< <x b 為在區間

a< < ， ( )x b f x 曲線下的面積，

同時說明了全機率為 1 的概念。

在算式中我們可以看到高三數學 選修 II 裡看不到的「廣義積分」的 觀念，有關於「廣義積分」的定義 將於此小節最後說明。

p.224

Probability Distribution for a Uniform Random Variable x

Chapter 4 Random Variables amd

Probability Distribution p.225

Probabilty density function：

( ) 1

f x c x d

d c

= ≤ ≤

− Mean：

2 c d µ= ⁺ Standard deviation：

12 d c

σ = ⁻

( ) ( ) /( ),

P a< <x b = b−a d−c c≤ < ≤a b d

The students with knowledge of calculus should note that

( ) ^b ( )

a

P a< <x b =

∫

f x dx ( ) 1/( )

b b

a f x dx a d c dx

=

∫

=

∫

− (b a) /(d c)

= − −

4.6 The Uniform Distribution (Optional)

此段課文主要介紹均勻分佈的機 率密度函數的定義，以及均勻分佈 的平均數與標準差。

我們可以看到課文中有特別列出 利用積分計算機率的算式，而因為 均勻分佈的密度函數較為簡單，因 此計算積分的式子並不複雜，事實 上，這個積分式對於學習過高三選 修 II 的學生來說是看得懂的。

Probability Distribution for a Normal Random Variable x

Probabilty density function：

(1/ 2)[( ) / ]2

( ) 1 2

f x e x ^{µ σ}

σ π

− −

= where

µ= Mean of the normal random variable x

σ = Standard deviation 3.1416...

π =

2.71828...

e= ( )

P x<a is obtained from a table of normal probabilities

The student with knowledge of calculus should note that there is not a closed-form expression for ( ) ^b ( )

P a< <x b =

∫

a f x dx for the normal probability distribution . The value of this definite integral can be obtained to any desired degree of accuracy by numerical approximation

Chapter 4 Random Variables amd Probability Distribution

4.7 The Normal Distribution

常態分佈。此段課文主要是說明常 態分佈的機率密度函數，與其平均 數及標準差，在機率密度函數中我 們可以看到 π 與 e，而 π 為圓 周率，是國中生即知道的部分，但 e 則是歐拉數，此非高三數學選修 II 的學生有教授的內容。

課文的後段說明了利用積分計算 機率的算法，而這在前面也已經說 明過，在此不再重複說明。

P229

procedures . For this reason , it is tabulated for the user .

Sample Mean：(large n)

(1/ 2)[( ) / ]2

( ) 1

2

x x

x

f x e ^{µ σ}

σ π

− −

=

Chapter 4 Random Variables amd Probability Distribution

Chapter Notes

此式是由常態分佈而來，在此不再 重複說明。

p.273

本書的前三章均與微積分無關，1、2 兩章為敘述統計的範圍，書本中可以看到大 量 SPSS、MINITAB、EXCEL 表格，教導如何使用軟體解決資料統計分析；第 3 章進 入機率，在 95 暫綱中的高二下內容僅屬於通識程度的統計，99 課綱將隨積變數和正 規分佈編訂於高三上學期 (選修 I)。第四章起開始介紹了連續型的機率分佈，從連續型 的機率分配中我們可以看到有關於積分的數學式，而這些數學式並非高三數學選修 II 中教授的內容，如歐拉數 e、「廣義積分」…等。第五章介紹了信賴區間的概念，信賴 區間的介紹在高二下數學雖有教授，但是在大學統計學課本裡面可以看到介紹的更為詳 細，但是即便如此，信賴區間一單元中，並不需要微積分的技巧即可勝任。第六章與第 七章介紹單樣本與雙樣本的檢定問題，在這兩章當中我們看不到有關於微積分的相關式 子。

以下我們說明一下「廣義積分」： 對於定積分來說，有兩個重要的假設：

(1) 區間 [ , ]a b 必須為有限。

(2) 被積分函數 f 在 [ , ]a b 必須為連續。或者，若不連續，也得在 [ , ]a b 中為有界。

若不合乎此等假設之一者，就稱為廣義積分。

廣義積分定義：(節錄自莊紹容、楊精松《微積分》 [98] )

定義 8.1

(1) 對每一數 t≥ ，若 a ^t ( )

a f x dx

∫

^{存在，則定義}

∫

_a^{∞ f x dx( ) =lim}_t→∞

∫

_a^{t f x dx( )}

(2) 對每一數 t b≤ ，若 ^b ( )

t f x dx

∫

^{存在，則定義}

∫

_−∞^{b f x dx( ) =}_t^lim_→−∞

∫

_t^{b f x dx( )}

以上各式若極限存在，則稱該廣義積分為收斂，而極限值即為積分的值。若極限不 存在，則稱該廣義積分為發散。

(3) 若 ( )

c^∞ f x dx

∫

^與

∫

_−∞^{c f x dx( )} 皆為收斂，則稱廣義積分 ^∞ f x dx( )

∫

−∞ ^{為收斂，定義為}

( ) f x dx

∞

−∞ =

∫ ∫

_−∞^{c f x dx( ) +}

∫

_c^{∞ f x dx( )} 。若此式等號右邊任一積分發散，則稱 ^∞ f x dx( )

∫

−∞

為發散。

分析此本書籍過後可以發現，若學生以高中微積分的觀念來面對這門科目，尚不足 以完全理解，所有數學的式子與微積分有直接相關的雖並不算多，但是卻有高三數學選 修 II 中沒有學習過的內容，其中包含了歐拉數 e 的使用，廣義積分的觀念，而這些內 容均是大一微積分才會學習到的內容。尤其我們觀察到統計學一門課，在整本書中首次 遇到與微積分有直接相關的式子即是積分式，以此書為例，出現在第四章當中，若是以 授課大綱的進度來查詢，合理的預測統計上到第四章應該只是上學期的一半左右，而此 時，修大一微積分的學生進度應該還沒上到積分的部分，如此一來，修統計的同學若高 中沒有學過微積分，在統計課程中該如何理解？對於高中數學 95 暫綱和 99 課綱，除 了應將選修數學 I 列為統計學的預備知識內容之外，對於微積分的認識也很重要。

由統計學的文本分析可以發現，由於統計學的內容與微積分有直接相關的部分為積 分的內容居多，因此若教授微積分的課程進度可以配合統計一門課，在微積分課程中的 微分部分是否可以將進度加快或省略，在積分的教學上說明的更加清楚些。而也因「統 計學」經過此文本分析後證實其與微積分有直接相關，因此建議表 3.2.16 中大一上必 修統計之學系，於招生時數學採計上應採計數甲，如：D38、E09、E18、H07、H10、

H11、M19、M20、N32、N44、Q13、Q15、Q20、Q22，以上十四個學系採計數乙，建 議未來採計數甲；E09、H11、N16、N32，以上四個學系建議未來應規定學生於大一上 必修微積分。

在文檔中 國 立 中 央 大 學 (頁 89-93)