普通物理文本分析

第 4 章研究結果分析

4.2 各課程文本分析結果

4.2.1 普通物理文本分析

文本資料：David Hallidy , Robert Resnick , Jearl Walker《Fundamentals of Physics》 [65]

共有 62 個學系選用本書，分別是：

A10、A11、A30、A31、A33、A35、A43、A53、A59、B01、B02、B03、B04、B05、

B06、B07、B08、B09、B10、B11、B12、C06、C07、C08、C09、C10、C11、C12、

D18、E39、G07、G08、G10、G20、G21、I 07、I 08、I 11、I 12、I 16、J 26、K02、

K13、K14、K17、L13、N19、N20、O11、O12、P07、P11、P12、P14、P15、Q25、

Q26、Q27、Q28、Q30、Q35、Q36 詳細校系編號對照請見表 3.2.18

在整本書中，盡可能的將與微積分有關的數學式記載下來，其中並不包含課本每章後的 Exercise 也不包含過多的文字敘述；數學式子以高三數學選修 II 的微積分教材內容作為記載重點，能運用高中以下數學教材內容即可理解的數學式不記載或簡述；並詳實記載出處頁碼。

以下是文本中數學式的整理與分析：

算式、式子使用微積分觀念說明 ^頁碼

圖 4.2.1.1 普物文本 Fundamentals of Physics ,

Chapter 2 Motion one Dimension

2.1 Displacement , Velocity, And Speed 從此一圖中可以看到介紹

到了曲線的割線斜率。 p.25

7^th，p.25

t vx x

∆

≡ ∆ (2.2) Chapter 2 Motion one Dimension

2.1 Displacement , Velocity, And Speed 此式介紹的是平均速度為位移除以時間變化量。

p.26

圖 4.2.1.2 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.28-1

圖 4.2.1.3 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.28-2

Chapter 2 Motion one Dimension

2.2 Instantaneous Velocity And Speed

從上圖中可以看到介紹到了曲線的切線斜率。

而下圖則是切線與割線斜率。

p.28

dt dx t v x

x t =

∆

≡ ∆

→

∆lim0 (2.4) Chapter 2 Motion one Dimension

2.2 Instantaneous Velocity And Speed

這裡等於正式的定義了速度為位移對時間的一階導數。此一微分的觀念為高三數學選修 II 已有教授。

p.29 , p.48

i f

xi xf xf

x t t

v v t a v

−

= −

∆

≡ ∆ (2.5)

Chapter 2 Motion one Dimension

2.3 Acceleration

p.30

圖 4.2.1.4 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.30

此式說明了平均加速度為速度變化量除以時間變化量。在圖形裡，可以看到其平均加速度即為 A 點到 B 點的斜率。

2 2

dt x d dt dx dt

d dt

a_x dv^x =



 



= 

= (2.7) Chapter 2 Motion one Dimension

2.3 Acceleration

由加速度為速度對時間的一階導數可以推導得到，

加速度亦為位移對時間的二階導數。這裡的微分觀念為高三數學選修 II 已有教授的內容。

p.31

圖 4.2.1.5 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.33

Chapter 2 Motion one Dimension

2.3 Acceleration

從上圖中可以看到介紹到了曲線的切線斜率。

p.33

2 0

0 lim( 10 5 ) 10 /

lim t t tm s

t a v

t x

x t = − − ∆ =−

∆

= ∆

→

∆

→

∆

−1

=nAtⁿ dt

In which v_x =40−5t², we find that t

dt dv

a_x = _x/ =−10

Chapter 2 Motion one Dimension

2.3 Acceleration

在以下的算式裡，使用的微積分計算技巧皆為簡單的極限計算，或簡單的一階導數計算。擁有高三數學選修 II 的知能即可勝

p.33

任。

t a v t a t v dt x

d dt

v_xf dx^f _i _xi _x = _xi + _x



 



 + +

= ²

1 Chapter 2 Motion one Dimension

2.6 One-Dimensional Motion With Constant Acceleration

一階導數計算。

p.36

圖 4.2.1.6 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.44

∑

^∆

∆ ∆ → n

t vxn t

n 0

lim (2.13)

∑

^∆ ⁼

∫

→

∆

i n

t x

n n

t vxn t v (t)dt

lim

0 (2.14)

Chapter 2 Motion one Dimension

2.7 Kinematic Equations Derived From Calculus 此一小節主要討論的是利用微積分導出運動方程式。圖中可以看到黎曼分割的概念。

p.44

dt a_x = dv^x

May be written as dv_x =a_xdt or , in terms of an integral (or antiderivative) , as

∫

⁺

= a dt C₁ v_x _x

∫

⁺ ⁼ ⁺

=a dt C₁ a t C₁

v_x _x _x (2.15)

Chapter 2 Motion one Dimension

2.7 Kinematic Equations Derived From Calculus 這裡看到了不定積分的觀念，而不定積分並非高三數學選修 II 的教授內容。

p.45

dt v_x = dx

we can write this as d_x =v_xdt or integral form as

∫

⁺

= v dt C₂

x _x

Where C₂ is another constant of integration .

Chapter 2 Motion one Dimension

2.7 Kinematic Equations Derived From Calculus 這裡看到了不定積分的觀念，而不定積分並非高三

p.46

Because v_x =v_xf =v_xi +a_xt , this expression becomes

∫

⁺ ⁺

= (v a t)dt C₂ x _xi _x

∫

⁺

∫

⁺

= v dt a tdt C₂

x _xi _x

2 2

1a t C t

x= _xi + _x +

數學選修 II 的教授內容。

圖 4.2.1.7 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.59

θ cos r

x= (3.1) θ

sin r

y= (3.2)

= y θ

tan (3.3)

2 y

r= + (3.4)

A= A_xi+A_yj (3.12) r = ix + j (3.13) y

Chapter 3 Vectors 3.1 Coordinate Systems 這裡除了複習三角函數之外，也說明了極坐標的觀念，以往在 95 暫綱中，

並沒有在課程內容中正式納入極坐標，到了 99 課綱將極坐標正式編訂在三角函數的章節中，對於極坐標的重要性，我們於物理上看到了應用，也了解到了其學習的必要。關於極坐標於 99 課綱的編訂，於本小節末列表。

於此，我們看到了單位向量的式子。在整個第三章當中，單位向量的式子層

p.59

圖 4.2.1.8 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.64

R=(A_xi+A_yj)+(B_xi+B_yj )

R=(A_x +B_x ) i+(A_y +B_y ) j (3.14)

Because R=R_xi+R_yj , we see that the components of the resultant vector are

y y y

x x x

B A R

= +

= (3.15)

圖 4.2.1.9 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.66

A= A_xi+A_yj+A_zk (3.18)

出不窮，然而無論高中 95 暫綱或是 99 課綱，單位向量的教學內容都相當缺乏。

B= B_xi+B_yj+B_zk (3.19) The sum of A and B is

R=(A_x +B_x ) i+(A_y +B_y ) j+(A_z +B_z) k (3.20) The instantaneous velocity v is defined as the limit of the average velocity _{∆ r}/∆t as ∆t approaches zero:

v lim

→0

≡∆

t ∆ r/∆t = dr dt/ (4.3)

Chapter 4 Motion in Two Dimensions

4.1 The Displacement , Velocity , and Acceleration Vectors

速度為位移對時間的一階導數，此式為前面介紹過的內容。

p.78

The instantaneous acceleration a is defined as the limiting value of the ratio ∆v/∆t as ∆t

approaches zero:

a lim

→0

∆

≡

t ∆v/∆t = dv dt/ (4.5)

Chapter 4 Motion in Two Dimensions

4.1 The Displacement , Velocity , and Acceleration Vectors

加速度為速度對時間的一階導數，此式為前面介紹過的內容。

p.79

dt mdv ma bv

mg− = = (6.3) mv

g b dt

dv = − (6.4)

Chapter 6 Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

6.4 Motion In The Presence of Resistive Forces

此式為利用加速度為速度對時間的一階導數作的應用推導。

p.164

) 1

( ) 1

( e ^bt^/^m v_t e ^t^/^τ b

v= mg − ⁻ = − ⁻ (6.5)

m bt m bt m

bt e ge

dt d b e mg

b mg b mg dt

d dt

dv − / − / − /

−

=



 



 −

Chapter 6 Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

6.4 Motion In The Presence of Resistive Forces

式子中看到了歐拉數 e，然而歐拉數在高中數學中

p.165

並未教授，在此段課文中亦沒有詳細說明其定義，

歐拉數 e 的定義。

第二個式子中在微分的過程中需要先學會 e 的微分，此觀念非高中程度能夠理解。

圖4.2.1.10 普物文本Fundamentals of Physics , 7^th，p.189

∑

^∆ ⁼

∫

→

∆

x x

dx F x

lim

∫

= ^f

i x

x Fxdx

W (7.7)

∑

⁼ ⁼

∫ ∑

x x

net F dx

W ( ) (7.8)

Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.3 Work Done by A Varying Force

此一小節提到了當作用在物體上的力不為定值時，

需要用積分的技巧來計算力量所作的功。課文中看到了利用黎曼分割來作推導，並且寫出其積分定義，此觀念為高三數學選修II已有教授。

p.189

J 10 0 . 3

10 ) 5 . 1

1 10

3 . 2 )( 1 10 3 . 1 (

10 5 . 1

10 3 . )2 )(

10 3 . 1 (

) 10 3 . 1 (

10 ) 3 . ( 1

11 11

11 11 1

22 10 3 . 2

10 5 . 1

2 22

10 3 . 2

10 5 .

1 2

11 11

−

− −

× −

−

− ×

−

= −

−

∫

dx x x dx W

Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.3 Work Done by A Varying Force

此算式為 7.3 小節中的

例題算式，算式中的積分技巧為有理函數的積分，

並非高中選修數學II的知能可以理解。

p.191

2 max 0

2 ) 1 (

max

kx dx

W x

x x

−

∫ ∫

₋ (7.10) Chapter 7 Work and

Kinetic Energy 7.3 Work Done by A Varying Force

此算式為 7.3 小節中的

p.191

例題算式，算式中的積分技巧為具備高中選修數學 II的知能即可理解。

∫

^xⁿ^dx⁼ ^xⁿ⁺¹^/(ⁿ⁺¹⁾^with ⁿ⁼¹ Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.3 Work Done by A Varying Force

在高中數學選修II的微積分內容中，微積分基本定理是放在附錄中，並沒有放在課文當中，課文中僅對定積分有所介紹，因此嚴格來說，此式並非高中選修數學II的課文中有教授的內容。

p.192

2 2

2 1 2

) 1

(

_i _f

s x kx dx kx kx

W ^f

−

=

−

= ∫

(7.11)

2 0 max

0 2

max

maxF dx kxdx kx

W_F ^x _app ^x

app =

∫

Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.3 Work Done by A Varying Force

定積分計算，並沒有艱深的積分技巧，為具備高三選修數學II知能即可。

p.193

We can apply Newton’s second law ,

∑

Fx ⁼max , and use Equation 7.8 to express the net work done as

∑

⁼

∫

∑

⁼

∫

i x

x x

x dx ma dx

W ( )

Chapter 7 Work and Kinetic Energy

7.4 Kinetic Energy and the Work – Kinetic Energy Theorem

用積分的技巧來計算力量所作的功。此相關內容於前面說明過。

p.195

dx vdv dt dx dx dv dt

a= dv = = Chapter 7 Work and

Kinetic Energy

7.4 Kinetic Energy and the Work – Kinetic Energy Theorem

式中使用微分的鏈鎖律，

而此一技巧於高中數學選修II已有教授。

p.195

∑

⁼

∫

^f ⁼

∫

i x

v mvdv

dxdx mvdv W

∑

⁼ ² ⁻ ²

2 1 2

f mv

W (7.16)

Chapter 7 Work and Kinetic Energy

7.4 Kinetic Energy and the Work – Kinetic Energy Theorem

此為積分變數變換的觀念，在高中數學選修II當中並沒有此一觀念。

p.195 , p.199

t P W

≡ ∆ 

Average power

Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.5 Power

平均功率為所作的功除以時間變化量

p.199

dt dW t P W

t =

≡ ∆

→

∆ 0

lim

v F F⋅ = ⋅

= dt

ds dt

P dW (7.18) Where we use the fact that v=ds/dt.

Chapter 7 Work and Kinetic Energy 7.5 Power

功率為所作的功對時間的一階導數。

p.200

8 ...

3 1 2

) 1 (

1 ₂

2 /

1 = + + +

− x x

) 1 ) / ( 1 ( 1

2 −

−

c v mc

(7.19)

1 for 2

8 ...

3 2

) 1 8 ...

3 1 2

(

2 4 2

4 4

2 2 2

+ +

− + + +

c mv v

c mv mv

c v c mc v

Chapter 7 Work and Kinetic Energy

7.7 Kinetic Energy at High Speeds

此段課文中看到利用二項級數的觀念，而此一觀念並非高中數學選修II有教授的內容。

p.205

U dx F

W ^f

i x

x x

c =

∫

=−∆ (8.6)

∫

−

∆ ^f

i x

x x

f U F dx

U (8.7)

i x

x x

f x F dx U

U ^f

−

∫

)

( (8.8)

f i f

i F⋅ds=U −U

∫

Chapter 8 Potential Energy and Conservation of Energy

8.3 Conservative Forces and Potential Energy 這裡記載的幾個式子為微積分基本定理的應用。

p.220

dx F dU =− _x

Therefore , the conservative force is related to the potential energy function through the relationship

F_x =−dU (8.16)

kx dx kx

d dx

F_s =−dU^s =− )=− 2

(1 ²

Chapter 8 Potential Energy and Conservation of Energy

8.6 Relationship Between Conservative Forces And Potential Energy

這裡記載的幾個式子均為被高中數學選修II知能即可勝任。

p.232 , p.234

In three dimension , the expression is

F z

k U y j U x i U

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

Chapter 8 Potential Energy and Conservation of Energy

8.7 Energy Diagrams And The Equilibrium of A System

此式看到需要同學能夠會作偏導函數，偏微分的內容在高中數學選修II當中並未教授。

p.232

0 ] ) ( ) [(

) 4

( 12 6

−

= dx x x

d dx

dU σ σ

0 6 ] [ 12

4 ₇

6 13

− =

− −

= x x

σ ε σ

6 ] [12

] ) ( ) [(

) 4 (

7 6

13 12

6 12

x x

dx d dx

x F_x dU

σ ε σ

−

dt mv d dt

F dp ( )

∑

= (9.3)

F₂₁ = dp¹ and

dt F₁₂ = dp²

0 ) ( ₁ ₂

1 + = p + p =

dt d dt dp dt dp

According to Newton’s second law , F=dp/dt , or dt

dp= (9.7)

Chapter 9 Linear

Momentum and Collisions 以下記載在第九章課文中出現與微積分直接相關的式子，記載下來的式子均為高中數學選修數學II知能即可勝任。

p.234 p.234 p.253 p.253 p.253 p.255 p.256 p.256 , p.258 p.256 p.259 p.259 p.271 , p.272 , p.273 p.271 p.271 p.274 p.274

∫

−

∆ ^f

i t

f p F dt

p (9.8)

∫

⁼^∆

≡ ^f

i t

t Fdt p

I (9.9)

∆

∫

≡ ^f

i t

t Fdt F 1t

　 (9.10)

dt F

p ^f

i t

t 21

1 ⁼

∫

∆

dt F

p ^f

i t

t 12

2 ⁼

∫

∆

∑ ∫

∆

=∆ → xdm

M M

m x

x ⁱ

i i

CM m i

lim 1

0 (9.31)

∫

⁼

= zdm

z M and dm M y

y_CM _CM 1

1 (9.32)

∫

= rdm r_CM M1

(9.33)

M v m dt

m dr M dt

v dr ⁱ

i i

i i i CM

∑

⁼

∑

= 1

(9.34)

∑

⁼

i i i i

i i CM

CM ma

M dt m dv M dt

a dv 1 1

(9.36)

dt Ma dp

F_ext = _CM = ^tot

∑

(9.38)

= _CM

tot Ma

dt dp

If we now take the limit as ∆ goes to zero , we t get ∆v→dv and ∆m→dm. Futhermore, the increase in the exhaust mass dm corresponds to an equal decrease in the rocket mass, so that

dM dm=−

dM v dm v

Mdv= _e =− _e (9.40)

p.274 p.274

∫

⁼⁻ ^f

i f

e M v

v M

v dM dv

) ln(

f i e i

f M

v M v

v − = (9.41)

Chapter 9 Linear

Momentum and Collisions 9.8 Rocket Propulsion 在這個積分式中看到了針對 1

M 的積分，其積分結

p.278 , p.279

果為 ln M ，而 ln 為自 然對數，自然對數為以 e 為底的對數，e 的定義並 非高中數學所學，當然 ln 亦並非高中數學有所涉獵。

Thrust

dt v dM dt M dv = _e

= (9.42) Chapter 9 Linear

Momentum and Collisions 9.8 Rocket Propulsion 這裡講的是驅動力 Thrust 的定義，定義中僅使用一階導數的觀念，為高中數學選修 II 知能可以理解。

p.279

dt d t

ω θ =

∆

≡ ∆

→

∆lim0 (10.4) Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.1 Angular

Displacement , Velocity , and Acceleration

此式為角速度為角度對時間的一階導數，與線性運動中的速度定義雷同。

p.294

dt d t

α ω =

∆

≡ ∆

→

∆ 0

lim (10.6) Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.1 Angular

Displacement , Velocity , and Acceleration

此式為角加速度為角速度對時間的一階導數，與線性運動的加速度定義雷同。

p.295

Recalling that s=rθ and noting r is constant , we obtain

dt rd dt

v ds θ

Because dθ/dt=ω , we can say

Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.3 Angular and Linear Quantities

p.297

ω r

v= (10.10) 由於 s is the distance traveled by this point measured along the circular path . 因此利用 s=rθ 與速度的定義為位移對時間的一階導數，可以推導得 v=rω。在數學的觀念來看，推導過程中僅需了解一階導數即可，此為高三數學選修 II 中已有教授。

dt rd dt

a_t dv ω

= α r

a_t = (10.11)

Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.3 Angular and Linear Quantities

此式即為加速度的推導，

與上面說明過的速度推導雷同，同樣是僅需一階導數的觀念即可。

p.297

We can evaluate the moment of inertia of an extended rigid object by imagining the object devided into many small volume elements , each of which has mass ∆ . We use the definition m

i i

∑

r ∆m and take the limit of this sum as 0

∆ → . In this limit , the sum becomes an m integral over the whole object：

2 2

lim0 i

i i

m i

I r m r dm

∆ →

∑

∆ =

∫

(10.17) It is usually easier to calculate moments of inertia in terms of the volume of the elements rather than their mass , and we can easily make that change by using Equation 1.1 , ρ=m V/ ，where ρ is the density of the object and V is its volume . We want this expression in its differential from ρ=dm dV/ because the volumes we are dealing with are very small . Solving for dm=ρ dV and substituting

Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.5 Calaulation of Moments of Inertia 此段課文講的是「慣性矩」，說明了慣性矩可以利用積分求出。

站在數學的角度來看，

(10.17) 為區域面積定義，這在高三數學選修 II 中已有教授。而後面有利用變數變換求不定積分的式子，此即非高三數學選修 II 的教授內容了。

p.301 p.302

the result into Equation 10.17 gives I=

∫

ρr dV2

Proof of the Parallel-Axis Theorem (Optional) Because this element is a distance r= x²+y² from the z axis , the moment of inertia about the z axis is I=

∫

r dm² =

∫

(x²+y²) dm

圖 4.2.1.11 普物文本 Fundamentals of Physics , 7^th，p.305

' CM

x=x+x and y= y'+y_CM . Therefore ,

2 2

CM CM

[( ' ) ( ' ) ] I=

∫

x +x + y +y dm

∫

[( ')x ²+( ') ] y ² dm + 2x_CM

∫

x dm' + 2y_CM

∫

y dm' + (x_CM² +y_CM² )

∫

The first integral is , by definition , the moment of inertia about an axis that is parallel to the z axis and passes through the center of mass . The second two integrals are zero because , by definition of center

Chapter 10 Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

10.5 Calaulation of Moments of Inertia

此段課文主要在證明平行軸定理。若已知物體對通過質心之軸的慣性矩，則對任何與該軸平行之軸的慣性矩皆可利用平行軸定理求得。我們可以看到圖形中在計算 r 時，利用² 了畢氏定理，即

r2=( 'x +x_CM² )+( 'y +y_CM² )

，由於第一個積分式表示成 I ；而第二個積分式_G 等於零，因為 z 軸通過物體的質心，亦即

' ' 0 x dm= y dm=

∫ ∫

^，最

後，第三積分式表示物體全部的質量。因此對 z 軸的慣性矩可寫成

I=ICM+MD

在高中數學知能的角度來看，此一算式的證明推導，並沒有使用到太艱深的積分技巧，相信高三數學選修 II 的知能可以面對。

p.304

在文檔中國立中央大學 (頁 70-89)

第 4 章 研究結果分析

4.2 各課程文本分析結果

4.2.1 普通物理文本分析

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∑

∫

lim

∫

∑

∫ ∑

∫

∫

∫ ∫

∫

2 1 2

) 1

(

−

=

−

= ∫

∫

∫

∑

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∫

∑

∫

∫

∫

∫

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∑ ∫

∫

∫

∫

∑

∑

∑

∑

∑

∫

∫

∑

∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

第 4 章研究結果分析