第 4 章 研究結果分析
4.2 各課程文本分析結果
4.2.3 經濟學文本分析
為發散。
分析此本書籍過後可以發現，若學生以高中微積分的觀念來面對這門科目，尚不足 以完全理解，所有數學的式子與微積分有直接相關的雖並不算多，但是卻有高三數學選 修 II 中沒有學習過的內容，其中包含了歐拉數 e 的使用，廣義積分的觀念，而這些內 容均是大一微積分才會學習到的內容。尤其我們觀察到統計學一門課，在整本書中首次 遇到與微積分有直接相關的式子即是積分式，以此書為例，出現在第四章當中，若是以 授課大綱的進度來查詢，合理的預測統計上到第四章應該只是上學期的一半左右，而此 時，修大一微積分的學生進度應該還沒上到積分的部分，如此一來，修統計的同學若高 中沒有學過微積分，在統計課程中該如何理解？對於高中數學 95 暫綱和 99 課綱，除 了應將選修數學 I 列為統計學的預備知識內容之外，對於微積分的認識也很重要。
由統計學的文本分析可以發現，由於統計學的內容與微積分有直接相關的部分為積 分的內容居多，因此若教授微積分的課程進度可以配合統計一門課，在微積分課程中的 微分部分是否可以將進度加快或省略，在積分的教學上說明的更加清楚些。而也因「統 計學」經過此文本分析後證實其與微積分有直接相關，因此建議表 3.2.16 中大一上必 修統計之學系，於招生時數學採計上應採計數甲，如：D38、E09、E18、H07、H10、
H11、M19、M20、N32、N44、Q13、Q15、Q20、Q22，以上十四個學系採計數乙，建 議未來採計數甲；E09、H11、N16、N32，以上四個學系建議未來應規定學生於大一上 必修微積分。
共有 31 個學系選用本書，分別是：
A13、A14、A19、A49、E15、E16、E18、E19、E21、E22、G05、G06、H04、H05、
H06、H07、H08、H10、H12、M13、M18、M20、M21、M22、M25、M26、M49、O20、
P17、Q17、Q18
詳細校系編號對照請見表 3.2.17
在整本書中，我將有限的數學式記載下來，數學式子以高三數學選修 II 的微積分教 材內容作為記載重點，能運用高中以下數學教材內容即可理解的數學式不記載或簡述；
並詳實記載出處頁碼。
在自序 (p.14 ~ p.15) 中提到：「就經濟學出學者而言，我們認為直覺與興趣的培養，
重於數學技巧的訓練。因此，原則上我們不在正文中使用微積分。但簡單的微分計算某 些經濟概念的了解，極有幫助；我們將這些以及其他相關的重要觀念，放在各章附錄中 說明。」因此，將各章附錄中的微積分內容整理起來，而如在課文中有微積分的觀念或 數學式亦作整理與分析。
以下是文本中數學式的整理與分析：
上冊
內容 分析 頁碼
切線斜率在微積分裡是用 dy/dx 來表 示，它也是經濟學「邊際」分析的概念，
如本章生產可能線之斜率代表的，就是 邊際機會成本。
第1章 經濟學的本質 附錄
課文中提及邊際機會成本即為生 產可能線的斜率，其實此即為成本 函數的一階導數。
p.42
點彈性：
弧彈性是計算價格變化 ( P∆ ) 有一段 距離時的彈性值。如果價格是微量的變 動，我們就可用微積分裡的微分符號 dP 來替代 P∆ ( dP 是指 P 的變動趨近 於零)。由於是微量變動，相當於在一點 上的變動，故所計算之彈性就稱為點彈 性 (point elasticity)。既是在一點上的彈 性，所以也沒有選擇 P 或 1 P 的問2 題，其公式如下 (需求彈性之公式，照 舊在前面加一負號，以便使 εD 成為正 值)：
第 4 章 價格彈性
4.1. 價格彈性的意義與衡量 此段課文中的 εD 表示需求彈性 (需求的價格彈性)，而 εS 表示供 給彈性 (供給的價格彈性)。
由此段課文可以解釋需求彈性為 需求函數對價格微分乘以 PD
Q ，其 中 P 代表價格，Q 代表需求數D 量；而供給彈性為供給函數對價格 微分乘以 PS
Q ，其中 P 代表價格，
Q 代表需求數量。 S
p.101
/ /
D D D
D
D
dQ Q dQ P
dP P dP Q
ε = − = −
/ /
S S S
S
S
dQ Q dQ P
dP P dP Q
ε = =
彈性介在零與無窮大之間
一般而言，彈性與斜率並無一定關係，
但有幾個例外。首先，當供給或需求為 一水平線時，斜率為零，價格彈性則為 無窮大。
圖 4.2.3.1 經濟文本，經濟學理論與實 際，四版，p.103
而上圖表示的是，在價格不變之下，數 量可以有極大的變動，依彈性公式：
價格的變動率 數量的變動率 ε =
因分母為零，故 ε =∞。
4.2 價格彈性、斜率及總支出的關 係
這裡提到了無窮大的字眼，由於
價格的變動率 數量的變動率
ε = ，在價格不變的
狀態下，分母等於零，而此時
∞
ε = 所運用的觀念為極限的觀 念，若轉化為數學式即為：
lim0 P
Q P
∆ →
∆ = ∞
∆ ，然而在文本中並未如 此介紹，但此一內容確實運用極限 的概念，只是課文中選擇用較為直 觀的方式敘述。
p.103 p.104
需求彈性的點彈性定義為：
Q P dP
D dQ
− ε =
總支出 (PQ) 與價格 (P) 的變動關 係，乃決定於 εD 值是大於、等於或小 於 1。以微分證明如下：
1 0 ) 1 (
) 1
(
<
>
>
− <
=
+
= +
=
D
Q D
dP dQ Q Q P dP PdQ dP QdP dP dPQ
ε
ε 如果
亦即，當需求無彈性時 0 / ) ( , ) 1
(εD < d PQ dP> ，表示 P 與 PQ
第 4 章 價格彈性 附錄
此為需求彈性與總支出關係的數 學證明，此段課文證明了由需求彈 性的值，決定了總支出與價格的變 動關係。
在微分式的觀念上，使用了兩函數 積的導函數觀念，即：
若 f 與 g 皆為可微分函數，則 f g 也為可微分函數，且
[ ( ) ( )]
d f x g x dx
p.115
呈同向變動；
0 / ) ( ,
1 =
= d PQ dP
D 時
ε ，表示無論 P
怎麼變動，PQ 乘積都固定不變；如果是 有彈性的需求(εD >1)，則
0 / ) (PQ dP<
d ，表示 P 與 PQ 反向變動。
( ) d ( ) ( ) d ( ) f x g x g x f x
dx dx
= +
而此一觀念在高三數學選修 II 中 已有教授。
經濟學的彈性是一種指標，用來衡量 X 變動引起 Y 變動的敏感度。一般的公式 可寫成：
) /(
) /(
/ / X Y
2 1
2 1
X X X
Y Y Y X
dX Y dY
+
∆
+
= ∆
=
或
的變動率 彈性 的變動率
X 與 Y 可以是任何兩個有因果關係的變 數。價格彈性是設 X 為價格，Y 為需求 量或供給量。
所得彈性 (income elasticity) 是衡量消 費者所得變動引起需求量變動的彈性。
其定義為：
) /(
) /(
/ /
2 1
2 1
I I I
Q Q Q
I dI
Q dQ
+
∆ +
∆
=
= 或
所得變動率 需求量變動率 所得彈性
交叉彈性 (cross elasticity) 是指某一物 品 (如 X) 價格變動引起另一物品 (Y) 需求量變動的彈性。其公式為：
x x
y y
P dP
Q dQ
/ /
X =
= 價格變動率 Ｙ需求量變動率 交叉彈性
第 4 章 價格彈性 附錄
在此段課文中定義了彈性這個名 詞，而運用微分符號則有利用瞬間 變動率來說明定義的意謂。
然而，瞬間變化率的觀念在高三數 學選修 II 中已有教授。
p.115 p.116
第 5 章 效用與消費者的選擇 5.5.3 價格的變動與需求線的導出 在課文中提到了價格改變了預算 線，而效用極大點就隨之改變，最 後利用無異曲線與預算線切點的 改變導出需求需線。
在這圖中我們可以看到切線的概 念，然而在附錄中我們也可以看到 無異曲線的斜率利用導數的方式
p.140
圖 4.2.3.2 經濟文本，經濟學理論與實 際，四版，p.140
作定義。
「聖彼得堡矛盾」是說有一種賭局如果 丟一個銅板出現一次正面 (
2 1 機率)
時，你可得二元；如連續出現兩次正面 (4
1機率)，你可「再」得四元；如連續
出現三次正面 ( 8
1機率)，你可在獲八 元；…，一直到無窮次。此一賭法你的 現金期待值為無窮大，因為：
∞
= +
⋅ +
⋅ +
⋅ ...
8 8 1 4 4 1 2 2 1
第 5 章 效用與消費者的選擇 附錄
這段課文站在數學的角度看提到 了機率、期望值與無窮級數和等概 念，其中，如同
∞
= +
⋅ +
⋅ +
⋅ ...
8 8 1 4 4 1 2
2 1 這種發散
的級數，在高中數學教材中已有教 授。
p.148
在無異曲線分析法中，邊際替代率 (MRS) 代表無異曲線上的斜率，可以用 微分符號寫成：
0
MRS dY U U
= −dX
= 等式右邊下標 U =U0 表示在 Y 與 X 變動時，效用 (U) 維持在 U0 水準不 變。
第 5 章 效用與消費者的選擇 附錄
在
0
MRS dY U U
= −dX
= 式子中可 以看到一階導數的觀念，這裡指的 X 與 Y 是購買的物品，而根據物 品價格與購買數量可以構成預算 線，預算線與無異曲線的切點代表 效用最大的 XY 組合點。
站在數學的觀點來觀察，此式子僅 需簡單的微分觀念即可理解，而此 在高三選修數學 II 中已有教授。
p.149
從效用函數 U =U(X ,Y) 可推得 MRS 實為 X 與 Y 邊際效用之比。亦 即，當 U =U0 時，對效用函數做全微 分，可得：
Y dY dX U X dU U
∂ +∂
∂
= ∂
0 = 0
經過移項後，
y x
MU MU Y
U X U U dX U
dY =
∂
∂
∂
= ∂
− =
/ /
0
第 5 章 效用與消費者的選擇 附錄
此段課文主要是欲推導「效用極大 時，MRS (邊際替代率) 等於價格 比」。
站在數學的觀點來看在推導的過 程中提到了「全微分」，這對於高 三數學選修 II 來說是一個陌生的 字眼，對於沒有修過大一微積分的 學生來說是個難題。
p.149
或
y x
MU
= MU MRS
U0
U = 也就是 dU =0。又因 U 對 X 的偏微分 (∂U/∂X) 就是 X 的邊際效 用，而且 MRS 的定義，就是效用不變 下的 −dY/dX。如此證明了邊際替代率 即為 X 與 Y 的邊際效用之比。
另外，預算線的斜率就是 X 與 Y 的價 格比。因為預算線(I =Px⋅X +Py⋅Y)是
假設所得固定 (I = I0) 且P 與x P 不變y 下，X 與 Y 數量間可能之轉換情形，
故對它的全微分可寫成：
dY P dX P
dI0 = 0= x⋅ + y⋅ 移項改寫成：
y x
P P I I dX
dY =
− =
0
是預算線的斜率。
第 5 章 效用與消費者的選擇 附錄
這裡的推導目的與上相同，此段課 文主要在推導的是預算線斜率，而 在數學的角度來觀察，推導過程中 與上相同地也提到了全微分，這並 非高三數學選修 II 中有教授的內
容。 p.149
因此，無異曲線與預算線之斜率分別是：
無異曲線斜率
y x
MU MU U
dX dY =
−
=
0
預算線斜率
y x
P P I dX dY =
−
=
0
因為效用極大必然是在無異曲線與預算 線相切點，即兩斜率相等時，因此：
MRS
y x
y x
P P MU MU =
=
表示在效用極大點時，消費者的 XY 邊 際替代率等於市場上 XY 價格之比。
第 5 章 效用與消費者的選擇 附錄
此段課文為上面推導後的結論，主 要結論是「效用極大時，消費者的 MRS (邊際替代率) 等於市場上 XY 的價格比」。
單觀察結論來說，僅是利用一階導 數的觀念在定義斜率，但是前面我 們看到推導過程中有提到「全微 分」的字眼，這並非高三數學選修 II 中有教授的內容。
p.149
邊際產量 (MP) 是 TP 線上對應點的 切線斜率值。例如，L 時的 M P 為 a1 點切線斜率=L1/L0L1 =a'L1。因為 a 點 是 T P 線上的轉折點，故其切線斜率最
第 6 章 生產者決策的基礎 6.2 生產理論
此段課文中主要說明了邊際產量 (MP) 是 TP 線上對應點的切線斜
p.164
大，M P 也就最大。L 點上的 TP 切線3 斜率為 0，c 點左方各點之切線斜率均大 於 0、右方之切線斜率小於 0，此分別對 應 M P 在L 處交於橫軸及左右為正、負3 值。b 點之切線斜率 (MP) 等於該點與 原點連線斜率 (AP)，故 'b 點上
MP AP= 。
率值。而對於數學的觀點來說，提 到了切線斜率值，即需要一階導數 的觀念，而此一觀念在高三數學選 修 II 中已有教授。
MC 則是 TC 上對應點的切線斜率。因 為 a 點為 TC 線的轉折點，因此Q 乃成1 為 MC 的最低點 ( a’ 點)的產量。Q 水2 準下，AVC 等於 MC 且為 AVC 線的最低 點(b’ 點)，因為 b 點的切線剛好是 b 與 C 的連線。0 Q 水準下，AC 等於 MC 且3 為 AC 線的最低點 ( d’ 點)，因為 d 點的 切線正也是 d 點與原點的連線。
第 6 章 生產者決策的基礎 6.3 成本分析
此段課文主要說明 MC 則是 TC 上對應點的切線斜率，其中 MC 代表邊際成本 (marginal cost)，而 TC (total cost) 代表總成本，邊際成 本指的是每增產一個單位產品 時，總成本的增加額。
在數學的觀點來看，提到了切線斜 率值，即需要一階導數的觀念，而 此一觀念在高三數學選修 II 中已 有教授。
p.170 , p.171
利潤 (π) 是總收益 (T R) 與總成本 (TC) 之差，即：π =T R−TC
完全競爭廠商因為是價格的接受者，價 格既動不了，故它求利的方法，就是選 擇一個使π最大的產量 (Q )。從邊際分* 析的觀點，利潤最大的產量，必須是一 個無法再用改變產量來增加π的產量。
以微積分的概念，就是 π 對 Q 一階 微分要等於零：
dQ C dT dQ
R dT dQ
dπ =0= −
， 或0=M R−M C， 或M R=MC
Q 對 T R 與 T C 的微分，就是 T R 與 T C 線的斜率，也就是 M R 與 M C。因此 利潤最大的條件，其實也就是 T R 與 T C 之斜率相等。T R 與 T C 的垂直距離就 是利潤(或虧損)。利潤最大時，就是 T R 與 T C 之切線斜率相等時，因為此時兩
第 7 章 競爭市場的供給線 附錄
這裡提到的完全競爭市場理論中 提到，完全競爭廠商是價格的接受 者，也就是價格是沒辦法更動的，
這在實際的應用方面，除了農業勉 強算是這方面的產業之外，其他領 域很難找到類似的例子。
課文中主要在說明利潤最大產 量，在數學的觀察上僅是用了簡單 的一階導數概念，而此一觀念在高 三數學選修 II 中已有教授。
p.210