學生在 DGE 下學習幾何知識時，往往會透過操弄圖形，觀察圖形的變 化和思考變化的意義。由實驗的資料可以發現學生在幾何探索的過程中，的 確會受到拖曳行動、動態表徵和思考實驗影響。本節分別就思考實驗引導拖 曳行動及拖曳行動產生動態表徵，以及動態表徵激發思考實驗三個面向來分 析與討論三者的交互作用情形。
一、思考實驗引導拖曳行動
在幾何探索活動中，當學生作思考實驗後，會基於以下兩個理由進行拖 曳行動：
1.為了確認推論的想法是否正確而產生拖曳行動來驗證猜測或物件的 動態行為。
2.由於所面對的幾何情境過於複雜，導致學生無法僅靠思考實驗來驗證 想法或進行推論。
以下將以 F1 與 F2、A1 與 A2 和 B1 與 B2 的對談過程為例來說明上述 兩個現象：
F1： 可能會有一個軌跡讓角平分線都交於一點
F2： 交於一點，就是四點同圓嘛。啊！不是，是距離，應該是有一個內切圓。為什麼會交 一點？就這個點到每邊的距離都一樣，有內切圓。以前好像有看過這種東西。如果有 一個內切圓….
學生 F1 的猜測引起學生 F2 開始作思考實驗，依據「角平分線交於一 點」的假設，運用數學知識(角平分線的性質)推論出「有內切圓」的結論，
並以手勢表達想法。思考實驗引起他去使用 GSP 工具盒拖曳出一個圓，並 產生連結拖曳使四邊形外接或內切此圓來檢驗猜測「當四邊形有外接圓，還 是有內切圓時，才會使角平分線交於一點。」由上述的對話可知他人所做的 猜測會影響個體去作思考實驗，這裡所產生的拖曳模式是在檢驗思考實驗所
產生的猜測。
A1: 等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰梯形…
等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊會一樣。
A2: 哪有
A1: 我做給你看(拖曳出一個圓) A2: 在裡面嗎
A1: 你看。等腰梯形你看唷！這兩邊會一樣長，這兩邊會一樣長 A2: 所以會交一點
A1: 對啊一定啊。一定是切線。就是你圓裡面隨便找四個點，也不是說四個點，就是一個對 稱點。這兩支過直徑的點，就這兩點，過直徑的點。然後兩邊找一個對稱的，對稱這條 線的點~切線劃出來的一定是等腰梯形。因為這邊等於這邊，這條線就是角平分線啊！
當 A1 經由思考實驗推論出「等腰梯形裡頭有一個圓」時，A2 對此推 論感到疑惑。A1 為了讓 A2 相信他的推論結果，產生連結拖曳等腰梯形使 其內切一個圓，藉由此拖曳模式所形成的動態表徵來驗證他的想法。
B1: 這樣算是一個點嗎
R: 那你把角平分線 SHOW 出來 B2: 真的是一個點耶~...
R : GSP 所有功能都能使用包括計算也可以 B2 : 計算？所以我們可以計算角度囉！
B1 : 好~你要算哪個角度
B2 : 你先移回來原來的圖形，乾脆裡面的角算一算好了。你先把它變一個點 B1 : 你是要讓 EFGH 變一個點嗎
B2 : 往下往下，C 往下~你要讓這四個點在一起，可是為什麼有角度啊 B1 : 對啊~為什麼啊
B1 不確定他所看到的圖形是否角平分線交於一點，使得 B2 提議去計
它們之間有何關係。接著產生引導拖曳使得四邊形 ABCD 的角平分線交於 一點，但所顯現的動態表徵令他們感到困惑。由 B1B2 的活動中可知即使拖 曳圖形後，情境仍過於複雜使他們無法順利推論，找到問題的答案。
從學生的活動資料可發現思考實驗引導拖曳行動的機制(圖 4-2-15)：學 生作思考實驗產生猜測或推論結果後，為了再次驗證推論或面臨複雜的幾何 情境而產生拖曳行動。
圖 4-2-15 思考實驗引導拖曳行動的機制
二、拖曳行動產生動態表徵
Olivero(1999)整合拖曳認知模式和其理論架構所形成的拖曳與推理關 係模型，從認知功能上可區分出七種拖曳模式隨著上升過程(實驗歸納)到下 降過程(演繹推理)有層次之分，即層次從漫遊拖曳模式提昇到拖曳檢驗模 式。本研究發現隨著拖曳模式的不同功能所產生的動態表徵具有認知功能的 層次區別。從實驗資料中顯示學生在幾何探索過程所發展的拖曳模式只有五 種，並未發展有界拖曳和線拖曳。這意味學生在幾何探索過程並非都是以這 七種拖曳模式探索幾何圖形，拖曳模式可以幫助我們分析學生的解題策略和 認知行為。隨著探索的目的或處理的幾何問題不同，學生會發展出其所需的 拖曳模式。以下敘述不同拖曳模式產生的動態表徵類型：
1.漫遊拖曳形成「無結構圖形」，即不具有某種數學性質的圖形，例如：
學生想觀察四邊形 ABCD 會產生什麼變化，而隨意地拖曳頂點，產 猜測
幾何情境
思考實驗 拖曳行動驗證
複雜化
生出任意的四邊形。
2.引導拖曳形成「符合特定結構的圖形」，例如：學生為了檢驗猜測而 去拖曳四邊形 ABCD，使其變成平行四邊形。
3.無聲軌跡拖曳形成「蘊含某些不明顯的數學性質的圖形」，即圖形蘊 含某種幾何性質，但使用者在拖曳的過程中還觀察不到。例如：學生 在拖曳圖形時，動態表徵顯示角平分線交於一點，代表裡頭蘊含四邊 形有內切圓，但此時他還看不到此幾何性質。
4.連結拖曳形成「結構不完整的圖形」，即圖形只有滿足部分條件，但 如果再拖曳此圖形時，它的結構就會受到破壞。例如：學生為了檢驗 角平分線交於一點時，是否有內切圓，於是將圓連結到四邊形內部，
只要角平分線交於一點，此圓都會是四邊形的內切圓。
5.拖曳檢驗形成「具有特定幾何性質的結構化圖形」，即無論怎樣改變 圖形，它都會保持某種幾何性質，例如：學生拖曳滿足角平分線交於 一點的四邊形來觀察是否其內部都有內切圓。
從漫遊拖曳所產生的「無結構圖形」到拖曳檢驗產生的「具有特定幾何 性質的結構化圖形」，我們可知動態表徵由不具有數學結構的無結構圖形發 展到具有特定幾何性質的結構化圖形，這意味者隨著拖曳模式的層次愈高，
發展出來的動態表徵也愈有結構。以下是拖曳模式所產生的動態表徵的整理 (圖 4-2-16)：
圖 4-2-16 動態表徵類型 拖曳模式
漫遊拖曳 引導拖曳 無聲軌跡拖曳
連結拖曳 拖曳檢驗
無結構圖形 符合特定結構的圖形
蘊含某些不明顯的數學性質的圖形 結構不完整的圖形
具有特定幾何性質的結構化圖形
三、動態表徵激發思考實驗
動態表徵是由拖曳行動和物件的動態行為所產生，學生經由觀察圖形的 變化和模擬動態行為的過程中激發他們作思考實驗。從學生的幾何探索過程 可知動態表徵激發思考實驗過程中主要的動態表徵類型有三種：
1.具有某些特定數學性質的圖形：此動態表徵與個體過去所認知的圖 形產生聯結，激發個體喚起舊經驗來推論物件的動態行為或產生猜測。
2.蘊含某些不明顯數學性質的圖形：此動態表徵外顯的動態行為喚起個 體的舊經驗來 推論出內隱的幾何性質。
3.認知衝突的圖形：此動態表徵與個體所認知的圖形產生衝突，喚起舊 經驗來解釋衝突的原因。
底下將以學生的對談過程描述這三種動態表徵類型如何影響思考實驗。
1.動態表徵類型為「具有某些特定數學性質的圖形。」
圖 4-2-17
R: 現在你看到什麼
J: 就…如果外面是對角相加是 180 度 裡面相加也是 180 度 R: 嗯
J: 就是外面如果是外接圓的四邊形，裡面也是。但不相似，然後邊長沒有關係 面積也沒有關係
當 J 先計算四邊形 ABCD 和 EFGH 的內角角度後，觀察一陣子再畫出 四邊形 ABCD 的外接圓(圖 4-2-17)。而研究者詢問他正在觀察什麼現象時，
他表示四邊形 ABCD 對角相加是 180 度時，EFGH 也是 180，且進一步說
H G F E A
B
C D
H F G E
B A
D
C
明這現象代表 ABCD 如果有外接圓，則 EFGH 也有。這顯示 J 看到此動態 表徵，使他經由觀察到四邊形對角相加為 180 後，推論出此四邊形會有外 接圓。此外從這個例子可得知會激發學生作思考實驗的動態表徵並非只是 圖形表徵，配合數值表徵的圖形也能產生激發的作用。
圖 4-2-18
F2： 移動 A 時，只有AD會動。AD動，那麼這三條都會動
F2 在觀察動態表徵(圖 4-2-18)時，同時在心智中模擬物件的動態行為，
進行思考實驗，因而提出「移動 A 時，只有AD會動」的猜測，並且利用手 勢操弄他的動態心像，推論出「A、B和D的角平分線也會動」的宣告。
F1： AB CD// ，那麼GF//HE
F2： 不一定啊！可是這樣子、這樣子、這樣子
F1： GF 就平行 HE，你這樣平移它的話，內錯角就相等 F2： 如果 AB 跟 CD 平行，就變成 HE 跟 GF 會平行
動態表徵(圖 4-2-18)引起 F1 在心智中模擬物件的動態行為進而產生
「AB CD// ，那麼GF//HE」的猜測，且開始進行思考實驗，引入數學知識 來驗證猜測。F2 和 F1 互相討論並利用手勢來操弄他的動態心像，且推論出 與 F1 相同的結論。
H F G E
B A
D
C
HG FE
D A
B
C
圖 4-2-19
F2： 角平分線到兩個邊距離會相等，所以這個交點到這邊會相等，到這邊會相等。如果把 B 跟 C 合在一起的話，那這四個點就會變一點。因為把 B 跟 C 拉很近，就會變成三角 形，E、F、G、H 都是內角平分線交點，所以交點就是三角形的內心。一個三角形只 有一個內心嘛，所以這樣子有四個交點，如果變成一個平面三角形，那這四個點就很 接近，變成一點
F2 觀察動態表徵(圖 4-2-19) 後，運用數學知識推論出假設 1「如果把 B 跟 C 合在一起的話，那這四個點就會變一點。」，並進行思考實驗，想像物 件的動態行為，藉由在心智中模擬操弄動態心像將假設 1 修正為假設 2「如 果變成一個平面三角形，那這四個點就很接近，變成一點。」
2.動態表徵類型為「蘊含某些不明顯數學性質的圖形。」
圖 4-2-20
F1： 可能有一個軌跡是所有點都交於一點。