A
DC
第三節 實驗歸納與演繹推理之間的互動關係
本節依據文獻探討中所形成的幾何推理分析工具來分析受測學生在 DGE 下進行實驗歸納和演繹推理兩種論證方式的互動關係。受測學生在 DGE 下從幾何實驗中發展實驗歸納的論證，並藉助演繹推理方式轉化成形 式證明。在幾何實驗與形式證明之間，如同前節所述，思考實驗扮演著仲介 橋接的角色，此三者組成 DGE 幾何論證的關鍵元素。在幾何實驗、思考實 驗和形式證明的運作過程中，受測學生自然產生猜測、驗證和證明數學命題 的幾何推論過程。
一、 DGE 幾何論證模式
本小節主要從受測學生活動過程的資料分析學生在 DGE 論證的三元 素，幾何實驗、思考實驗與形式證明間轉化過程，並由此而構造在 DGE 下 的幾何論證模式。
(一)幾何實驗─溯因推理─思考實驗
學生在幾何實驗歸納或猜測某一命題後，通常會有溯因推理探究的過渡 過程，再進行思考實驗。以下摘錄 F1 與 F2 的活動片段為例，闡明此過渡 過程。
圖 4-3-28
F1: 我發現問題了，當它變成三角形的時候，角平分線並沒有交於一點。因為它做角平分線 是有包括 D，如果 D 跟 C 在一起的時候，A 跟 D 還是會做角平分線。但它們有兩條線 是向外做的，並不是向內的，所以它們不會交於一點。反而交於一點是某些點會交於一 點，而且不只一個點，所以可能會有一個軌跡是所有點都交於一點的。
F2: 交於一點，就是四點同圓嘛。啊！不是，是距離，應該是有一個內切圓。為什麼會交一 點？就這個點到每邊的距離都一樣，有內切圓。如果有一個內切圓，…
F1 在利用漫遊拖曳探索圖形的過程中，他觀察到 ABCD 有兩個頂點重 合時，角平分線的變化情形(如圖 4-3-28)。於是他開始以引導拖曳方式將 ABCD 拉成三角形來確認自己的觀察現象，最後歸納出「如果 D 跟 C 在一 起的時候，A 跟 D 還是會做角平分線」的結果(實驗歸納驗證)。接著他又漫 游拖曳 ABCD，發現到角平分線交於一點的情況。因此開始使用無聲軌跡拖 曳，使 ABCD 保持角平分線交於一點的條件下去拖曳 ABCD 來找尋為何「某 些點會交於一點，而且不只一個點」的原因，推論出「可能有一個軌跡是所 有點都交於一點」的猜測(溯因推理)。而此猜測激發 F2 進行(轉換驗證)將「角 平分線交於一點」轉換為「四點同圓。」接著再進行(結構驗證)，以角平分 線性質推論出「四邊形應該是有個內切圓。」此外我們可以發現到 F1 與 F2 進行的幾何實驗所得到的結果和溯因推理之間並無顯著的關係，但溯因推理 會使學生過渡到思考實驗。
(二)幾何實驗─操作型演繹推理─思考實驗
學生從幾何實驗過渡到思考實驗的過程中，除了溯因推理的推理方式 外，還顯現出操作型演繹推理方式。此推理方式主要是學生透過實驗操作輔 助其進行演繹推理驗證，不僅僅是實驗歸納操作的結果而已，在此以 F1 與 F2、A1 與 A2 及 H 為例，說明此現象。
F2：先做平行線
R：你們現在想把它做什麼
F2：做輔助線。就是我們要做成讓它平行，但不知要怎麼讓它平行，所以先做輔助線。所以 要一個動作是不是？好像是 MOTION
R：你要移動的話，應該是 MOVEMENT
F2: MOVEMENT。再用這條輔助線對這一條做平行線 這條和這條的交點。然後一樣這個 對這個做 MOVEMENT，然後這個就是平行四邊形，然後就看出來了….怎麼看。去量 它的角就好了，四個角都量一量。怎麼看？
F1：其實也不一定，我看一下。因為這個角等於這個角，這個角等於這個角，所以這兩個角 知道所以這兩個角就知道。因為它們平行，所以這個角就跟這個角一樣，這個角就跟這 個角又一樣，所以這個角就跟這個角一樣。同理，所以 EFGH 是平行四邊形。
F1 在活動二提出「AB CD// ，那麼GF//HE」的猜測，而 F2 在活動三 利用結合平行四邊形的性質和 GSP 的功能，將 ABCD 變成平行四邊形來驗 證「如果 ABCD 是平行四邊形時，EFGH 是平行四邊形」(操作型演繹推理)。
F2 想利用測量來確認 EFGH 是否為平行四邊形(幾何實驗)。但 F1 認為不需 要測量，所以他利用手勢和語言進行推理證明(結構驗證)。
A1: 等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰梯形…
等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊會一樣。
A2: 哪有
A1: 我做給你看(拖曳出一個圓) A2: 在裡面嗎
A1: 你看。等腰梯形你看唷！這兩邊會一樣長，這兩邊會一樣長 A2: 所以會交一點
A1: 對啊一定啊。一定是切線。就是你圓裡面隨便找四個點，也不是說四個點，就是一個對 稱點。這兩個過直徑的點，就這兩點，過直徑的點。然後兩邊找一個對稱的，對稱這條 線的點~切線劃出來的一定是等腰梯形。因為這邊等於這邊，這條線就是角平分線啊！
A1 進行思考實驗來證明他的猜測時，A2 產生懷疑。於是他使用 GSP 的畫圓工具在 ABCD 的內部畫一個圓驗證他的推論是正確的(操作型演繹推
理)，並再進行一次思考實驗說明他的想法。
圖 4-3-29
R: 那你想要看什麼
H: 想要看什麼條件下會交一點？梯形 R: 現在有什麼會交於一點
H: 梯形~鳶形~正方形。等腰梯形會變鳶形 角度算一算也是……
R: 那你看看你原本一開始的那個圖 那你能拉到除了那幾個以外嗎 H: 除了那六個以外
R: 對啊 除了那幾個以外
H: 再找出其他的嗎…….好像某個軌跡上都會是一點，角平分線性質。(分別畫出以 G 和 H 為圓心的內切圓，畫出角平分線到兩邊的距離線段)。這樣又變結果論了。因為它四個交 於一點，都是角平分線啊！所以到每邊距離都一樣 自然就有一個內切圓
H 最初藉由觀察特殊圖形發現到角平分線交於一點的情形(實驗歸納驗 證)，而當研究者表示「那你能拉到除了那幾個以外嗎」後，開始觀察其他 的情形，產生無聲軌跡拖曳提出「好像某個軌跡上都會是一點」(溯因推理)。
接著再畫出以 G 和 H 點為圓心的內切圓和 G 點到三邊等距的線段(圖 4-3-29)(操作型演繹推理)，最後運用角平分線性質推論出角平分線交於一點 時會有內切圓(結構驗證)。
G F E H
A
B C D
(三)形式證明和思考實驗穿插進行
受訪學生在進行形式證明的過程中會產生思考實驗來釐清或驗證自己 的證明想法，並於推論出結果後，繼續作形式證明。下述為 F1 與 F2 在論 述命題「四邊形對邊和相等的充要條件是四邊形的角平分線交於一點」的活 動片段。
F1: 我是想說如果 EFGH 不全重合的話，那是不是要討論以下幾種情況：四點重合、三點重 合。
R: 你是說如果想證這個的話..然後假設它不完全共點 然後要討論這幾種 CASE F1: 然後全部發現 AB+CD 就不等於 BC+AD..理論上
F2: 不可能三點重合，一點不重合吧！如果是三點重合，表示說 例如是 EFG 的話 那表示 說這個角跟這個角的角平分線交點 跟這個角跟這個角的角平分線交點是同一個點….
那你這個點到三個邊距離相等 你如果三個點那表示，而且兩個點也不可能(手勢)
由於 F1 與 F2 對於從「對邊和相等」推論到「四邊形角平分線交於一 點」的證明方法毫無頭緒，因此研究者提示他們使用反證法。而 F1 在進行 活動七時先於紙本上推論 EFGH 四點重合、三點重合或兩點重合的情況後 (形式證明)，才提出這個問題。F2 在聽完 F1 的想法後，便以手勢筆劃螢幕 上的圖形來推翻 F1 所作的推論(結構驗證)。推論結束後，他們繼續思考證 明的方法。
除了上述的研究發現外，就學生在此過渡過程的推理目標來看，可推知 學生進行思考實驗的目的主要是在對一個猜測、證明想法或不確定性命題進 行推論來確認它們的正確性；而進行形式證明的目的則是學生對於一個他們 確認有效的命題來作邏輯證明，這裡的有效命題不一定是數學上所公認正確 的命題。因此，我們也可從命題有效性來區分學生是在作思考實驗，還是形 式證明。
從學生整體的幾何探索活動來看，沒有任何一組的學生會從形式證明過 渡到幾何實驗，即於進行形式證明的過程中，不經過思考實驗，直接進行幾
來驗證性質或定理。而形式證明是脫離例子，主要以數學符號進行推理。因 此，學生在作形式證明時，已經不需回到具體操作例子。
較多的學生都是從先進行幾何實驗再過渡到形式證明，但仍過渡過程需 要藉由思考實驗當仲介的角色，以下分別舉 C1 與 C2、J 的例子來說明幾何 實驗過渡到形式證明和形式證明過渡到幾何實驗的過程。
在活動七，C1C2 所證明的命題為「四邊形有內切圓的充要條件是角平 分線交於一點。」
圖 4-3-30
R: 如果它有內切圓，那麼它的角平分線會交一點
C1: 可是這樣不就…很明顯。因為你這樣這樣相等(手勢)，啊這樣這樣相等，可以反推啊 C2: 這樣不是很快就出來了嗎
R: 這樣?
C1: 對啊 因為你看這樣就結束了啊 因為….
C2: 這是角平分線，角平分線
C1: 不是不是，你做這個…因為相等，所以這個做垂直、垂直，這兩個三角形就全等 R: 你說哪個相等
C1: 做垂線..垂線相等嘛！因為共邊又直角..就相等…那不就角平分線，這樣不就可以推過去 又推回來
在一開始進行活動七的時候，C2 先畫出滿足四邊形有內切圓的圖形(圖 4-3-30)(幾何實驗)。於是 C1 依據螢幕上的圖形配合手勢找尋證明的想法(結 構驗證)，在推論期間要求 C2 用 GSP 作出交點到四邊的垂直線(操作型演繹 推理)。最後再運用三角形全等性質和角平分線性質推論出四邊形有內切
圓，則角平分線交一點(結構驗證)，並將思考實驗所得到的想法運用在形式 證明。
學生在形式證明的過程中，除了作思考實驗幫助其推理外，有時會以 具體操作方式再次探索圖形。
R: 那你用反證法 J: 反證法？
R: 正的證不過去 用反證法
R: 正的證不過去 用反證法