本節分別從拖曳行動的認知模式和動態行為作用下的表徵觀點，闡述與 分析 DGE 下幾何探索活動的相關研究。
一、拖曳的認知模式
學習者在動態幾何環境中可藉由拖曳螢幕上的圖形來探索幾何性質，
從觀察圖形變化的過程中學習幾何知識。Lopez-Real & Leung (2006)認為拖 曳如同一個能建構數學知識的互動工具，使學習者可以藉由圖形變動來觀 察幾何圖形的總體行為。拖曳行動也可以外顯圖形內部幾何物件的關係，
使個體觀察到圖形蘊含的幾何性質(Laborde，1993)。當學生在螢幕上看到 圖形變化引起他們去思考與探究幾何裡頭物件的變動關係，利用滑鼠拖曳 改變動態表徵。此拖曳行動可視為個體和軟體之間的溝通橋樑。
近年來有關學生在動態幾何環境下進行幾何探索的相關研究中，有些 學者開始聚焦在學生的拖曳行動，觀察學生如何使用拖曳來探索幾何問 題，並提出拖曳行動的認知模式(Olivero，1999；Arzarello et al.，2002)。
Arzarello et al. (2002)使用此模式(表 2-2-2)做為分析的工具來分析學生在 DGE 下探究幾何情境時所使用的解題策略，以及觀察學生在 DGE 下解決 問題過程中使用滑鼠的認知行為。
表 2-2-2 七種拖曳模式
拖曳模式 拖曳功用說明
漫遊拖曳
(Wandering dragging)
為了發現圖形中有趣的結構或規則，沒有任何計 劃且隨意地在螢幕上移動基本的點。
有界拖曳 (Bounded dragging)
移動一個半拖曳的點(此點已在某個物件上)。一 個半拖曳的點指的是此點連結在一個物件上，它 只能在它所屬的物件上移動。
拖曳模式 拖曳功用說明 引導拖曳
(Guided dragging)
為了得到特定的圖形而拖曳圖形上的基本點。
無聲軌跡拖曳 (Dummylocus dragging)
移動基本點以致於圖形保持已發現的性質；這個 點遵循一個路徑移動，即使使用者不了解它：這 個軌跡不那麼顯而易見且不會“告訴”總是不了解 它們正沿著一個軌跡拖曳的學生。
線拖曳
(Line dragging)
為了保持圖形的規則性而沿著一條線畫一些新 的點。
連結拖曳 (Linked dragging)
連結一點和一個物件且移動它到此物件上。
拖曳檢驗 (Dragging test)
為了察看圖形是否保持原來的性質而去移動可 拖曳或半拖曳的點。如果保持的話，那麼此圖通 過檢驗；如果不能保持的話，這圖形不會根據你 想要給的幾何性質而建構出來。
學生在幾何探索的最初階段會發展出漫遊拖曳、有界拖曳和引導拖曳，
主要在觀察幾何圖形，找尋圖形中蘊含的幾何性質。Furinghetti & Paola (2003) 認為漫遊拖曳在產生猜測的過程中提供學習者靈感，且它與科學實驗所使用 的經驗法則有著密切的關係。這意味學習者透過實驗操作歸納出幾何性質或 定理。
當他們發現到某些特殊的幾何圖形或物件(如：點、直線)的行為時，會 產生無聲軌跡拖曳來探究他們觀察到的現象。Olivero (1999)表示無聲軌跡拖 曳在學生的認知過程中連接了幾何圖形與性質間的關係，此拖曳模式的產生 意味著學生進入到溯因推理(abduction)的階段，即學生開始注意到圖形中所 顯現的不變性，思考不變的物件與幾何性質間的關係，並準備朝向驗證、證
線拖曳、連結拖曳與拖曳檢驗這三種拖曳模式主要出現在驗證和證明的 推理過程之中，學生此時也逐步在形成一個論證的結構，開始由觀察、發現 幾何圖形及性質的實驗歸納階段進入到驗證和確認幾何性質或猜測的演繹 推理階段。Talmon & Yerushalmy (2004)認為拖曳檢驗模式在分析學生幾何觀 念時是一個很重要的工具。鄭勝鴻(2005)也表示拖曳的功能幫助學習者檢驗 是否有依尺規作圖的方法來作圖，因為在 DGE 中如果是依尺規作圖的方式 賦予幾何圖形某種特殊的結構時，那這樣的結構在拖曳過程中仍會保留下 來。
在 DGE 下學習者通常會透過拖曳行動來外顯出自己的內在想法，這七 種拖曳認知模式分別彰顯著不同的解題策略和認知行為，所以研究者可以藉 由這些拖曳認知模式來瞭解與分析學生的思考實驗。Arzarello et al.(2002)即 利用拖曳模式分析學生的認知想法。不同的拖曳模式會產生不同的圖形變 動，這些動態表徵除了會受到拖曳行動的影響之外，還會與圖形所蘊含的幾 何性質和軟體所賦予的動態行為有關。因此，依據不同的拖曳認知模式以及 產生的動態表徵可做為觀察與分析個體思考實驗的有效事證。
二、動態行為
若將一些資訊依據它們的時間與空間的關係以動態方式呈現，就稱為此 資訊的動態表徵(Ainsworth & Van Labeke，2004)。學生在 DGE 下經由拖曳 所產生的圖形變化，即是一種動態表徵。因為在拖曳的過程會產生一個時間 序列，此時間序列會影響圖形在空間中的變動。
在 DGE 下的動態表徵除了受到拖曳行動的影響之外，也與組成動態表 徵的幾何物件的動態行為有關。Talmon & Yerushalmy (2004)定義動態行為是 在 DGE 中拖曳物件時，物件在螢幕上可能產生的變化的自由度。亦即，被 拖曳物件本身可能變動的限制條件，以及它所牽引出與相關物件變動的反 應。舉例來說，如果使用者利用 DGS 的構圖工具作出一個三角形，那麼當 他拖曳三角形的頂點時，會使得三個邊產生變化。此時頂點是被拖曳的物 件，三個邊是與頂點相關的物件。而頂點的自由度的大小取決於它是否能隨 意拉動，或是會受到邊的影響。
由於動態幾何軟體擁有動態行為的特點，使得學生在 DGE 下處理幾何 問題的時候，不只受到視覺化的圖形表徵所影響，也受到組成此圖形的幾何 物件的動態行為所影響。動態行為的特性會影響到學生構圖性理解的建構，
因為要理解一個幾何圖形的構圖結構，需考慮到工具的限制條件及數學法則 的程序性(左台益，2007)。在 DGE 下物件的動態行為會與作圖順序有關。
相同的圖形但不同的作圖順序會產生不同的動態行為，進而影響動態表徵的 變化。
在 Talmon & Yerushalmy (2004)研究中顯示學生有反序(reverse order)預 測的行為，即學生猜測或想像物件的行為和電腦所顯現的動態行為不同。從 學生具有反序預測行為這點可知軟體具有自主性，它將與個體的思維產生互 動並與個體過去對幾何圖形的認知產生衝突。當學生在 GSP 上拖曳某些物 件時，發現有些點或線段並不能如他們所願隨意地拖曳，進而引發他們去探 究和思考原因為何。當我們在分析學生於動態幾何環境下動態表徵與思考實 驗的交互作用時，亦需要注意到物件本身的動態行為所產生的作用。