一、研究建議
本研究雖然整理出思考實驗運作模式和拖曳行動、動態表徵及思考實驗 三者交互作用機制，以及幾何探索架構，但這是針對有充足數學知識和 GSP 操作經驗的數學系的學生所統整出來的結果。建議未來研究可以探究中學生 的幾何探索歷程是否也能符合幾何探索架構、思考實驗運作模式和交互作用 機制。未來可以將思考實驗進行詳細的分類以深入瞭解學生如何發展思考實 驗與它的功能為何。從學生的幾何探索過程中發現他們除了思考實驗外，學 生也會透過與虛擬第三者的對話自我對談來釐清和反思推理想法。但本研究 並未進一步探究個體與電腦及第三者之間的互動機制，以及第三者在推理過 程中所扮演的功能，所以未來研究可朝此方向作深入地探討。
由研究結果發現學生在作思考實驗和推理的過程中，兩人一組會藉由互 相討論，逐步釐清推論的錯誤或提供解題的想法有助於個體作思考實驗。不 過本研究並未深入探討兩個人的社會互動對思考實驗運作及推理的影響，建 議未來可朝此一面向進行分析。
在幾何探索架構(圖 4-2-27)中，我們可以發現學生的幾何探索歷程，經 過思考實驗、拖曳行動和動態表徵三者交互作用後，並非一定會產生猜測、
驗證和證明。所以在未來研究可以探討當學生在進行拖曳圖形、觀察動態表 徵和作思考實驗過程中，引導他們進入推理過程的因素為何。
二、教學建議
學生在幾何探索過程中，主要透過拖曳行動和觀察動態表徵及思考實驗 的方式學習幾何性質或推理證明。在幾何推理過程中，更發現思考實驗扮演 著橋接實驗歸納和演繹推理的角色。因此，建議教師在利用 DGS 佈置教學 環境時，可考慮這三個影響學生幾何學習的要素來設計課程。引導學生進行 和發展思考實驗，培養其猜測和験證的能力，協助其從實驗歸納進入到演繹 推理。並讓學生觀察與課程相關的動態表徵，鼓勵學生做猜測和驗證，進一 步分析學生推理想法和步驟，建構幾何概念。
參考文獻
Almeqdadi, F. (2000). The effect of using the geometer's sketchpad (GSP) on Jordanian students' understanding of geometrical concepts. Proceedings of the International Conference on Technology in Mathematics Education. July 2000. (ERIC Document Reproduction Service No. ED 477317).
Anapolitanos, D. A. (1991). Thought experiments and conceivability conditions in mathematics. In Horowitz. and Massey (Eds), Thought Experiments in Science and. Philosophy, pp. 87–97.
Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O. (2002). A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments. ZDM, 34(3), pp.66-72.
Balacheff, N. （ 1988 ） . ‘Aspects of proof in pupils’ practice of school mathematics’, in D. Pimm (ed.), Mathematics, Teachers and Children, Hodder & Stoughton, London, pp.216-235.
Chazan, D. (1993). High school geometry students’ justification for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 24, pp.359-387.
Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M., & Pitta-Pantazi, D. (2004). Proofs through exploration in dynamic geometry environments. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2 , pp.215-222.
Duval, R. (1995). Geometrical pictures: Kinds of representation and specific processing. In R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting Mental Imagery with Computers in Mathematics Education, pp.142-157. New York, NY:
Springer-Verlag.
Fishbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics , 24, pp.139-162.
Furinghetti, F., & Paola, D. (2003). To produce conjectures and to prove them within a dynamic geometry environment: a case study.In Pateman, N. A. &
Dougherty, B. J. & Zilliox, J. T.(eds), Proc. of the joint meeting PME 27 and PMENA, 2, pp.397-404.
Garuti, R., Boero, P., & Lemut, E. (1998). Cognitive Unity of Theorems and Difficulties of Proof, in Proceedings of the 22th PME Conference, Stellenbosch, South Africa, vol. 2 pp. 345-352.
Harel, G., & Sowder, L.(1996) Classifying processes of proving , Proceedings of the 20th PME International Conference, vol.3,Valencia, Spain, pp.59-66.
Hazzan, O., & Goldenberg, P., E. (1997). Students’ understanding of the notion of function in dynamic geometry environments. International Journal of Computers for Mathematical learning. 1. pp.263-291.
Healy, L., & Hoyles, C.(1998). Technical report on the nationwide survey:
Justifying and proving in school mathematics. London: Institute of Education, University of London.
Hölzl, R. (1996). How does ‘dragging’ affect the learning of geometry.
International Journal of Computer for Mathematical Learning 1(2), pp.169–187.
Hoyles, C., & Jones, K. (1998). Proof in dynamic geometry contexts. In: C.
Mammana and V. Villani (Eds), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Dordrecht: Kluwer. pp.121-128.
Irvine, A. D. (1991). Thought experiments in scientific reasoning. In T.
Horowitz & G. J. Massey (eds.), Thought Experiments in Science and Philosophy, Rowman & Littlefield Publishers, Inc., Savage, MD, pp.
149–165.
Laborde, C. (1993). The Computer as part of the learning environment: The case of geometry. In C. Keitel and K. Ruthven (eds.), Learning from Computers:
Mathematics Education and Technology, NATO ASI Series, Vol. 121, Berlin, Heidelberg, pp.48-67.
Lopez-Real, F., & Leung, A. (2006). Dragging as a conceptual tool in dynamic geometry environments. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 37, pp.665-679.
Mariotti, M. A. (2001a). Justifying and proving in the Cabri environment.
International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, pp.257-281.
Mariotti, M. A. (2001b). Introduction to proof: the mediation of a dynamic software environment, (Special issue) Educational Studies in Mathematics 44,
Mariotti, M. A., Laborde, C., & Falcade, R. (2003). Function and graph in a DGS environment. In N. A. Pateman, B. J. Dougherty, & J. Zilliox (Eds.), Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PMENA, vol. 3 (pp.
237–244). University of Hawai’i, Honolulu, HI, USA: CRDG, College of Education.
Michael T. Battista. (2007). The development of geometric and spatial thinking.
In Frank K. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Charlotte: Information Age publishing Inc.
pp.843-908.
Norton, J. (2004) "On thought experiments: Is there more to the argument?"
Proceedings of the 2002 Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association, Philosophy of Science, 71: 1139-1151.
Olivero, F. (1999). ‘Cabri-Géomètre as a mediator in the process of transition to proofs in open geometric situations’, in: W.Maull & J.Sharp (eds), Proceedings of the 4th International Conference on Technology in Mathematics Teaching, University of Plymouth, UK.
Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O. (2002). Teaching proof in a dynamic geometry environment: what mediation? In: L. Bazzini & C. Whybrow Inchley (Eds.),Proceedings of CIEAEM53: Mathematical Literacy in the digital Era ,pp.307-312.
Pinto, M., & Tall, D. (2002). Building formal mathematics on visual imagery: a case study and a theory. For the Learning of Mathematics, 22(1) 2–10.
Schumann H., & De Villiers, M.D. (1993). Continuous variation of geometric figures: interactive theorem finding and problems in proving. Pythagoras, 31, 9-20.
Ainsworth, S. E., & Van Labeke, N. (2004). Multiple forms of dynamic representation. The Journal of the European Association for Research on Learning and Instruction, 14(3), 241-255.
Sorensen, R. A. (1992). Thought Experiments, Oxford University Press, Oxford Straesser, R. (2001). Cabri-Geometry: does dynamic geometry software (DGS)
change geometry and its teaching and learning? International Journal of Computers forMathematical Learning. V. 6(3), pp. 319-333.
Goldin-Meadow, S. (2003). Hearing gesture: How our hands help us think.
Cambridge, MA: Harvard University Press
Tall, D. (1996). Information technology and mathematics education:
Enthusiasms, Possibilities & Realities. In C. Alsina, J. M. Alvarez, M. Niss, A.
Perez, L. Rico, A. Sfard (Eds), Proceedings of the 8th International Congress on Mathematical Education, Seville: SAEM Thales, pp.65–82.
Tall, D. (1999). The chasm between thought experiment and mathematical proof.
In G. Kadunz, G. Ossimitz.W.Peschek, E.Schneider, B.Winkelmann (Eds.), Mathematische Bildung und neue Technologien, Teubner,Stuttgart, pp.319-343.
Talmon, V., & Yerushalmy, M. (2004). Understanding dynamic behavior:
Parent-child relation in dynamic geometry environments. Educational Studies in Mathematics, 57, pp.91-119.
Vygotsky, L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological processes. Cambridge, MA: Harvard University Press.
附錄
附錄一：動態幾何探究活動單
題目：令 ABCD 是一個四邊形，考慮四個內角的角平分線且此四條角 平分線兩兩分別交於 E、F、G、H 四點。
活動 1：請在 GSP 下作出上述問題的圖形。
活動 2：請你預測拖曳四邊形 ABCD 變動後，四邊形 EFGH 會形成什麼圖 形？(請直接思考，不要拉動你的 GSP 下的圖形。)
活動 3：請你拖曳四邊形 ABCD，將你所發現的現象盡可能的寫下來。
活動 4：請你將活動 3 中發現到的變化現象，寫下一個你最感興趣的變化及 為什麼感興趣？
活動 5：請你將發現到的變化關係，形成一個臆測並用數學的語句描述。
活動 6：你會想要檢驗你的猜測嗎？請寫下你檢驗的方法。
1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□
非常不想 非常想
活動 7：你會想要用比較嚴謹的方式証明你的猜測嗎？請寫出你的證明。
1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□
非常不想 非常想 我可以用比較嚴謹的方試證明出猜測的信心指數
1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□
附錄二：動態幾何探究活動手冊
研究目標：為了瞭解大學生在動態幾何環境下的內在思考實驗模式，拖 曳行動、動態表徵和內在思考實驗的交互作用情形，以及實驗歸納與演繹推 理兩種推理方式之間的互動關係
1、 記得標記 ABCD 和 EFGH、提醒 GSP 所有的功能都可使用。
2、 預測時，不需侷限受測者的想法。
3、當受測者只注意到動態行為時，引導其注意到 ABCD 為某些特定圖形。
4、將臆測寫成定理或命題。
5、當受測者的猜測不是 EFGH 交於一點的情況時，在最後要引導他去觀察 交於一點的情形。
6、利用提醒角平分線性質來引導受測者去發現四邊形 ABCD 有內切圓。
7、利用提醒圓外一點做圓的切線距離相等來引導受測者去推論出對邊和相 等。
8、詢問AB CD 和ADBC之間有何關係？
9、拍攝時，不要讓受測者的正面入鏡，偶爾拍攝其作答的情形。
H F G E
B A
D
C
附錄三：思考實驗運作模式的相關事例
(一)基本元素：猜測─模擬操作─宣告
F1 與 F2 在活動二和 G 在活動六的行為表現具有此運作元素。
圖 4-1-33
F1：AB CD// ，那麼GF//HE
F2：不一定啊！可是這樣子、這樣子、這樣子
F1：GF 就平行 HE，你這樣平移它的話，內錯角就相等 F2：如果 AB 跟 CD 平行，就變成 HE 跟 GF 會平行
動態表徵(圖 4-1-33)引起 F1 在心智中模擬物件的動態行為進而產生
「AB CD// ，那麼GF//HE」的猜測(動態行為)，開始進行思考實驗，引入數 學知識來驗證猜測。F2 和 F1 互相討論並利用手勢(模擬操作)來操弄他的動 態心像，得到的宣告(動態行為)與學生 A 猜測相同「如果 AB 跟 CD 平行，
就變成 HE 跟 GF 會平行」。F1F2 的思考實驗運作元素(圖 4-1-34)如下：
圖 4-1-34 思考實驗運作元素
活動六主要請學生檢驗活動五所形成的猜測，不過當她看到動態表徵 (圖 4-1-35)後，猜測所要檢驗的命題可能是錯的猜測(動態行為)，所以引起 他以手勢表示「你看要 180 度的話，它只剩一點點角」(模擬操作)。為了更 清楚說明他的想法，他利用之前已測量出來的角度來驗證，產生「我的假設 錯了」的宣告。此處 G 的思考實驗運作元素(圖 4-1-34)與 F1F2 一樣。
(二)模擬操作─具體操作
圖 4-1-36 圖 4-1-37
C2 : 平行四邊形，四邊等長會變一點。可是鳶形不是平行四邊形也會交一點 C2 : 對角線垂直
C1 : 也會交一點。怎樣的圖形會對角線垂直……所以只有菱形、鳶形、正方形三個。因為 你如果垂直這樣畫，一定平分嘛
C1 : 不然...你看...你這樣任意做，一定是平分的
動態表徵(圖 4-1-36)引起 C2 去思考為何鳶形不是平行四邊形，角平分 線也會交於一點，進而提出「對角線垂直」的猜測(數學性質)。C1 以手勢 模擬操作產生「你如果垂直這樣畫，一定平分」的宣告，最後再以具體操作 產生動態表徵(圖 4-1-37)來解釋他的想法使 C2 確信並提出「菱形、鳶形、
正方形的對角線垂直是因為它們的圖形可平分成一半。」的宣告(數學性質)。
C1 與 C2 的思考實驗互動關係(圖 4-1-38)如下：
H
G H F A
B
C
D
圖 4-1-40 思考實驗互動關係
學生 D1D2 和 E1E2 的思考實驗互動關係(圖 4-1-40)類同。
圖 4-1-41
D1 : 好像順著某個方向拉，那個點都不會變，只是不知道為什麼 D2 : 那如果往其他方向拉呢？對啊也變了
學生 D1 往上拉動 A 點觀察動態表徵(圖 4-1-41)時，提出「順著某個方 向拉，那個點都不會變」的猜測(動態行為)，此處學生 D1 所講的那個點是 四條角平分線所共同相交的點。此猜測引起 D2 提議檢驗是否別的方向也會 有相同的情形。接著 D1 在圖 4-1-41 上作過 A 點和 G 點的直線來檢驗是否 當 A 點沿著此直線的路徑走，點都不會變(具體操作)。而拖曳 A 點所產生 的動態表徵使他確信猜測是對的，但並沒產生宣告。
實作
具體操作 (GSP 外顯化) 猜測
(動態行為) 動態表徵
1
圖 4-1-42
H: 是鳶形，那這是什麼…看不出來為什麼會這樣子。不是鳶形。鳶形到底有沒有……就把 它移成鳶形會有，另外還會有……我不想去算角度
學生 H 在拖曳 ABCD 的過程中看到此動態表徵(圖 4-1-42)，使其得到 此圖形應該是鳶形的猜測(動態行為)，並且從圖形中看出交於一點的情形，
但他不知道原因為何。H 為了確定鳶形會不會交於一點，運用 GSP 的功能 將 ABCD 變成鳶形(具體操作)，並形成「把它移成鳶形會有」的宣告(動態 行為)。此處 H 的思考實驗互動關係(圖 4-1-13)與 B1B2 相同。
G EF H A
D
B
C