動態幾何環境下大學生的幾何探索歷程分析

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 動態幾何環境下大學生的幾何探索歷程分析. 研究生：許舜淵中華民國九十八年六月.

(2) 動態幾何環境下大學生的幾何探索歷程分析中文摘要本研究目的在從思考實驗、拖曳行動和動態表徵三個面向來探討與分析學生的幾何探索和推理論證過程。研究方法主要採取半結構的診斷活動方式，對二十四位數學系大學生在進行幾何作業時的觀察與訪談。以錄音及錄影方式收集原案資料，再採用質性分析，詮釋個案的探索歷程。研究結果顯示：1.學生在動態幾何環境下的幾何探索架構包含拖曳行動、動態表徵以及思考實驗三個主要元素，三者的交互作用會影響個體的幾何探索與推理。拖曳行動的認知行為影響個體對動態表徵的解讀，動態表徵的解讀會激發內在思考實驗，思考實驗會引導拖曳行動，三者之間的交互作用形成一個幾何探索的循環系統。 2.學生在 DGE 下所發展出的思考實驗運作模式主要是以動態表徵外在的動態行為和內在的數學性質激發個體產生猜測，並透過模擬操作物件的動態行為來驗證猜測，進而產生宣告。學生通常模擬操作完後，會用 GSP 具體操作驗證自己的想法，或是當問題情境過於複雜或簡單時，會跳過模擬操作直接朝向具體操作圖形的方式來驗證猜測。 3.學生在作思考實驗的過程中，有時會發生有如與第三者論證的自我對話現象。這個虛擬的第三者常常扮演提供解題或反思的角色，而電腦的作用則是激發第三者的產生。 4.學生在 DGE 下所進行的幾何推理方式可分為幾何實驗、思考實驗和形式證明三大部分，其中思考實驗在推理過程中橋接幾何實驗(實驗歸納)與形式證明(演繹推理)。學生在幾何實驗中產生猜測或觀察動態表徵的變化，經由思考實驗來驗證猜測，並將推論的結果轉化為形式證明。關鍵字：拖曳行動、思考實驗、動態表徵.

(3) 目錄目錄 ................................................................................................................................... i 附表目次 ..........................................................................................................................ii 附圖目次 ........................................................................................................................ iii 附錄目次 .......................................................................................................................... v 第壹章緒論 .................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 ...................................................................................... 1 第二節研究目的與問題 ...................................................................................... 5 第貳章文獻探討 .......................................................................................................... 6 第一節思考實驗 .................................................................................................. 6 第二節 DGE 下的幾何探索 ............................................................................... 11 第三節幾何推理方式與證明類型 .................................................................... 15 第參章研究方法 ........................................................................................................ 20 第一節研究設計 ................................................................................................ 20 第二節研究過程與研究工具 ............................................................................ 22 第肆章研究結果與討論 ............................................................................................ 25 第一節思考實驗運作模式 ................................................................................ 25 第二節學生的思考實驗與拖曳行動及動態表徵的交互作用 ........................ 35 第三節實驗歸納與演繹推理之間的互動關係 ................................................ 48 第伍章結論與建議 .................................................................................................... 62 第一節結論 ........................................................................................................ 62 第二節建議 ........................................................................................................ 67 參考文獻 ........................................................................................................................ 68 一、中文部分 ........................................................................................................ 68 二、英文部分 ........................................................................................................ 68 附錄 ................................................................................................................................ 72 . i.

(4) 附表目次表 2-1-1 表 2-2-2 表 3-2-3 表 4-3-4. 思考實驗及科學實驗的優缺點 .................................................................... 9 七種拖曳模式 .............................................................................................. 11 動態幾何探究活動單 .................................................................................. 23 各組的推理過程 .......................................................................................... 58 . ii.

(5) 附圖目次圖 2-1-1 等腰三角形兩底角相等 ................................................................................ 7 圖 2-1-2 思考實驗運作模式 ...................................................................................... 10 圖 2-3-3 拖曳與推理關係模型 .................................................................................. 16 圖 2-3-4 五種學生的證明類型 .................................................................................. 17 圖 2-3-5 幾何推理分析工具 ...................................................................................... 19 圖 4-1-6 .......................................................................................................................... 26 圖 4-1-7 思考實驗運作元素 ...................................................................................... 27 圖 4-1-8 .......................................................................................................................... 27 圖 4-1-9 思考實驗運作元素 ...................................................................................... 28 圖 4-1-10 ........................................................................................................................ 28 圖 4-1-11 思考實驗互動關係 .................................................................................... 29 圖 4-1-12 ........................................................................................................................ 30 圖 4-1-13 思考實驗互動關係 .................................................................................... 31 圖 4-1-14 DGE 下的思考實驗運作模式 ................................................................... 31 圖 4-2-15 思考實驗引導拖曳行動的機制 ................................................................ 37 圖 4-2-16 動態表徵類型 ............................................................................................ 38 圖 4-2-17 ........................................................................................................................ 39 圖 4-2-18 ........................................................................................................................ 40 圖 4-2-19 ........................................................................................................................ 41 圖 4-2-20 ........................................................................................................................ 41 圖 4-2-21 ........................................................................................................................ 42 圖 4-2-22 ........................................................................................................................ 43 圖 4-2-23 ........................................................................................................................ 43 圖 4-2-24 動態表徵激發思考實驗的機制 ................................................................ 44 圖 4-2-25 思考實驗、拖曳行動及動態表徵的交互作用機制 ................................ 45 圖 4-2-26 ........................................................................................................................ 46 圖 4-2-27 DGE 下的幾何探索架構 ........................................................................... 47 圖 4-3-28 ........................................................................................................................ 48 圖 4-3-29 ........................................................................................................................ 51 圖 4-3-30 ........................................................................................................................ 53 圖 4-3-31 DGE 幾何論證模式 ................................................................................... 55 圖 5-1-32 思考實驗運作模式(第三者) ...................................................................... 65 圖 4-1-33 ........................................................................................................................ 74 圖 4-1-34 思考實驗運作元素 .................................................................................... 75 圖 4-1-35 ........................................................................................................................ 75 . iii.

(6) 圖 4-1-36 圖 4-1-37 ........................................................ 76 圖 4-1-38 思考實驗互動關係 .................................................................................... 77 圖 4-1-39 ........................................................................................................................ 77 圖 4-1-40 思考實驗互動關係 .................................................................................... 78 圖 4-1-41 ........................................................................................................................ 78 圖 4-1-42 ........................................................................................................................ 79 . iv.

(7) 附錄目次附錄一：動態幾何探究活動單 .................................................................................... 72 附錄二：動態幾何探究活動手冊 ................................................................................ 73 附錄三：思考實驗運作模式的相關事例 .................................................................... 74 . v.

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(9) 第壹章緒論. 第壹章緒論第一節. 研究背景與動機. 幾何是一門討論空間數、量、形間關係的學科，從本質面來說，其包含兩種基本且不可分離的對偶結構：一種是視覺化可操作的具體事物(經驗幾何)，另一種是分析邏輯推理的抽象思維(推理幾何)，即具體事物的圖形表徵與推理論述的符號語言(左台益，2007)。Fishbein (1993)引進圖形概念(figural concepts)的觀點論述幾何本質的對偶結構，他認為在幾何推理中觀察和操弄的物件都是一些稱為圖形概念的心智物件。這些圖形概念同時反映出幾何物件的空間性質(形狀、位置和重量)和概念性質(如理想化、抽象化、一般化和完美化)。Duval (1995)進一步分析幾何圖形對於學習者的啓發作用，提出四種個體對於幾何圖形的認知理解形式：知覺性理解 (perceptual apprehension)、構圖性理解(sequential apprehension)、論述性理解(discursive apprehension)、操作性理解(operative apprehension)。知覺性理解是學習者能夠辨識圖形表徵，論述性理解是學習者能夠以符號語言來描述或推論幾何性質。構圖性理解與操作性理解則是學習者能夠變換及操弄圖形表徵，並在操作過程中理解圖形的組成結構。無論從 Fishbein 的圖形概念或 Duval 幾何圖形的認知理解，均強調幾何學習需同時著重透過經驗操作圖形表徵和利用符號邏輯論述幾何性質，亦即強調操作行動與推理論述的對偶共生系統。經驗幾何著重在操作行動，推理幾何強調在邏輯論述，它們需要藉助具體的工具和抽象的符號來建構與溝通想法。Vygotsky (1978)區分科技工具 (technical tools)和心理工具(psychological tools)的仲介功能，這兩種工具基本差異在於它們導引人類行為的方式。科技工具的功能是做為人類影響活動中之物體的執行者；它是外在導向且導致物體的變化。心理工具則不會使心理操作中的物體產生變化，它是控制個體內在活動的媒介，是內在導向的。當個體經過複雜的內化過程後，科技工具將變成心理工具且形成新的意義，此時科技工具就如同符號仲介物(semiotic mediator)，具有符號仲介的功能 (Mariotti et al.，2003)。從幾何學習的對偶論和 Vygotsky 的仲介工具論，提示吾人在探討學生從經驗幾何發展至推理幾何的歷程中，需注意學生對於科. 1.

(10) 技和心理工具的使用和發展過程。Mariotti (2001b)就表示當動態幾何軟體 Cabri 引入學生的活動時，它在學生的社會互動中提供複雜的符號系統，並支持符號仲介的過程，輔助學生發展符號運用的心理工具。隨著資訊科技快速的發展，輔助教學與學習的軟體也不斷的產生，在輔助幾何學習方面的相關軟體從 60 年代的 LOGO 發展到 80、90 年代的動態幾何軟體(如 GSP、Cabri、Supposer 等等)。這些幾何輔助軟體自然地被討論如何應用於學校數學。Straesser (2001)研究顯示 DGS 提供新的幾何解題策略，這些策略應用在傳統的紙筆工具上來說並不是那麼有效，至少是不容易實行的。Almeqdadi (2000)也有同樣的研究結果，認為 GSP 是一個互動且動態的電腦軟體，能幫助學生學習及瞭解幾何概念和性質。DGS 提供學習者使用滑鼠自由地拖曳圖形，使圖形由靜態轉化為動態，不同於紙筆操作圖形的環境。學習者在圖形產生動態變化的過程，觀察幾何圖形中變與不變的性質，進而產生操作性理解。例如，在學習「三角形三中垂線交於一點」時，學生藉由拖曳任一頂點，使圖形發生動態改變，觀察圖形從特殊例轉化為一般例的過程中，了解三條中垂線仍會交於同一點的性質。拖曳是動態幾何環境(DGE)中的主要操作行動，近年來吸引一些研究者開始聚焦在學生的拖曳行動及其如何影響學生幾何推理或探索歷程。拖曳主要是學習者依據某些目的和想法所產生出來的行動，Talmon & Yerushalmy (2004)即認為拖曳是學習者為了學習幾何而發展出來的人工製品(artifact)。學生在探索問題時，往往會透過拖曳圖形幫助其產生猜測，並用拖曳來檢驗猜測。Arzarello et al. (2002) 認為拖曳有助於猜測的產生，藉由拖曳行動來探索圖形，觀察形狀變化，讓使用者發現到圖形裡不變的性質。黃哲男(2001)也認為使用者可以透過「拖曳」的功能，依自己的目標與想法操弄幾何物件以觀察存在於其中的性質或關係，亦即透過這樣的環境，可以提供使用者一個探索實驗的環境，並可以利用其培養幾何直觀、空間感及幾何作圖方法等數學能力。學生也可以藉由拖曳幾何圖形來驗證猜測的正確性，Furinghetti & Paola(2003)在他們的研究中，發現漫遊拖曳(Wandering dragging)可為猜測的產生找尋靈感。學生藉助拖曳行動操作幾何圖形進入歐氏理論的綜合推理中，再透過推論產生出新的定理。. 2.

(11) 第壹章緒論. 雖然在動態幾何環境中，拖曳行動是組成此一學習環境的重要元素且扮演主要的仲介工具，但經由拖曳行動所產生的幾何圖形的動態變化是另一個組成學習環境的重要元素，稱為動態表徵。Talmon & Yerushalmy (2004)定義動態行為(dynamic behavior)指的是學生拖曳物件時，物件在螢幕上所產生的變化。動態表徵即是由拖曳行動和物件的動態行為所產生幾何物件在時空變化的表徵型態。在他們的研究中建議為了更了解動態幾何環境下的幾何學習過程，我們必須注意到動態行為，它可被視為一個構圖過程的動態表徵。早期的研究著重在探討動態幾何軟體如何幫助學習者學習幾何概念，發現幾何性質，或是觀察個體如何進行幾何探索及產生猜測、驗證及證明 (Hölzl, 1996 ; Hazzan & Goldenberg, 1997 ; Hoyles & Jones, 1998 )。近年來則有學者將研究議題擺在探究個體如何拖曳幾何圖形。Arzarello et al.(2002)顯示學生在動態幾何環境中解決問題過程中會產生七種拖曳模式，這些拖曳模式是將學生依據不同的目的所產生的拖曳動作做分類，分別為：漫遊拖曳 (Wandering dragging) 、有界拖曳 (Bounded dragging) 、引導拖曳 (Guided dragging)、無聲軌跡拖曳(Dummy locus dragging)、線拖曳(Line dragging)、連結拖曳(Linked dragging)和拖曳檢驗(Dragging test)，每一種拖曳方式都代表著不同的認知過程。他們利用這七種拖曳模式在教學實驗中分析學生進行幾何探索時，處理幾何問題的認知過程。在 DGE 中，學生拖曳行動產生動態表徵，動態表徵會影響個體的想法，拖曳行動是由個體所主導產生的。因此，在探討與動態幾何環境相關的議題時，個體的想法和數學思維也是需要考慮的因素。Tall (1996)認為雖然電腦提供一個擁有可操作的視覺展示和符號工具的人性化互動界面，但它仍需要藉由數學家的想法去進行思考實驗來決定什麼是重要的？什麼是需要證明的？由 Tall 的說法可知思考實驗是主導數學家作探索和推理證明時，不可或缺的因素之一。Tall(1999)認為思考實驗是一個人想像定理可能成立的條件，並試圖去看(see)結論是否成立。基於以上理由，本研究將思考實驗做為探究個體想法的主要因素。在幾何課程中，幾何證明是重要的學習單元和目標，但也是學生最常碰到的學習因難與障礙。Healy & Hoyles (1998)的研究指出學生在代數方面的. 3.

(12) 證明表現明顯優於幾何方面。為了幫助學生有效地學習幾何證明，建立正確的幾何推理思維，許多學者和教師也開始探討動態幾何軟體如何幫助學生作幾何證明。Christou et al. (2004) 表示學生在 DGE 中可以透過驗證猜測來獲得理解，此理解引發更深的好奇心使學生解釋為何結果是對的。Olivero et al. (2002)認為 Cabri 允許學生去作探究且促進猜測的產生和引起學生作證明的動機。但如果在一個不適當的學習方式或是學生對它有著不適當的認知等情況下，動態幾何軟體將會削弱證明的功能，甚至妨礙學生學習證明。Mariotti (2001a)表示對於動態幾何軟體在發展理論思維方面的貢獻，特別是在建構證明的意義來說，尚未有一個共識。部分學者認為有些學生會將 DGS 上的驗證視為證明，且當他們產生此想法時，DGS 將會削弱證明在中學幾何所扮演的角色及阻礙學生從經驗操作發展到理論思維(Chazan，1993; Arzarello et al.，2002)。從以上研究顯示學生在動態幾何環境中傾向實驗歸納，利用具體操作來檢驗猜測、定理或性質，疏忽演繹推理的論證。但實驗歸納和演繹推理卻是學習數學推理證明的重要方法，許多數學家或精通數學者通常能熟練且交互的使用此兩種方法。Schumann & De Villiers (1993)認為幾何的學習應同時注重啓發式學習的兩個方向：(一)認知的獲得(歸納法)，(二)認知的發展(演繹法)。即啓發式的幾何教學活動包含觀察實驗的歸納探索以及邏輯推理的演繹研究過程(引自左台益，2007)。鄭勝鴻 (2005)也認為學生在學習直覺幾何時，是利用實驗探索的方式來學習幾何知識；在學習演繹幾何時，是利用演繹推理的方式來重新學習幾何知識。由此可知，如何橋接實驗探索和演繹推理是個重要的議題，也是許多研究正在探究的。學生究竟如何從以 DGE 為基礎的實驗操作過渡到學習形式化幾何概念的邏輯論述，需要大量的研究來探究此過渡過程(Battista，2007)。. 4.

(13) 第壹章緒論. 第二節. 研究目的與問題. 學習幾何概念和幾何推理都需注重幾何學習的對偶結構，瞭解操作行動和邏輯論述間的互動關係。同樣地，學生在 DGE 下探索幾何性質或處理幾何問題時，也需掌握此對偶結構。因此，本研究目的在於探討與分析學生的幾何探索和推理論證過程。並從思考實驗、拖曳行動和動態表徵三個面向來進行分析和探究。為了排除數學與 DGS 經驗對思考實驗的影響，本研究採取具有較充分的數學知識及 DGS 操作經驗的大學生作為研究對象來分析及探討他們的幾何探索與推理證明歷程。因此，依據研究目的發展出以下研究議題：一、在動態幾何環境下，學生的思考實驗運作模式。. 二、思考實驗與拖曳行動和動態表徵三者間的交互作用，瞭解思考實驗如何影響拖曳行動，動態表徵如何激發思考實驗，以及交互作用的機制，並進一步建構學生的幾何探索模式。. 三、在動態幾何環境下，實驗歸納與演繹推理之間的互動關係。由此議題延伸出以下兩個子問題： 1. 學生從實驗歸納進入到演繹推理期間的過渡過程為何？ 2. 學生在探索歷程中不斷的產生猜測、驗證和證明，這些推理過程與他們所看到的動態表徵及所作的思考實驗之間的關係為何？. 5.

(14) 第貳章文獻探討數學是一門抽象的學問，依靠外部表徵傳達與溝通數學思維想法。學習者在數學學習活動的過程中，也須在數學物件及其表徵上作行動以建構內在的知識基模。同樣地，學習者在 DGE 探索與幾何學習活動的過程中，亦是透過拖曳行動操弄圖形，觀察行動所產生的動態表徵，激發學習者作思考實驗來推論和建構幾何概念。本章依據研究目的及其所要探討的研究問題，分別從思考實驗、DGE 下的幾何探索和幾何推理方式及證明類型等相關研究文獻分析、整理架構成本研究的理論基礎。. 第一節. 思考實驗. 無論是數學家或物理學家，甚至是一般的學習者往往會使用想像的方式，不需要實際設計出一個具體的實驗來推論驗證命題。伽利略依據鐘擺理論作為實驗的假設，在腦中想像斜面是光滑無摩擦力，模擬球的滾動軌跡，最後推論出球的滾動與鐘擺的擺動情形是一樣的。這種在心智中想像的操作實驗，就如同鐘擺來回擺動的具體實驗，推論說明一顆球在一個雙斜面上左右來回滾動時，其滾動高度也會相同的等高定律(Sorensen，1992)。數學上著名的「驢橋定理」，即幾何原本第一卷第五個命題「等腰三角形兩底角相等」的證明方法有許多種。Pinto & Tall(2002)曾提到一種在心智中操作方式：如果當我們改變等腰三角形 ABC 的頂點 A 的位置時，那麼將會發生什麼事情呢？如圖 2-1-1，移動 A ，使得 AB  AC ，則 ACB  ABC 。反之， AB  AC ， ACB  ABC 。因此當處於一個平衡狀態，即 AB  AC 時，可以. 看出 ACB  ABC 。. 6.

(15) 第貳章文獻探討. A. B. A. C. 圖 2-1-1 等腰三角形兩底角相等. 此一思考方式既不屬於具體實驗操作，也不歸類於形式證明，是以模擬操作和想像的方式來進行推論。上述兩個例子可觀察到共同之處在於他們的推理過程中，都未實際操作，而是透過心智操弄方式進行推論與驗證。這種依據想像和模擬操作的推論過程，有別於科學的具體操作實驗，通常稱為思考實驗。思考實驗是一種推理過程，試圖透過一些合理或是超越現實的假設來推論這個世界樣貌。它是一種假設性的推理，其先前假設可能是錯的，但是它引導我們瞭解這個世界的本質或周遭的人事物(Irvine，1991)。思考實驗如同科學實驗，都需要有一個實驗假設，只是這個假設可以不受現實的條件所限制。雖然它的假設條件可以很寛鬆，但推理的過程仍需合乎邏輯。 Anapolitanos (1991)認為思考實驗是一個理想的探究過程，主要在回答於特定學科架構下的理論或超越理論的問題，且實驗是需依據邏輯和學科的本質訂定的規則來進行。從實驗操作面向來說，個體是以模擬操弄心像的方式來推論，不是採取具體操作。Balacheff(1988)表示思考實驗是學生能利用心像操弄圖像或利用文字敘述來作完整的推理也就是從特殊中內化並抽離出幾何性質的驗證，此時的例子只是用來輔助學生進行推論的程序(引自鄭勝鴻，2005)。就思維的形式而言，Pinto & Tall(2002)指出思考實驗對於人們來說是一種自然的思考方式且不需要任何形式化知識。而且為了得到某些情況的結果，我們只需在假設成立的條件下去想像一個情境與思考可能發生的結果。針對思考實驗的特性，Irvine (1991)認為思考實驗具有以下特性： 1.思考實驗必需與某些假設的檢驗(或某些問題的答案)有關，這些假設. 7.

(16) 會出現在特定的觀察或理論脈絡裡頭。 2.思考實驗裡頭的假設不需要全部建立在已確認的經驗觀察之上。但如果思考實驗與一般的科學探索有關的話，那麼思考實驗至少有某些特性必須建立在經驗觀測的基礎上。 3.思考實驗需在一個可控制的環境中運作，且一個好的思考實驗就如同好的科學實驗，具有可重覆實行的特性。 4.思考實驗所得到的結果應該對最初的理論背景有所影響。思考實驗裡頭的推理是與特定的假設事件有關，是為了得到與這世界有關的一般性結論作準備。推論的結果將導致思考實驗中最初的理論脈絡進行補充或修改。由這些特性可知思考實驗是朝著明確的目標進行，它與問題背後的理論脈絡是具有某種相關性的。雖然它不像科學實驗需要將腦中的想法實際作出來，但它仍然要建立在科學實驗的某些特性的基礎上。. 二、思考實驗和科學實驗的比較思考實驗和科學實驗在本質上究竟有何差異呢？Irvine (1991)認為一個物理實驗是需利用實驗觀察的結果來檢驗某些由過去的觀察和理論脈絡所發展的假設。思考實驗目的則不在於提供新的實驗數據，它們目的在於產生有關於這世界的新訊息，這些新訊息的來源必須由先前已審察過的論證的數據所產生。這意味著科學實驗強調以實驗數據基礎的操作驗證，而思考實驗則著重在以假設為前提的論證推理。不過，Irvine(1991)認為如同物理實驗，思考實驗也必須站在一個特殊關係上，這關係與過去的觀察和一些合理發展的理論背景有關。J, Norton. (2004) 認為一個好的思考實驗具有兩個特質：第一，擁有確保其正確性的結構。第二，我們可以修改但不會影響到結構，即建構一個好的思考實驗是從一個模型到可以自由嵌入我們所選的特定材料。思考實驗並非憑空想像的實驗，它是必需依據合理的假設作具有邏輯結構的推理。以下是思考實驗和科學實驗的優缺點比較(表 2-1-1)：. 8.

(17) 第貳章文獻探討. 表 2-1-1 思考實驗及科學實驗的優缺點. 思考實驗優點. 科學實驗. 1.不需要任何實驗設備，不受實驗 1.可提出新的實驗數據。室的限制。. 2.實驗結果是看得見的。. 2. 可以假設理想的實驗環境 ( 例 3.可控制變因和實驗環境。如：無摩擦力的平面、只受重力影響的自由落體。) 缺點. 1.需要實驗設備，受實驗環境. 1.不能提出新的實驗數據。. 2.每當思考實驗所得到的結論超越的影響。假設所提供的訊息時，其可能會使 2.無法做出超越現實的假設。我們產生錯誤的想法。. 綜合以上學者的說法，思考實驗需要有實驗假設，並且在心智中依據一定的邏輯規則以模擬操作的方式進行推論。因此，思考實驗可以視為個體依據某些可能成立的假設，在心智中作模擬操作的推理過程。由於思考實驗是一種內在的心智作為和思維方式，通常會透過手勢、語言去傳達其內在的推論想法。手勢是反映出個體闡述想法的方式，也是溝通與思考中不可或缺的部分(Emmorey & Casey, 2001；Goldin-Meadow, 2003)。因此，我們可以經由觀察手勢行動和語言符號或因此而產生的動態表徵來推論個體的思考實驗運作情形。此外 DGE 下的思考實驗可能會引導個體做拖曳行動，進而產生不同的認知行為，所以我們也可以透過拖曳行動來瞭解個體的思考實驗。學生除了透過內在的思考實驗來驗證猜測外，在 DGE 中也可以藉由拖曳來探索幾何圖形中蘊含的幾何性質及驗證猜測。而且當我們想利用動態幾何軟體來解決幾何問題及學習或教幾何知識時，也會先思考問題或幾何知識背後隱藏的數學原理，再逐步推論結果及利用拖曳驗證其正確性。從思考實驗的定義可知它主要包含三個基本元素：猜測、模擬操作和宣告。學生依據可能成立的猜測，以模擬操作的方式進行推論，最後再產生宣告。在 DGE 中，學生還可以利用拖曳行動所產生的動態表徵來驗證猜測，. 9.

(18) 與 DGE 進行互動。因此，結合思考實驗的基本元素，以及學生與 DGE 的互動關係形成思考實驗運作模式(圖 2-1-2)。本研究將利用此模式來探討學生的思考實驗運作情形及模式內部元素的運作機制：. 動態表徵. 猜測 (數學性質、動態行為). 模擬操作 (心像操弄). 具體操作 (DGE 外顯化). 圖 2-1-2 思考實驗運作模式. 10. 宣告 (數學性質、動態行為).

(19) 第貳章文獻探討. 第二節. DGE 下的幾何探索. 本節分別從拖曳行動的認知模式和動態行為作用下的表徵觀點，闡述與分析 DGE 下幾何探索活動的相關研究。. 一、拖曳的認知模式學習者在動態幾何環境中可藉由拖曳螢幕上的圖形來探索幾何性質，從觀察圖形變化的過程中學習幾何知識。Lopez-Real & Leung (2006)認為拖曳如同一個能建構數學知識的互動工具，使學習者可以藉由圖形變動來觀察幾何圖形的總體行為。拖曳行動也可以外顯圖形內部幾何物件的關係，使個體觀察到圖形蘊含的幾何性質(Laborde，1993)。當學生在螢幕上看到圖形變化引起他們去思考與探究幾何裡頭物件的變動關係，利用滑鼠拖曳改變動態表徵。此拖曳行動可視為個體和軟體之間的溝通橋樑。近年來有關學生在動態幾何環境下進行幾何探索的相關研究中，有些學者開始聚焦在學生的拖曳行動，觀察學生如何使用拖曳來探索幾何問題，並提出拖曳行動的認知模式(Olivero，1999；Arzarello et al.，2002)。 Arzarello et al. (2002)使用此模式(表 2-2-2)做為分析的工具來分析學生在 DGE 下探究幾何情境時所使用的解題策略，以及觀察學生在 DGE 下解決問題過程中使用滑鼠的認知行為。. 表 2-2-2 七種拖曳模式. 拖曳模式漫遊拖曳 (Wandering dragging) 有界拖曳 (Bounded dragging). 拖曳功用說明為了發現圖形中有趣的結構或規則，沒有任何計劃且隨意地在螢幕上移動基本的點。移動一個半拖曳的點(此點已在某個物件上)。一個半拖曳的點指的是此點連結在一個物件上，它只能在它所屬的物件上移動。. 11.

(20) 拖曳模式引導拖曳. 拖曳功用說明為了得到特定的圖形而拖曳圖形上的基本點。. (Guided dragging) 無聲軌跡拖曳 (Dummylocus dragging). 移動基本點以致於圖形保持已發現的性質；這個點遵循一個路徑移動，即使使用者不了解它：這個軌跡不那麼顯而易見且不會“告訴”總是不了解它們正沿著一個軌跡拖曳的學生。. 線拖曳 (Line dragging) 連結拖曳. 為了保持圖形的規則性而沿著一條線畫一些新的點。連結一點和一個物件且移動它到此物件上。. (Linked dragging) 拖曳檢驗 (Dragging test). 為了察看圖形是否保持原來的性質而去移動可拖曳或半拖曳的點。如果保持的話，那麼此圖通過檢驗；如果不能保持的話，這圖形不會根據你想要給的幾何性質而建構出來。. 學生在幾何探索的最初階段會發展出漫遊拖曳、有界拖曳和引導拖曳，主要在觀察幾何圖形，找尋圖形中蘊含的幾何性質。Furinghetti & Paola (2003) 認為漫遊拖曳在產生猜測的過程中提供學習者靈感，且它與科學實驗所使用的經驗法則有著密切的關係。這意味學習者透過實驗操作歸納出幾何性質或定理。當他們發現到某些特殊的幾何圖形或物件(如：點、直線)的行為時，會產生無聲軌跡拖曳來探究他們觀察到的現象。Olivero (1999)表示無聲軌跡拖曳在學生的認知過程中連接了幾何圖形與性質間的關係，此拖曳模式的產生意味著學生進入到溯因推理(abduction)的階段，即學生開始注意到圖形中所顯現的不變性，思考不變的物件與幾何性質間的關係，並準備朝向驗證、證明的階段。. 12.

(21) 第貳章文獻探討. 線拖曳、連結拖曳與拖曳檢驗這三種拖曳模式主要出現在驗證和證明的推理過程之中，學生此時也逐步在形成一個論證的結構，開始由觀察、發現幾何圖形及性質的實驗歸納階段進入到驗證和確認幾何性質或猜測的演繹推理階段。Talmon & Yerushalmy (2004)認為拖曳檢驗模式在分析學生幾何觀念時是一個很重要的工具。鄭勝鴻(2005)也表示拖曳的功能幫助學習者檢驗是否有依尺規作圖的方法來作圖，因為在 DGE 中如果是依尺規作圖的方式賦予幾何圖形某種特殊的結構時，那這樣的結構在拖曳過程中仍會保留下來。在 DGE 下學習者通常會透過拖曳行動來外顯出自己的內在想法，這七種拖曳認知模式分別彰顯著不同的解題策略和認知行為，所以研究者可以藉由這些拖曳認知模式來瞭解與分析學生的思考實驗。Arzarello et al.(2002)即利用拖曳模式分析學生的認知想法。不同的拖曳模式會產生不同的圖形變動，這些動態表徵除了會受到拖曳行動的影響之外，還會與圖形所蘊含的幾何性質和軟體所賦予的動態行為有關。因此，依據不同的拖曳認知模式以及產生的動態表徵可做為觀察與分析個體思考實驗的有效事證。. 二、動態行為若將一些資訊依據它們的時間與空間的關係以動態方式呈現，就稱為此資訊的動態表徵(Ainsworth & Van Labeke，2004)。學生在 DGE 下經由拖曳所產生的圖形變化，即是一種動態表徵。因為在拖曳的過程會產生一個時間序列，此時間序列會影響圖形在空間中的變動。在 DGE 下的動態表徵除了受到拖曳行動的影響之外，也與組成動態表徵的幾何物件的動態行為有關。Talmon & Yerushalmy (2004)定義動態行為是在 DGE 中拖曳物件時，物件在螢幕上可能產生的變化的自由度。亦即，被拖曳物件本身可能變動的限制條件，以及它所牽引出與相關物件變動的反應。舉例來說，如果使用者利用 DGS 的構圖工具作出一個三角形，那麼當他拖曳三角形的頂點時，會使得三個邊產生變化。此時頂點是被拖曳的物件，三個邊是與頂點相關的物件。而頂點的自由度的大小取決於它是否能隨意拉動，或是會受到邊的影響。. 13.

(22) 由於動態幾何軟體擁有動態行為的特點，使得學生在 DGE 下處理幾何問題的時候，不只受到視覺化的圖形表徵所影響，也受到組成此圖形的幾何物件的動態行為所影響。動態行為的特性會影響到學生構圖性理解的建構，因為要理解一個幾何圖形的構圖結構，需考慮到工具的限制條件及數學法則的程序性(左台益，2007)。在 DGE 下物件的動態行為會與作圖順序有關。相同的圖形但不同的作圖順序會產生不同的動態行為，進而影響動態表徵的變化。在 Talmon & Yerushalmy (2004)研究中顯示學生有反序(reverse order)預測的行為，即學生猜測或想像物件的行為和電腦所顯現的動態行為不同。從學生具有反序預測行為這點可知軟體具有自主性，它將與個體的思維產生互動並與個體過去對幾何圖形的認知產生衝突。當學生在 GSP 上拖曳某些物件時，發現有些點或線段並不能如他們所願隨意地拖曳，進而引發他們去探究和思考原因為何。當我們在分析學生於動態幾何環境下動態表徵與思考實驗的交互作用時，亦需要注意到物件本身的動態行為所產生的作用。. 14.

(23) 第貳章文獻探討. 第三節. 幾何推理方式與證明類型. 學生在 DGE 中會透過拖曳行動來歸納驗證幾何性質，再以語言符號論述想法，進而可能產生猜測、驗證和證明的推理過程。為了瞭解學生如何從實驗歸納過渡到演繹推理，本節將針對實驗歸納和演繹推理的相關文獻進行整理，並形成一個幾何推理分析工具來分析學生在 DGE 下進行實驗歸納與演繹推理之間的互動關係。 Arzarello et al. (2002)和 Olivero (1999)提出學生在 DGE 下解決幾何問題時會產生七種拖曳模式，並進一步發展這七種拖曳與推理方式的理論模式。此模型共分成三個部分：. 1. 上升過程(Ascending process)：學生為了探究幾何情境，尋找規則、不變性等，即一個從圖形關係到理論性質的過程。 2. 溯因推理(Abduction)：在這個模型中，溯因推理指的是個體為了找到可以符合這個特殊情境的理論而去審視他的理論知識。 3. 下降過程(Descending process)：學生為了確認或反駁猜測，檢查性質等，即一個從理論性質到圖形關係的過程。. 在此模型中，溯因推理扮演了連接上升與下降過程之間的橋樑，此理論模型再與七種拖曳模式相結合，發展出拖曳與推理關係模型(圖 2-3-3)。在他們觀察個案進行幾何探索的過程中發現學生在上升過程會藉由漫遊拖曳、引導拖曳和有界拖曳來探索與發現幾何性質。下降過程時，則以線拖曳、連結拖曳和拖曳檢驗來驗證猜測和幾何性質。由此可知在上升過程時，學生偏向實驗歸納的推理方式，下降過程則偏向演繹推理方式。學生在探索幾何問題時所產生的拖曳模式，其認知功能會隨著上升到下降過程，有著層次上的區別。因此，可以藉由觀察學生的拖曳認知模式來了解他們在幾何探索過程中幾何推理方式的發展情形。. 15.

(24) 引導拖曳. 漫遊拖曳. 上升過程. 無聲軌跡拖曳. 溯因推理: (從上升過程轉移至下降過程). 有界拖曳. 線拖曳. 拖曳檢驗. 連結拖曳. 下降過程. 圖 2-3-3 拖曳與推理關係模型. 證明類型的部分，在此先敘述各個學者所提出的證明類型，再依據實驗歸納和演繹推理此兩種推理方式將證明類型進行分類。 Balacheff(1988)提出驗證型式有兩大類：實務驗證(pragmatic justification) 和概念驗證(conceptual justification)。實務驗證是依據學生如何使用例子來作驗證，並分為三種類型： 1. 單純的實驗(naïve empiricism)：只檢查少數例子，而且不會考慮到一般化。 2. 重要的實驗(crucial empiricism)：小心選擇例子來驗證，此時學生已經考慮到需要一般化，但還沒有考慮到全部的可能性。 3.一般的例子(generic example)：利用操弄或變換一些例子，使它們可以代表整類圖形，因此驗證這些例子便是考慮到所有的可能性。概念驗證則是根據學生是否有用例子來輔助完成演繹驗證，共分為兩種類型： 1. 思考實驗(thought experiment)：學生能利用心像操弄圖形或利用文字敘述來作完整的推理也就是從特例中內化並抽離出幾何性質的驗證。. 16.

(25) 第貳章文獻探討. 2. 符號計算(symbolic calculations)：使用和變換已公式化的符號式子去推論出結論。 (以上有關 Balacheff (1988)提出的證明類型引自(鄭勝鴻，2005)) 其中在思考實驗部分，Harel & Sowder (1996)又將其分成兩種類型： 1.結構驗證(Structural justification)：經由問題、公理、定義或定理等資料，作一連串的邏輯演繹推理。例子的角色在於幫助組織推論中的每一步驟。 2.轉換驗證(Transformative justification)：建立在心智操作上且將最初的問題轉換到另一個與其等價的問題。例子的角色在於幫助洞見轉換的合適性。轉換驗證可能建立在空間心智圖像、符號操作或物件的建構。鄭勝鴻(2005)則將學生的證明類型主要分為三大部分：實驗操作類型、實驗與演繹之過渡類型及演繹推理類型。再此三大部細分成五種證明類型，形成五種學生證明類型(圖 2-3-4)。特例的操作驗證實驗操作類型實驗歸納驗證. 證明類型. 實驗與演繹之過渡類型. 不完備的推理證明. 描述型證明演繹推理類型正確的形式證明圖 2-3-4 五種學生的證明類型. 17.

(26) 1.實驗操作類型：學生經由實驗操作來驗證數學命題是否正確。 (1)特例的操作驗證：利用操作特例來驗證命題是否正確，當學生使用此種證明類型時，表示他沒有考慮到證明是需要一般性。 (2)實驗歸納驗證：利用操作多個例子來歸納驗證命題是否正確，當學生使用此種證明類型時，表示他有考慮到證明是需要一般性。 2.實驗與演繹之過渡類型：學生在辯證中，夾雜實驗操作所得的幾何性質和演繹推理的過程，將此類型歸納為錯誤的形式證明。 (1)不完備的推理證明：利用正式的數學語言或是非符號形式的數學語言作出不正確，不完整或沒有符合邏輯的辯證。 3.演繹推理類型：學生是利用已知的公設或已證明過的命題來證明欲證的數學命題。 (1)描述型證明：利用邏輯辯證，但是大部分論述是用文字敘述而較少用符號形式。 (2)正確的形式證明：利用正式的數學語言做邏輯辯證。將以上的學者所提出的證明類型依實驗歸納和演繹推理方式來分類： 1.實驗歸納方式：實務驗證、特例的操作驗證和實驗歸納驗證 2.演繹推理方式：概念驗證和正確的形式證明。從此分類可觀察到屬於實驗歸納方式的證明類型的共同特性是學生會使用和操作例子來作驗證。屬於演繹推理方式的共同特性是學生能用數學語言和符號進行推論，且不需依靠在例子上。介於此兩種推理方式之間的是思考實驗，學生可以透過對例子的觀察所得到的結果，進行模擬操作推論出結論。思考實驗既不屬於具體操作例子的實驗歸納，也不完全脫離例子的影響。因此，基於以上理由和統整以上學者的研究結果，形成以下的研究分析工具(圖 2-3-5)來分析學生在動態幾何環境下作幾何探索的過程中，實驗歸納和演繹推理的互動情形，並說明此分析工具中的幾何實驗、思考實驗和形式證明三個層面和其內部元素的定義。. 18.

(27) 第貳章文獻探討. 思考實驗 (模擬驗證) ※轉換驗證 ※結構驗證. 溯因推理. 幾何實驗. 形式證明. (實驗歸納) ※特例的操作驗證 ※實驗歸納驗證. (演繹推理). 圖 2-3-5 幾何推理分析工具. 1.幾何實驗(實驗歸納)：經由實驗操作例子所得到的結果來驗證猜測或數學命題。 2.思考實驗：個體依據某些可能成立的假設，在心智中作模擬操作的推理過程。這裡的假設可能是個體對於例子的觀察所得的結果或根據某些理論所形成的。 3.形式證明(演繹推理)：利用正式的數學語言和符號做推理證明。. 19.

(28) 第參章研究方法本研究目的在探究學生在 DGE 下的幾何探索與推理論證需要作深入的質性分析。因此，研究方法主要採取個別訪談活動方式進行。為了排除數學先備知識不足和軟體操作能力的影響因素，選擇一所國立大學數學系且熟悉 GSP 操作的學生作為研究對象。本章依據研究設計、研究過程與研究工具逐步闡述研究方法。. 第一節. 研究設計. 本研究在進行主要研究之前先進行前導性研究。其理由在於思考實驗是屬於內在的心智活動且具有不易觀察的特性，所以先以前導性研究來觀察學生的思考實驗。前導性研究挑選三位研究生作為研究對象，他們具有充足的數學知識和 DGE 的操作經驗。實驗過程中發現他們在幾何探索時所產生的猜測和探索的幾何性質呈現多樣化，不易聚焦在一個猜測或幾何性質上去進行推論，以致於無法觀察到明顯的思考實驗運作過程和推理過程。而且在最初的拖曳探索過程，這些研究生傾向專注在物件的動態行為上。因此，依據前導性研究的研究過程和測試結果來修正活動單和模擬主要研究可能會發生的情況，並製作訪談活動注意事項的動態幾何探究活動手冊 (請參考附錄二)。為了觀察和獲得學生的思考實驗，及其與拖曳行動、動態表徵的交互作用和推理過程的詳細資料，此研究實驗無法單靠量化的問卷來收集資料而需採取質性分析方式。. 一、研究樣本本研究是採用半結構的活動診斷方式，對二十四位大學生進行實驗訪談與觀察，再以質性分析解譯個案的幾何探索歷程，以回應研究問題。在過去 DGE 的研究較偏向探討學生如何觀察幾何圖形，從中學習幾何知識，較少分析探討學生在 DGE 中進行幾何探索的內在思維，所以採取思考實驗作為分析內在思維的元素。由於思考實驗是屬於內在的心智活動，並不是顯而易. 20.

(29) 第參章研究方法. 見且輕易就能產生的。思考實驗是一個推理過程，所以學生需要有充足的先備知識為基礎才有可能激發他們作思考實驗。研究實驗是在動態幾何環境下所進行的，觀察學生的幾何探索歷程，所以學生必須先學會如何操作 GSP。為了能觀察到學生的思考實驗，以及避免因為 GSP 操作不熟而產生思考的阻礙。本研究是在排除先備知識不足和 GSP 操作不熟悉的條件下，選取 24 位數學系大二的學生做為研究對象。此外除了觀察單一學生的幾何探索歷程外，也要觀察學生在 DGE 下的社會互動情形，以及社會互動如何影響他們的幾何探索歷程。因為兩個人在進行何探索時，一個人所作的猜測、驗證的結果可能會影響到另一人的想法，所以將學生分組，其中兩人一組共有 6 組，一人一組有 12 組。研究對象皆修過一年系上所開設的高等幾何課程，具有足夠的數學知識。並在一年的高等幾何課程中，每週利用一至兩個小時的時間學習 GSP 的基本操作及運用 GSP 來探索和處理幾何問題，以及在課程教學期間進行數次的教學實驗與觀察。最後於學期末給予學生一個開放性幾何問題來進行一個半小時的實驗觀察，觀察學生的幾何探索過程。本研究的對象是 24 位某國立大學數學系大二的學生，其活動的表現會受到學習背景或學習環境所影響。如果是選取非專業或不熟悉 GSP 工具操作的學生時，我們則需考慮研究方法的適切性和研究對象的特性。. 二、資料收集與處理為了分析學生的幾何探索歷程來回應研究問題，研究期間全程以錄音和錄影及紙本的方式收集原案資料，以及將學生在活動期間所作的 GSP 圖形全部儲存起來。資料處理方面，將影音資料轉譯成逐字稿和掃瞄文本，並以圖文的形式記錄學生的幾何探索活動。資料的分析除了依據影音資料和文本外，並在學生進行幾何探索的活動期間與活動結束後，以提問的方式來收集學生當下的幾何探索想法和策略。為了使資料處理與之後的研究分析有效地進行，本研究以 A1A2、B1B2、C1C2、D1D2、E1E2、F1F2 做為兩人一組學生的研究代碼，且以 G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、S 作為一人一組學生的研究代碼。. 21.

(30) 第二節. 研究過程與研究工具一、研究過程. 動態幾何探究活動是在一間研究室進行，施測時間為一個半小時進行活動。本活動使用活動單，共有七個活動，每一個活動開始前，研究者會先敘述題目。在活動進行期間記錄學生的活動過程，且學生如果有問題可隨時提出，但研究者只幫忙解釋題意、適時地提問學生當下的解題想法和解決 GSP 相關操作問題，不給予探究活動問題的答案。不過當學生在探索的過程花費大量時間專注在物件的動態行為時，會引導他們去注意圖形整體結構的變化。此外當學生是屬於兩人一組的形式時，他們之間可以互相討論。. 二、研究工具本研究作為幾何探索的幾何問題(參考表 3-2-3)和 Arzarello et al. (2002) 和 Furinghetti & Paola (2003)他們所採用的問題類同，此問題屬於開放性問題。在前導性的研究中發現三位研究生在探索此問題時，能夠經由將四邊形 ABCD 拖曳成任意的圖形，觀察 EFGH 的各種變化情形，進而發現圖形蘊含的幾何性質，所以適合作為幾何探索的問題。在 Arzarello et al. (2002)和 Furinghetti & Paola (2003)的研究中作為闡述研究結果的對象都有一個共通性，即這些中學生在幾何探索的過程中，最後都聚焦在角平分線交於一點的性質上。其中 Arzarello et al.的研究對象進入驗證的階段，而 Furinghetti & Paola 的研究對象進入形式證明的階段。不過他們的研究都未進一步詳述學生的思考過程，以及思考過程中的機制。在前導性研究中，學生所產生的猜測和觀察到幾何性質具有多樣化的情況，使他們不容易聚焦在一個猜測上去作推論，此現象導致研究者不易觀察到明顯的思考實驗和推理過程。因此，為了使主要研究能夠順利觀察到學生的思考實驗運作情形，研究者依據以上理由和文獻探討的理論基礎設計一份動態幾何探究活動單(請參考附錄一)。在此就活動單的問題和目的(表 3-2-3)，以及各活動的研究目的說明如下：. 22.

(31) 第參章研究方法. 活動一：觀察學生在作圖過程中，其思考實驗與物件的動態行為如何互相影響。以及當物件的動態行為與其數學思考及知識產生互動時，學生的拖曳行動會產生什麼變化。活動二：瞭解學生在預測物件的動態行為時是否也會產生反序預測的現象。學生如何做思考實驗來推論和解釋他們所預測的動態行為。活動三：探討拖曳行動和動態表徵及思考實驗的交互作用情形，以及學生的思考實驗運作流程。活動四和活動五：讓學生將其在活動三所發現的眾多現象聚焦到單一現象，並形成一個有結構的猜測。活動六：探討學生如何從猜測階段進入到驗證階段。活動七：探究學生如何從實驗歸納進入到演繹推理，且這之間的遷移過程為何。. 表 3-2-3 動態幾何探究活動單. 幾何問題令 ABCD 是一個四邊形，考慮四個內角的角平分線且此四條角平分線兩兩分別交於 E、F、G、H 四點。活動活動一. 活動問題請在 GSP 下作出上述問題的圖形。. 活動目的觀察學生的內在思考實驗如何影響其作圖方法。. 活動二. 請你預測拖曳四邊形 ABCD 變動後，四邊形. 觀察圖形的動. EFGH 會形成什麼圖形？(請直接思考，不要拉動態表徵如何影響學生的內在思考實驗。. 你的 GSP 下的圖形。). 23.

(32) 活動三. 請你拖曳四邊形 ABCD，將你所發現的現象盡可能的寫下來。. 觀察學生的內在思考實驗與拖曳行動及動態表徵間的如何互相影響。. 活動四. 請你將活動 3 中發現到的變化現象，寫下一個你最感興趣的變化及為什麼感興趣？. 讓學生將多種變化現象聚焦到一種。. 活動五. 請你將發現到的變化關係，形成一個臆測並用數學的語句描述。. 讓學生將猜測轉化成形式的數學語言。. 活動六. 你會想要檢驗你的猜測嗎？請寫下你檢驗的方法。. 觀察學生如何驗證猜測。. 1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□ 非常不想活動七. 非常想. 你會想要用比較嚴謹的方式証明你的猜測嗎？請寫出你的證明。. 觀察學生如何做形式推理。. 1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□ 非常不想. 非常想. 我可以用比較嚴謹的方試證明出猜測的信心指數。 1□ 2□ 3□ 4□ 5□ 6□ 7□ 8□ 9□ 10□ 由於本研究對象是數學系的學生，相較於中學生來說，他們受過較多形式演繹的訓練。所以在幾何探索的過程中，可能較容易產生猜測、驗證和證明。以及在 DGE 下處理幾何問題的過程，可能不像中學生偏重實驗幾何的方式，而是帶有演繹推理的方式在裡頭。這是當我們在探討大學生和中學生的幾何探索歷程時，所需考慮的差異問題。. 24.

(33) 第肆章研究結果與討論. 第肆章研究結果與討論本章依據實驗所得資料與分析來回應研究問題，共分成三個部分闡述研究發現，依序為在動態幾何環境下：(一)思考實驗運作模式；(二)學生的思考實驗與拖曳行動及動態表徵的交互作用；(三)實驗歸納與演繹推理之間的互動關係。. 第一節. 思考實驗運作模式. 思考實驗通常發生在個體對事物現象的觀察且依據可能成立的或理想性的假設，在心智中作模擬操作的推理過程，其目的在以邏輯分析方式論述事務道理。從實驗資料中，可以觀察到受訪學生在 DGE 幾何探索活動過程中，並非毫無目的操作滑鼠。他們在拖曳行動前，會透過觀察動態表徵及依據某些幾何假設，先在心智中操作可能的動態行為進行幾何推理與論述。本節將依據文獻探討所提出的思考實驗運作模式和實驗資料歸納整理出學生在 DGE 下的思考實驗運作模式及模式內部元素的機制，並以兩部分(一)基本元素(二)互動關係來闡述此模式的整體結構。. 一、基本元素：猜測─模擬操作─宣告受訪學生在進行思考實驗的過程中，主要包含三個運作元素：猜測、模擬操作和宣告，並透過模擬操作的方式將猜測轉換成宣告。在受訪的學生中，學生 A1 和 A2、F1 和 F2，以及 G 都有表現出此運作情形。以下摘錄學生 A1 與 A2 在活動三討論角平分線交於一點的對談過程，來闡明在 DGE 下思考實驗的核心元素。. 25.

(34) B. A. G H FE. D. C. 圖 4-1-6 A1: 等腰梯形交一點，會不會? 等腰梯形的話，這兩個角相等，這兩個角也相等，它也等於它嘛！我覺得等腰梯形會交一點 A2: 這兩個角就相等啦 A1: 然後呢？……不是啊~這個加這個就是這個的角度 A2: 這個加這個是這個的角度，畫個等腰梯形就好啦 A1: 等腰梯形就......畫畫看 A2: 畫囉 A1: 不用。等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰梯形……等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊會一樣。. 當 A2 將四邊形 ABCD 拉成等腰梯形，使得四個內角的角平分線幾乎交於一點。此時動態表徵(圖 4-1-6)激發 A1 去猜想 ABCD 的動態行為並產生「等腰梯形會交一點」的猜測(動態行為)，A1 利用手勢表徵其心像向 A2 操弄驗證為何會交於一點。在 A1 驗證的過程中，A2 提議將圖形畫出來，亦即讓心中的想法具體顯現在螢幕上。但 A1 認為不需要，繼續使用手勢來呈現想法並得到「等腰梯形就是一個圓」(數學性質)的宣告。A1 與 A2 在 DGE 下的思考實驗運作元素(圖 4-1-7)，其中虛線的執行箭頭意指學生沒有走向具體操作，箭頭底下的數字表示思考實驗的運作順序。. 26.

(35) 第肆章研究結果與討論. 動態表徵. 猜測 (動態行為). 模擬操作 (心像操弄). 操作 1 3. 推論. 宣告 (數學性質). 4 2. 執行. 具體操作 (DGE 外顯化) 圖 4-1-7 思考實驗運作元素. 此外猜測經過模擬操作後所得的宣告可能再度轉化成新的猜測，以下舉學生 F1F2 的對談過程為例： D A H F G E B. C. 圖 4-1-8 F1：可能會有一個軌跡讓角平分線都交於一點 F2：交於一點，就是四點同圓嘛。啊！不是，是距離，應該是有一個內切圓。為什麼會交一點？就這個點到每邊的距離都一樣，有內切圓。. F1 在拖曳 D 點時看到動態表徵(圖 4-1-8)後產生「可能會有一個軌跡讓角平分線都交於一點」的猜測(動態行為)，引起 F2 使用手勢來表達內在想法推論出「應該是有一個有內切圓」的宣告(數學性質)。F2 為了瞭解為什麼會交於一點，此時宣告轉化為猜測，F2 再度思考為何會交於一點，並以手勢表達想法。F1 與 F2 思考實驗運作元素(圖 4-1-9)如下：. 27.

(36) 3 轉化動態表徵. 猜測 (動態行為). 操作. 模擬操作 (心像操弄). 推論. 宣告 (數學性質). 2. 1 4 圖 4-1-9 思考實驗運作元素. 從學生的對談過程中，發現他們在動態幾何環境中所產生的猜測和宣告內容主要包含猜測物件的動態行為和動態表徵內蘊含的數學性質，並利用手勢或語言來操弄個體的動態心像以推論驗證想法。其中模擬操作做為表達個體內在想法的媒介。. 二、互動關係：模擬操作─具體操作一個猜測產生後，學生會經過模擬操作的過程來驗證和推論自己的想法。但是當他們面臨無法單靠手勢或語言來表達出完整的想法時，就會傾向透過電腦進行操作驗證。此互動關係都有出現於學生 A1A2、C1C2、D1D2 和 H 的幾何探索過程中，在此以 A1 與 A2 在活動三的對談過程為例：. A. B. G H F E. D. C. 圖 4-1-10. 28.

(37) 第肆章研究結果與討論. 當 A1 提出「等腰梯形就是一個圓」的宣告時，A2 抱持著懷疑的態度。 A1: 等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰梯形… 等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊會一樣。 A2: 哪有 A1: 我做給你看(拖曳出一個圓) A2: 在裡面嗎 A1: 你看。等腰梯形你看唷！這兩邊會一樣長，這兩邊會一樣長 A2: 所以會交一點 A1: 對啊一定啊。一定是切線。就是你圓裡面隨便找四個點，也不是說四個點，就是一個對稱點。這兩個過直徑的點，就這兩點，過直徑的點。然後兩邊找一個對稱的，對稱這條線的點~切線劃出來的一定是等腰梯形。因為這邊等於這邊，這條線就是角平分線啊！. 此時宣告「等腰梯形就是一個圓」轉化為新的猜測，A1 為了清楚表達自己的想法，他暫時不使用手勢來解釋，而是開始使用滑鼠拖曳出圓驗證給 A2 看(具體操作)。在具體操作所產生的動態表徵(圖 4-1-10)使 A2 確信「角平分線會交於一點」並產生出宣告「所以會交一點」(數學性質)。之後再配合手勢驗證說明為何等腰梯形裡頭會有內切圓。A1 與 A2 的思考實驗互動關係(圖 4-1-11)如下： 1. 6. 轉化動態表徵. 猜測 (數學性質). 操作. 模擬操作 (心像操弄). 8. 2 7 3. 5. 執行. 具體操作 (DGE 外顯化). 4. 驗證. 圖 4-1-11 思考實驗互動關係. 29. 推論. 宣告 (數學性質).

(38) 不過學生的思考實驗的運作流程並非都會經過模擬操作，有可能猜測產生後，因為猜測或幾何情境過於複雜或簡單，所以直接進行具體操作。在此以學生 B1 與 B2 的對談過程為例： D. A. EF G H B. C 圖 4-1-12. B1: 這樣算是一個點嗎 R:. 那你把角平分線 SHOW 出來. B2: 真的是一個點耶~...... R : GSP 所有功能都能使用包括計算也可以 B2 : 計算？所以我們可以計算角度囉！ B1 : 好~你要算哪個角度 B2 : 你先移回來原來的圖形，乾脆裡面的角算一算好了……你先把它變一個點 B1 : 你是要讓 EFGH 變一個點嗎 B2 : 往下往下，C 往下~你要讓這四個點在一起……可是為什麼有角度啊 B1 : 對啊~為什麼啊. 動態表徵(圖 4-1-12)使 B1 提出「這樣算是一個點嗎」的懷疑，且當研究者表示 GSP 所有的功能都能使用時，B2 馬上想到之前「角平分線交於一點」的猜測(動態行為)，驅使他去計算 ABCD 和 EFGH 的內角(具體操作)，觀察當角平分線交於一點時，它們之間有何關係。當他們在拖曳四邊形 ABCD 的頂點時，螢幕上所顯現的動態表徵對他們來說顯得複雜許多，使他們感到困惑而產生「EFGH 為什麼有角度」的宣告(動態行為)。他們之所以會產生困惑，其實和四邊形 EFGH 的動態行為有關。因為螢幕上顯示的動態表徵雖然是交於一點的情形，但那只是由拖曳行動所產生近似交於一點的. 30.

(39) 第肆章研究結果與討論. 現象，並非依據正確的作圖方式所得到的結果。B1 與 B2 的思考實驗互動關係(圖 4-1-13)如下：. 動態表徵. 猜測 (動態行為). 宣告 (動態行為). 1 實作 2. 具體操作 (DGE 外顯化). 3 驗證圖 4-1-13 思考實驗互動關係. 學生在 DGE 下作思考實驗的過程，不但以手勢模擬操作推論或驗證猜測外，當他們面臨無法僅靠操弄內在的動態心像進行推論時，會利用外在的拖曳行動或 GSP 其他檢驗工具來驗證猜測。除了以上幾組的對談過程，其餘組別的思考實驗運作元素和互動關係請參考附錄三。從基本元素和互動關係分析出學生在 DGE 下的思考實驗運作模式(圖 4-1-14)：動態表徵激發學生作猜測，使其透過模擬操作來操弄動態心像來進行推論，進而產生宣告。當幾何問題情境過於複雜或簡單，以致於學生無法單靠在心智中作推論時，會朝向具體操作圖形的方式來驗證猜測。轉化動態表徵. 猜測 (數學性質、動態行為). 操作. 模擬操作 (心像操弄). 推論. 執行. 實作具體操作 (DGE 外顯化) 驗證圖 4-1-14 DGE 下的思考實驗運作模式. 31. 宣告 (數學性質、動態行為).

(40) 三、虛擬的第三者從思考實驗運作模式可以清楚瞭解學生在 DGE 下作幾何探索的過程中，他們的思考實驗運作機制。以及無論是在兩人一組和一人一組的探索活動中，他們所形成的思考實驗運作模式也大致類同。由各組的討論內容可知兩人一組都有互相討論，充分展現出社會互動的現象，有助於思考實驗運作模式的產生與觀察。一人一組的學生雖然也能觀察到思考實驗運作模式，但他們在探索過程中還會產生另一種思考現象。例如 I、K、L、M、N、O、Q、 S 這八位學生，他們在探索過程中，幾乎都與螢幕在互動，很少用手勢或語言描述想法。研究者不易觀察到思考實驗的運作情形，所以也無法描述具體的思考實驗運作模式。雖然這些學生的思考實驗並未外顯化，但研究者認為會產生此現象的原因主要是他們在探索過程中產生出虛擬的第三者。當學生(第一人)與電腦(第二人)在互動且進行心智活動時，往往會伴隨虛擬第三者(即學生本身)的出現。例如：學生在與電腦的互動過程中雖然沒有講話，但他寫在紙本上的內容，並不僅僅是把螢幕上所看到的現象完全複製下來，而是有經過思考及整理過後才寫下來的。這情況意味著他是有在與自己(第三者)對話和進行思考實驗。往往這個虛擬的第三者才是解題的關鍵，電腦或動態表徵的作用則是激發第三者的產生。此外如果將第三者的角色套用在兩人一組的個案中，他的夥伴其實就是在扮演第三者的角色，此時的第三者已實體化。因此，底下將舉 L、M 兩位學生的紙本內容說明他們在幾何探索中並非全無作思考實驗，只是他們在與第三者對話和進行推論。 L 在活動三寫下「當 ABCD 為凹四邊形，則兩點在一直線上」，在活動四說明了他猜測的理由 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7. 32.

(41) 第肆章研究結果與討論. 從 1.1 到 1.5，L 主要在描述他所看到的現象，將現象照實的寫下來且此現象似乎和他所認知的圖形產生衝突。而從 1.5 到 1.6 之間意味他與第三者對話，1.6 到 1.7 顯示他正在針對他所發現的現象作一個猜測「如果 A 的另一邊也做角平分線是否可以做出其他的交點」，而圖中的虛線就好比他正在做模擬操作。 M 在活動三則有觀察到四個現象，底下是他對現象 II 和現象 III 的描述：. 33.

(42) 現象 II 主要是 M 透過計算角度猜測兩個三角形會相似，而現象 III 和現象 II 的 ABCD 是兩個對比的四邊形，但 M 以現象 II 的結果為基礎和假設 DEFG 存在且對邊不平行，推測 EHG  EFJ 。這也意味他跟第三者討論承認 JEF ~ JGH 且 EF // GH 的事實，而推測出 EHG  EFJ 。因此，這裡可以說明他仍有在進行思考實驗，只是他直接以文字將思考實驗外顯化。由以上兩位學生的紙本內容可以瞭解到他們在觀察動態表徵時是有經過思考整理過後才寫下的，並運用符號和幾何表徵來外顯化思考實驗後所得到的結果。但有的學生在紙本的內容只是將動態表徵照實的寫下來，並未看到有經過整理的現象。這意味著動態表徵沒有進一步引起他們去推論，可能是情境複雜以致於無法解釋當下所看到的現象。. 34.

(43) 第肆章研究結果與討論. 第二節. 學生的思考實驗與拖曳行動及動態表徵的交互作用. 學生在 DGE 下學習幾何知識時，往往會透過操弄圖形，觀察圖形的變化和思考變化的意義。由實驗的資料可以發現學生在幾何探索的過程中，的確會受到拖曳行動、動態表徵和思考實驗影響。本節分別就思考實驗引導拖曳行動及拖曳行動產生動態表徵，以及動態表徵激發思考實驗三個面向來分析與討論三者的交互作用情形。. 一、思考實驗引導拖曳行動在幾何探索活動中，當學生作思考實驗後，會基於以下兩個理由進行拖曳行動： 1.為了確認推論的想法是否正確而產生拖曳行動來驗證猜測或物件的動態行為。 2.由於所面對的幾何情境過於複雜，導致學生無法僅靠思考實驗來驗證想法或進行推論。以下將以 F1 與 F2、A1 與 A2 和 B1 與 B2 的對談過程為例來說明上述兩個現象： F1：可能會有一個軌跡讓角平分線都交於一點 F2：交於一點，就是四點同圓嘛。啊！不是，是距離，應該是有一個內切圓。為什麼會交一點？就這個點到每邊的距離都一樣，有內切圓。以前好像有看過這種東西。如果有一個內切圓….. 學生 F1 的猜測引起學生 F2 開始作思考實驗，依據「角平分線交於一點」的假設，運用數學知識(角平分線的性質)推論出「有內切圓」的結論，並以手勢表達想法。思考實驗引起他去使用 GSP 工具盒拖曳出一個圓，並產生連結拖曳使四邊形外接或內切此圓來檢驗猜測「當四邊形有外接圓，還是有內切圓時，才會使角平分線交於一點。」由上述的對話可知他人所做的猜測會影響個體去作思考實驗，這裡所產生的拖曳模式是在檢驗思考實驗所. 35.

(44) 產生的猜測。 A1: 等腰梯形，角平分線交一點，角平分線交一點。嘿！可以在裡面畫一個圓。等腰梯形… 等腰梯形就是一個圓啊對啊！因為這兩邊會一樣，這兩邊會一樣，這兩邊會一樣。 A2: 哪有 A1: 我做給你看(拖曳出一個圓) A2: 在裡面嗎 A1: 你看。等腰梯形你看唷！這兩邊會一樣長，這兩邊會一樣長 A2: 所以會交一點 A1: 對啊一定啊。一定是切線。就是你圓裡面隨便找四個點，也不是說四個點，就是一個對稱點。這兩支過直徑的點，就這兩點，過直徑的點。然後兩邊找一個對稱的，對稱這條線的點~切線劃出來的一定是等腰梯形。因為這邊等於這邊，這條線就是角平分線啊！. 當 A1 經由思考實驗推論出「等腰梯形裡頭有一個圓」時，A2 對此推論感到疑惑。A1 為了讓 A2 相信他的推論結果，產生連結拖曳等腰梯形使其內切一個圓，藉由此拖曳模式所形成的動態表徵來驗證他的想法。. B1: 這樣算是一個點嗎 R:. 那你把角平分線 SHOW 出來. B2: 真的是一個點耶~...... R : GSP 所有功能都能使用包括計算也可以 B2 : 計算？所以我們可以計算角度囉！ B1 : 好~你要算哪個角度 B2 : 你先移回來原來的圖形，乾脆裡面的角算一算好了。你先把它變一個點 B1 : 你是要讓 EFGH 變一個點嗎 B2 : 往下往下，C 往下~你要讓這四個點在一起，可是為什麼有角度啊 B1 : 對啊~為什麼啊. B1 不確定他所看到的圖形是否角平分線交於一點，使得 B2 提議去計算 ABCD 和 EFGH 的內角，開始作思考實驗去觀察當角平分線交於一點時，. 36.

(45) 第肆章研究結果與討論. 它們之間有何關係。接著產生引導拖曳使得四邊形 ABCD 的角平分線交於一點，但所顯現的動態表徵令他們感到困惑。由 B1B2 的活動中可知即使拖曳圖形後，情境仍過於複雜使他們無法順利推論，找到問題的答案。從學生的活動資料可發現思考實驗引導拖曳行動的機制(圖 4-2-15)：學生作思考實驗產生猜測或推論結果後，為了再次驗證推論或面臨複雜的幾何情境而產生拖曳行動。. 猜測拖曳行動. 思考實驗. 驗證. 複雜化幾何情境圖 4-2-15 思考實驗引導拖曳行動的機制. 二、拖曳行動產生動態表徵 Olivero(1999)整合拖曳認知模式和其理論架構所形成的拖曳與推理關係模型，從認知功能上可區分出七種拖曳模式隨著上升過程(實驗歸納)到下降過程(演繹推理)有層次之分，即層次從漫遊拖曳模式提昇到拖曳檢驗模式。本研究發現隨著拖曳模式的不同功能所產生的動態表徵具有認知功能的層次區別。從實驗資料中顯示學生在幾何探索過程所發展的拖曳模式只有五種，並未發展有界拖曳和線拖曳。這意味學生在幾何探索過程並非都是以這七種拖曳模式探索幾何圖形，拖曳模式可以幫助我們分析學生的解題策略和認知行為。隨著探索的目的或處理的幾何問題不同，學生會發展出其所需的拖曳模式。以下敘述不同拖曳模式產生的動態表徵類型： 1.漫遊拖曳形成「無結構圖形」，即不具有某種數學性質的圖形，例如：學生想觀察四邊形 ABCD 會產生什麼變化，而隨意地拖曳頂點，產. 37.

(46) 生出任意的四邊形。 2.引導拖曳形成「符合特定結構的圖形」，例如：學生為了檢驗猜測而去拖曳四邊形 ABCD，使其變成平行四邊形。 3.無聲軌跡拖曳形成「蘊含某些不明顯的數學性質的圖形」，即圖形蘊含某種幾何性質，但使用者在拖曳的過程中還觀察不到。例如：學生在拖曳圖形時，動態表徵顯示角平分線交於一點，代表裡頭蘊含四邊形有內切圓，但此時他還看不到此幾何性質。 4.連結拖曳形成「結構不完整的圖形」，即圖形只有滿足部分條件，但如果再拖曳此圖形時，它的結構就會受到破壞。例如：學生為了檢驗角平分線交於一點時，是否有內切圓，於是將圓連結到四邊形內部，只要角平分線交於一點，此圓都會是四邊形的內切圓。 5.拖曳檢驗形成「具有特定幾何性質的結構化圖形」，即無論怎樣改變圖形，它都會保持某種幾何性質，例如：學生拖曳滿足角平分線交於一點的四邊形來觀察是否其內部都有內切圓。從漫遊拖曳所產生的「無結構圖形」到拖曳檢驗產生的「具有特定幾何性質的結構化圖形」，我們可知動態表徵由不具有數學結構的無結構圖形發展到具有特定幾何性質的結構化圖形，這意味者隨著拖曳模式的層次愈高，發展出來的動態表徵也愈有結構。以下是拖曳模式所產生的動態表徵的整理 (圖 4-2-16)：. 拖曳模式. 漫遊拖曳. 無結構圖形. 引導拖曳. 符合特定結構的圖形. 無聲軌跡拖曳. 蘊含某些不明顯的數學性質的圖形. 連結拖曳. 結構不完整的圖形. 拖曳檢驗. 具有特定幾何性質的結構化圖形. 圖 4-2-16 動態表徵類型. 38.