一、幾何探索歷程
早期 DGE 研究大多專注於學生在觀察圖形變化的過程中，如何學習圖 形蘊含的幾何知識，或是設計有利於學生學習的教學環境。近年來則傾向於 外在行動的認知行為，如 Arzarello et al. (2002)的研究即聚焦在學生所發展 的拖曳行動上，且提出七種拖曳的認知模式。本研究從學生整體的幾何探索 歷程中，分析學生的思維和推理論證的過程，並探討其內部的運作機制。
大學生在 DGE 下進行幾何探索的過程主要受到拖曳行動、動態表徵和 思考實驗的交互作用所影響，它們扮演著牽引學生思維和推理過程的重要角 色。當學生面臨一個幾何情境或猜測時，拖曳行動的認知行為會影響學生對 動態表徵的解讀，動態表徵的解讀會激發思考實驗，思考實驗會引導拖曳行 動，三者之間的交互作用形成一個幾何探索的循環系統。學生在此循環系統 中會產生或修改猜測、驗證猜測或推論想法，甚至是證明猜測。探索過程中 所作的猜測和驗證後的結論往往會透過命題化後形成較具有結構的數學語 句，形成新的作業或猜測。
當學生在作思考實驗的過程中，為了驗證猜測或所面對的幾何情境過於 複雜時，會傾向將其內在的想法具體化。但要將內在的想法具體化就需要靠 外在的媒介工具來表達，所以產生拖曳行動。
拖曳行動所產生的動態表徵，隨著拖曳模式的認知層次提升，圖形內部 所蘊含的數學結構也隨之愈趨複雜化，從無結構的圖形發展到具有特定幾何 性質的結構化圖形。所以當學生使用的拖曳模式的認知層次愈高時，代表他
們建構的圖形結構愈複雜，所需應用和具備的數學知識也愈多。
隨著動態表徵的結構愈複雜，它們將會與學生過去所認知的圖形產生連 結或衝突，所以需要喚起更多的數學知識和經驗去思考圖形變化的意義，進 而激發學生作思考實驗。
從學生整體的幾何探索歷程來看，雖然他們可以藉由拖曳行動來操弄圖 形，以及觀察動態表徵來找尋表徵內變與不變的性質，但無論是拖曳行動或 動態表徵，它們都與思考實驗有著密不可分的關係。學生在進行探索的過程 中，並非立即進行拖曳行動，而是會先經過一段思考實驗後，才開始行動。
同樣地，學生在觀察動態表徵的過程中，也不是單純觀看而已，動態表徵對 他們來說是有意義的。思維主導行動，表徵對思維產生意義。因此，學生在 探索和學習幾何的過程，思考實驗扮演一個主導的角色。
二、DGE 下思考實驗運作模式和機制
大學生在 DGE 下所發展的思考實驗主要是受到動態表徵外在的動態行 為和內在的數學性質所影響而激發他們產生猜測，也會透過手勢輔助模擬操 作的方式來驗證猜測，進而產生宣告。通常模擬操作完後，會再使用 GSP 具體操作驗證自己的想法。不過，當問題情境過於複雜或簡單時，會跳過模 擬操作直接朝向具體操作圖形的方式來驗證猜測。此外影響學生作思考實驗 的因素除了動態表徵，也會受到同儕的想法所影響。學生藉由同儕間的互相 討論，激發他們產生或修改猜測，釐清推理的盲點，有助於思考實驗的運作 和推論。
底下將詳細說明思考實驗運作模式(圖 4-1-14)中的操作、推論、執行、
實作、驗證和轉化等運作過程中的動作，其中虛框線所包含的基本元素和過 程代表學生內在的思考實驗。
操作
當學生看到動態表徵時，它會激發他們去猜測表徵背後的數學性質及物 件的動態行為。猜測產生後，學生會基於以下理由開始透過手勢或語言作模
擬操作，操弄動態心像：1.解釋提出猜測的理由 2.反駁猜測 3.驗證猜測。
推論
在推論過程中，學生以其所擁有的數學知識或圖形表徵為基礎，配合手 勢和語言進行推論，進而產生宣告。這裡的宣告內容主要與數學性質和物件 的動態行為有關。推論的結果可分為兩類：
1.學生提出他們認為正確的宣告(如 A1A2 思考實驗運作元素(圖 4-1-7)) 或是假設性的宣告(如 C1C2 思考實驗互動關係(參考附錄三))。
2.學生經過推論過程後，發現原猜測錯誤，使其無法產生支持原猜測的 宣告，例如學生 G 推論過後得到「我的假設錯誤」的宣告(參考附錄 三)。
執行
學生在模擬操作階段是利用想像的方式在心智中驗證猜測或找尋支持 猜測的論點。不過，當學生為了使他人確信自己的推論結果或是對於模擬操 作出的結果不具信心及模糊不清時，他們會執行動態幾何軟體來具體操作數 學物件，亦即將抽象的推論具體化及動態心像視覺化。
實作
當一個猜測產生時，學生不一定先會以模擬操作的方式驗證，而是直接 透過具體操作的方式，藉由觀察動態表徵來檢驗猜測。產生此行為的原因共 有以下兩點：
1.面臨的幾何問題情境過於複雜，導致學生短時間內無法處理外在給予 的訊息，需經由具體操作圖形來減輕認知負荷。
2.猜測過於簡單易懂使得學生不需先進行思考，而是直接操弄圖形，將 想法實踐。
驗證
在具體操作的過程中所產生的動態表徵使學生驗證猜測或推論想法的 正確性，並進一步對操作驗證的結果下結論，產生宣告。
轉化
當宣告產生後，會使其再度轉化會新猜測的理由主要是學生在具體或模 擬操作過程中得到宣告後，為了再次驗證宣告的正確性，將宣告轉化為猜 測，在心智中進行模擬操作驗證。
學生在思考實驗的過程中，有時還會發生有如與第三者論證的自我對話 現象，此現象可以經由他們在紙本上所寫的內容來瞭解思考過程。第三者的 產生意味學生在 DGE 中進行幾何探索時，並非單純的拖曳圖形，觀察圖形 的變化，而是會進一步去思考變化中所蘊含的意義。虛擬的第三者常常扮演 提供解題策略或反思的角色，而電腦(動態表徵)的作用則是激發第三者的產 生。中所以第三者可以作為當我們在分析學生處理幾何問題時，所需考慮的 面向之一。由於第三者也是屬於內在思維的產物，在此將 DGE 下的思考實 驗運作模式與第三者結合形成新的模式(圖 5-1-32)：
圖 5-1-32 思考實驗運作模式(第三者) 驗證
虛擬的第三者
轉化 激發 對話
推論
操作 模擬操作
(心像操弄)
實作
執行
具體操作 (DGE 外顯化) 猜測
(數學性質、
動態行為)
動態表徵 宣告
(數學性質、
動態行為)
三、幾何推理過程
(一)DGE 幾何論證模式
大學生在 DGE 下所進行的推理方式可分為幾何實驗、思考實驗和形式 證明三大部分，其中思考實驗在推理過程中扮演橋接幾何實驗(實驗歸納)與 形式證明(演繹推理)的角色。此三種推理方式構成一個幾何論證模式(圖 4-3-31)：學生在幾何實驗中所產生的猜測或觀察的動態表徵變化，經由思考 實驗在心中模擬驗證猜測。而思考實驗後所產生的推論，有時會以具體操作 來驗證推論的正確性，最後再將推論的結果轉化為形式證明。當學生在進行 形式證明的過程中，遇到複雜情境或問題時，會回到思考實驗重新模擬推論 或以具體操作方式來探索證明的想法。
從幾何推理的過程可以發現到學生在 DGE 下從實驗歸納發展到演繹推 理，兩種推理方式的轉移過程中，思考實驗是一個重要的發展階段。由研究 發現顯示這些大學生在 DGE 下進行探索的過程中，不單單採取實驗歸納，
而是與演繹推理交互進行著。並且藉由作思考實驗，使其進入到形式證明的 階段。因此，思考實驗可視為學生從實驗歸納發展到演繹推理之間的仲介工 具。
(二)猜測、驗證和證明的認知一致性
學生在 DGE 下所作的猜測、驗證和證明具有認知一致性，亦即猜測產 生後，經過驗證確認和修改，最後證明此猜測，這三種推理過程彼此是相關 的。學生在具體操作及形成猜測的過程中，逐漸發展出某種論證結構來支持 或反駁猜測。此論證結構往往會伴隨在思考實驗裡頭，透過思考實驗來驗證 猜測，形成形式證明的論點。此現象顯示大學生的推理過程中所產生的認知 一致性，思考實驗扮演著給予推理過程認知連續性的角色。而且當學生具有 足夠的數學知識和軟體的熟練度時，可以透過探索的過程中逐步發展猜測、
驗證和證明。