幾何是一門討論空間數、量、形間關係的學科，從本質面來說，其包含 兩種基本且不可分離的對偶結構：一種是視覺化可操作的具體事物(經驗幾 何)，另一種是分析邏輯推理的抽象思維(推理幾何)，即具體事物的圖形表徵 與推理論述的符號語言(左台益，2007)。Fishbein (1993)引進圖形概念(figural concepts)的觀點論述幾何本質的對偶結構，他認為在幾何推理中觀察和操弄 的物件都是一些稱為圖形概念的心智物件。這些圖形概念同時反映出幾何物 件的空間性質(形狀、位置和重量)和概念性質(如理想化、抽象化、一般化和 完美化)。Duval (1995)進一步分析幾何圖形對於學習者的啓發作用，提出四 種 個 體 對 於 幾 何 圖 形 的 認 知 理 解 形 式 ： 知 覺 性 理 解 (perceptual apprehension)、構圖性理解(sequential apprehension)、論述性理解(discursive apprehension)、操作性理解(operative apprehension)。知覺性理解是學習者能 夠辨識圖形表徵，論述性理解是學習者能夠以符號語言來描述或推論幾何性 質。構圖性理解與操作性理解則是學習者能夠變換及操弄圖形表徵，並在操 作過程中理解圖形的組成結構。無論從 Fishbein 的圖形概念或 Duval 幾何圖 形的認知理解，均強調幾何學習需同時著重透過經驗操作圖形表徵和利用符 號邏輯論述幾何性質，亦即強調操作行動與推理論述的對偶共生系統。
經驗幾何著重在操作行動，推理幾何強調在邏輯論述，它們需要藉助具 體的工具和抽象的符號來建構與溝通想法。Vygotsky (1978)區分科技工具 (technical tools)和心理工具(psychological tools)的仲介功能，這兩種工具基本 差異在於它們導引人類行為的方式。科技工具的功能是做為人類影響活動中 之物體的執行者；它是外在導向且導致物體的變化。心理工具則不會使心理 操作中的物體產生變化，它是控制個體內在活動的媒介，是內在導向的。當 個體經過複雜的內化過程後，科技工具將變成心理工具且形成新的意義，此 時科技工具就如同符號仲介物(semiotic mediator)，具有符號仲介的功能 (Mariotti et al.，2003)。從幾何學習的對偶論和 Vygotsky 的仲介工具論，提 示吾人在探討學生從經驗幾何發展至推理幾何的歷程中，需注意學生對於科
技和心理工具的使用和發展過程。Mariotti (2001b)就表示當動態幾何軟體 Cabri 引入學生的活動時，它在學生的社會互動中提供複雜的符號系統，並 支持符號仲介的過程，輔助學生發展符號運用的心理工具。
隨著資訊科技快速的發展，輔助教學與學習的軟體也不斷的產生，在輔 助幾何學習方面的相關軟體從 60 年代的 LOGO 發展到 80、90 年代的動態 幾何軟體(如 GSP、Cabri、Supposer 等等)。這些幾何輔助軟體自然地被討論 如何應用於學校數學。Straesser (2001)研究顯示 DGS 提供新的幾何解題策 略，這些策略應用在傳統的紙筆工具上來說並不是那麼有效，至少是不容易 實行的。Almeqdadi (2000)也有同樣的研究結果，認為 GSP 是一個互動且動 態的電腦軟體，能幫助學生學習及瞭解幾何概念和性質。DGS 提供學習者 使用滑鼠自由地拖曳圖形，使圖形由靜態轉化為動態，不同於紙筆操作圖形 的環境。學習者在圖形產生動態變化的過程，觀察幾何圖形中變與不變的性 質，進而產生操作性理解。例如，在學習「三角形三中垂線交於一點」時，
學生藉由拖曳任一頂點，使圖形發生動態改變，觀察圖形從特殊例轉化為一 般例的過程中，了解三條中垂線仍會交於同一點的性質。拖曳是動態幾何環 境(DGE)中的主要操作行動，近年來吸引一些研究者開始聚焦在學生的拖曳 行動及其如何影響學生幾何推理或探索歷程。
拖曳主要是學習者依據某些目的和想法所產生出來的行動，Talmon &
Yerushalmy (2004)即認為拖曳是學習者為了學習幾何而發展出來的人工製 品(artifact)。學生在探索問題時，往往會透過拖曳圖形幫助其產生猜測，並 用拖曳來檢驗猜測。Arzarello et al. (2002) 認為拖曳有助於猜測的產生，藉 由拖曳行動來探索圖形，觀察形狀變化，讓使用者發現到圖形裡不變的性 質。黃哲男(2001)也認為使用者可以透過「拖曳」的功能，依自己的目標與 想法操弄幾何物件以觀察存在於其中的性質或關係，亦即透過這樣的環境，
可以提供使用者一個探索實驗的環境，並可以利用其培養幾何直觀、空間感 及幾何作圖方法等數學能力。學生也可以藉由拖曳幾何圖形來驗證猜測的正 確性，Furinghetti & Paola(2003)在他們的研究中，發現漫遊拖曳(Wandering dragging)可為猜測的產生找尋靈感。學生藉助拖曳行動操作幾何圖形進入歐 氏理論的綜合推理中，再透過推論產生出新的定理。
雖然在動態幾何環境中，拖曳行動是組成此一學習環境的重要元素且扮 演主要的仲介工具，但經由拖曳行動所產生的幾何圖形的動態變化是另一個 組成學習環境的重要元素，稱為動態表徵。Talmon & Yerushalmy (2004)定義 動態行為(dynamic behavior)指的是學生拖曳物件時，物件在螢幕上所產生的 變化。動態表徵即是由拖曳行動和物件的動態行為所產生幾何物件在時空變 化的表徵型態。在他們的研究中建議為了更了解動態幾何環境下的幾何學習 過程，我們必須注意到動態行為，它可被視為一個構圖過程的動態表徵。
早期的研究著重在探討動態幾何軟體如何幫助學習者學習幾何概念，發 現幾何性質，或是觀察個體如何進行幾何探索及產生猜測、驗證及證明 (Hölzl, 1996 ; Hazzan & Goldenberg, 1997 ; Hoyles & Jones, 1998 )。近年來則 有學者將研究議題擺在探究個體如何拖曳幾何圖形。Arzarello et al.(2002)顯 示學生在動態幾何環境中解決問題過程中會產生七種拖曳模式，這些拖曳模 式是將學生依據不同的目的所產生的拖曳動作做分類，分別為：漫遊拖曳 (Wandering dragging) 、 有 界 拖 曳 (Bounded dragging) 、 引 導 拖 曳 (Guided dragging)、無聲軌跡拖曳(Dummy locus dragging)、線拖曳(Line dragging)、
連結拖曳(Linked dragging)和拖曳檢驗(Dragging test)，每一種拖曳方式都代 表著不同的認知過程。他們利用這七種拖曳模式在教學實驗中分析學生進行 幾何探索時，處理幾何問題的認知過程。
在 DGE 中，學生拖曳行動產生動態表徵，動態表徵會影響個體的想法，
拖曳行動是由個體所主導產生的。因此，在探討與動態幾何環境相關的議題 時，個體的想法和數學思維也是需要考慮的因素。Tall (1996)認為雖然電腦 提供一個擁有可操作的視覺展示和符號工具的人性化互動界面，但它仍需要 藉由數學家的想法去進行思考實驗來決定什麼是重要的？什麼是需要證明 的？由 Tall 的說法可知思考實驗是主導數學家作探索和推理證明時，不可 或缺的因素之一。Tall(1999)認為思考實驗是一個人想像定理可能成立的條 件，並試圖去看(see)結論是否成立。基於以上理由，本研究將思考實驗做為 探究個體想法的主要因素。
在幾何課程中，幾何證明是重要的學習單元和目標，但也是學生最常碰 到的學習因難與障礙。Healy & Hoyles (1998)的研究指出學生在代數方面的
證明表現明顯優於幾何方面。為了幫助學生有效地學習幾何證明，建立正確 的幾何推理思維，許多學者和教師也開始探討動態幾何軟體如何幫助學生作 幾何證明。Christou et al. (2004) 表示學生在 DGE 中可以透過驗證猜測來獲 得理解，此理解引發更深的好奇心使學生解釋為何結果是對的。Olivero et al.
(2002)認為 Cabri 允許學生去作探究且促進猜測的產生和引起學生作證明的 動機。但如果在一個不適當的學習方式或是學生對它有著不適當的認知等情 況下，動態幾何軟體將會削弱證明的功能，甚至妨礙學生學習證明。Mariotti (2001a)表示對於動態幾何軟體在發展理論思維方面的貢獻，特別是在建構 證明的意義來說，尚未有一個共識。部分學者認為有些學生會將 DGS 上的 驗證視為證明，且當他們產生此想法時，DGS 將會削弱證明在中學幾何所 扮演的角色及阻礙學生從經驗操作發展到理論思維(Chazan，1993; Arzarello et al.，2002)。
從以上研究顯示學生在動態幾何環境中傾向實驗歸納，利用具體操作來 檢驗猜測、定理或性質，疏忽演繹推理的論證。但實驗歸納和演繹推理卻是 學習數學推理證明的重要方法，許多數學家或精通數學者通常能熟練且交互 的使用此兩種方法。Schumann & De Villiers (1993)認為幾何的學習應同時注 重啓發式學習的兩個方向：(一)認知的獲得(歸納法)，(二)認知的發展(演繹 法)。即啓發式的幾何教學活動包含觀察實驗的歸納探索以及邏輯推理的演 繹研究過程(引自左台益，2007)。鄭勝鴻 (2005)也認為學生在學習直覺幾何 時，是利用實驗探索的方式來學習幾何知識；在學習演繹幾何時，是利用演 繹推理的方式來重新學習幾何知識。由此可知，如何橋接實驗探索和演繹推 理是個重要的議題，也是許多研究正在探究的。學生究竟如何從以 DGE 為 基礎的實驗操作過渡到學習形式化幾何概念的邏輯論述，需要大量的研究來 探究此過渡過程(Battista，2007)。