第三章 研究方法
第二節 實證模型建立
一、 單根檢定(Unit Root Test)
在 使 用 時 間 序 列 資 料 進 行 分 析 時 ， 由 於 大 部 分 的 變 數 多 為 非 定 態 (Non-stationary) 序 列 ， 若 直 接 進 行 迴 歸 分 析 容 易 造 成 假 性 迴 歸 (Spurious Regression)之現象，使得估計結果不具任何意義。因此使用時間序列資料分析 前，必須先判定時間序列之變數是否為定態序列，故單根檢定主要確定變數的 時間序列觀察值是否存在非定態現象。
Dickey and Fuller (1979)所提出的單根檢定中假設殘差項ε 為白噪音，結果t 發現迴歸之殘差項通常有自我相關的現象，使得 DF 檢定範圍受到限制漸而影 響到研究結果的檢定能力。Dickey and Fuller (1981)考慮殘差項序列相關之後，
就 以 AR(p) 的 型 式 進 行 單 根 檢 定 ， 稱 為 「 修 正 後 DF 檢 定 」 (Augmented Dickey-Fuller test；ADF)。因此本研究以 ADF(Augmented Dickey-Fuller test)檢定 法檢定研究變數是否為定態。
模型如下：
(1) 只有截距項
t p
i
i t t t
t Y Y
Y =α +β + θ ∆ +ε
∆
∑
= −
− 1
1 (1) (2) 皆有截距項及趨勢項
t p
i t t i
t
t t Y Y
Y =α +γ +β + θ ∆ +ε
∆
∑
= −
− 1
1 (2) (3) 皆無截距項及趨勢項
t p
i
i t t t
t Y Y
Y =β + θ ∆ +ε
∆
∑
= −
− 1
1 (3) p 為最適落後期，以保證殘差項ε 為白噪音。 t
假設檢定為：
0
0 :β =
H (變數存在單根)表示變數之時間序列為非定態。
0
1:β ≠
H (變數不存在單根)表示變數之時間序列為定態。
檢定結果若β 不顯著異於零，表示變數不具單根，則可對變數進行差分再 做一次單根檢定，直至變數呈現定態為止。
二、 複迴歸模型
複迴歸模型是指一個應變數Y 與多個自變數t X1t、X2t、X3t…X 等有因果kt 關係，以數學函數表示如下：
) ..., , ,
( 1t 2t 3t kt
t f X X X X
Y =
若變數間呈線性關係，則可表示成複迴歸模型。其模型如下：
t kt k t
t
t X X X
Y =α +β1 1 +β2 2 +...+β +ε 可改寫成：
t k
i i i
t X
Y =α +
∑
β +ε=1
(4)
其中：α 為常數項，β 為迴歸係數且i i=1,2,3...k ε 為模型之殘差項 t
三、 GARCH 模型
一般傳統的計量模型及時間序列模型中，在條件變異數均設為固定，也就 是假設殘差項不會隨時間的不同而改變。但實際上有許多金融性資產的時間序 列資料並沒有符合上述的假設，如 Mandelbrot (1963)對股價資料進行研究，其 研究結果發現股價變動會呈現高狹峰與厚尾(fat tail)的現象，且股價變動具有自 我相關及存在波動叢聚(volatility clustering)的現象。對於變異數異質現象，Engle (1982) 提 出 自 我 迴 歸 條 件 異 質 變 異 數 模 型 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH)，此一模型中允許條件變異數具有隨時間變動 而改變的特性，實證結果亦發現ARCH 模型不但能顯示金融性資產的時間序列 資料之特性，對於異質變異數更可以加以預測。
Bollerslev (1986)進一步將 ARCH 模型加以延伸，將過去殘差項及過去的變 異數加入條件變異數方程式中，提出一般化自我迴歸異質條件變異數模型 (General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, GARCH)。此一模型 允許較長的時間序列資料以及在條件變異數的結構設定設更具有彈性，同時使 得模型在參數上的估計更為精簡化。因此GARCH 模型比 ARCH 模型較完整，
故本研究將採用GARCH 模型為實證研究方法。以下為 GARCH 模型做介紹：
Bollerslev (1986)提出 GARCH 模 型(General Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model)，允許條件變異數受過去 q 期已實現干擾向與前 p 期條 件變異數的影響。模型如下：
t t
t X a
Y = +ε ) , 0 (
~ 2
1 t
t
tΩ − N h
ε
∑
∑
= −= − +
+
= p
j j t j
q
i i t i
ht
1 2 1
2
0 αε β ε
α (5)
註：p≥0，q≥0，α0 >0，αi ≥0，i=1,2,...,q，βj ≥0，i=1,2,...,p 其中：ε 為模型之殘差項 t
Ωt−1為在t−1期時所有可利用資訊的集合
h 為t Y 之條件變異數，受到前期 p 期誤差項平方與前 q 期條件變異數影 t 響
α 、 β 為未知參數向量
四、 因果關係檢定(Granger Causality Test)
依據Granger (1969)所定義之因果關係，若兩變數有因果關係存在時，若在 自變數中加入過去資訊會增加應變數的解釋能力，則這個現象稱為自變數X 為 應變數Y 的因( X cause Y )，反之則應變數Y 為自變數 X 的因。若兩變數皆存在 因果關係，則表示自變數X 與應變數Y 之間有回饋關係(feedback)。下列以兩變 數模型說明Granger 因果關係檢定之方程式：
t k
j
j t j k
i
i t i
t a X Y
Y 1
1 1
ε β
α + +
+
=
∑ ∑
= −
= − (6)
t k
j
j t j k
i
i t i
t b Y X
X 2
1 1
ε γ
δ + +
+
=
∑ ∑
= −
= − (7) 若檢定結果α 與i δ 兩係數皆為零，則兩時間數列不存在因果關係。若i α 與i δ 其i 中之一為零，則表示兩時間數列具有單向因果關係；若α 與i δ 兩係數皆顯著不i 為零，則表示兩時間數列互為因果關係，即有回饋關係(feedback)。
五、 向量自我迴歸(VAR)
一般傳統實證經濟研究都是主要依據先驗理論基礎而建立計量模型，對應 變數與自變數的決定以及經濟變數之間因果關係的正確設定是有某種程度上的 困難，一旦設定錯誤可能導致完全無意義的結果。Sims (1980)認為根據先驗理 論建立之模型，估計得到的實證結果並無法証明是由經濟變數的聯合過程(joint process)的特性，即無法確定是否表現真正資料的特性，因而提出向量自我迴歸 模型(Vector Autoregression Model, VAR Model)。
VAR 模型不需要考慮變數之間因果關係，也不需要有先驗理論作為基礎，
在此模型內將各變數皆視為內生變數(endogenous variable)，以一組非單一迴歸 方 程 式表 現出 各變 數 間 互動關 係 ，克服 了內生變數 與外生 變數(exogenous variable)判定的疑慮。由於時間序列分析法認為變數之落後項涵蓋所有訊息，因 此每一條迴歸皆以變數絡後項為解釋變數，但 VAR 模型處理衝擊項相關問題 時，經由Cholesky 分解正交化過程是不特定的，完全由研究者的主觀決定變數 的順序，不同的順序會導致不同的結果，此為 VAR 模型缺點。其 VAR 模型如 下：
t m
i
i t i
t Y
Y =α +
∑
β +ε= −
1
(8) 0
) ( t = E µ
0 )
,
(µt µt′ =∑µ ≠ E
0 ) , ( t ′s =
E µ µ ，t ≠s
其中，Y 為t (n×1)向量的組成具有聯合共變異恆定(jointly covariance stationary) 的線性隨機過程(linearly stochastic process)
Yt−i為Y 向量第 i 個落後項所組成的t (n×1)向量
β 為i (n×n)係數向量，視為一種傳導機能(propagation mechanism) ε 為 結 構 干 擾 項 (structural disturbance) ， 是t (n×1) 的 一 期 預 測 誤 差 (fore-cast error)，可視為隨機衝擊項(innovations)
E(µt)=0為模型中每條迴歸式的誤差項之期望值為0
E(µt,µt′)=∑µ ≠0為一對角化的共變數矩陣，其值不等於 0 表示聯立方 程式間同期誤差向量彼此相關
E(µt,µ′s)=0為每條迴歸式具有時間序列獨立之特性
VAR 模型所估計出來的迴歸係數在分析上不具經濟意義，因此 VAR 模型發 展出三種應用模型，即為因果關係檢定(Granger Causality Test)、衝擊反應分析
(Impulse Response Analysis) 與 預 測 誤 差 變 異數 分 解 (Forecast Error Variance Decomposition)。
而 VAR 之 最 適 落 後 期 的 選 擇 標 準 有 ： AIC 準 則 (Akaike Information Criterion)、SC 準則(Schwartz Bayesian Criterion)以及 LR 準則(Likelihood Ratio Criterion)。Akaike（1969）認為可以由最小的 AIC 值來選取 VAR 的落後期，
其公式為：AIC =T×ln(SSE)+2U ，T 為樣本數， SSE 為誤差平方和，U 為參 數估計數。Schwartz（1978）運用貝式（Bayesian）方法，推論出可以由最小的 SC 值來選取 VAR 的落後期，其公式為：SC =T×ln(SSE)+U×ln(T)，T 、SSE 及U 皆與 AIC 之變數定義相同。AIC 主要著重於不偏性，但是可能會產生高估 落後期數的結果；而 SC 主要著重於效率性，對於較複雜的模型給予較高的處 罰，這可能因此產生低估落後期數的結果。因此本研究之落後期當最小的 AIC 值與最小的 SC 值所選取的落後期數不同時，則採用蔡明勳(2001)文中建議用 LR 準則擇，利用二者迴歸模型的 LR 統計量進行概似比檢定（Likelihood Ratio Test）。反之若 AIC 值與 SC 值一致時，則採用其對應之落後期。
(一)衝擊反應分析(Impulse Response Analysis)
衝擊反應分析主要是研究 VAR 模型中，當某一變數受到外生變數的衝擊 (impulse)時，其他變數對此衝擊的動態反應情形。根據(8)式，一般 VAR 模型：
t m
i
i t i
t Y
Y =α +
∑
β +ε= −
1
Sims(1980)指出將上式經由 Wold 分解定理以移動平均(Moving Average,MA)形 式表示，即每一變數可以被表示為當期和各落後期隨機衝擊項之線性組合，過 程如下：
t m
i t i
t Y
Y =α +
∑
β +ε− −
1
t t
m
mL Y
L L L
I −β −β −β −...−β ) =α +ε ( 1 2 2 3 3
t m m m
m
t I L L L I L L L
Y =( −β1 −β2 2 −...−β )−1α +( −β1 −β2 2 −...−β )−1ε
∑
∞= −
′+
=
0 i
i t i
t C
Y α ε (9) 其中α′為(n×1)的常數向量，C 為i (n×n)矩陣，且C0 =I(單位矩陣)
由(9)表示每一個變數皆可由本身內所有變數的當期與落後期隨機衝擊項 )
(ε 表示，若隨機衝擊項與當期無關，則將每一個變數表示成為各期隨機衝擊t 項的組成，可得出一組組合；當一般隨機衝擊與當期相關時，則需運用Choleski 分 解 定 理 將 下 三 角 矩 陣(lower triangular matrix)V(VV′=I) 完 全 正 交 化 (orthogonalization)，使成為一個對角化矩陣，去除隨機衝擊項之間的當期相關：
∑
∞= ′ −
′+
=
0
1 i
t i
t CVV
Y α ε (10) 將(10)式簡化為：
∑
∞= −
′+
=
0
i DiWt i
Y α (11) 其中Di =CiV ，Wt−i =V′ε 為序列無關且當期無關的正交化隨機衝擊項。 t−i 由(11)式之 VAR 模式移動平均法得知，每一個變數皆可表示為隨機衝擊項 的函數，因此藉由D 的大小得之變數的隨機衝擊項變動時，可觀察衝擊反應大i 小 變 化 為 正 或 負 影 響 ， 且 判 斷 出 經 濟 變 數 間 的 相 互 影 響 狀 況 是 持 續 性 (persistence)或為跳動性(volatility)的衝擊以及反應速度的快慢。且可根據衝擊反 應函數，觀察出當模型內某一內生變數以一個標準差的大小自發性干擾時，對 於其他內生變數當期以及未來各期的動態影響過程。
(二)預測誤差變異數分解(Forecast Error Variance Decomposition)
除了衝擊反應分析外，VAR 模型也可以藉由預測誤差變異數分解(Forecast Error Variance Decomposition，有時簡寫為 variance decomposition)衡量變數間自 己的變動與其他變數變動的解釋程度。由於預測誤差變異數分解需經由正交變 動過程分解下才有解釋意義，由(11)式中正交化隨機衝擊項Wt−i為序列無關且與
當期無關，因此可由此估計出預測誤差變異數分解的百分比，再由百分比的大 小以判斷變數之間其相對解釋程度。
由(11)式中的正交化干擾像可推導出Y 的 k 期干擾預測誤差，其公式為：t
1 1 2
1 1
0 − − ... − − −
− = + + +
− t k t t t k t k
t E Y DW DW D W
Y (12)
其中Et−kYt = E
[
YtYt−k,Yt−k−1,....]
，表示利用第t−k期對第t 期作預測可能產生的誤 差 ， 且 由 k 階 的 預 測 誤 差 求 得 對 應 預 測 誤 差 共 變 異 矩 陣 ， 其 模 型 為 ：1 1
1 1
0
0 ( ) ( ) ... ( )
) )(
(Yt −Et−kYt Yt −Et−kYt ′= D E WtWt′ D′ +DE WtWt′ D′+ +Dk− E WtWt′ Dk′− E
(13)
(13)式是說明每一個變數的變異數皆可表示為所有變異數的加總總和，即可 推算估計到每一其對角線上的數值，且此數值大小決定於D 的矩陣元素，因此k 透過VAR 模型的移動平均表示法中係數 D，可對各變數的預測 k 階誤差變異數 進行分解，由預測變異分解的百分比大小判斷變數外生性之相對強弱。