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第三章 實證模型
第一節 Panel data Regression
傳統的計量模型包括時間序列分析(time series analysis)和橫斷面分析(cross section analysis)，而 Panel Data（追蹤資料）則是包含了橫斷面的資料和時間序 列的資料。Panel Data 相對於時間序列或橫斷面資料的優點為：
(一) 能提供研究者大量的樣本數，可以增加自由度。
(二) 考慮了經濟個體的異質性，可以從更多層面來分析經濟議題。
(三) 與時間序列或橫斷面資料相比，可以檢驗複雜的行為模型。
(四) 能衡量時間序列或橫斷面模型所無法單獨分析的議題。
(五) 當樣本數足夠多時，估計結果可以視為有一致性(Consistency)。
(六) 減少解釋變量的共線性，提高估計結果的有效性(Efficiency)。
在處理 Panel Data Regression 時，先將橫斷面資料依時間序列資料方式排列 後，再排序每個橫斷面樣本，有些經濟效果可能同時包含時間序列與橫斷面資料 而無法拆開進行分析，此時若單獨使用橫斷面或時間序列計量方法來估計可能會 對其結果產生偏誤，或是產生錯誤的結論，而傳統的 OLS 方法只能估計橫斷面 的資料，Panel Data Regression 則可以處理橫斷面與縱斷面的資料，Panel Data Regression 又可以分為固定效果與變動效果，以時間的固定效果為例，可以判斷 出同一個時間點，不同的地區的教育支出對於人力資本的影響
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本文之迴歸模型係採用傳統迴歸模型與 Panel Data Regression 中的固定效果 及隨機效果模型，比較三種模型設定對於迴歸結果的差異，並且從不同模型的設 定，從中選出最適者，做為本研究最終結果之分析依據。
第二節 傳統迴歸模型
傳統迴歸模型如下：
Yit = α + βXit + εit
εit ～iid N(0, σ2)
其中 Yit 為第 i 個縣市在第 t 年的公私立高中升公立大學日間部比例。Xit
為第 i 個縣市於第 t 年解釋變數值的矩陣，包含公私立高中畢業生性別比、公 立高中學生比例、平均學歷、人均所得、學生人均政府教育支出。 β 為各解釋 變數的迴歸係數矩陣。 εit 為第 i 個縣市第 t 年之誤差項。 i=1,2…,N，表示 區域樣本，為各縣市。 t=1,2…,T，表示年份。
傳統迴歸估計方法(Ordinary Least Square ,OLS)無法分析個體間具有變異性 的資料，因為其基本假設為研究區域之間與時間之間沒有任何差異，而 Panel Data Regression 基本假設為不同的區域與時間，在不同區域之間會有異質變異存 在，若樣本存在著個體的變異，使用傳統迴歸模型會忽略橫斷面資料樣本具變異 性之差異，會使估計結果產生偏誤，因此為了解決橫斷面資料個體變異的問題採 用 Panel data Regression 中的固定效果模型和隨機效果模型會更合理。
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第三節 固定效果模型與隨機效果模型
一、 固定效果模型
固定效果基本模型如下：
Yit = αi+ βXit + εit εit ～iid N(0, σ2)
其中 Yit 為第 i 個縣市在第 t 年的公私立高中升公立大學日間部比例。Xit 為第 i 個縣市於第 t 年解釋變數值的矩陣，包含公私立高中畢業生性別比、公 立高中學生比例、平均學歷、人均所得、學生人均政府教育支出。αi 為第 i 個 縣市的係數(即固定效果)。 β 為各解釋變數的迴歸係數矩陣。 εit 為第 i 個縣 市第 t 年之誤差項。 i=1,2…,N，表示各縣市。 t=1,2…,T，表示年份。
固定效果模型又稱最小平方虛擬變數模型 (Least Square Dummy Variable Model, LSDV)，假設每個縣市的截距項並不會隨著時間的變動而改變，但是不同 縣市會有不同的截距項，主要是以固定的截距項來表示横斷面資料(各縣市)之間 不同的特性，另外還有考慮時間的固定效果的模型，而二元固定效果模型為同時 考慮區域和時間的固定效果，本文因為資料的特性，被解釋變數並不會因為時間 而發生劇烈的波動，是以平穩的方式成長，因此本文不把時間的固定效果納入考 慮，只使用單一固定效果模型。
採用 Panel data Regression 中的固定效果模型可以解決橫斷面資料個體變異 的問題，假設母體內差異大、相似程度低，並不會隨著時間的改變而有所不同，
固定效果模型將 αi 當作特定常數，是 N 個不同未知的參數，每個縣市有不同的 係數，代表不同的固定效果。
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二、 隨機效果模型
為了清楚分析解釋變數是否能夠真正的來說明公私立高中升公立大學日間 部比例的因素，於是再使用隨機效果模型來進行判斷，此模型將不考慮各縣市間 的差異而是把它視為一個隨機變數，此截距項為隨機產生，並不會隨時間的變動 而改變，隨機效果模型又稱為誤差成分模型(error component model)。
隨機效果基本模型如下:
Yit = α + βXit + μi+ ϵit εit ～iid N(0, σ2)
μi～iid N(0, σ2)
其中 Yit 為第 i 個縣市在 t 年的公私立高中升公立大學日間部比例。 Xit 為第 i 個縣市於第 t 年解釋變數值的矩陣，包含公私立高中畢業生性別比、公 立高中學生比例、平均學歷、人均所得、學生人均政府教育支出。 β 為解釋變 數的迴歸係數矩陣。 μi 為一隨機變數。 εit 為第 i 個縣市第 t 年之誤差項。
i=1,2…,N ，表示區域樣本，為各縣市。 t=1,2…,T ，表示年份。
隨機效果模型將 α 當作特定常數， μi 為一隨機變數。假設截距項為一隨機 變數，並不會隨著時間的變動而改變，所以不同於固定效果模型，隨機效果模型 不關心個別區域的特性，而是重視母體整體的關係，若用固定效果模型或隨機效 果模型皆優於傳統 OLS 時，無法判別是否該選擇固定效果模型或是隨機效果模 型，可採用 Hausman Test，判別是否該選擇固定效果模型或是隨機效果模型。
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表 1、傳統迴規模型、固定效果模型、隨機效果模型比較
模型 傳統迴歸模型 固定效果模型 隨機效果模型
迴歸式 Yit = α + βXit + εit Yit = αi+ βXit + εit Yit = α + βXit+ μi+ ϵit
特性
只能分析橫斷面資 料或時間序列資料
可以同時分析橫斷 面資料或時間序列
資料
可以同時分析橫斷面資 料或時間序列資料
誤差項 同質性變異數 同質性變異數 異質性變異數
截距項 α只有一個值必須 估計
αi每個縣市皆有一
個截距項必須估計 α + μi為一隨機變數
表 1 為傳統迴規模型、固定效果模型、隨機效果模型比較，本文所採取的 計量方法是以追蹤資料的方式來進行研究，可以同時考慮橫斷面資料與時間序列 的資料，分析出兩者特性的資料量，而由於本文的被解釋變數為公私立高中升公 立大學比例，而這項比例每年的資料並不太會有劇烈的變動，因此不會使用二元 的固定效果模型。在固定效果與隨機效果模型兩種模型的選取上，應根據截距項 與解釋變數間的關係而定，若模型的截距項與解釋變數之間相關時，亦即具有異 質性變異數，則採取隨機效果模型會比較合適，若樣本本身特性和截距項無關時，
則可以採固定效果模型來估計個性間差異性，不過以本文模型的假設與資料的特 性，固定效果模型應是較優於隨機效果模型。
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