導論 - 薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態反應研究

梁在結構工程系統中，長久以來一直扮演著非常重要的角色，在機械、航空太空、建築、車輛及土木工程中皆有很廣泛的應用。有些結構如飛機、太空船、船舶等，為了減輕重量而使用了高強度材料及薄壁斷面。

這些結構在使用中，常受不同形式及大小的負載，並伴隨著高速旋轉、振動及大變形，所以在結構設計及分析時，便必須考慮結構的幾何非線性的靜態及動態反應、挫屈負荷、及其在不同負載及轉速下的自然振動頻率。

開口薄壁梁斷面的剪力中心與形心位置通常不是一致，故即使是線性動態分析，其撓曲及扭曲的運動方程式是耦合的[1]，當開口薄壁梁在大變形或高速旋轉時，其撓曲、扭曲及軸向變形間及速度間的耦合效應應不能忽略

[2, 3]，否則無法求得其正確的靜態及動態反應、挫屈負荷、自然振動頻

率。因線性梁理論無法考慮這些耦合效應，所以薄壁梁的平衡方程式、挫屈統御方程式、運動方程式、負載下的梁或旋轉梁的振動方程式都需使用非線性梁理論推導，即使是旋轉梁線性振動的統御方程式[4]及線性挫屈分析的統御方程式[5]，也必需是由非線性梁理論的一致線性化推導[2-8]才能得到正確的統御方程式及結果。在探討薄壁梁結構在負載下的自然振動[3,

9, 10]時，應指對該負載下之靜態平衡點的微小振動，故靜態的變形對結

構切線剛度的影響不能忽略，否則無法求得正確的振動頻率。因挫屈有時候並不代表失效(failure)，薄壁梁結構在挫屈後的行為及振動特性也是值得探討的[10]。

文獻上有許多薄壁梁理論及數值方法被提出，其中大部分是薄壁梁的幾何非線性靜態分析及挫屈分析[7, 8, 11-36]，其中[33-36]用 corotational formulation 推導一個含翹曲剛度並考慮翹曲、扭曲及軸向變形間耦合效應

之三維 Euler 薄壁梁元素，探討薄壁梁的幾何非線性靜態反應及挫屈負

荷，其結果相當精確。薄壁梁無負載的自由振動分析[1, 10, 37-50]比較少。文獻[37]中使用有限元素法來分析開口薄壁梁的耦合自由振動，並考慮薄壁梁的翹曲剛度。文獻[38-44, 48, 49] 使用 Dynamic stiffness method進行開口薄壁梁的自然振動分析，求得自然頻率及振動模態，其中文獻[38,

40]忽略翹曲剛度。文獻[43]以文獻[40]理論為基礎且包含翹曲剛度矩陣，

探討翹曲剛度對開口薄壁梁之自然頻率的影響，並以例題說明忽略翹曲剛度將造成自然頻率極大的誤差，但文獻上都是假設軸向振動是獨立的，故僅考慮側向及扭轉振動間的耦合，當梁在鉸接端的軸向位移受到拘限時，

若拘限點不是梁斷面的形心時，軸向振動和側向及扭轉振動應是耦合的，

故本研究擬探討薄壁梁在不同邊界條件下的自由振動。結構在使用時，通常受到各種形式及大小的負載，故薄壁梁結構在負載下自然振動的特性應很重要，但這方面的文獻不多[3, 9, 10, 39, 42, 44, 48, 49]，文獻[9, 10, 39, 42, 44 , 48-49]探討軸向負載對開口薄壁梁耦合的自然頻率的影響，文獻[9]

考慮了偏心軸向負載，但沒有考慮該負載造成的側向變形對自然頻率的影響。文獻[10]考慮了挫屈前及挫屈後的變形對自然頻率的影響，但文獻[10]

僅考慮簡單的邊界條件且其運動方程式並非由完整之非線性梁理論推導，

其結果的準確性仍須以較正確的梁理論求得之結果來驗證。旋轉梁的穩態解可視為梁在慣性力作用下的靜態平衡點，文獻[3]推導出三維旋轉 Timoshenko 梁以穩態解為平衡點之側向、軸向及扭轉振動正確的線性運動方程式，並探討其自然頻率及振動模態，但文獻[3]僅考慮雙對稱薄壁梁，

故本研究擬用完整的非線性梁理論探討不對稱薄壁梁在負載下的自由振動，以補足文獻上的不足。梁之幾何非線性動態分析的文獻很多[51-74]，文獻[51-53]梁挫屈後的非線性振動，但僅考慮矩形斷面。文獻[56]利用 corotational formulation 提出一簡單有效的梁元素及數值程序來分析三維梁的動態問題，但其梁元素並非由完整之非線性梁理論推導，所以其變形力和慣性力中並不能包含全部的耦合項。文獻[2]採用 corotational formulation 及完整之幾何非線性梁理論推導梁元素，分析三維梁的幾何非線性動態反應，由[2]之例題可發現其結果相當精確，但文獻[2]沒有考慮梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的問題。

對任意斷面之開口薄壁梁，文獻上似乎仍欠缺完整的非線性運動方程式，故本研究擬考慮梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的開口薄壁梁，用有限元素法推導一不對稱開口薄壁梁元素的非線性運動方程式，

以探討薄壁梁結構的自然振動及其對負載下之靜態平衡點的自然振動、還

有其幾何非線性動態反應及其在挫屈後的非線性振動。

開口薄壁梁結構運動時的耦合效應包括變形間、慣性(速度)間、及慣性(速度)與變形間的耦合，其變形分為撓曲、扭轉、扭轉翹曲及軸向變形。為了正確地考慮開口薄壁梁各種的耦合效應，在推導其運動方程式時必須使用開口薄壁梁正確的變形機制，其中包括了正確地描述梁斷面的有限旋轉及考慮有限旋轉的非向量特性，即使不考慮材料非線性，開口薄壁梁的運動方程式仍為一高度的非線性方程式，但該非線性為幾何非線性，

幾何非線性主要是由剛體旋轉造成，若將剛體旋轉從總位移中去掉，則剩下的位移為小變形及小旋轉。此時若去掉運動方程式中的高次非線性項，

可使運動方程式大幅地簡化，但仍可保持分析結果的精度。文獻上一般採用共旋轉法[2, 5, 7, 8, 33-36, 56]除掉剛體旋轉，即將梁分割成數個元素，

然後在每一梁元素當前的變形位置上建立一元素座標。每一梁元素的變形、節點內力、運動方程式都是建立在該元素座標上。文獻[33-36]中提出一開口薄壁梁正確的變形機制，定義了三個旋轉參數及建立一套描述梁斷面的有限旋轉的方法以決定變形後斷面座標之方位，該變形機制能夠正確地考慮撓曲、扭曲與軸向變形的耦合效應，[33-36]中探討薄壁梁的幾何非線性靜態反應及挫屈負荷，其結果相當精確，文獻[36]中之不對稱薄壁梁元素考慮了梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的問題，但文獻 [33-36]都沒有考慮動態效應。文獻[2]採用 corotational formulation 及完整之幾何非線性梁理論，利用虛功原理、d’Alembert 原理推導梁元素的運動方程式，並探討三維梁的幾何非線性動態反應，由[2]之例題可發現其結果相當精確，文獻[2]的方法能夠正確地考慮撓曲、扭曲與軸向變形及慣性間之耦合的效應，但文獻[2]沒有考慮梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的問題。

文獻[2, 33-35] 用虛功原理推導元素節點力時，都視梁元素當前的元素座標為一固定的局部座標，當元素受到擾動節點位移及旋轉作用時，在該元素座標上定義擾動前及擾動後的元素節點旋轉參數，所以元素節點旋轉參數的擾動量僅與擾動節點旋轉有關，與擾動節點位移無關，在推導上很

方便，且因定義在固定元素座標的元素節點參數(節點位移及節點旋轉參數)包含了剛體運動的效應，故由元素節點內力對元素節點參數的微分及可求得元素的切線剛度矩陣。文獻[2]還在當前的固定元素座標定義元素節點參數對時間的微分，故元素節點參數對時間的一次微分為元素節點的速度及角速度，元素節點參數對時間的二次微分為元素節點的加速度及角加速度，故文獻[2]在當前的固定元素座標上推導元素節點的慣性力與在慣性座標上推導元素節點的慣性力[57, 59]一樣簡單。因文獻[2, 33-35] 在元素受到擾動前的當前變形位置上建立當前的元素座標及定義當前的元素節點參數，但並非在元素受到擾動後的變形位置上建立擾動後的元素座標及定義擾動後的元素節點參數，即擾動前後元素節點參數的定義方式不一致。

一般文獻上[22-24]的共旋轉法，將梁元素當前的元素座標為一移動的局部座標，即擾動前後元素節點參數的定義方式一致，故本文中稱文獻[2, 33-35]的方法為「廣義共旋轉推導法」，稱一般文獻上[22-24]的共旋轉法為

「一致性共旋轉推導法」。文獻[36]中提到文獻[33, 34]的元素節點力中，

因擾動前後元素節點參數的定義方式不一致，有少數變形參數的二次項無法滿足力矩的平衡，但這些項在元素增多時會趨近於零，由文獻[8, 33-35]

中的例題可以發現採用文獻[8]的梁元素分析長寬比較大的矩形斷面薄壁梁受扭矩作用的挫屈負荷時，需要相當多的元素才能得到滿意的收斂解，這可能是因文獻[33-35]的梁元素變形力的二次項及切線剛度的一次項中有些項在元素很小時會趨近於零，但其收斂速度很慢，故造成收斂緩慢的問題，文獻[36]發現若將文獻[8]中所有在元素很小時會趨近於零的項去掉，

則可以大幅改善文獻[8, 35]的梁元素之收斂速率，即用較少的元素得到相同的精度。文獻[36]中還推導出元素受擾動前、後之元素座標的關係及受擾動後的元素節點參數，並以一致性共旋轉法推導一不對稱薄壁梁元素，

該元素節點力可以滿足力矩的平衡，若將元素增多時元素節點力會趨近於零的二次項去掉，則該元素與文獻[8, 33-35]的元素一樣會大幅加快在一些問題的收斂速率。在一致性共旋轉推導法中，因元素座標的定義方式，除了元素節點 2 的軸向位栘外，所有元素節點在當前的固定元素座標上的位移都為零，文獻[36]中，在任何變形位置都將元素節點對固定元素座標的

在文檔中薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態反應研究 (頁 22-28)