座標系統

本章採用一致性共旋轉法推導梁元素節點變形力、慣性力、剛度矩陣

及慣性矩陣。

2.1 基本假設

本文對非線性梁元素的推導，作如下的假設：

(1) 梁為細長的等斷面梁，且Euler-Bernoulli 假說成立。

(2) 當去除剪心扭轉造成正應變，梁元素的形心軸剩餘之縱向正應變 (longitudinal normal strain)為一常數。

(3) 梁元素在斷面上沒有變形。

(4) 梁元素斷面的翹曲為梁元素的軸向扭轉率與該梁的聖維南(Saint Venant)翹曲函數的乘積。

(5) 梁元素的變形為小變形。

2.2 座標系統

本文採用共旋轉之全拉格蘭日推導法(co-rotational total Lagrangian formulation)。為了描述系統的運動、元素的變形、邊界條件、以及與結 構變形位置相關的外力(configuration dependent load)，本文中共定義了四 套直角座標系統，並說明如下：

(1) 固定總體座標系統(圖2.1)， X_i^G(i=1,2,3)^{；系統的節點座標、方} 位、位移、旋轉、速度、加速度、角速度、角加速度，系統的運動 方程式，其他座標系統之座標軸的方向餘弦，皆在此座標系統中定 義。

(2) 元素座標系統(圖2.1，圖2.2)，x_i(i=1,2,3)、x_i(i=1,2,3)；本研究 採用兩組元素座標， 一組為與元素一起剛體運動，但不一起變形的 移動元素座標x_i (i=1,2,3)，一組為固定在元素當前的變形位置之固 定元素座標x (i=1,2,3)。兩組元素座標在當前梁元素變形的位置上

是重合的。此座標系統附屬在每一梁元素上，其原點位於該元素的 節點1上，x₁軸通過該元素的兩端節點(1、2，即兩端斷面的剪心)， x2軸與x₃軸在元素變形前與斷面的主軸方向一致，而元素變形後的 x2軸與x₃軸，可由該元素未翹曲的兩端斷面的方位來決定[7]，即分 別將位於節點 1、2 變形後的斷面繞一個與該斷面之法線及x₁軸垂 直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與x₁軸方向一致(此時並不 考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向無法定義)，然後再以兩 斷面主軸方向的角平分線作為x₂軸及x₃軸的方向。本研究在當前的 移動元素座標定義元素的變形、節點變形參數，在當前的固定元素 座標定義元素的節點位移向量及旋轉向量、節點位移向量及旋轉向 量的擾動量，節點速度及加速度、節點角速度及角加速度、節點 力、剛度矩陣、質量矩陣。當梁元素在當前的變形位置受到擾動 時，擾動後的移動元素座標及對應的元素節點變形參數是由元素當 前的元素座標及節點變形參數、節點位移向量與旋轉向量、擾動節 點位移向量與旋轉向量決定。元素節點變形參數的擾動量是指元素 在擾動前及擾動後，移動元素座標上之節點變形參數的差。移動元 素座標的速度、加速度、角速度、角加速度是由當前的元素節點速 度、加速度、角速度、角加速度、節點變形參數決定。

(3) 元素斷面座標系統(圖2.1)，x_i^S(i=1,2,3)；此座標系統與元素的斷 面一起平移和旋轉，其原點剛接於未翹曲斷面的形心上，x₁^S軸為未 翹曲斷面的法線方向， x₂^{S 軸與}x₃^S軸分別與未翹曲斷面的主軸重 合。元素的變形是由斷面座標相對於元素座標的旋轉來決定。

(4) 負荷基底座標系統，X_i^P(i=1,2,3)；此座標系統是用來描述與結構 變形位置相關的作用力機制。該作用力機制造成的系統節點外力及 力矩，和負荷剛度矩陣(load stiffness matrix)，皆建立在此座標系統 中。此座標系統的原點剛接於與結構變形位置相關的作用力作用的 節點上。

本文中用符號{}代表行矩陣。總體座標系統X^G ={X₁^G,X₂^G,X₃^G}^與 元素座標x={x₁, x₂, x₃}、元素斷面座標x^S ={x₁^S, x₂^S,x₃^S}^{、負荷基底座標}

} X , X , X

{ ₁^P ₂^P ₃^P

P =

X ^{之關係可表示如下，}

x, A X^G = _GE

S,

GS

G A x

X =

X^G =A_GPX^P, (2.1)

其中A_GE、A_GS、A_GP分別代表元素座標、元素斷面座標、負荷基底座 標相對於固定總體座標系統的方向餘弦矩陣。

2.3 旋轉向量及其對時間的微分

本文中使用旋轉向量來表示一個有限旋轉，如圖2.3所示，一向量b 受到一旋轉向量a=φe的作用而轉到一個新的位置b~

，向量b~

與b之間的 關係可表示成[80]

) ( sin )

)(

cos 1 (

~ bcos e b e e b

b= φ + − φ ⋅ + φ ×

b Ι a a I

a

I 1 cos ( )]

) sin (

[ + × + − 2 × ×

= φ

φ φ

φ

= Rb (2.2) 其中I 為3×3的單位矩陣，×表向量外積，．表向量內積，φ表繞旋轉軸的

旋轉角，e表旋轉軸的單位向量，R稱為旋轉矩陣。

由(2.2)式 b~

對時間的微分可表示成 b

R R b

b R ~

~ t

dt

d = & = & (2.3)

因 b~

的長度固定，所以其對時間的微分可表示成 b

b ω ~

~

× dt =

d (2.4)

其中ω 為角速度向量。

因R&R^t為一反對稱矩陣，從(2.3)式和(2.4)式可得

ω×I=R&R^t (2.5)

由(2.2)及(2.5)式可得ω 和旋轉向量a 對時間的一次微分有以下關係[2]：

ω=Γ(a)a&

)]Γ(a)=[I+a₁(a×I)+b₁a×(a×Ι (2.6) 其中 1 2

cos 1

φ φ

= −

a ， sin )

1 1 (

1 2 φ

φ

φ ⁻

=

b ，當φ →0，

2 1

1 =

a ，

6 1

1 =

b 。

當旋轉向量a 有一微小變量 aδ 時會使向量 b~

繞x_i (i =1, 2,3)軸做微小旋轉 δϕi，δa與δϕ的關係和a&與ω 的關係相同[2]，即

δϕ=Γ(a)δa (2.7)

將(2.6)式對時間微分可得

ω& =Γ&(a)a& +Γ(a)a&& (2.8) )

( ) ( )

( )

(a ₁ a I ₁a a I ₁ a I Γ& =a& × +b& × × +a &×

) ( )

( ₁

1a× a×I + a× a×I +b & b &

其中ω& 為角加速度，a&&為旋轉向量對時間的兩次微分。

由(2.6)、(2.8)式可知當a = 時，0 Γ(0)=I，Γ& )(a a& =0所以

ω &= (2.9) a

ω& = (2.10) a&&

即在旋轉向量a = 時，其對時間的一次、二次微分之值，等於角速度、0 角加速度。

2.4 梁之剪心軸的位移及其斷面的旋轉

本文是在當前的移動元素座標上，描述梁元素當前的的變形，由2.1 節中的基本假設可知，梁元素的變形可由其剪心軸在移動元素座標上的 位移及其斷面繞剪心軸的旋轉決定。本文以梁元素之剪心軸為參考軸、

以梁元素兩端斷面的剪心為節點，節點自由度及廣義力都在剪心上定

由(2.16)式可知u₁ = x_p(0,t)為節點1在x₁方向上的位移，由移動元素座標 系統的定義方式可知u₁、其擾動量δu₁及對時間的微分都為零。

令 L 及l 分別為變形前及變形後剪心軸的弦長，u²為節點2在x1方 向上的位移，由(2.16)式可得

L L

t L x

u₂ = _p( , )− =l− (2.17)

dx w

L v

x x

∫

⁺ o ^{− −}

= 0

2 , 2

, )

2 1 2

1 1 ( ε

l (2.18)

本 文 用 元 素 斷 面 座 標 軸 的 旋 轉 表 示 梁 之 斷 面 的 旋 轉 。 令e 與_i 3)

2, , 1 (i=

S

ei 分別代表移動元素座標的x_i(i=1,2,3)方向的單位向量與元素 斷面座標的x_i^S (i=1,2,3)軸方向的單位向量。由座標系統的定義方式可 知，在變形前x 軸與_i x 軸的方向是一致的，而且變形後_i^S e 與(2.11)式的t₁^S 方向一樣。在本文中假設變形後的單位向量e_i^S(i=1,2,3)的方向是由以下 兩個旋轉向量連續作用於單位向量e_i(i=1,2,3)來決定：

θ_n =θ_nn, (2.19)

θ_t =θ₁t, (2.20)

n={0,θ₂ (θ₂² +θ₃²)^1/2,θ₃ (θ₂²+θ₃²)^1/2}={0,n₂,n₃}, (2.21)

其中 n 為垂直於e₁與 t 之單位向量，θ_n定義於(2.12)式， t 定義於(2.11) 式，θ₁為斷面繞 t 旋轉的角度。

旋轉向量θ 作用在_n e 上，將其轉至一中繼位置_i e′_i (i=1,2,3)，此時e′₁ 與t 重合，再將θ 作用在_t e′ ，將其轉到_i e 。若_i^S e 、_i θ 、以及_n θ 已知，則元_t 素斷面座標e 就唯一決定；反之，若_i^S e 與_i e 已知，則旋轉向量_i^S θ 與_n θ 亦_t 唯一決定。

由(2.2)式、(2.11)－(2.12)式與(2.19)－(2.21)式，e 與^S_i e_i (i=1,2,3)之 關係可表示如下

i

其中v 與_j w_j (j=1,2)分別是 v 與 w 在節點 j 的節點值，v′ 及_j w′ 則是(2.15)_j 式中v′ 及w′在節點 j (j =1,2)之節點值，θ_1j(j=1,2)是(2.20)式之θ₁在節 點 j 的節點值，β_j(j=1,2)是θ_1,x在節點 j 的節點值。N_i (i=1−4)代表形 狀函數(shape function)。

2.5 節點參數與節點力

本文中用旋轉向量描述梁元素兩端節點之斷面的有限旋轉，但用旋 轉參數描述梁元素在兩端節點及內部之斷面的有限旋轉，因對應於旋轉 向量及旋轉參數的廣義力矩不一樣且非向量，所以不同元素在共同節點 的廣義力矩不能以向量的方式相加，傳統力矩為向量，所以本文將元素 節點的廣義力矩轉換成等效的傳統力矩，使其能以向量的方式相加，因 對應於傳統力矩向量的廣義位移為繞該力矩向量的微小旋轉，所以本文 在推導梁元素時需使用以下七類元素節點參數：

（1）u_ij (i=1,2,3; j=1,2)，如圖2.4所示，u_ij (u_1j =u_j，u_2j = ，v_j

j

j w

u₃ = ) 為 元 素 節 點 j 的 位 移 向 量 u 在 其 當 前 的 固 定 元 素 座 標 軸_j xi (i=1,2,3)方向的分量，由固定元素座標系統的定義方式可知u 中除了_ij u12外，其餘的值皆為零，但u 的增量_ij ∆ 、u_ij u 的擾動量_ij δu_ij、及u 對時_ij 間的微分u&_ij、u&&_ij並不為零。對應於δu_ij的廣義節點力 f ，為在_ij x_i軸方向 的力。

（2）δϕ_ij (i=1,2,3; j =1,2)，δϕ_ij是元素節點 j 繞其當前的固定元素 座標軸x_i (i=1,2,3)的擾動旋轉，對應於δϕ_ij的廣義節點力m ，為繞_ij x_i軸 的傳統力矩(見圖 2.4)。

（3）φ_ij (i=1,2,3; j =1,2)，φ_ij是元素節點 j 的旋轉向量φ 在其固定_j 元素座標軸x_i (i=1,2,3)方向的分量，本研究中，在任何時刻及位置都將 節點的旋轉向量φ 的值重新設定為零，但_j φ_ij的增量∆ 、擾動量φ_ij δφ_ij及對 時間的微分並不為零。對應於δφ_ij的廣義節點力m 為一廣義力矩。因^φ_ij φ 的_j 值重新設定為零，由(2.6)及(2.7)式可知δφ_ij和δϕ_ij的值相同，所以廣義力矩

φ

m 和傳統力矩ij m 的值相同，但對應於_ij δφ_ij和δϕ_ij的切線剛度矩陣並不相同 (詳見 2.10 節)。

（4）u_ij (i=1,2,3; j=1,2)，u_ij (u_1j =u_j，u_2j =v_j，u_3j =w_j)為元 素節點 j 的位移向量u 在其當前的移動元素座標軸_j x_i (i=1,2,3)方向的分 量，由移動元素座標系統的定義方式可知除了u₁₂外， u 、_ij u 的增量_ij

uij

∆ 、u 的擾動量_ij δu_ij及u 對時間的微分_ij u&_ij^、u&&ij^{的值皆為零。對應於}δuij

的廣義節點力 f ，為在_ij^θ x_i軸方向的力。

（5）θ_ij (i=1,2,3; j=1,2)，θ_ij 是元素旋轉參數θ_i在節點 j 的值，θ₁ 定義於(2.20)式，θ₂與θ₃定義於(2.13)與(2.14)式，θ_ij 是用來描述梁元素在 兩端節點及內部之斷面的有限旋轉。因元素變形後θ_ij的值不為零，所以 δθij並不是繞x_i軸的無限小旋轉。

（6）β_j (j =1,2)，如圖 2.4 所示，β_j是梁元素之剪心軸的扭轉率

∂x

∂

= θ₁/

β 在元素節點 j 的值。對應於β_j之擾動量δβ_j的廣義節點力B 為_j 雙力矩(Bimoment)。β_j及δβ_j與標系統無關。

（7）θ_ij^* (i=1,2,3; j=1,2)，θ₁^*_j =θ_1j 、θ₂^*_j =−w′_j 、θ₃^*_j =v′_j ，其中

j

θ1 是元素旋轉參數θ₁在節點 j 的節點值，θ₁定義於(2.20)式，v′ 與_j w′ 為_j (2.15)式中v′與w′ 在節點 j 的節點值。本文中採用θ_ij^*及β_j來決定梁元素剪 心軸的側向位移及軸向扭轉角。對應於θ_ij^*之擾動量δθ_ij^*的節點力為廣義力 矩m 。因為^θ_ij θ_ij^*在變形後不為零，所以δθ_ij^*並不是繞固定元素座標x_i軸的無 限小旋轉，所以廣義力矩m 並非繞固定元素座標^θ_ij x_i軸的傳統力矩。

本文中在元素節點 j (j=1,2)對應於元素節點參數u 、_ij φ_ij、δϕ_ij及 βj (i=1,2,3)的系統節點參數為u 、_ij^G φ_ij^G、δϕ_ij^G及β_j，其中u 是節點 j_ij^G 的位移向量u 在固定總體座標軸^G_j X_i^G(i=1,2,3)方向的分量；φ_ij^G是元素節 點 j 的旋轉向量φ 在固定總體座標軸^G_j X_i^G(i=1,2,3)方向的分量。本研究 中，在任何時刻及位置都將節點的旋轉向量φ 的值重新設定為零，但^G_j φ_ij^G 的增量∆φ_ij^G、擾動量δφ_ij^G及對時間的微分並不為零。本文用元素節點

j (j=1,2)的位移增量∆u_ij^G及∆φ_ij^G決定當前的元素斷面座標、移動元素座 標、元素節點變形位移u 及旋轉參數_ij θ_ij (i=1,2,3; j=1,2)(詳見2.6節)，

因本文中φ 的值重新設定為零，所以由(2.6)及(2.7)式可知^G_j ∆φ_ij^G和∆ϕ_ij^G的 值相同。對應於δϕ_ij^G的廣義節點力，為繞 X_i^G軸的傳統力矩；對應於u_ij^G 的擾動量δu_ij^G的廣義節點力為在X_i^G方向的力；因β_j與座標系統無關，對

應於δβ_j的廣義節點力，亦為廣義雙力矩 (Bimoment)B 。_j ∆u_ij^G、∆φ_ij^G與 uij

∆ 、∆ 的關係可以由標準的座標轉換求得。 φ_ij

2.6 元素斷面座標、移動元素座標、元素節點位移及旋轉參數之決定 本文是使用增量迭代法(incremental iterative method)解非線性平衡方

2.6 元素斷面座標、移動元素座標、元素節點位移及旋轉參數之決定 本文是使用增量迭代法(incremental iterative method)解非線性平衡方

在文檔中 薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態反應研究 (頁 28-0)