第四章 數值例題
4.1 開口薄壁梁的線性自由振動分析
當開口薄臂梁斷面的形心與剪心不重合時，其側向振動與扭轉振動是 耦合的，文獻上一般都是認為其軸向振動是獨立的，但在軸向位移受到拘 限的銷接邊界，若拘限點並非斷面形心，則軸向振動與側向振動及扭轉振 動是全部或部分耦合的，但文獻上並沒有這一方面的報告，故本節將探討 不同邊界條件對開口薄壁梁自由振動的影響。本研究之梁元素的節點自由 度都定義在剪心上，但為了正確地描述邊界條件，節點的位置必須和邊界 的自由度一致，所以本文在附錄G中利用元素斷面為剛體的假設，導出不 同節點自由度的關係及對應於不同節點自由度之元素剛度矩陣的關係。如 圖4.10a所示之梁結構為本節例題的示意圖，其總體座標與元素座標重合，
本節中如果沒有特別說明，都使用20個梁元素離散例題中的梁結構。本節 的振動模態圖中以UC表示形心軸的軸向位移，V 和W 是剪心軸在X2G與
X3G方向上的側向位移，φ1表示剪心軸的扭轉角。
令BCIX，I = 1-5，X = P, RM, CM, C , R，表示圖4.10a中梁A、B兩端 的邊界條件為第I種邊界條件及梁元素的節點自由度向量為q (詳見附錄X G)，P為斷面剪心、C為斷面形心及R為斷面上非剪心或形心且不在對稱軸 上的任意點。q (X = P, C , R)表示軸向與側向位移的節點自由度是定義在X 斷面的X (X = P, C , R)位置。q (X = CM, RM)表示軸向位移的節點自由度
是定義在斷面的X (X = C, R)點，以及側向位移的節點自由度是定義在斷面 剪心P點。如圖4.10b所示，梁A、B兩端的邊界條件BCIX， I = 1-5可以表 示成
BC1X：uAX =0,vAX =vBX =0,wAX =wBX =0,θ1A =θ1B =0
BC2X：uAX =0,vAX =0,v′AX =0,wAX =0,w′AX =0,θ1A =0,βA =0 BC3X：uAX =uBX =0,vAX =vBX =0,v′AX =v′BX =0,wAX =wBX =0,
=0
= ′
′AX wBX
w ,θ1A =θ1B =0,βA =βB =0
BC4X：uAX =0,vAX =vBX =0,v′AX =0,wAX =wBX =0,w′AX =0,θ1A =0,βA =0 BC5X：uAX =uBX =0,vAX =vBX =0,v′AX =0,wAX =wBX =0,w′AX =0,θ1A =0,
=0 βA
其中βj (j=A,B)為剪心軸的扭轉率，βj =0表示節點 j為抑制翹屈。
BC1X兩端為銷接，但是軸向位移只有在端點A被固定，兩端不能繞X1G軸 轉動，但是兩端可自由翹屈。BC2X為一懸臂結構，一端固定及另一端為 自由端，固定端在軸向、側向、扭轉與翹屈自由度皆被固定。BC3X為兩 端固定的結構。BC4X一端為固定端，另一端為銷接，在銷接端只有側向 位移自由度被固定。BC5X一端為固定端，另一端為銷接，在銷接端軸向 與側向位移自由度皆被固定。
本文在自然頻率加註( )表示對應於該自然頻率的振動型態，(A)和(V) 分別表示振態為無耦合軸向振動與X2G方向的無耦合側向振動，(A,V)表示 該自然頻率為軸向振動與側向振動在X2G方向的耦合振動，(A,W)表示振態 為軸向振動與側向振動在X3G方向的耦合振動，(W,T)表示振態為在X3G方 向的側向振動與扭轉振動的耦合振動，(V,W,T)表示振態為在X2G、X3G方 向的側向振動與扭轉振動的耦合振動。
例題 4.1.1：單對稱槽型斷面梁
本例題考慮一長度為L的單對稱槽型斷面(見圖4.4)梁在各種邊界條件 下 的 自 由 振 動 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=1.28m ，h=0.09875m ，
m
b=0.057375 ， tf =tw =0.00125m ， 點 R 的 座 標 為 yR =−0.03771m ， m
zR =0.03771 ，楊氏係數E =216.4GPa，剪力模數G =80.1GPa，線密度
m kg
m=2.095 / ，表4.1為其斷面性質，表4.2為本例題在各種邊界條件下的 前10個最小的自然頻率，由表4.2可知邊界條件BC1CM, BC2X, BC3X, BC4P(RM), BC4C及BC5C的振動包含了側向-扭轉耦合振動(W,T)、軸向無 耦合振動(A)與側向無耦合振動(V)，邊界條件BC1P與BC5P的振動包含了 軸向-側向耦合振動(A,V)及側向-扭轉耦合振動(W,T)，邊界條件BC4R的振 動包含了側向(V)-側向(W)-扭轉耦合振動(V,W,T)與軸向無耦合振動(A)，
邊界條件BC1RM(R), BC5RM, BC5R 的軸向振動、兩個側方向振動及扭轉 振動都互相耦合。由表4.2可看出邊界條件BC1P與BC1CM(C)有相同的側 向-扭轉耦合振動(W,T)，文獻[48]分析了邊界條件為BCICM (I = 1, 2, 3)的 自由振動，由表4.2中可以看出本研究與文獻[48]結果相當吻合，圖4.11為 邊界條件BC1RM的振動模態。
例題 4.1.2：單對稱半圓型斷面梁
本例題為一長度為L的單對半圓型斷面(見圖4.2)梁在各種邊界條件下 的 自 由 振 動 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=0.82m ， r=0.0245m ，
m
t=0.004 ， 楊 氏 係 數 E =68.9GPa ， 剪 力 係 數G =26.5GPa， 線 密 度 m
kg
m =0.835 / ，點R的座標為 yR =−0.0155m，zR =0.0155m。表4.3為 其斷面性質。表4.4為本例題在各種邊界條件下的前10個最小的自然頻率，
本例題在各種邊界條件下自由振動耦合的特徵與例題4.1.1相同。文獻[49]
分析了邊界條件為BCICM (I = 1, 2, 3)的自由振動，由表4.4中可以看出本研 究與文獻[49]結果相當吻合。
例題4.1.3：不對稱斷面梁 A
本例題為一長度為L的不對稱斷面(見圖4.8)梁在各種邊界條件下的自 由 振 動 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=10m ， h=0.3m ， b=0.1m ，
m
t=0.02 ， 楊 氏 係 數 E=210GPa ， 剪 力 模 數 G =80.7GPa ， 密 度
4 2 / 002
.
8 kN ⋅s m
ρ = ，表4.5為其斷面性質。本例題將梁離散成20及40個元 素兩種情況來比較，表4.6為本例題在各種邊界條件下的前13個最小的自然 頻率，表4.6(a)、(b)分別為將梁離散成20個元素及40個元素分析的結果，
由表4.6(a)、(b)的比較可以發現，本例題將梁離散成20個元素與40個元素 分析的結果相當接近，故皆可視為收斂解，邊界條件BC1P與BC5P為梁兩 銷接端的軸向位移被抑制在斷面剪心 P (yp ≠0,zp ≠0)，故其軸向振動、
兩個側方向振動及扭轉振動都互相耦合，其餘邊界條件只有(V,W,T)三階 耦合振動(triply coupled vibrations)與軸向無耦合振動(A)，文獻[50]分析了 邊界條件為BC1CM的自由振動，由表4.6中可以看出本研究與文獻[50]結果 相當吻合，圖4.12-4.13為邊界條件BC1P、BC1CM的振動模態，雖然使用 20個元素所求得的自然頻率已相當精確，但是，為了避免較高的自然頻率 所對應的振動模態發生失真的情形，振動模態圖為使用40個元素分析的結 果，由圖4.12與圖4.13可見BC1P與BC1CM之振動的耦合特徵有明顯的差 異。
例題4.1.4：不對稱斷面梁 B
本例題為一長度為L的不對稱斷面(見圖4.9)梁在各種邊界條件下的自 由 振 動 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=10m ， h=0.4m ， b=0.2m ，
m
t =0.01 ， 楊 氏 係 數 E=210GPa ， 剪 力 模 數 G=80.7GPa ， 密 度