薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態反應研究

國 立 交 通 大 學

機械工程學系博士班

博士論文

薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態

反應研究

A STUDY ON THE FREE VIBRATION ANALYSIS AND

GEOMETRICALLY NONLINEAR DYNAMIC ANALYSIS OF

THIN-WALLED BEAMS WITH GENERIC OPEN SECTION

研究生：陳弘虎

指導教授：蕭國模 博士

薄壁開口梁之自由振動分析及幾何非線性動態反應研究

研究生：陳弘虎 指導教授：蕭國模 國立交通大學機械工程學系博士班

摘 要

本研究的主要目的是以一致性共旋轉法推導一個薄壁開口梁元素，並 將其應用在梁結構的自由振動分析及幾何非線性動態分析。 本文中推導的梁元素有兩個節點，每個節點有七個自由度，本研究用 傳統的力、力矩及雙力矩為廣義的節點力。本文中將元素節點定在元素兩 端斷面的剪心，並取剪心軸當作描述元素變形的參考軸。本研究在一移動 元素座標上描述元素的變形，本研究用三個旋轉參數描述元素斷面在移動 元素座標上的方位，但用對固定座標的旋轉向量描述元素間共同節點的旋 轉。本研究在梁元素當前的變形位置上，利用元素節點的座標及斷面方位 建立一個移動元素座標並決定元素節點的旋轉參數，對應於元素節點旋轉 參數擾動量的廣義節點力為一廣義力矩，為推導傳統力和力矩與該廣義力 矩的關係，本研究在一個與當前的移動元素座標重合的固定元素座標上， 推導出元素節點在當前固定元素座標的擾動位移和擾動旋轉與元素節點旋 轉參數的擾動量的關係。本研究利用元素節點在當前固定元素座標的位移 和旋轉及其擾動量、速度、加速度、角速度、角加速度，推導出移動元素 座標的角速度及角加速度及元素節點的變形參數對時間的一次及二次微 分。本研究利用虛功原理和 D’Alembert 原理，以及完整的幾何非線性梁理 論的一致性二次線性化在當前的固定元素座標推導元素節點變形力及慣性 力，本研究中保留了變形力中撓曲、扭曲及軸向變形間之耦合項、軸向扭 轉率的三階項、慣性力中速度間的耦合項。為了推導上的方便，本研究用 虛 功 原 理 推 導 梁 元 素 節 點 變 形 力 時 ， 先 推 導 出 廣 義 節 點 力 矩 ， 再 用

controgradient law 求得傳統節點力和力矩。本研究在推導元素節點在當前 固定元素座標的擾動位移和擾動旋轉與元素節點旋轉參數的擾動量的關係 時，保留了值為零的節點位移及旋轉向量，故可由元素節點變形力對節點 參數微分求得元素切線剛度矩陣。本研究推導元素的節點慣性力時，先將 元素擾動位移表示成當前固定元素座標的擾動位移和旋轉之函數，故可直 接求得元素的節點慣性力，元素的一致性質量矩陣 (consistent mass matrix) 可由元素節點的慣性力對元素節點的加速度微分求得。

本研究採用基於弧長法和牛頓-拉福森法的增量迭代法解非線性平衡方 程式，本研究採用次空間法(Subspace Iteration Method)解梁結構的自然頻 率及振動模態。本文應用 Newmark 直接積分法和牛頓-拉福森法的增量迭 代法解非線性運動方程式。本研究以數值例題探討不同斷面、邊界條件及 負載對開口薄壁梁之自然頻率、振動模態及幾何非線性之動態反應之影 響，以說明本研究提出之非線性開口薄壁梁元素的正確性及有效性，並驗 證文獻上梁結構之自然頻率及幾何非線性之動態反應之正確性。

A STUDY ON THE FREE VIBRATION ANALYSIS AND GEOMETRICALLY NONLINEAR DYNAMIC ANALYSIS OF

THIN-WALLED BEAMS WITH GENERIC OPEN SECTION

Student：Hong-Hu Chen Advisor：Kuo-Mo Hsiao

Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University

ABSTRACT

A consistent co-rotational finite element formulation for the free vibration analysis and geometric nonlinear dynamic analysis of thin-walled beams with generic open section is presented. The element developed here has two nodes with seven degrees of freedom per node. The element nodes are chosen to be located at the shear centers of the end cross sections of the beam element and the shear center axis is chosen to be the reference axis. The deformations of the beam element are described in a current moving element coordinate system constructed at the current configuration of the beam element. Three rotation parameters are used to describe the orientation of the beam cross section in the moving element coordinate system. However, the rotation vector is used to describe the element nodal rotations in fixed coordinates. The values of the nodal rotation vectors are reset to zero at current configuration. The element equations are derived in a fixed current element coordinates which are coincident with the current moving element coordinates. The perturbed moving element coordinates and the variation of the element nodal rotation parameters corresponding to the perturbation of element nodal displacements and rotations referred to the current fixed element coordinates is consistently determined

using the first order linearization of the way used to determine the current element coordinates and element nodal rotation parameters corresponding to the incremental element nodal displacements and rotations referred to the global coordinates. The angular velocity and acceleration of the current moving element coordinates and the first and the second time derivative of the element nodal rotation parameters are consistently determined using the current element nodal displacements and rotations, nodal velocities and accelerations, and nodal angular velocities and accelerations. The element deformation and inertia nodal forces are derived using the virtual work principle, the d’Alembert principle, and the consistent second order linearization of the fully geometrically nonlinear beam theory. In element nodal forces, all coupling among bending, twisting, and stretching deformations of the beam element is considered. For convenience, in the derivation of the element deformation nodal force, the generalized nodal moments corresponding to the variation of the nodal rotation parameters are derived first, and then transformed to the conventional moments and forces using controgradient law. Because the element nodal displacements and rotations with value of zero are retained in the relationship between the variation of the element nodal rotation parameters and the variation of element nodal displacements and rotations, the element tangent stiffness matrix may be obtained by differentiating the element deformation nodal force with respect the element nodal parameters.

An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method combined with constant arc length of incremental displacement vector is employed for the solution of nonlinear equilibrium equations. The subspace iterative method is used for the solution of natural frequencies and vibration modes for the free vibration of beam structures. An incremental-iterative method based on the Newmark direct integration method and the Newton-Raphson method is employed for the solution of nonlinear equations of motion. Numerical examples are presented to investigate the accuracy and efficiency of

the proposed method. The effect of different cross sections, boundary conditions and different loads on the natural frequencies, vibration modes, and nonlinear dynamic behavior of three dimensional thin-wall beam structures are also investigated through numerical examples.

誌謝 在此論文定稿之際，感謝指導教授 蕭國模博士伍年來的悉心指導， 使學生得以完成此篇論文，在此致上由衷的謝意。同時感謝學弟們在各方 面的幫忙與照應。在此也感謝葉孟考教授、蔡佳霖教授、蔣長榮教授以及 尹慶中教授撥冗擔任口試委員，為本文提出寶貴的意見。 感謝父親與母親多年來辛苦的栽培與不斷的鼓勵及支持，還有哥哥、 姊姊與弟弟給予很多的協助。最後，僅以此成果與榮耀，獻給我最摯愛的 家人以及所有關心我的人。

目 錄

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中文摘要……….………..…... I 英文摘要……….………..…... III 誌謝.……….………..….……… VI 目錄.……..………..… VII 表目錄..………….………….………. IX 圖目錄..………….……….………. XII 第一章 導論 ……….……….……… 1 第二章 理論推導 ……….…….……….. 7 2.1 基本假設 ……….……….….. 7 2.2 座標系統 ……….……….….. 7 2.3 旋轉向量旋轉向量及其時間微分 …………..………….. 9 2.4 梁之剪心軸的位移及其斷面的旋轉……….. 10 2.5 節點參數與節點力 ………. 14 2.6 元素斷面座標、移動元素座標、元素節點位移及旋轉 參數之決定……….….…..…….………. 16 2.7 移動元素座標與固定元素座標的關係…………...….….. 17 2.7.1 擾動後之移動元素座標及元素節點參數…...…….. 17 2.7.2 移動元素座標的角速度、角加速度與元素節點 參數對時間的微分……….………..….. 20 2.8 梁元素之變形描述……….. 24 2.8.1 梁元素之位置向量………..………... 24 2.8.2 梁元素之位置向量的擾動量及其對時間的微分.... 26 2.8.3 梁元素之應變……..………..………... 27 2.8.4 梁元素應變之變分……….…..………..…... 30 2.9 元素節點力之推導………..…..……….. 32 2.9.1 元素節點變形力向量之推導………..………...…... 34 2.9.2 元素節點慣性力向量之推導………..…..….... 39

2.10 元素剛度矩陣及質量矩陣…………...….…….……….. 45 2.11 與變形位置相關之節點作用力與負荷剛度矩陣….….. 51 2.12 系統平衡方程式與收斂準則………….…….….………. 55 第三章 數值計算方法與程序 ………..………... 56 3.1 靜態分析 …………..………….……….…….………. 56 3.1.1 增量迭代法 ……….….……...……….…………... 56 3.1.2 二分法 ………... 58 3.1.3 N循環迭代法 ………...…….………... 59 3.2 動態分析 ……….………..……….. 60 3.2.1 Newmark直接積分法 ………....………..…… 60 3.2.2 Hilber-Hughes-Taylor scheme ……....………..…...… 62 第四章 數值例題 …………....………...….……….. 63 4.1 開口薄壁梁的線性自由振動分析………….…….………. 63 4.2 開口薄壁梁受軸向負載作用下的振動分析………..……. 66 4.3 開口薄壁梁的幾何非線性動態反應…………..…………. 72 第五章 結論與展望 …………....………..………..……….. 83 參考文獻 ……….……….……. 87 附表 ……….………….……. 95 附圖 ……….……….. 136 附錄 A 擾動後的移動元素座標及節點旋轉參數………….….…. 264 附錄 B 不同的元素節點參數向量之擾動量的關係及其 對時間微分的關係………..……….… 271 附錄 C 元素節點力向量f 與D D θ f 的關係…………..….……….…. 279 附錄 D 位置向量的擾動量及對時間的微分……….…….…. 281 附錄 E H_R與H_θ之顯式………...……….……..…. 287 附錄 F 計算系統節點內力向量之數值程序……….……..…. 291 附錄 G 元素具不同節點自由度所對應的元素矩陣……..…....…. 293 附錄 H 推導 lump mass 所產生之節點質量矩陣….………... 296 LIST OF PAPERS ……….………. 302

表 目 錄 表 4.1 單對稱槽型斷面性質(例題 4.1.1,例題 4.2.2)………....….. 95 表 4.2 例題 4.1.1 單對稱槽型斷面梁之自然頻率之自然頻率 ) / (rad s _{………... 96} 表 4.3 單對稱半圓型斷面性質(例題 4.1.2,例題 4.2.1)……...….. 97 表 4.4 例題 4.1.2 單對稱半圓型斷面梁之自然頻率(rad/s)...….. 98 表 4.5 不對稱斷面 A 性質(例題 4.1.3)…..……..……….…... 99 表 4.6 例題 4.1.3 不對稱斷面梁 A 之自然頻率(rad/s)...…... 100 表 4.7 不對稱斷面 B 性質(例題 4.1.4)...…...…... 102 表 4.8 例題 4.1.4 不對稱斷面梁 B 之自然頻率(rad/s)...……….. 103 表 4.9 例題 4.2.1 單對稱半圓形斷面梁之自然頻率(rad/s) ) 1790 4 . 0 (P = P_cr = N …………..……….. 104 表4.10 例題4.2.1單對稱半圓形斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC1P)……….………... 105 表4.11 例題4.2.1單對稱半圓形斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC1CM(C))………..…...……... 106 表4.12 例題4.2.1單對稱半圓形斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC2X)………..…………..…... 107 表4.13 例題4.2.2單對稱槽型斷面梁之自然頻率(rad/s) ) 2560 (P = N ……….………….……….. 108 表4.14 例題4.2.2單對稱槽型斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC1P)…..………...………...….….. 109 表4.15 例題4.2.2單對稱槽型斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC1CM(C)).………...….... 110 表4.16 例題4.2.2單對稱槽型斷面梁之自然頻率(rad/s) (邊界條件BC2X)……..…...………...…... 111 表4.17 I型斷面性質(例題4.2.3)……….………..……... 112 表4.18 例題4.2.3 I型斷面梁之自然頻率(rad/s)……...……….. 113

表4.19 單對T型斷面性質(例題 4.2.4,例題4.2.5,例題4.3.7)….. 115 表4.20 例題4.2.4 T型斷面簡支梁之自然頻率(rad/s)： (a) 邊界條件BC1P..……….…...…. 116 表4.21 例題4.2.4 T型斷面簡支梁之自然頻率(rad/s)： (b) 邊界條件BC1CM..……….………..….……. 117 表4.22 例題4.2.5 T型斷面懸臂梁之自然頻率(rad/s)…….…... 118 表4.23 不斷稱角型斷面性質(例題4.2.6, 例題4.3.10)...…..….. 119 表4.24 例題4.2.6 L型斷面懸臂梁之自然頻率(rad/s)..……….. 120 表4.25 I型斷面性質(例題 4.3.4)..……...…..………...……... 121 表4.26 不對稱Z型斷面性質(例題 4.3.5)……….……... 122 表4.27 例題4.3.5簡支Z型斷面梁在靜態負載下的自然頻率 ) / (rad s ……….. 123 表4.28 單對稱槽型斷面性質(例題4.3.6)………...…….. 124 表4.29 例題4.3.6懸臂單對稱槽型斷面直角構架的自然頻率 ) /

(rad s (Case (a))……….…….………..….. 125

表4.30 例題4.3.6懸臂單對稱槽型斷面直角構架的自然頻率 ) / (rad s (Case (b))……….………..….. 126 表4.31 例題4.3.7懸臂單對稱 T型斷面梁在靜態負荷作用下的 自然頻率(rad/s)(Q=0)……….……..………….. 127 表4.32 單對稱槽型斷面性質(例題4.3.8)…….……….. 128 表4.33 例題4.3.8懸臂單對稱槽型斷面梁在靜態負荷作用下的 自然頻率(rad/s)... 129 表4.34 不對稱槽型斷面性質(例題4.3.9)….……..………..…….. 130 表4.35 例題4.3.9懸臂不對稱槽型斷面梁在靜態負荷作用下的 自然頻率(rad/s)…..……….……….. 131 表4.36 例題4.3.10懸臂不對稱角型斷面梁在靜態負荷作用下 的自然頻率(rad/s)…….………... 132 表4.37 不對稱Z型斷面性質(例題 4.3.11, 例題4.3.12)…...….. 133 表4.38 例題4.3.11懸臂Z型斷面梁在靜態負荷作用下的自然

頻率(rad/s)……….….... 134

表4.39 例題4.3.12懸臂 Z型斷面梁在靜態負荷作用下的自然

圖 目 錄 圖2.1 元素座標與元素截面座標 .……….………….……… 136 圖2.2 固定元素座標與移動元素座標……..……..………….…… 137 圖2.3 旋轉向量 ……….……….….… 138 圖2.4 元素節點參數與節點力………..………...… 138 圖2.5 決定x2軸與x3軸之第一步驟……….…… 139 圖2.6 決定x2軸與x3軸之第二步驟………..……….……….…… 140 圖2.7 圓盤受力偶作用機制圖……….…… 141 圖2.8 圓盤受力型態之QT /ST力矩示意圖……… 142 圖2.9 剛性桿受力作用機制圖 ………...………....… 143 圖4.1 雙對稱I型斷面幾何圖 ……….….…..…… 144 圖4.2 單對稱半圓型斷面幾何圖 ………..….…… 145 圖4.3 單對稱T型斷面幾何圖 ………...……… 146 圖4.4 單對稱槽型斷面幾何圖……..……… 147 圖4.5 不對稱Z型斷面幾何圖……….……… 148 圖4.6 不對稱角型斷面幾何圖………...…… 149 圖4.7 不對稱槽型斷面幾何圖……..………....…… 150 圖4.8 不對稱斷面 A幾何圖………..………...….…………...…… 151 圖4.9 不對稱斷面 B幾何圖………..……… 152 圖4.10a 薄壁梁的示意圖及座標系統………….……….….……… 153 圖4.10b梁A、B兩端的邊界條件………..……..………… 153 圖4.11 例題4.1.1單對稱槽型斷面梁(邊界BC1RM)之振動模態 圖……….……….…..……… 154 圖4.12 例題4.1.3不對稱斷面梁 A (邊界BC1P)之振動模態圖… 156 圖4.13 例題4.1.3不對稱斷面梁 A (邊界BC1CM)之振動模態圖. 158 圖4.14a 薄壁梁受軸力作用的示意圖及座標系統…………...…… 160 圖4.14b 薄壁梁受軸力作用在 A、B兩端的邊界條件……… 160 圖4.15 例題4.2.3 I型斷面簡支梁承受一軸向負載之結構圖…… 161

圖4.16 例題4.2.3 I型斷面簡支梁在中心點C的負荷－扭轉角 曲線圖……….………...… 162 圖4.17 例題4.2.3 I型斷面簡支梁受軸力(P/P_cr =0.8)之振動 模態圖……….………..……….… 163 圖4.18 例題4.2.3 I型斷面簡支梁受軸力(P/P_cr =1.2)之振動 模態圖………….………..……….… 165 圖4.19 例題4.2.3 I型斷面簡支梁受軸向負載的自然頻率－ 軸力曲線圖………….……….………..… 167 圖4.20 例題4.2.4 T型斷面簡支梁承受一軸向負載之結構圖..… 168 圖4.21 例題4.2.4 T型斷面簡支梁在中心點D的負荷－位移 曲線圖….……….………….……….… 169 圖4.22 例題4.2.4 T型斷面簡支梁的頻率－負荷曲線圖…..…… 170 圖4.23 例題4.2.5 T型斷面懸臂梁自由端承受一軸向負載之 結構圖……… 171 圖4.24 例題4.2.5 T型斷面懸臂梁的負荷－位移曲線圖...…...… 172 圖4.25 例題4.2.5 T型斷面懸臂梁的頻率－負荷曲線圖…..…… 173 圖4.26 例題4.2.6 L型斷面懸臂梁自由端承受一軸向負載之 結構圖..………..………….… 174 圖4.27 例題4.2.6 L型斷面懸臂梁的負荷－位移曲線圖……..…. 175 圖4.28 例題4.2.6 L型斷面懸臂梁的頻率－負荷曲線圖…..…... 176 圖4.29 例題4.3.1懸臂直角構架之幾何及受力圖……...……... 177 圖4.30 例題4.3.1 懸臂直角構架A 點在X₃G方向之位移……... 178 圖4.31 例題4.3.1懸臂直角構架自由端B 點X₃G方向之位移….. 178 圖4.32 例題4.3.2旋轉圓盤之幾何及受力圖……….. 179 圖4.33 例題4.3.2旋轉圓盤之初始速度、加速度...……… 180 圖4.34 例題4.3.2旋轉圓盤之中心在X方向的加速度……….… 181 圖4.35 例題4.3.2旋轉圓盤之角速度變化過程….………….…… 181 圖4.36 例題4.3.2旋轉圓盤中心在XY平面的運動軌跡……….. 182 圖4.37 例題4.3.2旋轉圓盤中心在X方向的加速度…………..… 183

圖4.38 例題4.3.3球窩接頭之空間桿之幾何及受力圖…….….… 184 圖4.39 例題4.3.3之自由端之位置向量在X₂G方向的分量 (Case (a))………. 185 圖4.40 例題4.3.3之自由端之位置向量在X₃G方向的分量 (Case (a))……….……… 185 圖4.41 例題4.3.3之自由端之位置向量在X₂G方向的分量 (Case (b))………...………. 186 圖4.42 例題4.3.3之自由端之位置向量在X₃G方向的分量 (Case (b))………. 186 圖4.43 例題4.3.4 I型斷面梁之幾何及受力圖…….………….…. 187 圖4.44 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (a))…... 188 圖4.45 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (b))..…... 188 圖4.46 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (c)).….... 189 圖4.47 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (d)).….... 189 圖4.48 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (e))…... 190 圖4.49 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (f))…... 190 圖4.50 例題4.3.4之C點在X₁G與X₃G方向的位移(Case (g))…... 191 圖4.51 例題4.3.5 Z型斷面梁之幾何及受力圖………….….…… 192 圖4.52 例題4.3.5 Z型斷面梁端點 B在X₁G方向、中點 C在 G X₂ 及X₃G方向之靜態負荷－位移曲線圖………..… 193 圖4.53 例題4.3.5簡支Z型斷面梁之振動模態圖(P=0)……..… 194 圖4.54 例題4.3.5簡支Z型斷面梁之振動模態圖(P=40kN )..… 195 圖4.55 例題4.3.5簡支Z型斷面梁之振動模態圖(P=80kN )….. 196 圖4.56 例題4.3.5簡支Z型斷面梁之振動模態圖(P=100kN)… 197 圖4.57 例題4.3.5 Z型斷面梁端點 B在X₁G方向、中點C在 G X₂ 和X₃G方向之位移(P₀ =40kN)……….… 198 圖4.58 例題4.3.5 Z型斷面梁端點 B在X₁G方向、中點C在 G X₂ 和X₃G方向之位移(P₀ =80kN)……….… 198 圖4.59 例題 4.3.5 Z型斷面梁端點B在X₁G方向、中點C在 G X₂ 和X₃G方向之位移(P₀ =100kN)……….….….… 199

圖4.60 例題4.3.6槽型直角構架之幾何及受力圖…..……… 200 圖4.61 例題4.3.6自由端C點在X₁G、X₂G及X₃G方向之 靜態負荷－位移曲線圖(Case (a)).……..……….… 201 圖4.62 例題4.3.6自由端C點在X₁G、X₂G及X₃G方向之 靜態負荷－位移曲線圖(Case (b))………….…..……….… 202 圖4.63 例題4.3.6 懸臂槽型斷面直角構架之振動模態圖 (Case (a)、P=0)……….. 203 圖4.64 例題4.3.6 懸臂槽型斷面直角構架之振動模態圖 (Case (b) 、P=0)………... 205 圖4.65 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (a)、P₀ =1kN)………...…. 207 圖4.66 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (a)、 kN P₀ =1 )………... 207 圖4.67 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (a)、P₀ =5kN)………. 208 圖4.68 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (a)、 kN P₀ =5 )………...….... 208 圖4.69 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (a)、P₀ =10kN)……….. 209 圖4.70 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (a)、 kN P₀ =10 )………..……….. 209 圖4.71 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (b)、 kN P₀ =15 )………..…….…. 210 圖4.72 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G及X₃G方向之 位移(Case (a)、P₀ =16kN)…..……….……... 210 圖4.73 例題4.3.6 自由端C點在X₁G方向、X₂G及X₃G方向之 位移(Case (a)、P₀ =17kN )………..……….……... 211 圖4.74 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (b)、P =1kN)…………..….………. 212

圖4.75 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (b)、 kN P₀ =1 )………..………. 212 圖4.76 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (b)、P₀ =5kN)………..………. 213 圖4.77 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (b)、 kN P₀ =5 )………..……….... 213 圖4.78 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (b)、P₀ =10kN)……….……….….……….…. 214 圖4.79 例題4.3.6自由端C點在X₃G方向之位移(Case (b)、 kN P₀ =10 )……….………... 214 圖4.80 例題4.3.6 自由端C點在X₁G方向、X₂G及X₃G方向之 位移(Case (b)、P₀ =15kN)……..……….……….. 215 圖4.81 例題4.3.6自由端C點在X₁G方向、X₂G方向之位移 (Case (b)、P₀ =15kN)……….…………. 215 圖4.82 例題4.3.6 自由端C點在X₁G方向、X₂G及X₃G方向之 位移(Case (b)、P₀ =16kN)……….…….... 216 圖4.83 例題4.3.6 自由端C點在X₁G方向、X₂G及X₃G方向之 位移(Case (b)、P₀ =17kN )………....….…….... 216 圖4.84 例題4.3.6自由端C點在X₂G、X₃G方向之位移之 頻譜圖(Case (a))………..………….. 217 圖4.85 例題4.3.6自由端C點在X₂G、X₃G方向之位移之 頻譜圖(Case (b))………..……….. 218 圖4.86 例題4.3.7懸臂T型斷面梁之幾何及受力圖….……..….. 219 圖4.87 例題4.3.7懸臂T型斷面梁之自由端 A點在 Q = 0之 靜態負荷－位移曲線圖……….……..…….…... 220 圖4.88 例題4.3.7懸臂T型斷面梁之振動模態圖(P=0、Q =0). 221 圖4.89 例題4.3.7自由端A點在X₁G及X₃G方向之位移 (Case (a)、Q = 0)……….……….……….… 222 圖4.90 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移

(Case (a)、Q = 0.001P)……….…… 222 圖4.91 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (a)、Q = 0.01P)….…….……….…… 223 圖4.92 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (a)、Q = 0.1P)………..………..….…… 223 圖4.93 例題4.3.7自由端A點在X₁G及X₃G方向之位移 (Case (b)、Q = 0)………..……….… 224 圖4.94 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (b)、Q = 0.001P)……….………….…… 224 圖4.95 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (b)、Q = 0.01P)….………..………….…… 225 圖4.96 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (b)、Q = 0.1P)………….……….… 225 圖4.97 例題4.3.7自由端A點在X₁G及X₃G方向之位移 (Case (c)、Q = 0)………...……...…….… 226 圖4.98 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (c)、Q = 0.001P)……….….…… 226 圖4.99 例題4.3.7自由端A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (c)、Q = 0.01P)….………..……….… 227 圖4.100 例題4.3.7自由端 A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之位移 (Case (c)、Q = 0.1P)……… 227 圖4.101 例題4.3.8懸臂槽型斷面梁之幾何及受力圖….…….…. 228 圖4.102 例題4.3.8自由端 A點在X₁G、X₂G及X₃G方向之 靜態負荷－位移曲線圖……….……….………..…. 229 圖4.103 例題4.3.8 單對稱槽型斷面懸臂梁之振動模態圖 (P=0)………..……... 230 圖4.104 例題4.3.8 單對稱槽型斷面懸臂梁之振動模態圖 (Case (a)、P=5kN)………..… 231 圖4.105 例題4.3.8 單對稱槽型斷面懸臂梁之振動模態圖

(Case (a)、P=10kN )……….… 232 圖4.106 例題4.3.8 單對稱槽型斷面懸臂梁之振動模態圖 (Case (a)、P=15kN )………...….….… 233 圖4.107 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (a)、P₀ =5kN)……….………...…………..… 234 圖4.108 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (a)、P₀ =10kN)……….……….….……….… 234 圖4.109 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (b)、P₀ =5kN)………..……… 235 圖4.110 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (b)、P₀ =10kN)………..……….….…… 235 圖4.111 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (c)、P₀ =5kN)………..……… 236 圖4.112 例題4.3.8自由端A點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(Case (c)、P₀ =10kN)……… 236 圖4.113 例題4.3.9懸臂不對稱槽型梁之幾何及受力圖………… 237 圖4.114 例題4.3.9梁自由端在X₁G、X₂G及X₃G方向之靜態負荷 －位移曲線圖(Case (a):負荷作用在斷面剪心位置， Case (b):負荷作用在斷面形心置)…………...….……….. 238 圖4.115 例題4.3.9 懸臂不對稱槽型斷面梁之振動模態圖 (P=0)……….. 239 圖4.116 例題4.3.9 懸臂不對稱槽型斷面梁之振動模態圖 (Case (a)、P=3kN )………... 240 圖4.117 例題4.3.9 懸臂不對稱槽型斷面梁之振動模態圖 (Case (b)、P=3kN )……...……….... 241 圖4.118 例題4.3.9自由端在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之位移 (Case (a))………..……….... 242 圖4.119 例題4.3.9自由端在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之位移 (Case (b))………..………….... 242

圖4.120 例題4.3.10懸臂不對稱角型斷面梁之幾何及受力圖….. 243 圖4.121 例題4.3.10梁自由端在X₁G、X₂G及X₃G方向之靜態 負荷－位移曲線圖………..……….... 244 圖4.122 例題4.3.10懸臂不對稱角型斷面梁之振動模態圖 (P=0)……….. 245 圖4.123 例題4.3.10 懸臂不對稱角型斷面梁之振動模態圖 ) 15 (P₀ = kN …..……..………. 246 圖4.124 例題4.3.10 懸臂不對稱角型斷面梁之振動模態圖 ) 25 (P₀ = kN …..……….……. 247 圖4.125 例題4.3.10梁自由端在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(P₀ =15kN)…..……….……..………. 248 圖4.126 例題4.3.10梁自由端在X₁G方向、X₂G和X₃G方向之 位移(P₀ =25kN)…..…………..………. 248 圖4.127 例題4.3.11 懸臂Z型斷面梁之幾何及受力圖…….…... 249 圖4.128 例題4.3.11自由端C點之靜態負荷－位移曲線圖….… 250 圖4.129 例題4.3.11 Z型斷面懸臂梁之振動模態圖(P=0)..….... 251 圖4.130 例題4.3.11 Z型斷面懸臂梁之振動模態圖(P=400kN ). 252 圖4.131 例題4.3.11 Z型斷面懸臂梁之振動模態圖(P=800kN ). 253 圖4.132 例題4.3.11自由端C點在X₁G方向與扭轉角之位移….. 254 圖4.133 例題4.3.12懸臂Z型斷面梁之幾何及受力圖…………. 255 圖4.134 例題4.3.12自由端C點在X₁G、X₃G方向之靜態 負荷－位移曲線圖……….……..…….. 256 圖4.135 例題4.3.12自由端C點在X₂G方向之靜態負荷－位移 曲線圖……….………..……….. 257 圖4.136 例題4.3.12 懸臂Z型斷面梁之振動模態圖(P_C =0、 kN P=200 )….……….………... 258 圖4.137 例題4.3.12 懸臂Z型斷面梁之振動模態圖 (P_C =200kN、P=200kN )….………..…….……... 259 圖4.138 例題4.3.12 懸臂Z型斷面梁之振動模態圖

(P_C =400kN、P=200kN )….………..…………... 260 圖4.139 例題4.3.12 懸臂Z型斷面梁之振動模態圖 (P_C =800kN、P=200kN )….……….……..……... 261 圖4.140 例題4.3.12自由端 C點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向 之位移(P_C =0)………... 262 圖4.141 例題4.3.12自由端 C點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向 之位移(P_C =200kN)………... 262 圖4.142 例題4.3.12自由端 C點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向 之位移(P_C =400kN)………... 263 圖4.143 例題4.3.12自由端 C點在X₁G方向、X₂G和X₃G方向 之位移(P_C =800kN)………... 263

第 一 章 導 論 梁在結構工程系統中，長久以來一直扮演著非常重要的角色，在機 械、航空太空、建築、車輛及土木工程中皆有很廣泛的應用。有些結構如 飛機、太空船、船舶等，為了減輕重量而使用了高強度材料及薄壁斷面。 這些結構在使用中，常受不同形式及大小的負載，並伴隨著高速旋轉、振 動及大變形，所以在結構設計及分析時，便必須考慮結構的幾何非線性的 靜態及動態反應、挫屈負荷、及其在不同負載及轉速下的自然振動頻率。 開口薄壁梁斷面的剪力中心與形心位置通常不是一致，故即使是線性動態 分析，其撓曲及扭曲的運動方程式是耦合的[1]，當開口薄壁梁在大變形或 高速旋轉時，其撓曲、扭曲及軸向變形間及速度間的耦合效應應不能忽略 [2, 3]，否則無法求得其正確的靜態及動態反應、挫屈負荷、自然振動頻 率。因線性梁理論無法考慮這些耦合效應，所以薄壁梁的平衡方程式、挫 屈統御方程式、運動方程式、負載下的梁或旋轉梁的振動方程式都需使用 非線性梁理論推導，即使是旋轉梁線性振動的統御方程式[4]及線性挫屈分 析的統御方程式[5]，也必需是由非線性梁理論的一致線性化推導[2-8]才能 得到正確的統御方程式及結果。在探討薄壁梁結構在負載下的自然振動[3, 9, 10]時，應指對該負載下之靜態平衡點的微小振動，故靜態的變形對結 構切線剛度的影響不能忽略，否則無法求得正確的振動頻率。因挫屈有時 候並不代表失效(failure)，薄壁梁結構在挫屈後的行為及振動特性也是值得 探討的[10]。 文獻上有許多薄壁梁理論及數值方法被提出，其中大部分是薄壁梁的 幾何非線性靜態分析及挫屈分析[7, 8, 11-36]，其中[33-36]用 corotational formulation 推導一個含翹曲剛度並考慮翹曲、扭曲及軸向變形間耦合效應 之三維 Euler 薄壁梁元素，探討薄壁梁的幾何非線性靜態反應及挫屈負 荷，其結果相當精確。薄壁梁無負載的自由振動分析[1, 10, 37-50]比較 少。文獻[37]中使用有限元素法來分析開口薄壁梁的耦合自由振動，並考

慮薄壁梁的翹曲剛度。文獻[38-44, 48, 49] 使用 Dynamic stiffness method進

40]忽略翹曲剛度。文獻[43]以文獻[40]理論為基礎且包含翹曲剛度矩陣， 探討翹曲剛度對開口薄壁梁之自然頻率的影響，並以例題說明忽略翹曲剛 度將造成自然頻率極大的誤差，但文獻上都是假設軸向振動是獨立的，故 僅考慮側向及扭轉振動間的耦合，當梁在鉸接端的軸向位移受到拘限時， 若拘限點不是梁斷面的形心時，軸向振動和側向及扭轉振動應是耦合的， 故本研究擬探討薄壁梁在不同邊界條件下的自由振動。結構在使用時，通 常受到各種形式及大小的負載，故薄壁梁結構在負載下自然振動的特性應 很重要，但這方面的文獻不多[3, 9, 10, 39, 42, 44, 48, 49]，文獻[9, 10, 39, 42, 44 , 48-49]探討軸向負載對開口薄壁梁耦合的自然頻率的影響，文獻[9] 考慮了偏心軸向負載，但沒有考慮該負載造成的側向變形對自然頻率的影 響。文獻[10]考慮了挫屈前及挫屈後的變形對自然頻率的影響，但文獻[10] 僅考慮簡單的邊界條件且其運動方程式並非由完整之非線性梁理論推導， 其結果的準確性仍須以較正確的梁理論求得之結果來驗證。旋轉梁的穩態 解 可 視 為 梁 在 慣 性 力 作 用 下 的 靜 態 平 衡 點 ， 文 獻[3]推 導 出 三 維 旋 轉 Timoshenko 梁以穩態解為平衡點之側向、軸向及扭轉振動正確的線性運動 方程式，並探討其自然頻率及振動模態，但文獻[3]僅考慮雙對稱薄壁梁， 故本研究擬用完整的非線性梁理論探討不對稱薄壁梁在負載下的自由振 動，以補足文獻上的不足。梁之幾何非線性動態分析的文獻很多[51-74]， 文獻[51-53]梁挫屈後的非線性振動，但僅考慮矩形斷面。文獻[56]利用 corotational formulation 提出一簡單有效的梁元素及數值程序來分析三維梁 的動態問題，但其梁元素並非由完整之非線性梁理論推導，所以其變形力 和慣性力中並不能包含全部的耦合項。文獻[2]採用 corotational formulation 及完整之幾何非線性梁理論推導梁元素，分析三維梁的幾何非線性動態反 應，由[2]之例題可發現其結果相當精確，但文獻[2]沒有考慮梁斷面的翹 曲剛度及剪力中心與形心不一致的問題。 對任意斷面之開口薄壁梁，文獻上似乎仍欠缺完整的非線性運動方程 式，故本研究擬考慮梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的開口薄 壁梁，用有限元素法推導一不對稱開口薄壁梁元素的非線性運動方程式， 以探討薄壁梁結構的自然振動及其對負載下之靜態平衡點的自然振動、還

有其幾何非線性動態反應及其在挫屈後的非線性振動。 開口薄壁梁結構運動時的耦合效應包括變形間、慣性(速度)間、及慣 性(速度)與變形間的耦合，其變形分為撓曲、扭轉、扭轉翹曲及軸向變 形。為了正確地考慮開口薄壁梁各種的耦合效應，在推導其運動方程式時 必須使用開口薄壁梁正確的變形機制，其中包括了正確地描述梁斷面的有 限旋轉及考慮有限旋轉的非向量特性，即使不考慮材料非線性，開口薄壁 梁的運動方程式仍為一高度的非線性方程式，但該非線性為幾何非線性， 幾何非線性主要是由剛體旋轉造成，若將剛體旋轉從總位移中去掉，則剩 下的位移為小變形及小旋轉。此時若去掉運動方程式中的高次非線性項， 可使運動方程式大幅地簡化，但仍可保持分析結果的精度。文獻上一般採 用共旋轉法[2, 5, 7, 8, 33-36, 56]除掉剛體旋轉，即將梁分割成數個元素， 然後在每一梁元素當前的變形位置上建立一元素座標。每一梁元素的變 形、節點內力、運動方程式都是建立在該元素座標上。文獻[33-36]中提出 一開口薄壁梁正確的變形機制，定義了三個旋轉參數及建立一套描述梁斷 面的有限旋轉的方法以決定變形後斷面座標之方位，該變形機制能夠正確 地考慮撓曲、扭曲與軸向變形的耦合效應，[33-36]中探討薄壁梁的幾何非 線性靜態反應及挫屈負荷，其結果相當精確，文獻[36]中之不對稱薄壁梁 元素考慮了梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不一致的問題，但文獻 [33-36]都沒有考慮動態效應。文獻[2]採用 corotational formulation 及完整 之幾何非線性梁理論，利用虛功原理、d’Alembert 原理推導梁元素的運動 方程式，並探討三維梁的幾何非線性動態反應，由[2]之例題可發現其結果 相當精確，文獻[2]的方法能夠正確地考慮撓曲、扭曲與軸向變形及慣性間 之耦合的效應，但文獻[2]沒有考慮梁斷面的翹曲剛度及剪力中心與形心不 一致的問題。 文獻[2, 33-35] 用虛功原理推導元素節點力時，都視梁元素當前的元素 座標為一固定的局部座標，當元素受到擾動節點位移及旋轉作用時，在該 元素座標上定義擾動前及擾動後的元素節點旋轉參數，所以元素節點旋轉 參數的擾動量僅與擾動節點旋轉有關，與擾動節點位移無關，在推導上很

方便，且因定義在固定元素座標的元素節點參數(節點位移及節點旋轉參 數)包含了剛體運動的效應，故由元素節點內力對元素節點參數的微分及 可求得元素的切線剛度矩陣。文獻[2]還在當前的固定元素座標定義元素節 點參數對時間的微分，故元素節點參數對時間的一次微分為元素節點的速 度及角速度，元素節點參數對時間的二次微分為元素節點的加速度及角加 速度，故文獻[2]在當前的固定元素座標上推導元素節點的慣性力與在慣性 座標上推導元素節點的慣性力[57, 59]一樣簡單。因文獻[2, 33-35] 在元素 受到擾動前的當前變形位置上建立當前的元素座標及定義當前的元素節點 參數，但並非在元素受到擾動後的變形位置上建立擾動後的元素座標及定 義擾動後的元素節點參數，即擾動前後元素節點參數的定義方式不一致。 一般文獻上[22-24]的共旋轉法，將梁元素當前的元素座標為一移動的局部 座標，即擾動前後元素節點參數的定義方式一致，故本文中稱文獻[2, 33-35]的方法為「廣義共旋轉推導法」，稱一般文獻上[22-24]的共旋轉法為 「一致性共旋轉推導法」。文獻[36]中提到文獻[33, 34]的元素節點力中， 因擾動前後元素節點參數的定義方式不一致，有少數變形參數的二次項無 法滿足力矩的平衡，但這些項在元素增多時會趨近於零，由文獻[8, 33-35] 中的例題可以發現採用文獻[8]的梁元素分析長寬比較大的矩形斷面薄壁梁 受扭矩作用的挫屈負荷時，需要相當多的元素才能得到滿意的收斂解，這 可能是因文獻[33-35]的梁元素變形力的二次項及切線剛度的一次項中有些 項在元素很小時會趨近於零，但其收斂速度很慢，故造成收斂緩慢的問 題，文獻[36]發現若將文獻[8]中所有在元素很小時會趨近於零的項去掉， 則可以大幅改善文獻[8, 35]的梁元素之收斂速率，即用較少的元素得到相 同的精度。文獻[36]中還推導出元素受擾動前、後之元素座標的關係及受 擾動後的元素節點參數，並以一致性共旋轉法推導一不對稱薄壁梁元素， 該元素節點力可以滿足力矩的平衡，若將元素增多時元素節點力會趨近於 零的二次項去掉，則該元素與文獻[8, 33-35]的元素一樣會大幅加快在一些 問題的收斂速率。在一致性共旋轉推導法中，因元素座標的定義方式，除 了元素節點 2 的軸向位栘外，所有元素節點在當前的固定元素座標上的位 移都為零，文獻[36]中，在任何變形位置都將元素節點對固定元素座標的

旋轉向量重新設定為零，因這些值為零的節點位移及旋轉向量對擾動前後 之元素座標的關係沒有貢獻，文獻[36]在推導元素受擾動前、後之元素座 標的關係時，未將其考慮進去，這可以簡化元素節點力的推導，但這些值 為零的節點位移及旋轉向量對節點參數的微分不為零，該微分對切線剛度 矩陣的貢獻相當於剛體旋轉造成元素節點內力方向改變的貢獻，所以文獻 [36]在推導元素切線剛度矩陣時，除了元素節點內力對元素節點參數的微 分外，還要外加一個穩定矩陣(Stability matrix)。這些值為零的節點位移及 旋轉向量對時間的微分亦不為零，如果用文獻[36]的方法推導元素的絕對 速度及絕對加速度時，還須考慮移動元素座標的角速度及角加速度的貢 獻，但文獻[36]的方法未考慮值為零的節點位移及旋轉向量，應不能求得 移動元素座標的角加速度。 若推導元素受擾動前、後之元素座標的關係時，將值為零的節點位移 及旋轉向量考慮進去，則文獻[36]的一致性共旋轉推導法可以用在薄壁梁 的動態分析，故本研究擬採用文獻[31-35]中提出的薄壁梁變形機制及以文 獻[2]推導梁元素的運動方程式的方法為基礎，並將文獻[36]的一致性共旋 轉推導法做必要的修改，推導薄壁梁元素的非線性運動方程式。為考慮各 種變形及慣性間完整的非線性耦合，本研究將利用虛功原理、d’Alembert 原理與完整的非線性梁理論之一致性二階線性化來推導梁元素的節點變形 力及節點慣性力。 本研究推導開口薄壁梁元素時，為了推導的方便且不遺漏各種變形間 的耦合，須先將節點變形參數保留到適當的階數，然後在適當的時候將節 點內力作一致性二階線性化[2, 31-35]，以推導正確之節點變形力、節點慣 性力、切線剛度矩陣及質量矩陣。因將元素節點變形力中在元素很小時會 趨近於零的變形項去掉，可以大幅改善某些問題的收斂速率[36]，故本研 究在動態分析時，元素節點慣性力中的變形耦合項將僅保留在元素很小時 不會趨近於零的變形耦合項。 本研究將探討薄壁梁結構的自然振動及其在負載下之靜態平衡點的自 然振動分析、幾何非線性動態反應、以及梁在預負載下的的非線性動態反 應。若將本研究推導之薄壁梁結構之非線性運動方程式中的非線性項去

掉，則成為薄壁梁結構之自然振動的統御方程式。薄壁梁結構在負載下的 自然振動為薄壁梁結構對該負載下之靜態平衡點的微小振動，故梁在負載 下的位移包含靜態平衡變形及以靜態平衡變形為平衡點的自由振動。將本 研究推導之薄壁梁元素的非線性運動方程式的慣性項去掉，即為薄壁梁靜 態平衡變形的非線性平衡方程式，本研究利用基於牛頓法的增量迭代法解 在不同負載下的非線性靜態變形，將靜態變形代入薄壁梁元素的運動方程 式，以一致性一階線性化可求得在負載下自由振動的統御方程式。因本研 究考慮的振動是以對負載下之靜態平衡點的微小振動，故可視其為擾動 量，所以本研究在自由振動的統御方程式中振動的部份僅保留到一次項， 而靜平衡變形為有限量，可視為零次項，故除了在元素很小時會趨近於零 的項外，將全部保留。本研究中自由振動的統御方程式為一線性常微分方 程組，故可將自由振動設為振態和時間週期函數的的乘積，並將其代入自 由振動的統御方程式，即可得其自然頻率的統御方程式，因自然頻率的統

御方程式應為一廣義的標準的特徵值問題(Generalized standard eigenvalue

problem) [75]，因本研究僅需要求開口薄壁梁結構的前幾個自然頻率及振

動模態，所以本研究以次空間法(subspace iteration method) [75]解廣義的標

準 的 特 徵 值 問 題 。 本 研 究 採 用 Newmark 直 接 積 分 法 和 牛 頓-拉 福 森 (Newton-Raphson)法的增量迭代法解非線性運動方程式。薄壁梁在預負載 下的的非線性動態反應為薄壁梁結構在預負載下之靜態平衡位置受到外力 作用的非線性動態反應。 本研究在第四章中以數值例題探討薄壁梁結構的自然振動及其在負載 下之靜態平衡點的自然振動、幾何非線性動態反應、以及在預負載下的非 線性動態反應，並與文獻上的結果比較，以說明本研究提出之方法的正確 性及有效性。本研究將探討不同斷面及負載對開口薄壁梁之自然頻率與振 動模態、幾何非線性動態反應之影響、以及對開口薄壁梁在預負載下的非 線性動態反應之影響。

第二 章理論推 導 本章採用一致性共旋轉法推導梁元素節點變形力、慣性力、剛度矩陣 及慣性矩陣。 2.1 基本假設 本文對非線性梁元素的推導，作如下的假設： (1) 梁為細長的等斷面梁，且Euler-Bernoulli 假說成立。 (2) 當去除剪心扭轉造成正應變，梁元素的形心軸剩餘之縱向正應變

(longitudinal normal strain)為一常數。

(3) 梁元素在斷面上沒有變形。

(4) 梁元素斷面的翹曲為梁元素的軸向扭轉率與該梁的聖維南(Saint

Venant)翹曲函數的乘積。

(5) 梁元素的變形為小變形。

2.2 座標系統

本文採用共旋轉之全拉格蘭日推導法(co-rotational total Lagrangian

formulation)。為了描述系統的運動、元素的變形、邊界條件、以及與結

構變形位置相關的外力(configuration dependent load)，本文中共定義了四

套直角座標系統，並說明如下： (1) 固定總體座標系統(圖2.1)， X_iG(i=1,2,3)；系統的節點座標、方 位、位移、旋轉、速度、加速度、角速度、角加速度，系統的運動 方程式，其他座標系統之座標軸的方向餘弦，皆在此座標系統中定 義。 (2) 元素座標系統(圖2.1，圖2.2)，x_i(i=1,2,3)、x_i(i=1,2,3)；本研究 採用兩組元素座標， 一組為與元素一起剛體運動，但不一起變形的 移動元素座標x_i (i=1,2,3)，一組為固定在元素當前的變形位置之固 定元素座標x (i=1,2,3)。兩組元素座標在當前梁元素變形的位置上

是重合的。此座標系統附屬在每一梁元素上，其原點位於該元素的 節點1上，x1軸通過該元素的兩端節點(1、2，即兩端斷面的剪心)， 2 x 軸與x₃軸在元素變形前與斷面的主軸方向一致，而元素變形後的 2 x 軸與x₃軸，可由該元素未翹曲的兩端斷面的方位來決定[7]，即分 別將位於節點 1、2 變形後的斷面繞一個與該斷面之法線及x1軸垂 直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與x₁軸方向一致(此時並不 考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向無法定義)，然後再以兩 斷面主軸方向的角平分線作為x₂軸及x₃軸的方向。本研究在當前的 移動元素座標定義元素的變形、節點變形參數，在當前的固定元素 座標定義元素的節點位移向量及旋轉向量、節點位移向量及旋轉向 量的擾動量，節點速度及加速度、節點角速度及角加速度、節點 力、剛度矩陣、質量矩陣。當梁元素在當前的變形位置受到擾動 時，擾動後的移動元素座標及對應的元素節點變形參數是由元素當 前的元素座標及節點變形參數、節點位移向量與旋轉向量、擾動節 點位移向量與旋轉向量決定。元素節點變形參數的擾動量是指元素 在擾動前及擾動後，移動元素座標上之節點變形參數的差。移動元 素座標的速度、加速度、角速度、角加速度是由當前的元素節點速 度、加速度、角速度、角加速度、節點變形參數決定。 (3) 元素斷面座標系統(圖2.1)，x_iS(i=1,2,3)；此座標系統與元素的斷 面一起平移和旋轉，其原點剛接於未翹曲斷面的形心上，_xS 1 軸為未 翹曲斷面的法線方向， _xS 2 軸與x3S軸分別與未翹曲斷面的主軸重 合。元素的變形是由斷面座標相對於元素座標的旋轉來決定。 (4) 負荷基底座標系統，X_iP(i=1,2,3)；此座標系統是用來描述與結構 變形位置相關的作用力機制。該作用力機制造成的系統節點外力及

力矩，和負荷剛度矩陣(load stiffness matrix)，皆建立在此座標系統

中。此座標系統的原點剛接於與結構變形位置相關的作用力作用的 節點上。

本文中用符號{}代表行矩陣。總體座標系統XG ={X₁G,X₂G,X₃G}與 元素座標x={x₁, x₂, x₃}、元素斷面座標xS ={x₁S, x₂S,x₃S}、負荷基底座標 } X , X , X { ₁P ₂P ₃P P ₌ X 之關係可表示如下， , x A XG _{= GE} , S GS G _{A x} X = XG =A_GPXP, (2.1) 其中A_GE、A_GS、A_GP分別代表元素座標、元素斷面座標、負荷基底座 標相對於固定總體座標系統的方向餘弦矩陣。 2.3 旋轉向量及其對時間的微分 本文中使用旋轉向量來表示一個有限旋轉，如圖2.3所示，一向量b 受到一旋轉向量a=

φ

e的作用而轉到一個新的位置b~，向量b~與b之間的 關係可表示成[80] ) ( sin ) )( cos 1 ( cos ~ _{b e b e e b} b=

φ

+ −

φ

⋅ +

φ

× b Ι a a I a I sin ( ) 1 cos ( )] [ 2 × × − + × + =

φ

φ

φ

φ

= Rb (2.2) 其中I 為3×3的單位矩陣，×表向量外積，．表向量內積，

φ

表繞旋轉軸的 旋轉角，e表旋轉軸的單位向量，R稱為旋轉矩陣。 由(2.2)式 b~對時間的微分可表示成 b R R b R b ~ ~ t dt d _{= & = &} (2.3) 因 b~的長度固定，所以其對時間的微分可表示成 b ω b ~ ~ × = dt d (2.4) 其中ω 為角速度向量。

因R&Rt為一反對稱矩陣，從(2.3)式和(2.4)式可得 ω×I=R&Rt (2.5) 由(2.2)及(2.5)式可得ω 和旋轉向量a 對時間的一次微分有以下關係[2]： ω=Γ(a)a& )]Γ(a)=[I+a₁(a×I)+b₁a×(a×Ι (2.6) 其中 2 1 cos 1

φ

φ

− = a ， 1 (1 sin ) 2 1

_φ

φ

φ

− = b ，當

φ

→0， 2 1 1 = a ， 6 1 1 = b 。 當旋轉向量a 有一微小變量 a

δ

時會使向量 b~繞x_i (i =1, 2,3)軸做微小旋轉 i

δϕ

，

δ

a與

δ

ϕ的關係和_{a&與ω 的關係相同}[2]，即

δ

ϕ=Γ(a)

δ

a (2.7) 將(2.6)式對時間微分可得

ω& =Γ&(a)a& +Γ(a)a&& (2.8) ) ( ) ( ) ( ) (a ₁ a I ₁a a I ₁ a I Γ& =a_& × +b& × × +a _&×

) ( ) ( ₁ 1a× a×I + a× a×I +b & b & 其中_{ω& 為角加速度，a&&為旋轉向量對時間的兩次微分。} 由(2.6)、(2.8)式可知當a = 時，0 Γ(0)=I，Γ& )(a a& =0所以 ω &= (2.9) a ω& = (2.10) a&& 即在旋轉向量a = 時，其對時間的一次、二次微分之值，等於角速度、0 角加速度。 2.4 梁之剪心軸的位移及其斷面的旋轉 本文是在當前的移動元素座標上，描述梁元素當前的的變形，由2.1 節中的基本假設可知，梁元素的變形可由其剪心軸在移動元素座標上的 位移及其斷面繞剪心軸的旋轉決定。本文以梁元素之剪心軸為參考軸、

以梁元素兩端斷面的剪心為節點，節點自由度及廣義力都在剪心上定 義，所以本文在描述梁元素的變形前，先描述其剪心軸的位移及其斷面 的旋轉。 本文中若 )( 表示定義於移動元素座標中的變數，則 )( 表示定義於固 定移動元素座標中的對應變數，在當前梁元素變形的位置上，固定元素座 標與移動元素座標是重合的，所以定義在兩座標系統的對應變數有相同的 值，但其擾動量及對時間的微分並不相同。 令梁剪心軸上的任一點P(見圖2.1) ，在不計扭轉翹曲時，變形前後的 位置向量分別為{x,0,0} 及{x_p(x,t),v(x,t),w(x,t)} ，其中v(x,t)與w(x,t) 為剪心軸的側向位移，本文中符號 }{ 代表行矩陣。 本文中符號( ′) 代表( )_,x =∂() ∂x。變形後剪心軸的單位切線向量可 表示為 } , , {cos

θ

θ

₃ −

θ

₂ = _n t (2.11) cos

θ

( , ) =(1−

θ

₂2 −

θ

₃2)12 ∂ ∂ = s t x x_p n (2.12) o w s t x w

ε

θ

+ ′ − = ∂ ∂ − = 1 ) , ( 2 (2.13) o v s t x v

ε

θ

+ ′ = ∂ ∂ = 1 ) , ( 3 (2.14) x w w ∂ ∂ = ′ ， x v v ∂ ∂ = ′ ， −1 ∂ ∂ = x s o

ε

(2.15) 其中

θ

_n為元素座標之x₁軸和 t 的夾角，s_{為節點1至點P間的剪心軸在不計} 扭轉翹曲時，變形後的弧長，

ε

_o為剪心軸的單位伸長量(unit extension)。 由梁剪心軸上的任一點P在變形後的位置向量及(2.12)至(2.15)式，在

ε

o、 x v_, 與w,x都遠小於1時，xp(x,t)可以表示成 dx w v t x x_p =

∫

x + _o − _x − _x 0 2 , 2 , ) 2 1 2 1 1 ( ) , (

ε

(2.16)

由(2.16)式可知u₁ = x_p(0,t)_{為節點1在}x₁方向上的位移，由移動元素座標 系統的定義方式可知u1、其擾動量

δ

u1及對時間的微分都為零。 令 L 及l 分別為變形前及變形後剪心軸的弦長，u2為節點2在x1方 向上的位移，由(2.16)式可得 L L t L x u₂ = _p( , )− =_l− _(2.17) dx w v L x x o

∫

+ − − = 0 2 , 2 , ) 2 1 2 1 1 (

ε

l (2.18) 本 文 用 元 素 斷 面 座 標 軸 的 旋 轉 表 示 梁 之 斷 面 的 旋 轉 。 令e 與_i 3) 2, , 1 (i= S i e 分別代表移動元素座標的x_i(i=1,2,3)方向的單位向量與元素 斷面座標的x_iS (i=1,2,3)軸方向的單位向量。由座標系統的定義方式可 知，在變形前x 軸與_i x 軸的方向是一致的，而且變形後_iS e 與(2.11)式的t₁S 方向一樣。在本文中假設變形後的單位向量e_iS(i=1,2,3)的方向是由以下 兩個旋轉向量連續作用於單位向量e_i(i=1,2,3)來決定： θ_n =

θ

_nn, (2.19) θ_t =

θ

₁t, (2.20) n={0,

θ

₂ (

θ

₂2 +

θ

₃2)1/2,

θ

₃ (

θ

₂2+

θ

₃2)1/2}={0,n₂,n₃}, (2.21) 其中 n 為垂直於e₁與 t 之單位向量，

θ

_n定義於(2.12)式， t 定義於(2.11) 式，

θ

₁為斷面繞 t 旋轉的角度。 旋轉向量θ 作用在_n e 上，將其轉至一中繼位置_i e′_i (i=1,2,3)，此時e′₁ 與t 重合，再將θ 作用在_t e′ ，將其轉到_i S i e 。若e 、_i θ 、以及_n θ 已知，則元_t 素斷面座標e 就唯一決定；反之，若_iS e 與_i S i e 已知，則旋轉向量θ 與_n θ 亦_t 唯一決定。 由(2.2)式、(2.11)－(2.12)式與(2.19)－(2.21)式，e 與S_i e_i (i=1,2,3)之 關係可表示如下

i i S i t R R e Re e =[ _{1 2}] = (2.22) 2 1 1 1 1 cos r sin r R =

θ

+

θ

2 1 1 1 2 sin r cos r R =−

θ

+

θ

} ) cos 1 ( , ) cos 1 ( cos , { _{3 2}2 _{2 3} 1 = −

θ

θ

n + −

θ

n n −

θ

n n n r } ) cos 1 ( cos , ) cos 1 ( , { _{2 2 3 3}2 2 =

θ

−

θ

n n n

θ

n + −

θ

n n r 其中R稱為旋轉矩陣。因R為

θ

_i(i=1,2,3)的函數，所以本文中稱

θ

_i為旋轉 參數。 本文中假設梁元素變形後的剪心軸，其側向位移v( tx, )與w( tx, )及 剪力中心軸的扭轉角

θ

₁(x,t)皆為 x 的三次Hermitian氏多項式。因此(2.15) 式之v( tx, )與w( tx, )可表成 b t b t v v v v N N N N t x v( , )={ ₁, ₂, ₃, ₄}{ ₁, ₁′, ₂, ₂′}=N u (2.23) c t c t w w w w N N N N t x w( , )={ ₁,− ₂, ₃,− ₄}{ ₁,− ₁′, ₂,− ₂′}=N u (2.24)

θ

₁(x,t)={N₁,N₂,N₃,N₄}t

{

θ

₁₁,

β

₁,

θ

₁₂,

β

₂

}

=N_dt u_d (2.25) ), 1 )( 1 ( 8 L ), 2 ( ) 1 ( 4 1 ), 1 )( 1 ( 8 L ), 2 ( ) 1 ( 4 1 2 4 2 3 2 2 2 1 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + − = − + = − − = + − = N N N N (2.26) L x 2 1+ − =

ξ

(2.27)

其中v 與_j w_j (j=1,2)分別是 v 與 w 在節點 j 的節點值，v′ 及_j w′ 則是_j (2.15) 式中v′ 及w′在節點 j (j =1,2)之節點值，

θ

_1j(j=1,2)是(2.20)式之

θ

₁在節 點 j 的節點值，

β

_j(j=1,2)是

θ

_1,x在節點 j 的節點值。N_i (i=1−4)代表形 狀函數(shape function)。 2.5 節點參數與節點力 本文中用旋轉向量描述梁元素兩端節點之斷面的有限旋轉，但用旋 轉參數描述梁元素在兩端節點及內部之斷面的有限旋轉，因對應於旋轉 向量及旋轉參數的廣義力矩不一樣且非向量，所以不同元素在共同節點 的廣義力矩不能以向量的方式相加，傳統力矩為向量，所以本文將元素 節點的廣義力矩轉換成等效的傳統力矩，使其能以向量的方式相加，因 對應於傳統力矩向量的廣義位移為繞該力矩向量的微小旋轉，所以本文 在推導梁元素時需使用以下七類元素節點參數： （1）u_ij (i=1,2,3; j=1,2)，如圖2.4所示，u_ij (u_1j =u_j，u_2j = ，v_j j j w u₃ = ) 為 元 素 節 點 j 的 位 移 向 量 u 在 其 當 前 的 固 定 元 素 座 標 軸_j i x (i=1,2,3)方向的分量，由固定元素座標系統的定義方式可知u 中除了_ij 12 u 外，其餘的值皆為零，但u 的增量_ij ∆ 、u_ij u 的擾動量_ij

δ

u_ij、及u 對時_ij 間的微分u&_ij、u&&_ij並不為零。對應於

δ

u_ij的廣義節點力 f ，為在_ij x_i軸方向 的力。 （2）

δϕ

_ij (i=1,2,3; j =1,2)，

δϕ

_ij是元素節點 j 繞其當前的固定元素 座標軸x_i (i=1,2,3)的擾動旋轉，對應於

δϕ

_ij的廣義節點力m ，為繞_ij x_i軸 的傳統力矩(見圖 2.4)。 （3）

φ

_ij (i=1,2,3; j =1,2)，

φ

_ij是元素節點 j 的旋轉向量φ 在其固定_j 元素座標軸x_i (i=1,2,3)方向的分量，本研究中，在任何時刻及位置都將 節點的旋轉向量φ 的值重新設定為零，但_j

φ

_ij的增量∆ 、擾動量

φ

_ij

δφ

_ij及對 時間的微分並不為零。對應於

δφ

_ij的廣義節點力m 為一廣義力矩。因φ_ij φ 的_j 值重新設定為零，由(2.6)及(2.7)式可知

δφ

_ij和

δϕ

_ij的值相同，所以廣義力矩 φ ij m 和傳統力矩m 的值相同，但對應於_ij

δφ

_ij和

δϕ

_ij的切線剛度矩陣並不相同 (詳見 2.10 節)。