本 研 究 的 主 要 目 的 是 以 一 致 性 共 旋 轉 法 (consistent corotational formulation)推導一個薄壁開口梁元素，並將其應用在梁結構的自由振動分 析及幾何非線性動態分析。
本文中推導的梁元素有兩個節點，每個節點有七個自由度，即三個位 移、三個旋轉及一個扭轉率。本文中將元素節點定在元素兩端斷面的剪 心，並取梁元素的剪心軸當作參考軸。本研究用傳統的力、力矩及雙力矩 為廣義的節點力。本文用對固定座標的旋轉向量描述元素間共同節點的有 限旋轉(Finite rotation)，但用對固定座標的傳統角速度及角加速度向量描 述節點的旋轉和時間的關係。
為了從元素的總位移中去除剛體旋轉，本研究在梁元素當前的變形位 置上，利用元素節點的座標及斷面方位建立一個移動元素座標，並在該移 動元素座標上描述元素的變形，本研究用三個旋轉參數描述元素斷面在移 動元素座標上的方位，本研究在一個與當前的移動元素座標重合的固定元 素座標上，推導出元素節點受到對固定元素座標的擾動節點位移和旋轉作 用後，擾動後的移動元素座標與固定元素座標的關係及元素擾動節點位移 和旋轉與元素擾動節點旋轉參數的關係。本研究利用元素節點在當前固定 元素座標的位移和旋轉及其擾動量、速度、加速度、角速度、角加速度，
推導出移動元素座標的角速度及角加速度及元素節點的變形參數對時間的 一次及二次微分。據本人所知，文獻上還未見到有人以一致性共旋轉法推 導出三維梁元素之移動元素座標的角速度及角加速度。本研究利用虛功原 理和 D’Alembert 原理，以梁之正確的變形機制(Kinematics)及完整非線性 梁理論之二階一致線性化(consistent second order linearzation)在當前的固定 元素座標推導元素節點變形力及慣性力，本研究中保留了變形力中撓曲、
扭曲及軸向變形間之耦合項、軸向扭轉率的三階項、慣性力中速度間的耦 合項及扭轉率與加速度間的耦合項。為了推導上的方便，本研究用虛功原 理推導梁元素節點變形力時，先推導出對應於元素節點旋轉參數的廣義節 點力矩，再用 controgradient law 求得傳統節點力和力矩。本研究在推導元
素節點在當前固定元素座標的擾動位移和擾動旋轉與元素節點旋轉參數的 擾動量的關係時，保留了其值為零的節點對固定元素座標的位移及旋轉向 量，即元素節點變形力中考慮了元素剛體運動的效應，故可由元素節點變 形力對節點參數微分求得元素切線剛度矩陣，文獻上用一致性共旋轉法推 導元素節點變形力時，都將元素的剛體運動除掉，故在推導元素切線剛度 矩陣時，除了元素節點變形力對節點參數微分外，還要另外考慮元素剛體 運動對節點力方向的影響，外加一個穩定矩陣(stability matrix)。本研究推 導元素的節點慣性力時，先將對移動元素座標的節點擾動位移及擾動旋轉 參數表示成當前固定元素座標的節點擾動位移和旋轉之函數，故可直接求 得元素的節點慣性力，元素的一致性質量矩陣(consistent mass matrix) 可由 元素節點的慣性力對元素節點的加速度微分求得。
本研究採用基於弧長法和牛頓-拉福森法的增量迭代法解非線性平衡方 程式，本研究採用次空間法(Subspace Iteration Method)解梁結構的自然頻 率及振動模態。本文應用 Newmark 直接積分法和牛頓-拉福森法的增量迭 代法解非線性運動方程式。本研究以數值例題探討不同斷面、邊界條件及 負載對開口薄壁梁之自然頻率、振動模態及幾何非線性之動態反應之影 響，以說明本研究提出之非線性開口薄壁梁元素的正確性及有效性，並驗 證文獻上梁結構之自然頻率及幾何非線性之動態反應之正確性。
本研究的結論可歸納如下：
1. 本研究推導梁元素過程，為了保留各種變形間的耦合，在計算 Green strain 與決定節點旋轉參數時，須先將 Green strain 及其變分中的變形參 數保留到適當的階數，然後在適當的時候將節點內力作一致性二階線性 化，以推導正確之節點變形力、節點慣性力、切線剛度矩陣及質量矩 陣。
2. 隨著元素數目的增加，梁元素之長度，剪心軸之側向位移的一次微分 (斜率)及扭轉角會趨近於零，所以元素節點內力及剛度矩陣中含這些量 之項亦會趨近於零，將這些量去掉可以解決某些結構問題需使用過多元 素才會收斂的問題[36]，故本研究亦去掉元素節點變形力、元素節點慣 性力及元素切線剛矩陣中隨著元素數目的增加會趨近於零的項。雖然隨
著元素數目的增加，梁元素之長度，剪心軸的斜率及扭轉角會趨近於 零，可以忽略，但這些量對時間的一次及二次微分並不會趨近於零，所 以本研究在元素節點慣性力中，保留這些量對時間的的一次及二次微 分。
3. 軸向扭轉率的三階項是所有三階項中的支配項，而且是反映梁受到純扭 矩時產生非線性行為重要的內力項[8]，所以本文在元素節點變形力保留 至軸向扭轉率的三階項。
4. 當開口薄臂梁斷面的形心與剪心不重合時，其側向振動與扭轉振動是耦 合的，文獻上一般都是認為其軸向振動是獨立的，但當銷接端的軸向位 移不是拘限在斷面形心時，軸向振動與側向振動及扭轉振動應是全部或 部分耦合的。本研究之梁元素的節點自由度都定義在剪心上，所有自由 度對應的廣義力皆定義在剪心上，為了正確地描述邊界條件，節點的位 置必須和邊界的自由度一致，所以本文在附錄 G 中利用元素斷面為剛體 的假設，導出薄臂梁元素不同節點自由度的關係及對應於不同節點自由 度之元素剛度矩陣的關係。由 4.1 節例題可以發現當銷接端的軸向位移 拘限在形心時，本文的結果與文獻的結果相當吻合，但當銷接端的軸向 位移拘限不在形心或對稱軸上時，本文的結果證實軸向振動、兩側向振 動及扭轉振動是耦合的，但文獻上並無結果可以比較。
5. 梁結構在負載下的自然振動是指梁結構對該負載下之靜態平衡點的微小 振動，故梁在負載下的位移包含靜態平衡變形及以靜態平衡變形為平衡 點的自由振動。本文 4.2 節的例題是探討梁結構在通過形心的軸力作用 下的自然振動，由本節的例題可以發現在挫屈前，本文的結果與文獻上 不考慮軸向變形的結果相當吻合，故梁在挫屈前的軸向變形對分析的結 果似乎影響很小，由例題 4.2.3 發現僅考慮扭轉振動與軸向振動的 I 型簡 支梁受軸力作用時，在挫屈前其扭轉振動與軸向振動是獨立的，但在挫 屈後其軸向振動與扭轉振動是耦合的，由例題 4.2.4 發現 T 型簡支梁受軸 力作用時，在挫屈前本文的結果與文獻上不考慮軸向變形的結果相當吻 合，但在挫屈後本文的結果與文獻上的結果有相當的差異，故梁在挫屈 後的軸向變形似乎不能忽略。由例題 4.2.3-4.2.6 可以發現梁在挫屈前最
小的振動頻率隨著軸力的增加逐漸減少，挫屈時最小的振動頻率為 0。
軸力的大小對前兩個自然振動頻率有很大的影響，但對第三個以後的振 動頻率的影響不大。
6. 用可變形體模擬剛體時，需用很大的剛度，故直接積分法用 Newmark trapezoidal rule 時，加速 度 會有抖動現象，故本文例題 4.3.2 除使用 Newmark trapezoidal rule 外，另應用了 Newmark-β damping scheme 及 HHT scheme [85]，發現二者有相同的結果且確能消除加速度的抖動現 象，本文的結果與文獻[60]的結果相當吻合且有較小的抖動現象。
7. 雖然例題 4.3.6、4.3.8 及 4.3.10 中沒有偵測到挫屈負荷，但由負荷－位移 曲線圖中可看出位移有明顯增加的情況，故梁在負載下的靜態平衡變形 對其自然頻率應有很大的影響，本文的結果發現第一個自然頻率隨著負 載的增加先減小再增加，當梁結構變形小的時候，在階躍負載(Step loading)下的振動週期與對應於該固定負載下之靜態平衡點的自然頻率相 當一致。由時間－位移曲線圖可以發現隨著負載的增加位移的振幅亦急 速變大。
8. 因文獻上缺乏三維薄壁開口梁動態分析的結果，故本研究 4.3 節中三維 薄壁開口梁動態分析的的結果可以供以後的研究參考及比較。
以下為本研究未來的展望：
本研究假設材料為線性材料、梁斷面不會扭曲變形、梁結構不會局部 挫屈(Local buckling)，在結構受到大變形或較高的負荷可能已產生部分的 降伏，所以對開口薄壁梁挫屈後的大變形需考慮其材料非線性。對於較短 的梁須要考慮剪變形的效應，還有其挫屈可能是非彈性的並伴隨著局部挫 屈(Local buckling)或扭曲挫屈(Distorsional buckling)。故在未來的研究 可在局部挫屈、扭曲挫屈、結構之初始不完美(initial imperfection)及 阻尼效應做進一步的探討。
參 考 文 獻
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