與變形位置相關之節點作用力與負荷剛度矩陣….…

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

I2

0 0

0 0

0 A

0 0

0

0 0 A

0 0

0 0 0

A 0

0 0 0

0 A

T

t t

t t

GE GE

GE GE

GE (2.143)

其中0是一3× 3階的零矩陣，0是一3× 2階的零矩陣。及A_{GE為(2.1)式中總} 體座標與元素座標間之轉換矩陣。

2.11 與變形位置相關之節點作用力與負荷剛度矩陣

本文中僅考慮由固定方向之保守力造成的與變形位置相關之節點力 矩。由保守力造成的節點力矩是保守力矩[77, 78]；但是其大小與方向通常 會隨著變形而改變[77,79]。與變形位置相關的節點作用力，在結構變形時 對系統剛度矩陣的貢獻稱為負荷剛度矩陣(load stiffness matrix)。本文中與 變形位置相關的節點作用力(configuration dependent load)、負荷向量(load vector)、以及負荷剛度矩陣都是在一個負荷基底座標X_i^P( i = 1, 2, 3)上定 義。如2.2節所述，X_i^P的原點是剛接在與變形位置相關的外力作用的節點 上。在本文中上標 P 表示該量是在負荷基底座標上定義。在本節之推導，

除有特別之聲明以外，各向量都是表示成負荷基底座標的分量。為了表達 之簡潔，在不會造成混淆時，本節中有時省略了向量之上標 P 。本文中定 義了兩種與變形位置相關的節點作用力機制，並分別說明如下：

(1)第一型節點作用力機制。如圖2.7所示，一個半徑 R 的剛性圓盤，

其圓心 O 剛接於節點上，在盤緣上纏繞著二條繩子，二條繩子的自由端承 受了一對大小相等方向相反的保守力。假設在梁變形前，繩子和圓盤位於 同一平面上；梁變形後，圓盤和梁的節點一起平移和旋轉，但繩子的方向 仍維持不變，所以在梁變形後，繩子和圓盤通常不在同一平面上。 A 點為

繩子與圓盤邊緣的接觸點，若假設剛性圓盤是半徑為 R 球心為 O 之球上的 一個大圓，則OA 和繩子互相垂直。

為了描述上的方便，如圖2.7所示，本文將X₁^P軸定在圓盤的法線方 向，X₂^P軸定在盤面上的任意方向，X₃^P軸則由右手定則決定。

在圖2.7中，因 OA 和繩子及X₁^P軸垂直，所以 OA 線上的單位向量e_A 可表示成

2 /

)1

(a a a

e_A = ^t (2.144)

} , , 0

{ _{3 2}

1 = l −l

×

=e^P_P e^P

a (2.145)

其 中 e^P_P ={l₁,l₂,l₃}為 繩 子 方 向 ( 或 保 守 力 P 方 向 ) 上 的 單 位 向 量 ， 0}

0, , 1

1^P ={

e 為X₁^P軸上的單位向量。雖然繩子在固定座標中的方向是固定 的，但因負荷基底座標隨梁變形改變而改變，所以e^P_P的分量l_i( i = 1, 2, 3) 亦隨變形改變而改變。

圖2.7中之二平行力對O 點造成的力矩M可以表示成

P P

RPeA e

M= 2 × (2.146)

當 與 圓 盤 剛 接 的 節 點 受 到 一 個 微 小 的 旋 轉 向 量 ∆ϕ^P = }

, ,

{∆ϕ₁ ∆ϕ₂ ∆ϕ₃ 擾動時，負荷基底座標會有一微小的旋轉，所以e₁^P會有 一微小的變量∆e₁^P。當∆ϕ_i(i=1,2,3)足夠小時，∆e₁^P可以表示成

} ,

, 0

{ _{3 2}

1

1 =∆ × = ∆ϕ −∆ϕ

∆e^P ϕ^P e^P (2.147)

因(2.146)式中之e_A為e₁^P的函數，所以(2.146)式中的M亦有一變量∆M^如下 式所示

)

⎥⎥ 力矩、第二型準切線(QT2, quasitangential of the second type)力矩、及半準 切線(ST, semitangential)力矩。從圖2.8中，可以發現QT1力矩中外力 P 和

由於系統平衡方程式是定義在固定總體座標系統中，負荷剛度矩陣 KP需先經以下的座標轉換，方可疊加到系統剛度矩陣中，亦即

t GP P GP G

P A K A

K = (2.156)

其中A_GP為(2.1)式中，總體座標與負荷基底座標間的轉換矩陣。