第四章 數值例題
4.3 開口薄壁梁的幾何非線性動態反應
本節以不同的數值例題探討具不同斷面、邊界條件及負載之開口薄壁 梁的幾何非線性動態反應，本節中先分析各例題的非線性靜態反應及在固 定負載下的自然頻率，再探討動態負載大小與負載型態對梁的幾何非線性 動態反應的影響。本文亦考慮梁結構在固定預負載下的靜態平衡位置受到 動態負載作用的動態反應，並探討不同大小預負載對梁結構動態反應的影 響。本節中如果沒有特別說明，都使用 20 個梁元素離散例題中的梁結 構，容許誤差設為10−4。
例題4.3.1：懸臂直角構架角隅點承受一鉛直力
如圖 4.29所示，一懸臂直角構架在其角隅點 A承受一鉛直力P(t)，在 時 間t =2時 即 移 去 外 力 ， 讓 它 自 由 振 動[57]，其幾何及材料性質為：
=10
L ，EA=106，EIy =EIz =GJ =103，Aρ =1，ρIy =ρIz =10。本例題 共用了 10 個元素，時間增量 t∆ 取為 0.25，每個時間增量平均使用的迭代 次數約 6次。由圖 4.30和 4.31中所示的 A、B兩點在X3G方向上的位移與 文獻[57]及[58]的結果相近。本例題之軸向角速度與側向角速度的乘積相 當大，若不考慮速度耦合效應的影響，則所得到的結果與圖 4.30 及 4.31 的結果在最大位移處約有10％的誤差。
例題4.3.2：旋轉薄圓盤的運動
本題考慮如圖 4.32所示之旋轉薄圓盤的運動，此圓盤藉著一無質量的 剛性桿與一球接頭連接並受重力的作用，其初始角速度及幾何形狀如圖 4.32 所 示 。 為 了 模 擬 此 無 質 量 剛 性 桿 的 作 用 ， 假 設 此 剛 性 桿 之 半 徑
01 .
=0
r ，ρA=10−10，EA=1012，GJ =EIy =EIz =2.5×107。本例題中僅 使用一個元素來進行分析，同時將此圓盤視為元素端點上的lump mass (詳 見附錄 H)，本例題時間增量 t∆ 取為 0.001，由於此系統之運動為剛體運 動 ， 可 以 應 用 三 維 剛 體 動 力 學 求 出 此 系 統 之 初 始 速 度 及 加 速 度 見 圖 4.33(a)、(b)。在受拘束的系統中若使用 Newmark trapezoidal rule(α =0)， 則其加速度會有不穩定的現象[60]，本文使用了[60]中所建議的 Newmark-β damping scheme (α =−0.05)及 HHT scheme (α =−0.05)來改善其收斂 性。圖 4.34為本研究α =0及α =−0.05時，圓盤中心 X方向之加速度的歷 時分析的比較，由圖中可以發現當α =0，X方向加速度會有劇烈抖動的情 形 ， 若 使 用 HHT scheme (α =−0.05) 或 Newmark- β damping scheme(α =−0.05)，則抖動情形會獲得明顯改善。本例題使用 Newmark-β damping scheme(α =−0.05)之結果與 HHT(α =−0.05)的結果相同。圖 4.35 為系統角速度的變化過程，在圖 4.36中則描述圓盤中心在 XY平面上的運 動軌跡。圖 4.37 為本研究圓盤中心 X 方向之加速度的歷時分析與文獻結 果的比較。由圖4.35-4.37可知本文結果與文獻[60]的結果相當吻合。
例題4.3.3：一端為球窩接頭之空間桿
如圖 4.38所示，考慮一桿件，其一端與球窩接頭連結，自由端則受到 兩 個 衝 擊 力 的 作 用 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=141.42 ， A=9 ，
3886 .
=11
J ，Iy =Iz =6.75，密度ρ=7.8×10−3，包松比ν =0.3。本例題 分 析 具 不 同 Young's Modulus 之 桿 件 的 運 動 情 形 ：(a) E=2.1×109 , (b)E=6.3×106。
此種一端與球窩接頭連接，一端不受拘束的桿件，其自然頻率為
4
)2
( l l β ρ
ωn = n EI (4.4) 第一個模態為 n = 1， (β1l)2 =0為剛體模態，即ω1 =0，第二個模態 為 n = 2，(β2l)2 =15.418，由(4.4)式可求得情況(a)ω2＝1038.04，週期 T＝
2
2 ω
π ＝0.006053，情況(b) ω2＝56.9221，其週期 T＝
2
2 ω
π =0.1104。
本例題使用 5 個梁元素，時間增量 t∆ 取為 0.001，圖 4.39-4.40 為情況(a)端
點的X2G、X3G座標，圖 4.41-4.42 為情況(b)端點的X2G、X3G座標。由圖可 知，本文結果與文獻[61]的結果非常接近。
例題4.3.4：一雙對稱I型斷面梁承受均佈側向載重
如圖 4.43 所示，一簡支雙對稱 I 型斷面(見圖 4.1)梁承受均佈側向載 重 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L 10= m ， d =0.56m ， tf =0.03m ，
m
tw =0.012 ，b =0.3m，xC =6.9048m，楊氏係數E=210GPa ，剪力模 數G=80.77GPa，線密度m=188.40kg/m。表 4.25 為其斷面性質。本例 題 考 慮 A 、 B 兩 端 的 邊 界 情 況 如 下 ： (a) uA =uB =0 , 0wA =wB = ,
=0
= ′
′A wB
w , (b) uA =uB =0 , 0wA =wB = , 0w′A = , (c) uA =uB =0 ,
=0
= B
A w
w , (d) uA =0, 0wA =wB = , (e) uA =0, 0wA =wB = , 0w′A = , (f)
=0
uA , 0wA =wB = , 0w′A =w′B = , (g) uA =0, 0wA = , 0w′A = 。情況(a)-(f) 負載P0 =3000kN/m，情況(g)負載P0 =300kN/m。本例題時間增量 t∆ 取 為 0.0001 sec。圖 4.44-4.50 為 C 點在X1G與X3G方向的位移。本例題情況(d) 的時間增量 t∆ 取為 0.00001 sec 時與時間增量 t∆ = 0.0001 sec 的結果相同。
由圖 4.44-4.50 可知本文結果邊界(a)-(c)、(f)及(g)與文獻[72]的結果相當吻 合，情況(d)、(e)與文獻[72]的結果有些差異。這可能是因為文獻[72]沒有 考慮梁的慣性矩造成的。
例題4.3.5：簡支Z型斷面梁兩端承受一偏心軸向力
如圖 4.51 所示，一簡支不對稱 Z 型斷面(見圖 4.5)梁兩端承受偏心軸 向力 P，該梁的兩端為自由翹曲，其幾何及材料性質為：L=6.096m，
m
h=0.14288 ， b=0.08573m ， tw =tf =0.0127m ， 楊 氏 係 數 GPa
E =200 ，剪力模數G=77.23GPa，密度ρ =7800kg/m3，表 4.26 為 其斷面性質。當一軸向壓力 P 作用在梁斷面時，該點之節點外力除了軸向 力 ， 還 存 在 一 雙 力 矩 其 值 為 P 與 翹 曲 函 數 在 負 荷 作 用 點 之 值 -0.00445420m 的乘積。圖 4.52 為非線性靜態分析的負荷－位移曲線圖，2 表 4.27 為梁在靜態負荷作用下的最小的 5 個自由振動頻率，圖 4.53-4.56 為其振態，由圖 4.53 可以發現當 P = 0 時，前兩個自然頻率的振態為側向
振動，因本例題之總體座標軸非斷面主軸，故其振動為在X2G方向的側向 振動與在X3G方向的側向振動的耦合振動，由圖 4.54 可發現P=40 kN 時，
側向振動與X1G方向扭轉振動有明顯的耦合，但與X1G方向之軸向振動的耦 合甚小，由圖 4.52 可見P=40 kN 時，梁的位移還很小，故圖 4.54 的結果 是可預期的。當P=80 kN 及P=100 kN 時，梁的靜態位移相當大，故由圖 4.55-4.56 可發現其X1G、X2G及X3G方向之振動的耦合非常明顯。本例題分 別分析了三種不同的負載P0 =40, 80, 100 kN 的動態響應，圖 4.57-4.59 為 梁的時間－位移曲線圖。本例題時間增量 t∆ 取為 0.001 sec，每個時間增量 平均使用的迭代次數約 5 次。圖 4.57-4.59 應可視為對P0 =40, 80, 100 kN 之 靜態平衡點的大振幅的振動，比較圖 4.54-4.56 及圖 4.57-4.59 可以發現圖 4.57-4.59 的振動週期與圖 4.54-4.56 之前二個振態的週期大約相同，故本例 題對靜態平衡點的大振幅振動的週期與小振幅的週期似乎變化不大。
例題4.3.6：懸臂槽型斷面直角構架自由端承受一水平力
如圖 4.60 所示，一懸臂單對稱槽型斷面(見圖 4.4)直角構架在其自由 端斷面剪力中心承受一水平力 P。該構架為 C15×50 斷面，其腹板平放在
G
G X
X1 − 2 平 面 上 ， 其 幾 何 及 材 料 性 質 為 ： L=6.096m(240in) ， )
716 . 3 ( 0943864 .
0 m in
b= ， tf =0.01651m(0.65in) ， h =0.381m(15in) ， )
716 . 0 ( 0181864 .
0 m in
tw = ，楊氏係數E=199.81GPa(29,000ksi)，剪力係 數G=77.168GPa(11,200ksi)，密度ρ=7800kg/m3 ，表 4.28 為其斷面性 質。本例題在端點考慮兩種翹曲邊界條件：(a)在固定端和自由端為自由翹 曲，構架角隅接點 B 兩邊為自由翹曲， (b)在固定端為抑制翹曲和自由端 為自由翹曲，構架角隅接點 B 兩邊抑制翹曲。圖 4.61 與圖 4.62 分別為邊 界條件(a)及(b)的靜態分析的負荷－位移曲線圖，表 4.29-4.30 為梁在靜態 負荷作用下的自由振動頻率。圖 4.63-4.64 為 P = 0 時，最小 6 個自然頻率 的振態，由表 4.29-4.30 及圖 4.63-64 可知，當負載為 0 時，邊界條件(a)和 (b)的第一個自然頻率的振動主要為 AB 段的扭轉振動，BC 段是 B 點旋轉 造成的剛體運動及X3G方向的側向振動，第三個自然頻率的振動主要為 AB 段在XG方向的側向振動，BC 段的軸向振動是由 B 點的轉動造成的剛
體運動，第四到六個自然頻率的振動為軸向、兩側向振動與扭轉振動的耦 合振動。由上述知邊界條件(a)和(b)之第一個振態為構架中桿件 AB 的扭轉 振動，因為邊界條件(b)在固定端 A、角隅接點 B 皆為抑制翹曲，故其第一 個自然頻率比邊界條件(a)大。第三個振態為直角構架中桿件 AB 在X2G方 向的側向振動，故邊界條件(a)與邊界條件(b)的第三個自然頻率很接近。本 例題分析了負載P0 =1, 5, 10, 15, 16, 17 kN 的動態反應，本例題之時間增量
∆ 在邊界條件(a)、(b)分別取為 0.0001 sec 及 0.001 sec，本研究發現邊界條t 件(a)的時間增量 t∆ 取 0.001 sec 時，在某些負載作用下的累積誤差會隨時 間增加而造成結果的發散，故其時間增量 t∆ 取 0.0001 sec。圖 4.65-4.83 為 本文分析之結果。為了探討負載較小時，其自由端振動主要由那些振態貢 獻，本例題使用快速傅利葉轉換，分析負載P0 =1, 5, 10 kN 自由端在側方 向位移的頻譜圖，使用快速傅利葉轉換分析時，邊界條件(a)取樣的週期時 間為 13.1072 sec，於一個週期時間內取樣的位移點數為2 個，邊界條件17 (b)取樣的週期時間為 8.192 sec，於一個週期時間內取樣的位移點數為213 個，圖 4.84 與 4.85 分別為邊界條件(a)與邊界條件(b)在側方向位移的頻譜 圖，由邊界條件(a)的頻譜分析可以求得，當負載P0 =1, 5, 10 kN 時，側向 位移在X2G方向頻譜圖(見圖 4.84)中最大的無因次振幅尖峰值所對應的頻 率皆為 22.0510 (rad/s)，當負載P0 =1 kN 時，側向位移在X3G方向頻譜圖 (見圖 4.84)中 7 個最大的無因次振幅尖峰值所對應的頻率由小至大分別為 1.43811 、 9.10801 、 22.0510 、 52.2512 、 57.5243 、 65.1942 、 82.4515 (rad/s)，當負載P0 =5 kN 時，側向位移在X3G方向頻譜圖(見圖 4.84)中 7 個 最 大 的 無 因 次 振 幅 尖 峰 值 所 對 應 的 頻 率 由 小 至 大 分 別 為 1.43811 、 8.62864、22.0510、50.3337、58.0036、66.6323、80.5340 (rad/s)，當負載
0 =
P 10 kN 時，側向位移在X3G方向頻譜圖(見圖 4.84)中最大的無因次振幅 尖峰值所對應的頻率為 1.43811 (rad/s)，由邊界條件(b)的頻譜分析可以求 得，當負載P0 =1, 5, 10 kN 時，側向位移在X2G方向頻譜圖(見圖 4.85)中最 大的無因次振幅尖峰值所對應的頻率皆為 22.2427 (rad/s)，當負載P0 =1 kN 時，側向位移在X3G方向頻譜圖(見圖 4.85)中 7 個最大的無因次振幅尖峰 值所對應的頻率由小至大分別為 1.53398、9.20388、22.2427、54.4563、
58.2913、69.0291、82.8350 (rad/s)，當負載P0 =5 kN 時，側向位移在X3G 方向頻譜圖(見圖 4.85)中 7 個最大的無因次振幅尖峰值所對應的頻率由小 至大分別為 1.53398、9.20388、22.2427、52.9223、59.0583、70.5631、
81.3010 (rad/s)，當負載P0 =10 kN 時，側向位移在 X3G方向頻譜圖(見圖 4.85)中最大的無因次振幅尖峰值所對應的頻率為 1.53398 (rad/s)。由圖 4.65-4.70 的振動週期、圖 4.63 的振態及週期與頻譜圖(見圖 4.84)可以發 現，當作用之負載P0 ≤ 10 kN 時，自由端 C 點位移在X1G、X2G方向的振 動主要是第三振態的貢獻，當作用之負載P0 =1, 5 kN 時，自由端 C 點位移 在X3G方向的振動主要應是第一至第七振態的貢獻，當作用之負載P0 =10 kN 時，自由端 C 點位移在X3G方向的振動主要應是第一個振態的貢獻，由 頻譜圖(見圖 4.84)可以發現，第二至第七振態的貢獻已經不明顯。表 4.29 及 4.30 中可發現第三個振動頻率隨著負載的增加變化很小，圖 4.65-4.70 為自由端 C 點之時間-位移曲線圖，由圖中可發現位移在X1G、X2G方向振 動週期隨著負載的增加變化很小。雖然本例題沒有偵測到挫屈負荷，但當
0 ≥
P 15 kN 時，由圖 4.61 中可看出靜態位移有明顯劇增的情況，由圖 4.71-4.73 亦可以發現位移的振幅急速變大。由圖 4.74-4.83 可以發現邊界條 件(a)與邊界條件(b)的振動特徵相似。由邊界條件(a)的時間-位移圖(見圖 4.71-4.73)與邊界條件(b)的時間-位移圖(見圖 4.81-4.83)的比較可以發現，
當負載P0 ≥ 15 kN 且邊界條件(a)與邊界條件(b)作用相同的負載時，邊界條 件(a)振動的最大位移比邊界條件(b)振動的最大位移要大很多，即邊界條件 (b)有較大的承載能力。
例題4.3.7：懸臂T型斷面梁自由端承受一鉛直力
如圖 4.86 所示，一懸臂單對稱 T 型斷面(見圖 4.3)梁在其自由端剪心 承受一鉛直力 P 及水平力Q=αP、α =0,0.001,0.01,0.1，其幾何及材料性 質為：L=4m，h=0.192m，b =0.1m，tf =0.0085m，tw =0.0056m， 楊氏係數E =210GPa ，剪力模數G=80.77GPa，密度ρ =7800kg/m3， 表 4.19 為其斷面性質。圖 4.87 為α =0時，非線性靜態分析的負荷－位移 曲線圖，其非線性挫屈負荷為3.26410kN ，表 4.31 為梁在靜態負荷作用下