第四章 數值例題
4.2 開口薄壁梁受軸向負載作用下的振動分析
2/ 002
.
8 kN ⋅s m
ρ = ，表4.7為其斷面性質。表4.8為本例題在各種邊界條件 下的前12個最小的自然頻率，本例題之自由振動的耦合特徵與例題4.1.3相 同，文獻[50]分析了邊界條件為BC1CM的自由振動，由表4.8中可以看出本 研究與文獻[50]結果相當吻合。
4.2 開口薄壁梁受軸向負載作用下的振動分析
當梁斷面的形心承受軸向壓力時，隨著軸向壓力的增加，梁的自然頻 率會漸漸減小，當軸向壓力為該梁的挫屈負荷時，其第一個自然頻率的值 為零，文獻上探討梁在軸向壓力下之耦合振動的論文都認為其軸向振動是 獨立的[9, 10, 39, 42, 44 , 48-49]，但如4.1節所述，若軸向位移之銷接邊界 之拘限點非斷面形心時，軸向振動與側向振動及扭轉振動是全部或部分耦 合的。故本節中將探討梁在不同邊界條件受軸向壓力的耦合振動。本節中 亦將探討梁在挫屈後的自然頻率，並與文獻上的結果比較。如圖4.14a所示
為例題4.2.1及4.2.2之梁受軸力的示意圖及座標系統，令 BCIX，I = 1-4、X
= P, CM, C，表示梁A、B兩端的邊界條件為第I種邊界且其對應的節點自由 度為q (詳見附錄G)。如圖4.14b所示，梁A、B兩端的邊界條件BCIX，I = X 1-4可以表示成
BC1X：uAX =0,vAX =vBX =0,wAX =wBX =0,θ1A =θ1B =0
BC2X：uAX =0,vAX =0,v′AX =0,wAX =0,w′AX =0,θ1A =0,βA =0 BC3X：uAX =0,vAX =vBX =0,v′AX =v′BX =0,wAX =wBX =0,
=0
= ′
′AX wBX
w ,θ1A =θ1B =0,βA =βB =0
BC4X：uAX =0,vAX =vBX =0,v′AX =0,wAX =wBX =0,w′AX =0,θ1A =0,
=0 βA
其中邊界條件 BC1X、BC2X 與 BC4X 的定義與 4.1 節中的定義相同，
BC3X 表示一端為固定，另一端除了軸向自由度可以運動外其餘自由度皆 被固定。
本節中如果沒有特別說明，都使用 20 個梁元素離散例題中的梁結 構。梁結構在負載下的自然振動是指梁結構對該負載下之靜態平衡點的微 小振動，故梁在負載下的位移包含靜態平衡變形及以靜態平衡變形為平衡 點的自由振動。
例題 4.2.1：單對稱半圓形斷面梁
本例題為一單對稱半圓形斷面(見圖 4.2)梁在其斷面形心承受軸向負載 的自由振動，其幾何、材料性質及斷面性質與例題 4.1.2 相同。表 4.9 為梁 受軸向負載P=0.4Pcr =1790N ( 2
2
4L Pcr π EIz
= 懸臂梁的線性挫屈負荷)作用 時，在各種邊界條件下的前 11 個最小的自然頻率，邊界條件為 BC1P 的振 動包含在X3G方向之側向振動與扭轉振動的耦合振動(W,T)及軸向振動與
X2G方向之側向振動的耦合振動(A,V)，其餘邊界條件的振動包含側向-扭轉 耦合振動(W,T)、X1G −X2G平面上無耦合的側向振動(V)及軸向無耦合振動 (A)。由表 4.9 可見本文的分析結果與[39, 49]的結果相當吻合。文獻[39, 49]
並未考慮梁變形對自然頻率的影響，故P=1790N 時的軸向變形似乎對本
例題之自然頻率的影響很小。表 4.10-4.12 為不同大小的軸向負載及邊界條 件為 BC1P、BC1CM(C)、BC2X 時的前 11 個最小的自然頻率。本例題在
簡支邊界的線性挫屈負荷為 N
L
Pcr EIz 17900
2 2 =
=π
，本文求得之非線性挫 屈負荷為17807 N，由表 4.10 可見其振動包含(W,T)耦合振動與(A,V)耦合 振 動 ， 對 應 於 每 個 模 態 的 自 然 頻 率 隨 著 負 載 的 增 加 逐 漸 減 小 ， 當
2 . 0 /Pcr =
P 時，第 10 個振動頻率對應的振動為(A,V)耦合振動，但當 4
. 0 /Pcr ≥
P 時，第 10 個振動頻率對應的振態為(W,T)振動，即隨著P /Pcr 的增加，(A,V)振動的頻率會從第 10 個振動頻率變成第 11 個振動頻率。由 表 4.11 可見邊界條件為 BC1CM(C)時，振動包含(W,T)耦合振動與(V)無耦
合振動。本例題在懸臂邊界的線性挫屈負荷 N
L
Pcr EIz 4475 4 2
2 =
=π
，本文求 得之非線性挫屈負荷為4469 N ，由表 4.12 可見邊界條件為 BC2X 時，振 動包含(W,T)耦合振動與無耦合的側向振動(V)，由表 4.10-4.12 可以發現軸 力的大小對前兩個自然振動頻率有很大的影響，但對第三個以後的振動頻 率的影響不大。
例題 4.2.2：單對稱槽型斷面梁
本例題為一單對稱槽型斷面(見圖 4.4)梁在形心承受軸向負載下的自由 振動，其幾何、材料性質及斷面性質與例題 4.1.1 相同。表 4.13 為軸向負 載P=2560N時，在各種邊界條件下的前 10 個最小的自然頻率，邊界條 件為 BC1P 的振動包含側向(W)-扭轉耦合振動(W,T)與軸向-側向(V)的耦合 振動(A,V)，其餘邊界條件的振動包含側向(W)-扭轉耦合振動(W,T)、無耦 合的側向振動(V)以及無耦合軸向振動(A)，邊界條件為 BC1P 與 BC1CM(C) 的(W,T)耦合振動是相同的，文獻[48]分析邊界條件為 BC1CM、BC2X 及 BC3X 的自然振動，由表 4.13 可見本文的分析結果與[48]的結果相當吻 合。表 4.14 與 4.15 分別為邊界條件 BC1P 及 BC1CM(C) 在不同大小之軸 向負載的前 10 個最小的自然頻率，邊界條件 BC1CM 的線性挫屈負荷[32]
可以表示成
N
cr 61878
)
本研究求得之非線性挫屈負荷為1735.60kN 。本例題之最小扭轉振動自然 頻率的解析解可表示成[50]
) / ( 81 . 161 1
1
2 1
2 2
1 rad s
I I I
EI GJ E
z y
n =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ + +
+
=
ω ω
λ λ λ ρ
ω ，
L
λ = π (4.3)
本例題將梁離散成 20及 40個元素兩種情況來比較，以 EN表示使用 N個 元素離散梁結構，圖 4.16為非線性靜態分析的負荷－位移曲線圖，表 4.18 為在不同軸力時前 10 個最小的自然頻率，表 4.18(a)、(b)分別為將梁離散 成 20個元素及 40個元素分析的結果，圖4.17與圖 4.18分別為P/Pcr =0.8 及P/Pcr =1.2的振動模態圖，由圖 4.16 與表 4.18 可以發現，將梁離散成 20 個元素分析之結果已相當準確，但是，為了避免較高的自然頻率所對應 的振動模態發生失真的情形，振動模態圖為使用 40 個元素分析的結果，
由表 4.18可發現軸力為零時，本研究之最小扭轉振動自然頻率與(4.3)式之 解析解一樣。由表 4.18 及圖 4.17 可以發現梁在挫屈前振動包含扭轉振動 (T)與軸向振動(A)，但在挫屈後由圖 4.18 可看出軸向振動與扭轉振動是耦 合的，由表 4.18 可見梁在挫屈前最小的振動頻率隨著負載的增加逐漸減 少，在挫屈時其值為 0，但挫屈後又逐漸增加。圖 4.19 為前三個最小自然 頻率的頻率－負荷曲線圖。文獻[10]挫屈負荷為1768kN 與最小自然頻率為 163 (rad/s)，由圖中可知本文結果與[10]的結果相當吻合。
例題4.2.4： T型斷面簡支梁承受一軸向力
如圖 4.20 所示，本例題為一簡支單對稱 T 型斷面(見圖 4.3)梁兩端形 心承受一軸向力 P ，本例題考慮邊界條件(a) BC1P, (b) BC1CM兩種。其幾 何及材料性質為：L=2m， h=0.192m，tf =0.0085m，tw =0.0056m，
m
b=0.1 ， 楊 氏 係 數 E=210GPa ， 剪 力 係 數 G =80.77GPa ， 密 度 / 3
7800kg m
ρ = 。表 4.19為其斷面性質。圖 4.21為非線性靜態分析的負荷
－位移曲線圖，本研究邊界條件 BC1CM的負荷－位移曲線與圖 4.21中邊
界條件 BC1P 的結果相同。本例題之線性側向-扭轉挫屈負荷解析解[32]為 kN
Pcr =221.65 ，本研究之非線性挫屈負荷為221.49kN ，零負載時本例題 之最小自然頻率為190.81 (rad/s)，文獻[10]側向-扭轉挫屈負荷為222kN 與 最小的自然頻率為 191.49 (rad/s)，表 4.20與表 4.21為前 10個最小的自然 頻率，本例題在挫屈前最小的振頻隨著負載的增加逐漸減少，直到挫屈時 自然頻率為 0。挫屈前 BC1P 的振動包含側向-扭轉振動(V,T)與軸向-側向 耦合振動(A,W)，BC1CM 的振動包含側向-扭轉振動(V,T)與側向無耦合振 動(W)，在挫屈後邊界條件 BC1P與 BC1CM的振動為軸向、兩側方向及扭 轉的耦合振動。圖 4.22為前三個最小自然頻率的頻率－負荷曲線圖。由圖 4.22 可見本文與文獻[10]的最小自然頻率在挫屈前的結果相當吻合，但挫 屈後的結果有明顯差異，因文獻[10]中沒有考慮軸向位移，故其挫屈後的 結果可能不正確。由圖 4.22、表 4.20 及表 4.21 可發現邊界條件 BC1P 及
BC1CM 的自然頻率相差很小，這可能是因為本例題之第一個軸向振動頻
率太高，故與低頻的振動之耦合不顯著。
例題4.2.5：T型斷面懸臂梁自由端承受一軸向力
如圖 4.23 所示，一單對稱 T 型斷面(見圖 4.3)懸臂梁在自由端斷面形 心承受一軸向力 P ，其幾何、材料性質及斷面性質與例題 4.2.4 相同。本 例題之非線性挫屈負荷為82.1393kN，圖 4.24 為非線性靜態分析的負荷－
位移曲線圖，表 4.22 為前 10 個最小的自然頻率，本例題在挫屈前最小的 振頻隨著負載的增加逐漸減少，直到挫屈時自然頻率為 0。圖 4.25 為前三 個最小自然頻率的頻率－負荷曲線圖。
例題4.2.6：L型斷面懸臂梁自由端承受一軸向力
如圖 4.26 所示，一不對稱角型斷面(見圖 4.6)懸臂梁在自由端斷面形 心 C 承受一軸向力 P ，其幾何及材料性質為：L=1.4m，h=0.07275m，
m
b=0.04775 ， t =0.0065m ， 楊 氏 係 數 E =193.05328GPa ， 包 松 比 3
.
=0
ν ，密度ρ =7800kg/m3。表 4.23 為其斷面性質。本例題的挫屈負荷 為22.791kN，圖 4.27 為非線性靜態分析的負荷－位移曲線圖，表 4.24 為
本例題承受固定軸力下的前 10 個最小的自然頻率，圖 4.28 為前三個最小 自然頻率的頻率－負荷曲線圖，本例題挫屈前的振動皆為(V,W,T)耦合振 動，挫屈後的振動為軸向、兩側方向及扭轉的耦合振動，由表 4.24 及圖 4.28可見本例題在軸力P=0的基頻ω1為 97.37 (rad/s)，隨著軸向負荷 P增 加，ω1逐漸減小，挫屈時ω1 =0，但挫屈後隨著 P 增加，ω1逐漸增大。