第二章 文獻探討
第五節 小數概念之相關研究
∑ ∫
( )∈
∞
=
=
=
=
K G
d f p G L K K P K
P
π τ λ π π λ λ
0
, (3)
π代表學習路徑中的一種順序，Kτ表示受試者在時間τ 的知識狀態，G
( )
K 表 示包含知識狀態K 的所有順序( )
π 所形成的集合，λ表示受試者的學習速率(learning rate)，L表示評量受試者學習速率的隨機變項，Pπ表示順序
( )
π 的機率。當施測者獲得受試者的試題反應組型，即可透過公式(1)、公式(2)和公式(3) 推估出受試者較有可能產生學習路徑的順序，進而通盤瞭解受試者的整個學習歷 程。
Arasasingham, Taagepera, Potter, & Lonjers (2004) 認為知識空間理論不但是 一個有效的研究工具，能檢驗不同的教學方式或學習方法間，何種的概念轉變會 比較接近專家知識結構；亦是一種有效的教學方法，能追蹤和監控學生對概念理 解的發展過程。
不過知識空間理論在推估學生的知識結構時，除了需要使用特定的統計軟體 (PRAXIS) 外，還需運用許多複雜心理計量公式，此外進行空間知識評量時，評 量者必須事先確定各概念之間的階層關係，而這階層關係尚需仰賴豐富的心理學 研究成果來加以支持，然而目前心理學對教學領域的研究成果似乎無法提供充足 的實質理論基礎，使得知識空間模式尚未普遍的被應用到教育評量領域 (涂金 堂，2003)。
第五節 小數概念之相關研究
壹、小數概念內涵之探討
隨著人類文明的進步，整數無法精確表達日常生活中的測量問題，例如長
度、重量、容量，由此產生了分數與小數。小數的應用開始得很早，Thipkong (1988) 指出，早在兩千多年前的巴比倫時期就開始用當時六十進位的記數系統錄許多極 小的量。後經印度和阿拉伯數學家的改進，才逐漸演變成現今使用的小數。由於 計算機、電腦的頻繁使用及公制測量單位的盛行之影響，使得「小數」在數學的 課程中逐漸受到重視 (Hiebert & Wearne, 1983; Thipkong, 1988 )。
小數 (decimal) 是指很小而未滿一的分量。它是來自拉丁文「decima」，意思 是「tithe」，就是指一小部分或是十分之一。所以小數的概念結合分數的意義 (部 分--全體的關係) 和整數十進位的多單位記數系統。例如當一整體被分成十等 份，則其中三份的分量可記成「3/10」，亦可記成「0.3」。由此可知小數亦是分數 的另ㄧ種記法，它包含整數部分、小數部分、小數點等三部分。Hiebert (1992) 指 出小數具有三個重要的特徵：一是小數中的每一數字的位值是緊鄰其右邊的數字 位值的十倍，反之則為十分之一 (例如：1.0 是 0.1 的十倍)；其二是小數的大小 是由每一數字的位值來決定 (例如：0.50＞0.47)；第三是小數的位值等於是它每 一數字所具有數值的總合(例如：11.11=10×1+1×1+1×1/10+1×1/100)。可見整數、
分數、小數三者之間具有密切的連結關係。
Hiebert (1992) 認 為 小 數 概 念 可 具 體 的 分 為 三 類 ： 記 數 系 統 (notation system)、運算規則 (rules)、數量的意義 (quantity)。即知道小數表示的形式、正 確使用運算規則解決小數問題、瞭解小數所表示的數量之意思。劉曼麗 (2002) 將小數概念具體分為小數符號意義、小數符號結構、小數應用等三部分。小數符 號意義主要包含小數圖像表徵和小數與分數雙向連結兩類，小數符號結構主要包 含小數符號的辨識、小數的寫法、小數的讀法、小數的位值、小數的位名、小數 的化聚等六類，小數應用主包含小數單複名數轉換、小數的估測、小數大小比較、
小數的稠密性、小數的計算、小數的估算、文字題等七類。
此外 Hiebert & Wearne (1988) 認為學生要發展穩固的小數知識需歷經四個階 段：連結 (the connecting process)、發展 (the developing process)、精緻與熟練 (the
elaborating and routinizing process)、萃化 (the abstracting process)。前兩個階段強 調學生小數概念的發展，並認為學生唯有具備穩固的小數知識後，才能邁入第三 階段 (精緻與熟練)，正確的使用計算程序並應用到非例行性題目，最後方可達到 萃化階段，即脫離指示物的操作與規則，建立抽象的符號系統。D’Entremont (1991) 則提出「小數學習的洋蔥模式」 (the onion model of decimal number learning)，認 為學生學習小數的認知過程包括五種不同層次 (由外而內依序)：具體物的層次 (the concrete-objective layer)、操作說明的層次 (the operative-interpretive layer)、程 序的層次 (the procedural layer)、心智模式的層次 (the mental model layer)、抽象 的層次 (the abstract layer)。學生若要獲得完備的小數知識，必須如同洋蔥一般把 上層皮予以一層一層的剝掉。其實，Hiebert & Wearne (1988) 的四個認知過程和 D’Entremont (1991) 的五個發展層次之論點有異曲同工之妙，皆強調透過指示物 的操作來連結小數符號表徵的意義，方能讓學生建立穩固的小數知識，唯有學生 具有完備的小數知識，方可熟練計算程序並應用到其他情境中的解題規則，最後 才能建立抽象的小數符號表徵系統。
綜合上述可知，教學者在進行小數單元教學時，若能透過分數的連結活動和 指事物的操作說明，循序引入小數的認識，則有助於學生建立穩固的小數概念，
並且只有當學生具備完備的小數知識，才能熟練小數的計算程序並正確應用小數 解決生活問題，如此小數的抽象符號結構系統方能內化於學生心智中。
貳、小數教材之分析
綜觀我國近十年來的國小數學課程共歷經三種不同版本，分別是國小數學新 課程 (教育部，1993)、九年一貫課程暫行綱要數學教學領域 (教育部，2001)、九 年一貫課程綱要數學教學領域 (教育部，2003)。本研究工具的編製是以九年一貫 課程綱要數學學習領域為依據，其有關小數教材綱要之分析如表 2-4 所示。
表 2-4 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材之分析
的使用，其中以第二階段四、五年級的小數教材份量所佔的比例較重，直至第三 階段六年級，整個小數教學活動大致告一段落。此外在三年級認識長度單位「毫 米」及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係 (3-n-12)和認識容量單位「公升」、「毫 公升」及其關係 (3-n-14)，以及五年級認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」
間的關係 (5-n-14)和認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係 (5-n-15) 的分年細目說明中，皆同時指出教學活動中測量單位的換算與計算可引入分數或 小數，可知小數的學習強調與日常生活作連結。
綜合上述可知，我國九年一貫數學領域中，有關小數知識的課程始於國小三 年級，止於國小六年級。雖然課程的設計由淺而深，學習內容強調與日常生活作 連結，然而只有三年的課程安排，無後續延伸課程的規劃，對正在發展抽象思考 的兒童而言，似乎不夠完備。
參、小數概念之相關研究
從小數概念內涵的探討，以及我國國小小數教材的安排可知，整數的多單位 記數系統和分數意義的學習經驗有助於學生的小數學習，不過小數與整數和分數 亦有其不同之處。學生在學習小數過程中，若是無法瞭解小數與整數和分數之間 的異同，則其整數和分數的學習經驗反而可能成為他們學習小數的干擾因素，使 其在小數的學習表現上適得其反。根據近二十年的小數相關研究或評量報告可 知，學生在小數的學習上常會受到整數或分數的學習經驗的影響，產生許多的迷 思概念，造成其學習表現並不理想 (周筱亭，1990；簡茂發、劉湘川，1993；劉 曼麗，1998；Fischbein, Deri & Marino, 1985; Hiebert & Wearne, 1985, 1986, 1988;
Markovits & Sowder, 1991; Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson & Peled, 1989)。
一、小數學習之相關研究
在小數的意義上，有學者認為學生在學習小數過程中，缺乏小數與分數概念
的連結或缺乏對小數十進結構的理解，而產生迷思概念，或是出現只知其然而不 知其所以然的現象。例如周筱亭 (1990) 指出學生只知仿題，卻不知小數意義為 何，對 0.1 的小數意義之說明有困難。Hiebert & Wearne (1983) 針對 608 位三、
五、七、九年級學生進行測驗和訪談，發現學生無法將小數的符號結構與小數概 念完全連結，以及建立小數與分數概念的連結。此外，學生在將分數轉換為小數 時，會出現將分母當整數部分、分子當小數點右邊之小數部分，或將分子當整數 部分、分母當非整數部分的錯誤現象 (艾如昀，1994；劉曼麗，1998，2001；
D’Entremont, 1991; Hiebert & Wearne, 1983; Kouba, Broen, Carpenter, Lindquist, Sliver & Swafford, 1988; Markovits & Sworder, 1991; Resnick et al., 1989)。
在小數符號結構方面，學生會受整數概念影響，將小數點後的數字讀整數 (杜 建台，1996；劉曼麗，1998；Frobisher, Monaghan, Orton, Orton, Roper & Therlfall, 2002)。在小數位值和小數位名的學習上，學生常見的錯誤類型之一是將整數位名 概念直接運用在小數的位名上 (陳永峰，1998)，以及缺乏小數位值概念的建立和 忽略小數點的存在 (吳昭容，1996；Carpenter, Corbitt, Kepner, Linquist & Reys, 1981; Kouba et al., 1988)。在小數化聚的學習上，劉曼麗 (1998) 指出中年級學童 常犯的錯誤有不清楚小數和整數的關係，以及直接將各數與單位合成。
在小數應用方面，學童在加、減小數時，會將小數視為整數一般向右對齊後 再計算 (艾如昀，1994；陳永峰，1998；劉曼麗，2001；簡茂發、劉湘川，1993；
Hiebert & Wearne, 1986)。學生在乘、除小數的計算時，會誤用算則而將積數或商 數的小數點點錯，或是未點餘數之小數點 (艾如昀，1994；陳永峰，1998；劉曼 麗，2001；簡茂發、劉湘川，1993)。
學生在小數乘、除的估算或在小數乘、除的文字題的表現上，艾如昀 (1994) 發現五年級學生在文字題的列式上，若遇到除數為小數的問題時，其答對率就下 降。Bell, Swan & Taylor (1981) 針對 12 至 15 歲的學生為對象進行研究，發現學 生在面對小數的文字題時，其所選擇的運算策略中出現五種迷思概念：缺乏小數
位值的理解；有「乘法使結果變大，除法使結果變小」的想法；認為除法是「大 的數除以小的數」；根據題目中數字所附帶的單位來決定被成數或被除數；使用 關鍵字策略來解題。Fischbein et al. (1985) 的研究中，指出學生在文字題上的列 式策略是受「暗隱模式」(implicit model)的影響，當題目違反此一模式則學生答 對率就下降，因此題目中的數值是小數時，其學生的答對率都下降。
在小數單複名數轉換的學習上，陳永峰 (1998) 指出六年級學生在度量衡單 位小數的換算上，會直接以小數點做為大單位和小單位的區隔，即將小數單位部 分視為小數部分。戴政吉 (1988) 發現四年級學生會以直覺式想法，進行度量衡 單位小數的換算試題之作答，例如 1 公尺 5 公分=(1.5)公尺。
在小數大小比較上，Resnick et al. (1989) 指出學生在進行小數大小比較時，
歸納出三種學生常犯的錯誤法則：一是整數法則：小數點後數字愈多其值愈大，
歸納出三種學生常犯的錯誤法則：一是整數法則：小數點後數字愈多其值愈大，