國立台中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文
指 導 教 授：林原宏 博士
國小高年級學童小數概念階層之
模糊詮釋結構模式分析
研 究 生：祝淑梅 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 六 月
中文摘要
本研究旨在應用模糊詮釋結構模式分析法，根據察覺模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 測量和試題反應理論 (item response theory, IRT)，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之 ISM 演算，分析個人化知識結構的階層結構， 此分析方法不受二元計分所限制。本研究以國小 1167 名高年級學童為研究對象， 探討之個人化的小數知識之概念階層結構，研究者比較總分相同但反應組型不同 的受試者之概念階層結構異同；並檢定不同能力值學童的概念結構圖與專家的概 念結構圖間差異性，以及不同年級與能力值的學童間的概念結構圖之差異性。研 究結果臚列於下數點： 一、模糊取向的詮釋結構模式分析法可有效的分析個人化的小數概念結構。 二、學童的概念結構因其能力值的不同，而有明顯的差異存在。 三、學童在試題內的解題策略會因能力值的不同，而有明顯不同。 四、總分相同但反應組型不同的受試者，其知識結構不盡相同。 五、根據個別化的概念階層結構圖，其概念間的連結指向關係，可具體提供教學 者規劃分組教學或補救教學的參考。 六、以專家的概念結構圖為參照標準，低、中、高能力值受試者的概念結構圖皆 與專家的概念結構圖有明顯的差異。 七、不同年級與能力值受試者的概念結構圖之相似性係數達顯著差異，顯示： (一)無論五年級或六年級，低、中、高能力值受試者的概念結構圖有顯著的差 異。 (二)高能力值組和低能力值組的五、六年級受試者之概念結構圖無顯著的差 異；但中能力值組的五、六年級受試者之概念結構圖有顯著的差異。 本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解學童的小數知識結構，以及實施補 救或小組教學之參考。最後，根據研究心得，研究者提出對未來研究相關建議。 關鍵字：小數概念、詮釋結構模式、試題反應理論、模糊理論
The Study on Decimal Concepts for Fifth and Sixth Graders by Using
the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model
Abstract
The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM), based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP), Item Response Theory (IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut, to the analysis of the individualized concept structure. In order to explore the individualized structure of decimal concepts, the researcher first tested 1167 fifth and sixth graders of elementary schools by using self-designed decimal concepts test. Secondly, the researcher compared the ISM graphs of the examinees who got the same scores with different response patterns. Finally, the researcher explored the differences of ISM graphs among examinees with different IRT theta value and those of experts as well as the differences of ISM graphs among examinees with different grades statistically.
Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1. The FAISM was a feasible way for analyzing the concepts structures of
decimal.
2. The ISM graphs of examinees varied based on different abilities.
3. The concept structures in each item varied greatly with different-ability examinees.
4. The ISM graphs were different for those who have the same total scores but different response patterns.
5. According to individualized ISM graphs of decimal concepts, the links among concepts could be as references for group teaching and remedial instruction. 6. Based on the referenced standard of experts’ concept structures, the ISM graphs
of examinees with different-ability were quantitatively different.
7. The similarity indices of ISM graphs between different grades and different abilities level were significantly different.
(1)The similarity indices of ISM graphs of fifth and sixth graders are different as well as among high, middle and low abilities level for examinees.
(2)The similarity indices of ISM graphs of fifth and sixth graders in high and low-ability groups were not statistically significant. But the similarity indices ISM graphs of fifth and sixth graders in middle-ability groups were statistically significant.
The findings of this study should be helpful for understanding the learning process of decimal concepts and as references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.
Keyword: decimal concept, fuzzy theory, interpretive structural modeling, item response theory.
目錄
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...3 第三節 名詞解釋...3 第二章 文獻探討...6 第一節 模糊理論...6 第二節 詮釋結構模式分析法...7 第三節 試題反應模式...14 第四節 知識結構的測量理論...17 第五節 小數概念之相關研究...30 第三章 研究方法... 38 第一節 研究架構...38 第二節 研究對象...39 第三節 研究工具...40 第四節 研究流程...46 第五節 資料分析...47 第四章 研究結果與討論... 50 第一節 不同能力值的小數 ISM 圖之比較 ...50 第二節 不同能力值學童在試題內概念屬性的 ISM 圖之比較 ...56 第三節 答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖之比較 ...60 第四節 不同年級與能力值的 ISM 圖與專家的 ISM 圖之比較 ...67 第五章 結論與建議... 70 第一節 結論...70 第二節 研究限制...72 第三節 建議...72 參考文獻 ... 75 壹、 中文部分...75 貳、 日文部分...77參、 英文部分...78
附錄 一 小數概念測驗... 83
附錄 二 A、B、C 三生之模糊關係矩陣 ... 84
表目錄
表 2-1 三種常用的對數型試題反應模式 ... 15 表 2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值 ... 22 表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算 ... 22 表 2-4 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材之分析 ... 32 表 3-1 各鄉鎮不同學校之不同年級的受試者人數一覽表 ... 38 表 3-2 不同年級的男、女學生之人數統計 ... 38 表 3-3 小數概念內容及說明 ... 39 表 3-4 預試工具之分析 ... 40 表 3-5 試題與概念屬性之關係矩陣 ... 41 表 3-6 正式施測工具之分析 ... 43 表 4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形 ... 49 表 4-2 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣 (α= .60)... 50 表 4-3 不同能力值在每一概念之平均通過率 ... 53 表 4-4 A、B、C 三生在三個類別的小數概念階層結構 ... 55 表 4-5 個人化的試題內概念屬性階層結構 ... 56 表 4-6 答對題數相同但反應組型不同的受試者之答題情形 ... 59 表 4-7 答對題數相同但反應組型不同的受試者之概念屬性截矩陣 ... 60 表 4-8 答對題數相同但反應組性不同的試題內概念 ISM 圖之比較 ... 64 表 4-9 不同能力組的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表 ... 67 表 4-10 相似性係數之二因子變異數分析摘要表 ... 67 表 4-11 不同年級受試者的相似性係數之事後比較 ... 68 表 4-12 不同能力值受試者的相似性係數之事後比較 ... 68 表 4-13 不同年級與能力值組別交互作用單純主要效果比較摘要表 ... 68圖目錄
圖 2-1 ISM 圖的繪製 ... 9 圖 2-2 概念圖計分例子 ... 19 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 ... 21 圖 2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數... 21 圖 2-5 知識空間 K 的學習路徑圖... 28 圖 3-1 研究架構圖... 37 圖 3-2 研究流程圖... 45 圖 4-1 A 生之小數概念 ISM 圖 ... 51 圖 4-2 B 生之小數概念 ISM 圖... 52 圖 4-3 C 生之小數概念 ISM 圖... 52 圖 4-4 A、B、C 三生的概念 ISM 圖的概念通過率之比較... 53 圖 4-5 D1、D2 受試者之概念結構階層圖(低能力值組)... 61 圖 4-6 E1、E2 受試者之概念結構階層圖(中能力值組)... 62 圖 4-7 F1、F2 受試者之概念結構階層圖(高能力值組) ... 62第一章 緒論
知識的本質是概念結構，當學習者沒有將知識予以有效的組織和分析，則無 法獲得有效及意義化的學習。但教學者若掌握學生的知識結構，則有助於瞭解學 生思考歷程、提高學生學習效果、激發學生學習興趣。本研究欲探討學生個別化 詮釋結構圖，提供教學者進行分組或補救教學之參考。本章旨在闡述本研究動 機、目的、及所提及之相關名詞作釋義。第一節 研究動機
我國國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學領域的教學內容分為數與量、 幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。數與量在國民教育的數學課程中具 有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段 (教 育部，2003)。而在數與量的主題中包含「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估 測」等子題。其中以「有理數」的教學最具挑戰性。而「小數」是國小階段有理 數的主要教學內容之一，不但是整數概念 (位值概念) 的延伸，又與分數概念 (部 分—整體) 具有密切關係，更是國中數學學習的基礎。由此可知小數概念是一個 值得深入探究的主題。 綜觀國內外近二十年的相關研究，發現學生在小數單元的學習情形及表現並 不理想 (杜建台，1997；吳金聰，1999；梁惠珍，2003；劉曼麗，2001；Hiebert & Wearne, 1986)。其大部分的研究方法以傳統紙筆測驗或診斷教學為主，事後針對 少數受試者進行個別訪談，以此來瞭解學生在學習小數知識後的概念結構。然而 這些研究方法必須耗費大量時間、人力及物力，才能獲得少數學生個別的知識結 構或迷思概念之訊息，較偏向於質性研究。而有關測量並分析學生學習小數知識 後的概念結構分析之量化研究，目前大多偏重整體受試者的概念結構進行分析比較與探究，至於如何針對個別受試者的概念結構之測量與分析，或個別受試者的 概念結構與專家概念結構之比較，其相關文獻則不多。所以如何測量並分析個別 受試者在學習知識後的概念階層結構，是一個值得探討的焦點。
在心理計量領域，有關測量學生學習知識後的概念階層結構之分析方法很 多，常見的有概念構圖 (concept mapping)、次序理論 (ordering theory, 簡稱 OT)、 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, 簡 稱 ISM) 、 徑 路 搜 尋 法 (pathfinder)、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱 IRS ) 和規則空間 (rule space) 等。這些研究方法的主要目的是欲從元素或試題間關係的資料中，試圖找 出有意義的上下從屬關係，來說明整體受試者的概念特性。其中，ISM 是一個相 當重要又有效的方法。ISM 方法是由 Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩 陣，所提出一種將元素階層化表示的方法。它原是被運用在社會系統工學 (social system engineering) 中彙整訊息的建模方法。數年後，Warfield (1982) 進而提出 了 ISM 在社會學、人類學、心理學及哲學等其他領域的應用。有關 ISM 分析法 的實證研究，國內亦有許多教育學者提出 ISM 運用在教育領域中課程與學習的應 用之實例 (許天維、林原宏，1994；廖信德，1998；鍾靜蓉，2002)，發現 ISM 分 析法不但可以讓教學者將腦裡抽象的教學內容轉變為具體的關聯結構階層圖，還 能透過學習者學習知識後的概念間之關係，知悉其整體概念的階層結構。 不過 ISM 分析法中的元素關係只限於二元關係，並且只能得到整體受試者的 概念結構圖，使其在應用上大受限制。為此，阮亨中、吳柏林 (2000) 認為在人 文與社會科學的測度裡，以模糊相關性來描述概念或解題能力單位元素的階層結 構關係，是一個較為合理並能充分的分析與解釋複雜關係的方法。 基於上述，本研究欲以小數概念為例，運用林原宏 (2005) 所提出的模糊取 向結構模式分析法，基於模糊觀點的察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, 簡稱 FLMP)，並結合 IRT 分析所得之反應機率資料，進行模糊關係矩 陣詮釋結構模式分析，繪製出受試者個別化的 ISM 圖，並分析與比較個別受試者
的小數知識之模糊取向概念結構。
第二節 研究目的
基於上述，本研究的主要目的包含： 一、探討國小高年級學童在小數知識上的模糊取向概念結構特徵。 二、探討國小高年級學童在低、中、高不同能力值下，其小數的模糊取向概念結 構圖之特徵與異同。 三、分析低、中、高不同能力值的受試者，其試題內概念結構圖之異同。 四、分析傳統計分相同但反應組型不同之受試者，其模糊取向的概念結構圖與試 題內概念結構圖之異同。 五、探討不同能力值受試者的小數概念結構圖與專家的概念結構圖之差異性。 六、探討不同年級與能力值的受試者間，其小數概念結構圖之差異性。第三節 名詞解釋
本研究中所涉及的名詞，分別說明與界定如下： 一、 試題反應理論 (item response theory, 簡稱 IRT)試題反應理論又稱為潛在特質理論 (latent trait theory)，是將受試者在試題上 的作答情形與其在潛在特質，藉由一條連續遞增的曲線來加以說明試題內在特性 (難度、鑑別度、猜測度) 和受試者個人潛在特質 (能力值) 的關係。 二、 模糊理論 (fuzzy theory) 模糊理論係由 L. A. Zadeh 於 1965 年所提出，強調許多事實的結果無法符合 傳統的二元邏輯，並非在「是」與「非」之間選擇其一，而是介於是與非之間。 因此，處理實際問題時，主要是將普通集合「非此即彼」的絕對隸屬關係加以擴 充，是利用隸屬函數 (membership function) 的觀念，以具有某種程度的真實性來
描述該集合之屬性，進而實現定量刻畫不確定性問題之模糊性質。我們定義模糊
集合：A=
{
(
x,μA( )
x x∈U)
}
,μA(x)= f(x),x∈U，即元素 x 屬於模糊集合A之程度，並在 0~1 之間取值，用來表示此元素歸屬於各個集合程度的強弱。 三、 詮釋結構模式 (interpretive structural model, 簡稱 ISM)
詮釋結構模式是由 J. N. Warfield 於 1976 年提出，它原是社會工學的一種彙 整訊息的建模方法，植基於圖形論和離散數學，其方法乃是根據元素之間的關係 矩陣來分析元素之間的關聯順序，並將其轉變為具體化及全面化的關聯結構階層 圖。
四、 模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling) 該分析法係由林原宏 (2005) 所提出，主要是應用察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)，並結合試題反應理論 (IRT)，來計算概念間上下 從屬關係 (subordination relation ) 之機率，其機率構成一模糊關係矩陣，透過 AISM 軟體進行α-cut 截矩陣分析，並同時繪製出個別受試者概念階層結構圖。 其優點為改進傳統詮釋結構模式 (ISM) 只限於二元資料分析之缺點，並分析個 別畫之詮釋結構圖。 五、 小數概念 (decimal concepts) 本研究所指的小數概念是以三位以內的純小數和帶小數為範圍，欲探討的小 數概念為：小數的認識、小數與分數的連結、小數符號的寫法、小數符號的讀法、 小數位名的認識、小數位值的認識、小數的化聚、小數大小比較、小數單複名數 轉換、小數加法、小數減法等 11 個。 六、專家概念結構圖 以所有試題全部答對的受試者之概念結構圖做為專家參照。 七、高、中、低三組能力值 以全體受試者能力值的平均值之上下一個標準差做為臨界點，將受試者依其
第二章 文獻探討
第一節 模糊理論
L. A. Zadeh 於 1965 年提出模糊理論 (fuzzy theory)，不同於古典數學以二元 的邏輯思考模式來定義外界事物之方式，改以介於 0 和 1 之間的隸屬值來描述事 物的現象，是近代數學理論的一支。由於以隸屬度的觀點描述現象，使得模糊理 論成為工程、人工智慧、統計方法論等領域之理論基礎。近年來，在社會科學的 資料分析上，亦逐漸受重視 (何偉雲，1996；劉湘川、簡茂發，1992；Law, 1996, 1997)。
壹、模糊理論之基本定義
模糊理論是將元素x和集合A之間關係用介於[0,1]的隸屬度來描述，而隸屬 度函數μA( )
x 和α 截集 (α -cut) 的定義說明如下： 【定義 2-1】令 U 表示全域(universal set)，μ( )
x 表示 0 到 1 之間的函數，則 U 之模糊子集A的隸屬函數記為μA( )
x ，表示元素x隸屬於模糊集 合A的程度。可表示成： X =[
x1,x2,K,xn]
( )
( )
( )
n n n x x x x x x A= μ + μ +L+ μ 2 2 2 1 1 1 【定義 2-2】模糊子集A的α 截集定義為：{
( )≥}
, 0≤ ≤1 = μ α α α x x A A A的α 截集的隸屬度函數 A( )
x α μ 為：( )
⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = α μ α μ μ α ) ( , 0 ) ( , 1 x x x A A A貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣
兩個集合元素之間的相似程度，稱之為模糊關係，可用模糊矩陣 (fuzzy matrix) 來表示。假設論域X 有m個元素，論域Y有n個元素，則用來描述X 與Y
兩集合元素間關係模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 可表示為：
n m ij mn m n r r r r r R = × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ... . . . . . . . . . ... 1 1 11 其中rij = fR
( )
x,y :X×Y →[ ]
0,1 在給定α 值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算，亦即： J I ij r Rα =( α) × 且 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = α α α ij ij ij r r r , 0 , 1 ，其中0≤α ≤1第二節 詮釋結構模式分析法
壹、詮釋結構模式
詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) 首先由 Warfield (1976) 所提出，原是一種在社會工學中彙整訊息之建模方法，即以二維矩陣的數學運 算來分析複雜的社會系統中各要素之間的階層關聯構造。所以 ISM 分析法可系 統化地表示整體元素之間的階層結構關係。例如王熙松、劉述舜、張睦雄、梁 樾 (2005) 在山區公路邊坡整治研究中，應用 ISM 分析法，建立影響公路邊坡 穩定相關資訊與整治方式的層級架構，並透過領域專家的問卷調查，再以階層 分析過程 (analytic hierarchical process) 制定整治方式各項因子的權重，發現能
有效提高山區公路邊坡整治的功效。 而 ISM 法在教育上的課程和學習的應用，則是由日本學者佐藤隆博 (1979) 所提出，乃結合離散數學和圖形理論之特點，以具體圖形或數值來表示學習者 的認知結構。其分析方法與在教育領域方面的應用，茲分別加以敘述。 一、ISM 分析方法 若欲分析的系統內有K個元素，且已知其中任意兩元素Ai與Aj的二元關係， 以
( )
K K ij a A= × 表示。若aij =1，表示Ai從屬於Aj，即Ai為Aj的下階元素；若aij =0， 表示Ai不為Aj之下階元素。ISM 分析方法的要點為 (林原宏，2005)： 1.矩陣的運算 兩個矩陣A的運算的結果定義為( )
ij K K KK K K K K a a a a a a a a a a A = × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (2) ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 2 L M M M M L L 2 A 矩陣內的元素 i j iK Kj K k j i kj ik ij a a a a a a a a a =∑
= ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕ ⊗ =1 2 2 L 1 1 ) 2 ( 上式中⊗和⊕的運算，定義如下： ⎩ ⎨ ⎧ = ⊗ 1 = and 1 = if else 1 0 y x y x ⎩ ⎨ ⎧ = ⊕ else 0 = and 0 = if 1 0 x y y x 2.傳遞閉包（transitive closure） 定義 P A A A A Aˆ = ⊕ 2⊕ 3⊕L ，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。 3.可到達矩陣（reachability matrix） 定義 P P I A I A A A A I Aˆ⊕ = ⊕ 2⊕ 3⊕L ⊕ =( ⊕ ) ，其中I 表示K×K 階的單位矩 陣。把如下的矩陣R，稱為可到達矩陣。I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ = + +1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ L L 4. ISM 圖的繪製 以A1至A5元素為例 （佐籐隆博，1987）。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為R，分別為： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R= 為便於繪製 ISM 圖 ，將矩陣整理如下： k A R(Ak) M(Ak) R(Ak)∩M(Ak) 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 0 0 0 0 1 A A2 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 A5 1 A A2 A3 A4 A5 0 A2 0 0 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 A3 A4 0 0 0 A3 A4 0 0 0 0 0 A5 ) (Ak R ：是A的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的 元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 ) (Ak M ：就R(Ak)矩陣中，M(Ak)的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 ) ( ) (Ak M Ak R ∩ ：是R(Ak)和M(Ak)兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在該 元素，則填出該元素；否則填上 0。 而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為： 【步驟一】針對R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)的每一列，找出列相等的元素。在上表中， 先找到相對應的第 1 列A1，則在R(Ak)、R(Ak)∩M(Ak)中A1所在的行 （column） 與列 （row） 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和 尋找。 【步驟二】以相同方法再找到第 5 列A5，以此類推，我們再次得到A3、A4一組 元素和A2元素。
【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依A中的元素關係，劃上箭頭， 如圖 2-1 所示，圖 2-1 中A3、A4是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪 製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖 形簡化。 圖 2-1 ISM 圖的繪製 二、ISM 在教育上的相關研究 就 ISM 分析法在教育上的用途而言，主要可分為三方面 (許天維、林原宏， 1994)：教材內容的結構化、編授教材內容、學習者學習內容結構化。在教材內容 的結構化方面，吳信義 (1998) 應用 ISM 法分析職業教育「基本電學」科目教學 單元中之要素階層關係，據以建立其單元內容，並以電腦化進行分析以減輕課程 設計之負擔。鄭麗娜 (2004) 在九年一貫課程社會領域地理概念的研究中，應用 ISM 法畫出課程領域的地理概念階層圖，並據以規劃地理概念學習的最佳路徑與 群組概念。在編授教材方面，蔡曉信 (1993) 應用 ISM 法，針對在職進修老師對 於清潔劑所表達的開放性觀點和看法進行分析，結果顯示 ISM 法能有效的提升有 關 STS (Science-Technology Society) 教學的看法和觀念。彭淑珍 (2004) 應用 ISM 法，將特殊教育高職部職業教育課程「洗車」和「廁所清潔」中之職業認知、職 業技能、及職業態度，規劃結構化的課程。在學習者學習內容的結構化方面，蔡 秉燁 (2004) 利用 ISM 法，將高中數學教學之補救教材進行結構化教材之設計， A1 A5 A3 A4 A2 A1 A5 A3 A4 A2
研究結果顯示，圖像式的階層結構教材內容，有助於教學者確切掌握教材呈現的 順序，以及增進補救教學的效果。Tatsuoka (1995) 利用 ISM 法分析出具階層性的 知識結構。此外在教育決策上，亦有 ISM 法之相關研究，如 Hawthorme & Sage (1975) 應用 ISM 法於五種不同團體成員在高等教育課程計畫的意見整合，此研 究結果顯示 ISM 法能有效的呈現計畫中實施方案的階層順序性。
貳、模糊取向的詮釋結構模式
從認知心理學的觀點來看，人的思維具有多元邏輯的特性，難以用非對即錯 的二元的明確數值來加以描述，若以二元化觀點評量人的認知結構，其結果易過 於粗略。而傳統詮釋結構模式 (ISM) 僅能針對二元關係的元素進行分析，使其 在應用上的有所限制。有鑑於此，Tazaki & Amagasa (1979) 以模糊理論為基礎， 發展出模糊結構模式 (fuzzy structural modeling, FSM)。Yamashita (1997) 根據模 糊結構模式和模糊推理 (fuzzy reasoning)，發展了有關高中畢業生的升學與就業 輔導的生涯決定模式 (career decision-making modeling) 量表。溫坤禮 (2000) 藉 由模糊理論的模糊集，將 ISM 法的二值關係改為 0 到 1 之間的集合，並取 0 至 1 之間的任意值為元素的特徵值，即為模糊集合的隸屬度 (membership)，以精確掌 握不確定的因素。林原宏 (2005) 所提出的模糊取向詮釋結構模式，乃結合模糊觀點的察覺的 模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT)，根 據察覺的模糊邏輯模式 (FLMP) 衡量配對刺激屬於某一典型的機率，即計算不同 能力值的受試者概念或試題間的模糊關係矩陣，並將其模糊關係矩陣進行α截矩 陣，以概念屬性截矩陣繪製出該能力值之受試者個人化的概念 ISM 圖。 模糊取向詮釋結構模式的提出個人化 (individualized) 的模糊取向的 ISM 分 析。其分析步驟如下 (林原宏，2005)： 【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有M 個試題或所有
試題所測量的概念總數為L個。 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值θ 受試者在第k m題的答對 機率為Pm(θ ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關k) 係矩陣如下： 1.若所分析的元素單位為試題，則能力值θ 受試者的模糊關係矩陣為k M M k ij k p D(θ )=[ (θ )] × ，pij(θ 為符合試題k) i指向試題 j的機率。依察覺的模糊邏輯 模式意義，令ci =Pi(θk) 且oj =1−Pj(θk)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = 2.若所分析的元素單位為概念，則能力值θ 受試者的模糊關係矩陣為k L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] × ，pij(θ 為符合概念k) i指向概念 j的機率。依每一試題測得該 概念與否的關係，設概念個數為L個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A=(aml)M×L，aml =1表示第m題包含概念l，亦即有測到概念 l ； aml =0 表 示 第 m 題 沒 有 包 含 概 念 l ， 亦 即 沒 有 測 到 概 念 l 。 令 L l L M m ml a a SA × • × = = =
∑
1 1 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力值θk 之受試者在每個概念精熟的機率為 M L l k L l ml M k m k a ma a P MA × × • × = =[ ( )]1 [ ] [ ( )]1 ) (θ θ θ 。 依察覺的模糊邏輯模式意義，令ci =mai(θk) 且oj =1−maj(θk)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = 【步驟三】選定α 值且0≤α ≤1，將模糊關係矩陣為D(θk)=[pij(θk)]M×M或L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] × 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： M M k ij k p Dα(θ )=[ α(θ )] × 且 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = θθ αα θ α ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ， 其中0≤α ≤1 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀 性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素Ai指向Aj有多條路徑 (path)， 則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如： 簡化 【步驟五】在給定α 值，可獲得能力值θ 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得k 不同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。 林原宏 (2005) 以網路化分數減法施測系統所取得的 825 名高年級學童之施 測結果，進行資料分析，發現不同能力值的學童之概念結構各有其特徵；傳統計 分相同情形下，學童的分數減法之概念結構亦有所不同。陳紹銘 (2006) 應用模 糊取向的詮釋結構模式分析國小六年級學童的等量公理概念之階層結構，結果發 現：(1)國小六年級學童等量公理的知識結構具有階層性；(2)學童的等量公理概念 結構圖因能力值的不同而有明顯的差異存在；(3)筆式測驗總分相同但反應組型不 同的學童，其知識結構不盡相同。 綜合上述可知，模糊取向的詮釋結構模式是將心理學上對於刺激之察覺的模 糊邏輯測量，應用於知識或概念從屬關係程度的描述，的確是一個可行的方法。 Aj Ak Al Ai Am Aj Ak Al Ai Am
第三節 試題反應理論
測驗與評量理論是一種解釋資料間實證關係 (empirical relationships) 的有系 統的理論學說。從 Binet-Simon 所發展的第一個智力測驗開始算起，測驗與評量 的發展至今已約有一百多元年的歷史。測驗理論學者將測驗與評量理論依其基本 的理論觀點劃分成古典測驗理論 (classical test theory, CTT) 和現代測驗理論 (modern test theory)。由於古典測驗有一些缺點：樣本依賴的測驗指標 (難度、信 度、鑑別度) 特性、相同的測量標準誤、總分即是受試者能力的表示。此外古典 測驗亦難以進行題庫建立 (item bank building)、試題等化 (item equating) 與試題 偏誤 (item bias) 等分析 (陳英豪、吳裕益，1986；Hambleton & Swanminathan, 1985)。現代測驗為克服古典測驗諸項之缺失而興起，而現代測驗理論又以試題反 應理論 (item response theory, IRT) 為其主要發展架構，目前試題反應理論的發展 已有凌駕古典測驗理論之勢。
壹、基本概念
試題反應理論 (IRT) 是透過一條連續性遞增的函數來預測或解釋受試者的 潛在特質 (latent traits) 或能力 (ability) 與其在某一測驗試題上反應機率之間的 關係，所以試題反應理論亦稱潛在特質理論 (latent trait theory)。這一數學函數便 叫作試題特徵曲線 (item characteristic curve, ICC)，若是把能力不同的受試者得分 點連接起來所構成的曲線，即是能力不同的受試者在某一測驗試題上的試題特徵 曲線，把各試題的試題特徵曲線加總起來，便構成所謂的測驗特徵曲線 (test characteristic curve, TCC) (余民寧，1993)。 當試題反應模式適用於某一測驗資料時，它能提供每一受試者個別的測量標 準誤，而較精確的推估個別受試者的能力估計值。它具有兩項「不變性」 (invariant) 的特性，一為試題獨立 (item-independent) 的能力估計值：從不同組的試題估計 而得的受試者能力估計值不會測驗種類的不同而有所不同；另一是樣本獨立
(sample-independent) 的試題參數：從不同族群的受試者估計而得的試題參數估計 值不會因參與測驗的受試者族群不同而改變。
貳、試題反應理論模式
目前試題反應理論所發展出來並在使用的的模式甚多，但其中最為常用的基 本模式有三種：單參數對數模式 (one-parameter logistic model)、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model)、三參數對數模式 (three-parameter logistic nodel)。 此三種模式皆適用於二元化計分的性向或成就測驗的資料分析，其模式的數學函 數與意義說明如表 2-1 所示。表中Pi
( )
θ 表示能力值為θ的受試者在第i題上答對的 機率，e 為自然對數的底數，其值為近似 2.71828 的無窮小數， n為測驗的試題 數。 表 2-1 三種常用的對數型試題反應模式 模式 數學函數 意義 單參數對數 模式 ( ) 1 1 ) ( i b i e P − − + = θ θ 1.僅有試題難度 (item difficult parameter) 之參數bi，難度是與 能力值同一個量尺單位。bi愈 大，表示其試題愈難。 2.當受試者能力值小於試題難度 時，則其答對該試題的機率小 於.5 (即θ −bi <0)；反之，當受 試者能力值大於試題難度時， 則其答對該試題的答對機率大 於.5 (即θ −bi >0)。 3.此模式有 Rasch 模式之稱 (Rasch, 1930; Wright & Masters, 1982)。表 2-1 三種常用的對數型試題反應模式(續) 雙參數對數 模式 ( ) 1 1 ) ( i i b a i e P − − + = θ θ 1.將單參模式中加入一個試題鑑 別參數 (item discrimination parameter) a 。 i 2.鑑別度參數a 愈大，表示試題鑑i 別度愈大，愈能區辨不同能力值受 試者的答對機率，且其試題特徵曲 線愈陡；a 愈小，表示試題鑑別度i 愈小，較無法區辨不同能力值受試 者的答對機率，且其試題特徵曲線 愈平坦。 三參數對數 模式 ( ) 1 1 ) 1 ( ) ( i i b a i i i e c c P − − + − + = θ θ 1.將雙參數模式中加入因猜測而 答對試題的猜測參數 (guessing parameter) c 。 i 2.c 值是表示題目完全不會的受試i 者其猜題答對的機率。 資料來源：修改自林原宏 (2004：272)
參、基本假設
試題反應理論具有下列幾項基本假設，只有在這些假設都成立的前提下，試 題反應理論模式方能被用來分析所有的測驗資料 (余民寧，1993)。 一、單維度 (unidimensionality) 所謂單維度的假設是同一測驗中的各試題皆在測量同一種能力或是潛在特 質。但在測驗的實際情境中，很難完全達到此一假設，例如受試者的語文能力會 影響其數學文字題的解題能力，所以在單維度的假設下，則把影響受試者測驗表 現的其他因素歸為測驗誤差。 二、局部獨立性 (local independence) 指受試者在測驗上某一試題的作答情形，不受前後其他試題的影響。亦即受 試者在測驗上的反應組型機率，等於他在單獨試題上反應機率的連乘積 (余民 寧，1993)。 三、非速度測驗 (nonspeedness)受試者的答題表現，完全是由其能力為何所決定，並非因時間不足而無法完 成作答的情形所影響。 四、「知道-正確」假設 (know-correct assumption) 這個假設是強調受試者在作答時，每一試題皆是受試者誠實作答的結果，受 試者若知道正確答案，必定答對該試題，沒有任何作弊、粗心大意、故意答錯或 不寫的情形。 由於近年電腦計算科學發展迅速，加快試題反應理論模式的演進，以及其相 關應用軟體的研發。但在運用試題反應理論模式分析測驗資料時，應同時注意該 模式所適用的情境與限制，如此才不會造成錯用誤解的分析結果。
第四節 知識結構的測量
知識的本質是概念結構，當個體在進行學習活動時，大腦內部會透過一連串 的認知歷程，將數個單一概念加以組織，形成有意義的知識架構。學習會啟動腦 內知識結構的重組，即是透過舊知識的理解，加速與舊知識類似的新概念之學 習。所以學習者如果沒有將知識予以有效的組織和分析，則無法獲得有效及意義 化的學習。在教育領域上，教學者若掌握學生的知識結構，則有助於瞭解學生思 考歷程以及找出學生的錯誤概念的連結或迷思概念之處。近年來由於認知心理學 的興起和心理計量學的蓬勃發展，使得教育、心理研究領域上對知識結構分析方 法的探究如雨後春筍般的迅速發展。依其分析法的特點可約略分為三類：圖形理 論取向的知識結構分析法、IRT 理論取向的知識結構分析法及知識空間理論。壹、圖形理論取向的知識結構分析法
一、概念構圖 (concept mapping)的認知同化論的核心觀點「有意義的學習」 (meaningful learning) 為基礎，發展 出概念構圖 (concept mapping)。其目的探討學生的知識結構，做為改進和促進學 生學習效率的方式。所謂有意義的學習是指學生主動調整或重新建構新概念間， 或新概念與先前已學會的認知結構之間所產生的混淆或衝突的過程。 概念構圖是建構概念的歷程，它乃要求學生將所要學習內容的概念，先做階 層性的分類與分群，並以連結線將兩兩概念的關係連結起來，且在連結線上標記 連結語，以說明概念間的連結關係，完成之後的概念構圖有如一幅網狀結構圖 (Novak & Gowin, 1984)。因此，概念構圖是一種有意義的結構化學習法。
概念構圖的計分方式大多根據 Novak & Gowin (1984) 所發展出來的計分方 式為藍本，即將學生的概念構圖分成四個結構成份：(一)關係 (relationships)：一 個有效且有意義的連結關係給一分；(二)階層 (hierarchies)：每一個有效的階層給 五分；(三)交叉聯結 (cross-links)：每一個重要且有效的交叉連結給十分，每一個 有效但不能指出相關概念之組成的交叉連結給二分；(四)舉例(examples)：每一個 特定所舉出的事件或物件例子給一分。然而研究者可依其研究目的來調整概念構 圖的加權計分方式 (余民寧、陳嘉成、潘雅芳，1996；Stuart, 1985; Markham, Mintzes & Jones, 1994; Ruiz-Primo & Shavelson, 1996)。其計分方式例子說明如下圖 2-2 所 示。 Novak (1990) 認為概念構圖除了是一種學習方法、教學策略、評量工具，亦 是設計課程的依據。例如張俊峰 (2001) 應用概念構圖教導國中生學習排球的快 攻概念，結果發現概念構圖的教學優於傳統講授式的教學。時德平 (2001) 應用 概念構圖進行自然科「電與磁」單元的教學，發現學生在記憶保留上，概念構圖 式的學習方式優於傳統純文字敘述的方式。邱垂昌、官月緞 (2003) 探討概念構 圖學習策略對大學會計系學生學習高等會計學之影響，結果發現概念構圖是有效 的評量工具、補救教學的指導工具；有 80﹪的學生認為概念構圖是一個良好的複 習工具；合作式學習概念構圖的學習成就顯著高於個別學習概念構圖的學習成
就；此外學生對以概念構圖學習高等會計學之態度對其學習成就有顯著的影響。 但陳嘉成 (1996) 以概念構圖做為學習策略，進行國小學生自然科學習成效之研 究，結果顯示概念構圖的學習策略並未達顯著的效果。在 Jay (1995) 的研究中， 發現概念構圖的學習策略對大學生在學習細胞生物的知識上，和其理解、學習態 度及成就並無顯著的相關。 綜上所述可知，概念構圖對教學者而言，可做為課程規劃、評量、診斷與實 施補救教學的工具；對學生而言，它亦是一種結構化的學習及組織化的複習的學 習方式。概念構圖雖然有其許多優點，但從一些相關研究當中亦可發現其應用效 果不顯著之處，如難以將不同概念構圖作比較。不過概念構圖不失為一種將抽象 概念予以具體化又淺顯易懂的知識結構分析法。
圖 2-2 概念圖計分例子(資料來源：修改自余民寧(1997：486)) 階層 重要概念 聯結 聯結 聯結 一般化概念 一般化概念 一般化概念 第一階 聯結 聯結 概念 概念 聯結 聯結 例子 例子 事件 事件 聯結 聯結 較不一 般化概 念 特 殊 化 概 念 特 殊 化 概 念 聯結 聯結 聯結 聯結 概念 概念 第三階 例子 例子 物件 物件 第四階 計分： (僅計算有效且重要者) (分數) (個數) 關係： 1 × 14 = 14 階層： 5 × 4 = 20 交叉聯結：10 × 2 = 20 舉例： 1 × 4 = 4 總計： 58 分 聯結 較不一 般化概 念 交叉聯結 聯結 交 叉 特 殊 化 概 念 第二階
二、徑路搜尋法 (pathfinder)
徑路搜尋法是由 Schvaneveldt 的研究小組根據理論圖形 (graph-theoretic) 和 網 路 模 式 所 發 展 而 成 (Schvaneveldt & Durso, 1981; Schvaneveldt, Durso & Dearholt,1985)。發展之初大多應用在實驗室研究，爾後才逐漸運用教育心理學領 域。徑路搜尋法是透過一組以節點 (node) 和連結 (linking) 相互連接的概念群所 構成的知識網路結構，藉由量尺化程序來分析專家的知識結構，以專家知識結構 做為學習者學習的鷹架，亦可透過客觀數學的公式計算出生手的知識結構與專家 的知識結構的相似性係數，進而更精確指出各個知識結構圖之間的差異所在 (Jonassen, Beissner, & Yacci, 1993)。
徑路搜尋法的主要重點除了知識結構之測量，更重要的是比較不同受試者的 知識結構之差異。它通常是將受試者的知識結構圖和參照的知識結構圖進行比 較，而參照知識結構圖的選取可以依據研究目的以個人或團體平均的知識結構為 參照點。Goldsmith & Davenport (1990) 認為比較兩種不同知識結構圖的相似程度 之方法有二：(一)以集合理論 (set theory) 為基礎，計算相鄰節點的交集與聯集關 係，可得到相似性指數 (closeness index, 簡稱 PFC 或 C 指數)；(二)以圖形理論為 基礎，計算節點之間距離的相關程度，可得到圖形理論距離指數 (graph-theoretic distance, 簡稱 GTD) 和接近性指數 (proximity index, 簡稱 PRX)，藉由這三種指 數來判斷受試者知識結構和參照知識結構的相似程度。
茲以 Goldsmith,Jonson, & Acton (1991) 所舉的例子，如圖 2-3 和圖 2-4 所示。 分別說明這三種相似指數。
圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 (Goldsmith et al., 1991) 圖 2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數 (改寫自 Goldsmith et al., 1991) GTD 的指數範圍由 0 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD 指數是以徑 路連結鍊的數目作為計算的單位如表 2-2 所示，表 2-2 清楚呈現圖 2-4 中的 PFNET 之三個網路節點之間距離值得計算方式。 接近性矩陣 (dissimilarity) A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 網路三 PFC=.43 GTD=.79 PFC=.74 GTD=.42 網路一 網路二 PFNET
表 2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值 徑 路 網路一 網路二 網路三 A-B 1 1 1 A-E 2 1 2 A-F 2 3 3 將表 2-2 中網路一和網路二各節點的距離值計算其相關系數，就可得到 GTD 指數值 0.79。 PRX 指數是直接計算兩個網路相鄰矩陣 (接近性矩陣) 的相關程度，以相關 係數表示兩個網路的相似程度。即求受試者的接近性矩陣與參照的接近性矩陣相 互對應元素的積差相關係數，就可得到 PRX 指數，其值介於 0 至 1 之間，指數 愈大，表示兩個網路結構愈相似。 PFC 指數的計算要先求出暸個網路各節點的鄰近節點，將鄰近節點的交集除 以聯集，總合其商數加以平均即可獲得 PFC 指數，其計算公式如下：
(
)
∑
∈ ∪ ∩ = I i i i i i B A B A n B 1 , A PFC 其中A、B表示徑路搜尋網路，為共有節點數，I 代表網路所有節點的集合、 i為網路節點。PFC 的指數計算方式如表 2-3 所示。 表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算 鄰近節點 交集 聯集 節點 網路一 網路二 集合 大小 集合 大小 商數 A{ }
B,C{
B,D,E}
{ }
B 1{
B,C,D,E}
4 1÷4 B{
A,D,E}
{ }
A,C{ }
A 1{
A,C,D,E}
4 1÷4 C{
A,F,G}
{
B,F,G}
{
F,G}
2{
A,B,F,G}
4 2÷4 D{ }
B{ }
A U 0{ }
A,B 2 0÷4 E{ }
B{ }
A U 0{ }
A,B 2 0÷4 F{ }
C{ }
C{ }
C 1{ }
C 1 1÷1 G{ }
C{ }
C{ }
C 1{ }
C 1 1÷1 商數總合為 3.0，C 值=3.0/7=.43，U 表示空集合。 (改寫自 Goldsmith et al., 1991) 徑路搜尋法近年來常被運用在教育和訓練上，用來評估學生的學習成效與訓練的有效性 (Goldsmith & Davenport, 1990; Rowe & Cooke, 1995; Choo & Curtis, 2000; Curtis & Davis, 2003)。江淑卿 (1997) 應用徑路搜尋法探討國小六年級學生 和國小自然科教師對「地球的多重屏障」一文的知識結構和文章理解能力，結果 顯示知識結構和科學文章的理解能力有顯著的相關，且知識結構指數對科學性文 章理解能力具有顯著的預測力。宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩 (1998) 應用 徑路搜尋法針對大學生對學習理論的知識結構進行研究，結果發現 PFC 指數對學 生的學習成效有不錯的預測力，且能有效的區別不同學習成就的學生。Gomez & Housner (1992) 應用徑路搜尋法對物理準教師的知識結構和教授的知識結構進行 比較，研究發現 PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數皆和準教師的學期成績有顯著 的相關。 綜上所述可知，徑路搜尋法以量化的方式測量受試者的知識結構的方法，不 但可以分析知識結構與學習表現的關係，比較不同能力學習者的知識結構，亦能 根據受試者知識結構圖的特徵，給予學習策略的指導或提供補教教學。
貳、IRT 理論取向的知識結構分析法
一、規則空間規則空間 (rule space) 是由 Tatsuoka (1983) 所發展出的。它是結合 S-P 表分 析法與試題反應理論 (IRT) 的一種認知診斷評量系統。規則空間藉由受試者在評 量中的試題反應組型 (item response pattern)，進而推論受試者的潛在知識狀態 (latent knowledge stage)。所以規則空間大多被應用在教育統計領域方面，它可以 在大型測驗中，藉由類型分析 (pattern analysis)，將受試者的試題反應組型做分 類，並分析受試者的知識結構，以及診斷受試者解題時所犯的錯誤之處。
進行規則空間分析時，通常包括五步驟：(一)定義試題的認知屬性；(二)將認 知屬性組合成試題；(三)確定各種知識狀態；(四)形成分類的空間；(五)對受試者 的反應進行分類 (Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka, 1998)。茲將五步驟分別說
明於下：
(一)定義試題的認知屬性 (defining attributes)
試題的認知屬性是指構成認知診斷評量的基礎，它包含陳述性知識、程序性 知識或解題策略等。通常以工作分析法來決定並選出該領域的重要概念做為試題 的認知屬性。
(二)將認知屬性組合成試題 (assigning attributes to items)
試題編製過程中，每道試題至少要包含一個認知屬性，且必須考量試題間認 知屬性的相關程度與難易程度。而試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣 (incidence matrix, 通常以Q表示) 加以呈現。例如有三道試題，分別為j1、j2、j3， 有兩個認知屬性k1、k2，其中試題 j1和試題j3各含有認知屬性k1，試題 j2則包含 認知屬性k2。受試者若想答對試題 j1或試題 j3，必須具備認知屬性k1，若想答對 試題 j2，則須具備認知屬性k2的知識。其關聯矩陣Q (2×3) 矩陣，矩陣表示如下。 3 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 j j j k k ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡
(三)確定各種知識狀態 (determining identifiable knowledge stage)
知識狀態的類型是透過試題與認知屬性的關聯矩陣Q來決定的。以上述例子 之矩陣為例，受試者在j1、j2、j3這三道試題中，可能會有八種不同的反應組型： (0,0,0,)、(1,0,0,)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)。其中 1 代表 答對，0 代表答錯。其三道試題和二個認知屬性構呈了四種可能的知識狀態，茲 簡述於下： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性k1的知識，而不具備認知屬性k2的知識，其 知識狀態為 (1,0,1)。 2.知識狀態二：受試者具備認知屬性k2的知識，而不具備認知屬性k1的知識，其
知識狀態為 (0,1,0)。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性k1和k2 的知識，則其知識狀態為 (0,0,0)。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性k1和k2的知識，則其知識狀態為 (1,1,1)。 上述四種知識狀態是屬於典型的試題反應組型，若受試者的反應組型是屬於 另外四種類型：(1,0,0,)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型的試題反應組型。 施測者可以透過典型的反應組型，清楚掌握受試者的具有或缺乏哪些認知屬性的 知識。但是當受試者可能因猜題或不小心等因素產生非典型的反應組型時，施測 者則不易推估其具有或缺乏哪些認知屬性的知識。
(四)形成分類的空間 (formulating the classification space)
規則空間是以二維的笛卡兒座標來呈現，即以 IRT 中的能力參數θ值做為橫
座標，以非典型的反應組型
( )
ξ 為縱座標，而規則空間中的每個座標點代表一種反應組型，也就是一種知識狀態。
(五)對受試者的反應組型進行分類 (classifying examinees’ responses)
當所有可能的反應型都標示到規則空間的笛卡兒座標上，就可根據受試者的 座標值大小來決定其可能的知識狀態。而受試者反應組型的分類是採馬氏距離 (Mahalanobis distance) 法，找出距離受試者的座標值最近的知識狀態的座標值， 並以此決定與受試者的反應組型較為類似的知識狀態。施測者即能根據此類似之 知識狀態瞭解受試者的學習狀況，進行個別的學習指導。 Tatsuoka (1990) 應用規則空間進行學生在數學四則算術問題之研究，結果發 現學生解題時所使用的錯誤規則 (erroneous rules)，會形成系統化的規律錯誤，且 答錯學生其反應組型亦有所不同。余嘉元 (1995) 以規則空間偵測 664 名學生在 30 個數學試題中其認知錯誤類型，研究發現規則空間能將 86％的學生之認知錯 誤類型歸納成 18 種。趙育倫 (1996) 結合無參數試題反應理論及規則空間，對臺 灣地區 4465 位五年級學生的分數加法能力進行研究，並據以分析學生的錯誤類
型。日本學者 Kuramoto, Scott, & Kasai (2003) 應用規則空間證實由 Taira, Ono, & Hayashi 在 1992 年所發展出的日本語字彙測驗 (Japanese vocabulary test) 是一份 有效度的測驗。Hayashi (2002) 針對規則空間方法 (rule space method) 和神經網 路模式 (neural network model) 在區別個體間知識結構差異時，比較兩種方法所 得結果的差異。Menucha, Curtis, & Tomoko (2004) 應用規則空間，針對美國、日 本和以色列三國的八年級學生在 1999 年 TIMSS-R 數學測驗的表現，進行研究， 結果顯示：日本八年級學生在數學知識 (mathematics knowledge) 和思考技巧上 (thinking skills) 優於其他二國，而以色列境內猶太裔學生在所有項目的成績都顯 著高於阿拉伯裔學生。由此可知，規則空間在認知診斷評量上可以提供豐富且準 確的訊息。 二、線性邏輯測驗模式
線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM) 是由 Fischer (1973) 所
發展出來的，他根據 Scheiblechner 於 1972 所提出的試題難度
( )
β 理論為基礎，將iRasch 模式中的試題難度參數
( )
β ，分解成許多認知操作 (cognitive operations) 的i線性組合，此認知操作亦即是解題的規則。其答對機率及試題難度參數的估算公 式如下： ) exp( 1 ) exp( i j i j p θ β β θ − + −
=
l α(
l =1,2,3KK,p)
是所謂的基本參數 (basic parameters)，ω 是il α 的權重l(weights)，c通常是正規化係數 (normalization constant)。α 是指答對該題，所l
需要的認知操作，因此每道試題的難度會因其所包含的認知操作不同而有所不
∑
= + = p l l il i c 1 α ω β同。例如，任意兩道試題Ii，Ik的難度差異 (βi −βk) 可表示成
∑
= − = − p l l kl il k i 1 ) (ω ω α β β 藉由線性邏輯測驗模式，可獲得試題在不同認知操作的線性組合下其不同的 試題難度，透過受試者的試題反應組型，可推估出受試者可能因沒有具備某種認 知操作的知識或技能而無法答對包含該種認知操作的題目，以及同時可推估出在 全部試題的所有認知操作中，受試者比較容易習得何種認知操作，而何種認知操 作對受試者又是比較艱難的。 線性邏輯測驗模式雖可提供豐富的診斷訊息，有助於教學者清楚掌握受試者 的學習歷程，不過亦有其缺點，例如它必須使用 Fischer 所開發的 LpcM 套裝軟體， 方能估算其各種參數；其二是此測驗模式未考慮試題的鑑別度參數和猜測參數之 估計，使其在應用上有所限制。參、知識空間理論
知識空間 (knowledge space) 是近年來備受重視的認知診斷評量方法之一。 Doignon & Falmagne (1985) 為了瞭解學習單元的知識結構和學習者的知識狀 態，以便有效率的診斷學習者的知識狀態，而提出知識空間理論 (knowledge space theory, KST)。其基本假設為：任何領域的評量，就是將該領域分解成一些問題或 試題的集合，而這些試題組合就構成知識結構的基本元素。學生的知識結構 (knowledge structure) 是由其知識狀態 (knowledge state) 所代表，而知識狀態 (knowledge state) 就是指學生能答對的試題所構成的集合，所有可能的知識狀態 之組合就是知識空間 (knowledge space)。由於在同一領域的知識架構下，試題之 間存在著前提關係 (prerequisite relation)，例如學生如果要算對異分母的分數加 法，那麼他一定是已經先會求最小公倍數的技巧。所以評量者可根據學生對前面 試題的反應狀況進行合理的推測，以減少學生不須受測的試題數，達到有效率的 診斷學生的知識狀態的目的。此外學習路徑 (learning path) 亦是知識空間另一個重要的概念。學習路徑是 從不包括任何一個知識或技能的空集合 (empty set)，逐漸學習到全集合(complete set) 的知識狀態。它是一種從不具任何知識的空集合狀態開始學到逐漸學會全部 問題的全集合狀態之連結關係，此種學習路徑稱為順序 (gradation)。 假設一有限集合Q，包含 4 道試題，即可表示Q=
{
1,2,3,4}
，則知識空間K是 由Q的 13 個子集所組成，其集合表示如下：{ } { } { } { } { } { } { } { } {
} { } {
} {
}
{
Φ, 1, 2, 1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 1,2,3, 1,2,4, 1,3,4, 2,3,4, 1,2,3,4}
= K ，則知識空間 K 的學習路徑共有 12 種順序： 1234、1243、1324、1342、1423、1432 2341、2314、2413、2431、2134、2143。 其知識空間K的學習路徑圖如圖 2-5 所示。 圖 2-5 知識空間K的學習路徑圖 至於受試者的學習歷程，究竟是 12 個學習路徑中的哪一個順序，則是透過 下面的公式(1)、公式(2)和公式(3)所推估出來的。{ }
∑
{
}
{ }
∈ = K K K P K R P K P (1){ }
RK(
r K)
(
r K)
(
r K)
P =ρ1 1, ×ρ2 2, ×L×ρm m, (2) Φ ﹝1﹞ ﹝1,4﹞ ﹝2,3﹞ ﹝1,3﹞ ﹝1,2﹞ ﹝2,4﹞ ﹝2﹞ ﹝1,3,4﹞ ﹝1,2,4﹞ ﹝2,3,4﹞ Q ﹝1,2,3﹞{ }
{
}
( )
( )∑ ∫
∈ ∞ = = = = K G d f p G L K K P K P π τ π λ λ π λ 0 , (3) π代表學習路徑中的一種順序，Kτ表示受試者在時間τ 的知識狀態，G( )
K 表 示包含知識狀態K 的所有順序( )
π 所形成的集合，λ表示受試者的學習速率 (learning rate)，L表示評量受試者學習速率的隨機變項，Pπ表示順序( )
π 的機率。 當施測者獲得受試者的試題反應組型，即可透過公式(1)、公式(2)和公式(3) 推估出受試者較有可能產生學習路徑的順序，進而通盤瞭解受試者的整個學習歷 程。Arasasingham, Taagepera, Potter, & Lonjers (2004) 認為知識空間理論不但是 一個有效的研究工具，能檢驗不同的教學方式或學習方法間，何種的概念轉變會 比較接近專家知識結構；亦是一種有效的教學方法，能追蹤和監控學生對概念理 解的發展過程。 不過知識空間理論在推估學生的知識結構時，除了需要使用特定的統計軟體 (PRAXIS) 外，還需運用許多複雜心理計量公式，此外進行空間知識評量時，評 量者必須事先確定各概念之間的階層關係，而這階層關係尚需仰賴豐富的心理學 研究成果來加以支持，然而目前心理學對教學領域的研究成果似乎無法提供充足 的實質理論基礎，使得知識空間模式尚未普遍的被應用到教育評量領域 (涂金 堂，2003)。
第五節 小數概念之相關研究
壹、小數概念內涵之探討
隨著人類文明的進步，整數無法精確表達日常生活中的測量問題，例如長度、重量、容量，由此產生了分數與小數。小數的應用開始得很早，Thipkong (1988) 指出，早在兩千多年前的巴比倫時期就開始用當時六十進位的記數系統錄許多極 小的量。後經印度和阿拉伯數學家的改進，才逐漸演變成現今使用的小數。由於 計算機、電腦的頻繁使用及公制測量單位的盛行之影響，使得「小數」在數學的 課程中逐漸受到重視 (Hiebert & Wearne, 1983; Thipkong, 1988 )。
小數 (decimal) 是指很小而未滿一的分量。它是來自拉丁文「decima」，意思 是「tithe」，就是指一小部分或是十分之一。所以小數的概念結合分數的意義 (部 分--全體的關係) 和整數十進位的多單位記數系統。例如當一整體被分成十等 份，則其中三份的分量可記成「3/10」，亦可記成「0.3」。由此可知小數亦是分數 的另ㄧ種記法，它包含整數部分、小數部分、小數點等三部分。Hiebert (1992) 指 出小數具有三個重要的特徵：一是小數中的每一數字的位值是緊鄰其右邊的數字 位值的十倍，反之則為十分之一 (例如：1.0 是 0.1 的十倍)；其二是小數的大小 是由每一數字的位值來決定 (例如：0.50＞0.47)；第三是小數的位值等於是它每 一數字所具有數值的總合(例如：11.11=10×1+1×1+1×1/10+1×1/100)。可見整數、 分數、小數三者之間具有密切的連結關係。 Hiebert (1992) 認 為 小 數 概 念 可 具 體 的 分 為 三 類 ： 記 數 系 統 (notation system)、運算規則 (rules)、數量的意義 (quantity)。即知道小數表示的形式、正 確使用運算規則解決小數問題、瞭解小數所表示的數量之意思。劉曼麗 (2002) 將小數概念具體分為小數符號意義、小數符號結構、小數應用等三部分。小數符 號意義主要包含小數圖像表徵和小數與分數雙向連結兩類，小數符號結構主要包 含小數符號的辨識、小數的寫法、小數的讀法、小數的位值、小數的位名、小數 的化聚等六類，小數應用主包含小數單複名數轉換、小數的估測、小數大小比較、 小數的稠密性、小數的計算、小數的估算、文字題等七類。
此外 Hiebert & Wearne (1988) 認為學生要發展穩固的小數知識需歷經四個階 段：連結 (the connecting process)、發展 (the developing process)、精緻與熟練 (the
elaborating and routinizing process)、萃化 (the abstracting process)。前兩個階段強 調學生小數概念的發展，並認為學生唯有具備穩固的小數知識後，才能邁入第三 階段 (精緻與熟練)，正確的使用計算程序並應用到非例行性題目，最後方可達到 萃化階段，即脫離指示物的操作與規則，建立抽象的符號系統。D’Entremont (1991) 則提出「小數學習的洋蔥模式」 (the onion model of decimal number learning)，認 為學生學習小數的認知過程包括五種不同層次 (由外而內依序)：具體物的層次 (the concrete-objective layer)、操作說明的層次 (the operative-interpretive layer)、程 序的層次 (the procedural layer)、心智模式的層次 (the mental model layer)、抽象 的層次 (the abstract layer)。學生若要獲得完備的小數知識，必須如同洋蔥一般把 上層皮予以一層一層的剝掉。其實，Hiebert & Wearne (1988) 的四個認知過程和 D’Entremont (1991) 的五個發展層次之論點有異曲同工之妙，皆強調透過指示物 的操作來連結小數符號表徵的意義，方能讓學生建立穩固的小數知識，唯有學生 具有完備的小數知識，方可熟練計算程序並應用到其他情境中的解題規則，最後 才能建立抽象的小數符號表徵系統。 綜合上述可知，教學者在進行小數單元教學時，若能透過分數的連結活動和 指事物的操作說明，循序引入小數的認識，則有助於學生建立穩固的小數概念， 並且只有當學生具備完備的小數知識，才能熟練小數的計算程序並正確應用小數 解決生活問題，如此小數的抽象符號結構系統方能內化於學生心智中。
貳、小數教材之分析
綜觀我國近十年來的國小數學課程共歷經三種不同版本，分別是國小數學新 課程 (教育部，1993)、九年一貫課程暫行綱要數學教學領域 (教育部，2001)、九 年一貫課程綱要數學教學領域 (教育部，2003)。本研究工具的編製是以九年一貫 課程綱要數學學習領域為依據，其有關小數教材綱要之分析如表 2-4 所示。表 2-4 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材之分析 階段能力指標 分年細目 說明 N-1-10 能認識一位小數，並作 比較與加減計算。 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減 計算。 ◎連結數與測量(例如使用公 分與毫米之刻度尺)進行小 數教學。【與 3-n-12 細目教 學作相互加強】 ◎學習一位小數(整數兩位) 的加減直式計算。 ◎重點在熟悉小數點的意 義，並理解在小數加減直 式計算中要對齊小數點。 N-2-10 能認識多位小數，理解 並比較，及用直式處理 加、減與整數倍的計 算，並解決生活中的問 題。 4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千 分位的位名，並作比較。 4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為 三位小數的計算。(N-2-06、N-2-10 和 N-2-13) 4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與 整數倍的計算，並解決生活中的問 題。 5-n-08 能認識多位小數，並作比較與加、減 的計算，以及解決生活中的問題。 ◎鼓勵學童熟悉分母為 2、 4、5、8、10、100 之真分 數所對應的小數值。 ◎其關鍵在小數點位置的處 理。 ◎多位小數是指小數的位數 可以一再細分下去。 N-2-12 能用直式處理乘數是小 數的計算，並解決生活 中的問題。 5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算， 並解決生活中的問題。 ◎以二位小數互乘為原則。 ◎先處理整數的小數倍的計 算。 N-2-13 能做分數與小數的互 換，並標記在數線上。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母 分數的比較，並用來做簡單分數與小 數的互換。（N-2-08 和 N-2-13） 4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為 三位小數的計算。(N-2-06、N-2-10 和 N-2-13) 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 (N-2-06 和 N-2-13) ◎「等值分數」的概念只處 理分母為 2、4、5、8、10、 100 或 1000 的分數。引入 10/1000=1/100，並與小數 相連結。 ◎學習直接透過整數除以整 數的計算，將分數表為小 數，商最多為三位。 ◎小數的標示以一位為原 則，分數的標示應以如 2、 3、4、10 等簡易分母為重 點。 N-3-04 能用直式處理除數是小 數的計算，並解決生活 中的問題。 6-n-04 能用直式處理除數是小數的計算， 並解決生活中的問題。 ◎被除數小數點位數不超過 3 位，商需為有限小數。 由表 2-4 可知，我國國小數學教材中，小數的學習是從國小三年級開始，顯 示小數教材的安排是在整數和分數之後，即以學生在一、二年級所具備的整數與 分數的學習經驗為基礎，進而開始小數之學習。教材的呈現亦由淺而深，先從小 數一位開始到多位小數 (至少三位小數)，認識小數位數的同時亦融入其運算法則
