巢狀網格

WRF 模 式 允 許 使 用 巢 狀 網 格 （ nested grids ） ， 其 中 雙 向 回 饋 （ two-way feedback）的設計可使內、外層網格保有一致性，亦即各層網格間對應網格點的資料 永遠是近似相同的。依此特性我們可將 EnKF 的分析步驟同時作用於每一層網格上，

對應的網格點將有一模一樣的更新，便可達成巢狀網格模式中的資料同化。

由於本研究關注於颱風的高解析度模擬，因此還需要採用追隨渦旋移動的巢狀網 格（vortex-following nested grids），將有限的計算資源做最有效的利用。此項特殊設 計包含一自動尋找颱風中心的演算法，會持續將內層網格移動至對齊颱風中心的位 置，維持眼牆附近有最高的解析度。我們將此項能力建構至這套 EnKF 系統中，使其 相容於資料同化的流程。

2.3 描述颱風渦旋的特殊觀測描述颱風渦旋的特殊觀測描述颱風渦旋的特殊觀測量描述颱風渦旋的特殊觀測量量量

本研究欲同化的颱風參數包括中心位置、移動速度、以及海表面軸對稱風速等，

皆為一般描述颱風渦旋常用的參數，但要從模式變數求取的運算較為複雜且具高度非 700~900 hPa 氣壓面上垂直平均重力位高度（geopotential height）極小值的網格點，

計算此網格點附近一定區域內重力位高度的平均值，再以「該地重力位高度低於此區

其中 Φ 為重力位高度，下標 n 作為此區域內各網格點的指標，角括號 〈 〉 表示低層 垂直平均，頂線表示區域平均， i 、 j 各為東西向與南北向的網格點座標，得到的 i_TC 和 j_TC 就是颱風中心位置的網格點座標，也就是我們要同化入模式中的觀測量。

以上的計算流程雖然有不少可任意選取的變數，但實際上當颱風有一定強度的時候，

各種選擇所得到的颱風中心位置不會有太大的差異。

颱風中心位置的觀測值可直接取自各作業單位提供的中心定位資料，這些定位主 要是依據多種衛星觀測而得。可取得的定位資料時間解析度通常為 3 小時或 6 小時，

我們視實際需要可把這些定位資料做 cubic spline 內插到 EnKF 同化的更新週期上。

在觀測誤差的設定方面，考量作業上合理的定位誤差（Edson et al. 2003），並觀 察實際進行多次 EnKF 同化測試的效用，本實驗中颱風中心位置的觀測誤差在單一方 向座標（東西向與南北向）上的值 Ri ,TC= Rj , TC 設定為 10 ~ 20 公里，因此合成的中 心位置觀測誤差值相當於：

R_pos=



約在 14 ~ 28 公里之間。

2.3.2 移動速度移動速度移動速度移動速度

定義了颱風中心位置的計算方式後，移動速度的計算相對簡單，就只是由目前颱 風位置與一段時間前颱風位置的差異來求得，代表過去這段時間內的平均移速，與颱 風中心位置的同化相仿，移動速度的觀測量也要用網格點座標上東西向與南北向的分 量共同表示：

i '_TC= ^iTC−ⁱTC, prev

∆ t , j '_TC= ^jTC− ^jTC, prev

∆ t (30)

這段時間間隔 ∆ t 不宜太短，因為短時間內微小的路徑擺動可能會算出劇烈變化 的颱風移速，會導致同化過程中劇烈且不合理的更新，對結果有不良影響；但也不宜 太長，以免忽略掉有意義的路徑轉折，合理的時間間隔可取在約 2 ~ 6 小時之間，本 研究皆取 3 小時，即計算過去 3 小時的平均移速。此運算雖然簡單，但實際上代表的 卻是牽涉到模式動力（介於這段時間內的模式積分）的相當複雜的觀測算符。

颱風移動速度的觀測值一樣可由各作業單位提供的中心定位時間序列計算而得，

計算方式同 (30) 式，只是將式中模式的颱風位置改成觀測的颱風位置。而颱風移速 的觀測誤差，經反覆測試，在單一方向分量上的值 R_{i ' ,TC}=^Rj ' ,TC ，較合適的設定約 在 1.0 ~ 1.5 m/s（3.6 ~ 5.4 km/h）之間。

2.3.3 海表面海表面海表面海表面軸對稱風速結構軸對稱風速結構軸對稱風速結構軸對稱風速結構

海表面軸對稱風指的是海表面以颱風中心為圓心的環狀平均切向（tangential）風 速，是一個一維的剖面，每個半徑對應到一個風速值。由於環狀平均的動作，此數值 與颱風的移動和非軸對稱結構無關，因此同化此資料只是調整模式中颱風的軸對稱平 均結構，並不會使原先非軸對稱的資訊喪失，亦不會有影響駛流強度的顧慮。

實際同化這條風速剖面時，颱風中心位置依然由前述方法求得，但為了系集成員 間的一致性，對所有的系集成員皆採用系集平均的中心位置為原點。表面風速的定義 取 標 準 的 10 米 高 風 速 ， 在 海 洋 上 大 約 相 當 於 WRF 模 式 中 跟 隨 地 形 （ terrain-following）的垂直座標 _{ = 0.9988} 的地方，因此我們特別將垂直方向上最底層（含 水平風速的）網格直接設定在這個高度，也就是以最底層網格點的風速作為海表面風

（詳見附錄 B）。半徑 0 ~ 400 公里間的風速剖面會選取數十個點同時同化入模式 中，最外圍大約每隔 20 公里取一點，越靠近中心處取點的密度則逐漸加大。

此項資料的「觀測值」要從何而來是個有趣且複雜的問題。對大部分的颱風來 講，這種觀測是不存在的，但我們還是可以由若干間接的觀測得到部份資訊，再以某 些被檢驗過的參數化公式擬合之，建立整個剖面的軸對稱風速曲線。下面將分別說明 幾種颱風軸對稱風速結構的經驗公式，以及由觀測資料決定出經驗公式中各項參數的 方法。

2.3.3.1 颱風軸對稱風速結構經驗公式颱風軸對稱風速結構經驗公式颱風軸對稱風速結構經驗公式颱風軸對稱風速結構經驗公式

一般的理想實驗常使用 Rankine 渦旋（Rankin vortex）或是修正 Rankine 渦旋

（modified Rankine vortex）結構來建立理想颱風渦旋，部份渦旋植入方案也使用類似 的理想結構來做颱風渦旋的初始化：

V  r =

{

^{ }

^{ }

其中 V_max 為最大平均切向風速， R_max 為最大風速所在半徑， ^ 為衡量 R_max 以外風 速遞減率的參數。 _{ = 1} 時為經典的 Rankine 渦旋，而實際觀測結果（Franklin et al.

1993；Mallen et al. 2005；Lin et al. 2008）和理論研究（Pearce 1993）皆顯示，真實颱 風的 ^ 值約落在 0.3 ~ 0.7 之間。

雖然上述修正 Rankine 渦旋結構公式相當簡單明瞭，但和真實颱風結構其實有一 段不小的差距，最主要是在 R_max 附近的風速剖面不會如 Rankine 渦旋般尖銳陡峭，

而是會有一段平滑的過渡帶（Mallen et al. 2005），因此我們不預期修正 Rankine 渦旋 適合用於本研究的海表面軸對稱風速結構同化中。實際上的實驗結果也是如此，強迫 同化修正 Rankine 渦旋結構的結果（圖未示），不論  取任何值，都沒有辦法使模 式中的颱風軸對稱風速剖面逼近給定的曲線，此種過度理想化的風速剖面不容易為 WRF 此全物理複雜模式完整融合與維持。

另一個常用的颱風軸對稱結構為 Holland（1980）所提出的經驗公式，其基本的 假設是颱風的氣壓剖面可用下式的雙曲線族近似：

r^Bln





其中 p 為半徑 r 處的氣壓， p_n 為環境氣壓， p_c 為中心氣壓， A 和 B 各為常 數。以梯度風平衡關係可計算出此時的軸對稱風速剖面：

V  r =

[





]

其中 ^ 為空氣密度， f 為當地的科氏參數。Holland 的公式為一經驗式，比 Rankine 渦旋更能精準地描述真實颱風渦旋結構，因此常被用於颱風渦旋初始化中。我們使用 Holland 公式做海表面軸對稱風速結構同化的結果的確比較好，但模式中颱風在 ^R_max 以內的風速曲線仍無法和給定的風速剖面良好地吻合（圖未示），推測是因為 (32)

式的假設依然過份理想化，以這個曲線族來近似真實颱風結構仍有不足之處。

最後我們決定捨棄上述這些過去常用的理想公式，尋求更能精確描述颱風軸對稱 風速結構的經驗式，代價便是可能需要加入更多未定的參數。 Willoughby et al.（2004

、2006）正好在這個理念上有相當完整的工作，他們分析統計將近 500 筆飛機穿越觀 測的資料，針對實測資料的特性制定出片段連續剖面（sectionally continuous profile）

結構公式，將整條風速曲線依最大風速半徑劃分為內外兩區，各以截然不同的公式描 述之，再將銜接處特定範圍內（ R1rR2 ）予以平滑化：

V  r =

{

^{ [}

^

^

^

^

^{ ]}

w = 126⁵−420 ⁶540⁷−315 ⁸70 ⁹,  = ^r−^R1

R₂−R1

, R₁r R2 (35)

w ∣r=R_max= ⁿ[1−^AX₁^{A X}2] n[ 1−A X1A X2] Rmax

(36)

此公式中 ^Vi 為內部風速曲線（最大風速半徑以內）， ^Vo 為外部風速曲線（最 大風速半徑以外），各參數的意義 ^Vmax 與 ^Rmax 和一般定義相同（最大平均切向風 速與最大風速所在半徑）， n 為內部風速曲線以指數遞增的次方值， ^X₁ 、 ^X₂ 為 外部風速曲線以兩個指數遞減疊合時分別的特性距離， A 為第二個指數遞減所佔的 比例。在半徑由 ^R₁ 至 ^R₂ 的區間中需對內外兩區風速曲線予以平滑化，以 (35) 式的 權重函數 w  來完成，此函數值由 ^R₁ 處的 0 平滑變化至 ^R₂ 處的 1，並且需調整 R₁ 與 ^R₂ 的相對位置使滿足 (36) 式的條件，方能確保整條風速剖面在 ^R_max 處的一 階導數為 0（ R_max 處有風速最大值）。圖 2 為 Willoughby 片段連續剖面公式的示意 圖（取自 Willoughby et al. 2006，Fig. 1、Fig. 2）。

此公式中待定的參數包括 V_max 、 R_max 、 n 、 X₁ 、 X₂ 、 A 以及平滑化區間 的寬度 ^R2−^R1 （或是 R₁ 與 ^R2 其中之一），但要描述一個颱風的風速結構，這些 參數並不是每個都具有決定性的意義。在本實驗中，依循 Willoughby et al.（2006）

的建議， ^X₂ 固定設定為 40 公里， ^R₁ 設定為 ^{0.3 R}_max ，而 n 採用他們文中以最大 風速和颱風所在緯度做多變數回歸統計得到的公式（原文 (10b) 式）：

n= 0.4067  0.0144 Vmax− 0.0038  (37) 其中  為颱風所在緯度，以度為單位。

2.3.3.2 觀測資料使用方式觀測資料使用方式觀測資料使用方式觀測資料使用方式

一旦選定了軸對稱風速結構的經驗公式後，真正要由觀測決定的值就只剩下該公 式中的幾個未定參數，在這裡可用的觀測資料主要分為常態性的衛星觀測和非常態性 的飛機觀測等。我們透過這些資料決定出經驗公式中的未定參數值後，接下來就單純

一旦選定了軸對稱風速結構的經驗公式後，真正要由觀測決定的值就只剩下該公 式中的幾個未定參數，在這裡可用的觀測資料主要分為常態性的衛星觀測和非常態性 的飛機觀測等。我們透過這些資料決定出經驗公式中的未定參數值後，接下來就單純