颱風軸對稱風速結構經驗公式

一般的理想實驗常使用 Rankine 渦旋（Rankin vortex）或是修正 Rankine 渦旋

（modified Rankine vortex）結構來建立理想颱風渦旋，部份渦旋植入方案也使用類似 的理想結構來做颱風渦旋的初始化：

V  r =

{

^{ }

^{ }

其中 V_max 為最大平均切向風速， R_max 為最大風速所在半徑， ^ 為衡量 R_max 以外風 速遞減率的參數。 _{ = 1} 時為經典的 Rankine 渦旋，而實際觀測結果（Franklin et al.

1993；Mallen et al. 2005；Lin et al. 2008）和理論研究（Pearce 1993）皆顯示，真實颱 風的 ^ 值約落在 0.3 ~ 0.7 之間。

雖然上述修正 Rankine 渦旋結構公式相當簡單明瞭，但和真實颱風結構其實有一 段不小的差距，最主要是在 R_max 附近的風速剖面不會如 Rankine 渦旋般尖銳陡峭，

而是會有一段平滑的過渡帶（Mallen et al. 2005），因此我們不預期修正 Rankine 渦旋 適合用於本研究的海表面軸對稱風速結構同化中。實際上的實驗結果也是如此，強迫 同化修正 Rankine 渦旋結構的結果（圖未示），不論  取任何值，都沒有辦法使模 式中的颱風軸對稱風速剖面逼近給定的曲線，此種過度理想化的風速剖面不容易為 WRF 此全物理複雜模式完整融合與維持。

另一個常用的颱風軸對稱結構為 Holland（1980）所提出的經驗公式，其基本的 假設是颱風的氣壓剖面可用下式的雙曲線族近似：

r^Bln





其中 p 為半徑 r 處的氣壓， p_n 為環境氣壓， p_c 為中心氣壓， A 和 B 各為常 數。以梯度風平衡關係可計算出此時的軸對稱風速剖面：

V  r =

[





]

其中 ^ 為空氣密度， f 為當地的科氏參數。Holland 的公式為一經驗式，比 Rankine 渦旋更能精準地描述真實颱風渦旋結構，因此常被用於颱風渦旋初始化中。我們使用 Holland 公式做海表面軸對稱風速結構同化的結果的確比較好，但模式中颱風在 ^R_max 以內的風速曲線仍無法和給定的風速剖面良好地吻合（圖未示），推測是因為 (32)

式的假設依然過份理想化，以這個曲線族來近似真實颱風結構仍有不足之處。

最後我們決定捨棄上述這些過去常用的理想公式，尋求更能精確描述颱風軸對稱 風速結構的經驗式，代價便是可能需要加入更多未定的參數。 Willoughby et al.（2004

、2006）正好在這個理念上有相當完整的工作，他們分析統計將近 500 筆飛機穿越觀 測的資料，針對實測資料的特性制定出片段連續剖面（sectionally continuous profile）

結構公式，將整條風速曲線依最大風速半徑劃分為內外兩區，各以截然不同的公式描 述之，再將銜接處特定範圍內（ R1rR2 ）予以平滑化：

V  r =

{

^{ [}

^

^

^

^

^{ ]}

w = 126⁵−420 ⁶540⁷−315 ⁸70 ⁹,  = ^r−^R1

R₂−R1

, R₁r R2 (35)

w ∣r=R_max= ⁿ[1−^AX₁^{A X}2] n[ 1−A X1A X2] Rmax

(36)

此公式中 ^Vi 為內部風速曲線（最大風速半徑以內）， ^Vo 為外部風速曲線（最 大風速半徑以外），各參數的意義 ^Vmax 與 ^Rmax 和一般定義相同（最大平均切向風 速與最大風速所在半徑）， n 為內部風速曲線以指數遞增的次方值， ^X₁ 、 ^X₂ 為 外部風速曲線以兩個指數遞減疊合時分別的特性距離， A 為第二個指數遞減所佔的 比例。在半徑由 ^R₁ 至 ^R₂ 的區間中需對內外兩區風速曲線予以平滑化，以 (35) 式的 權重函數 w  來完成，此函數值由 ^R₁ 處的 0 平滑變化至 ^R₂ 處的 1，並且需調整 R₁ 與 ^R₂ 的相對位置使滿足 (36) 式的條件，方能確保整條風速剖面在 ^R_max 處的一 階導數為 0（ R_max 處有風速最大值）。圖 2 為 Willoughby 片段連續剖面公式的示意 圖（取自 Willoughby et al. 2006，Fig. 1、Fig. 2）。

此公式中待定的參數包括 V_max 、 R_max 、 n 、 X₁ 、 X₂ 、 A 以及平滑化區間 的寬度 ^R2−^R1 （或是 R₁ 與 ^R2 其中之一），但要描述一個颱風的風速結構，這些 參數並不是每個都具有決定性的意義。在本實驗中，依循 Willoughby et al.（2006）

的建議， ^X₂ 固定設定為 40 公里， ^R₁ 設定為 ^{0.3 R}_max ，而 n 採用他們文中以最大 風速和颱風所在緯度做多變數回歸統計得到的公式（原文 (10b) 式）：

n= 0.4067  0.0144 Vmax− 0.0038  (37) 其中  為颱風所在緯度，以度為單位。