一、未來研究建議
（一）本研究中學習者皆以自學方式進行學習，並沒有教師的介入，導致學習者在學 習過程中，無法獲得立即的解答。因此，建議後續的研究可以加入教師這項變 因，比較素養導向教材與能力導向教材在教師的協助下是否有所差異。
（二）學習感受度問卷中，有些問題雖然未達到顯著差異，但研究者發現，數學程度 高的學習者認為素養教材可以學到較多內容，對照組教材則相對較無趣。本研 究僅針對學習感受度及學習成效進行調查，建議後續研究可進一步分析學習動 機及態度，比較使用教材前後，學習動機與態度是否有所差異。
二、素養教材教學建議
（一）素養導向教材相較於能力導向教材需要有更多的先備知識引導學習者學習數學 概念，在設計教材的情境選擇步驟中，建議數學教師選擇學習者較為熟悉感興 趣的情境，可以適度增加學習動機，並且降低認知負荷。
（二）素養導向教材相較於知識與能力導向教材內容較為多元，造成學生的認知負荷 較大，學習目標較模糊。建議教師給予學生充分的時間閱讀，並透過教師的從 旁協助，讓學生充分了解教材學習目標；素養導向教材設計上需加強代數運算 過程概念，否則素養導向教材在代數操作時會不如能力導向的教材。
參考文獻
中文部分：
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英文部分：
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Sweller, J.（2010）. Article Element Interactivity And Intrinsic, Extraneous, and Germane Cognitive Load.
各位同學好：
此測驗的目的在了解你/妳目前的學習狀況，做為改進高中 教材的參考。
希望你/妳可以 認真地 使用此教材並回答問題！
你/妳的作答資料僅於研究分析使用，不另做其他用途或外 流，請放心填寫！感謝同學的配合！
注意 ：
請利用每一題的空白處進行作答，並留下計算過程。
國立臺灣師範大學 左台益 教授 陳鵬宇碩士生
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附件一
前測問卷
1. 試求出下列各式的值：
57 = 29 = 12: = 3<7=
8>? = 57? = 647? = (4 9)<?7=
2. 試求出下列各式的值：
7F× 7? = (5?)G = 6H÷ 3H =
3. 將下列各數用科學記號表示
300000 = 235000000 =
0.0032 = 0.0000043=
f(x) 4. 試求出下列各式的值：
5 × 10G+ 6.2 × 10G = 7.4 × 109− 5 × 10F =
2 × 10<7+ 3 × 10<? = 3.5 × 10<G− 4.2 × 10<H =
(6 × 10?) × (3 × 10G) = 1 5 × 10G =
5. 已知 f(x)如右圖所示（每一格代表一單位長），請求出下列各題的值
（1）𝑓(−2)= 。
（2）𝑓(3)= 。
（3）𝑓(𝑎) = 4，則 𝑎 = 。
6. 請在下方做圖區中畫出 y = 2# 以及 y = (>7)# 的圖形。
3-3 對數
各位同學好，此份數學教材是透過數學素養的方式來引導你
/妳學習教科書內容，藉以瞭解此份教材對你/妳學習數學的幫助
希望你/妳可以 認真地 使用此教材學習並回答問題！
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國立臺灣師範大學 左台益 教授 陳鵬宇碩士生
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附件二
3-3 對數
『活動一（2）』的答案是指數函數 𝑦 = 10,，答對了嗎？
Y 接下來我們試著將『活動一』的內容轉換成圖形吧！
活動二 將上圖中求出的值分別描繪在下列坐標軸中。
注意：請自行調整坐標軸的大小
Y請大家將上圖中所有已知的點連成可能的圖形 震幅（微米）
地震規模
Y大家應該都把『活動二』連成一個指數函數𝑦 = 10,的圖形！
活動三
（1）根據『活動二』的圖形猜測，假設現在發生地震，測得最大震幅約為 3000 微米，請估計這個 地震的規模為何？（估計到小數第一位）
（2）根據『活動二』的圖形猜測，民國 108 年 2 月 6 日晚間發生的花蓮大地震，測得最大震幅約為 630000 微米，請估計花蓮大地震的規模為何？（估計到小數第一位）
（3）根據『活動二』的圖形估計，西元 2018 年 1 月 17 日在北投發生的地震，已知此次地震規模為 5.7，請估計此次地震測得的最大震幅約為多少微米？
（答案請見最末頁）
Y完成上面三題，你是否覺得這個方法不僅需要畫出指數函數的圖形，而且估計出來的結果並非相 當的精準。 接下來，我們試著透過其他方式來精準描述答案。
活動四 設計新符號
首先，我們先回顧一下，我們曾經創造過哪些新符號
（1）𝑥 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 𝑥 = 70 關鍵元素： 7 , 5
（2）𝑥) = 7 𝑥 = √72 關鍵元素：
接下來，我們試著找出指數式中的關鍵元素，並自行設計一個新的符號（圖案）來代表這個數。
á大家設計的符號應該要包含關鍵元素唷！
10, = 5 關鍵元素： 𝑥 =
3, = 7 關鍵元素： 𝑥 =
（答案請見最末頁）
對數的定義
𝑎, = 𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔:𝑏 𝑙𝑜𝑔:𝑏 其中 𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，b > 0
唸法： 𝑙𝑜𝑔:𝑏 稱為『以 a 為底時 b 的對數』，其中 b 稱為真數，a 稱為底數
例如： 10, = 5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔>?5 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔)7 3, = 7
範例
試求 𝑙𝑜𝑔@8 的值 . 解： 令 𝑙𝑜𝑔@8 = 𝑥
由（𝑥 = 𝑙𝑜𝑔:𝑏 𝑎, = 𝑏）轉換關係式知 2, = 8 = 2) 於是得 𝑥 = 3
故 𝑙𝑜𝑔@8 = 3 .
活動五
請利用上述對數的定義，完成下列問題
（1）10, = 7 ⟺ 𝑥 = （2）2, = 5 ⟺ 𝑥 =
（3）10, = 5 ⟺ 𝑥 = （4）2, = 1024 ⟺ 𝑥 =
（5）𝑥 = 𝑙𝑜𝑔)9 ⟺ 𝑥 = （6）𝑥 = 𝑙𝑜𝑔@16 ⟺ 𝑥 =
（7）𝑥 = 𝑙𝑜𝑔01 ⟺ 𝑥 = （8）𝑥 = 𝑙𝑜𝑔G>G ⟺ 𝑥 =
（答案請見最末頁）
Y 我們已經熟悉對數符號的操作，接下來我們用另一種方式來定義地震規模以及震幅間的關係。
底數
真數
定義 紀錄距離震央 100 公里處的最大振幅。
將最大震幅設為 x，地震規模設為 y，則 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔>?𝑥。
Y 接下來，我們試著利用剛才學過的對數符號以及新的定義方式，完成下面的問題。
活動六（á請用對數符號表示á）
（1）現在發生了地震，測得最大震幅約為 3000 微米，請計算地震的規模為何？
（2）民國88 年 9 月 21 日凌晨 1 點 47 分 12 秒，台灣發生了百年來難得一見的集集大震，測得最大 震幅約為2 × 10G 微米，請計算集集大地震的規模為何？
（答案請見最末頁）
Y 我們已經學會如何使用對數來表示一個數。
最後，我們來試試生活上其他的對數應用吧！
活動七
聲音的強度適用每平方公尺多少瓦特（W/m@）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為
𝐼? = 10(>@瓦特：當測得的聲音強度為 𝐼 時，所產生的分貝數為d，其中d = 10𝑙𝑜𝑔>?KK
L，問：
（1）一隻蚊子振動翅膀所產生的聲音強度為10(>@瓦特，求其產生的分貝數？
（2）汽車製造廠測試發現，某車以每小時 100 公里的速度行駛於高速公路時，測得的聲音強度為 3 × 10(0瓦特，求其產生的分貝數？
參考答案 活動一
（1）
規模 0 1 2 4 6
震幅（微米） 1 10 100 10000 10*
（2）指數函數 𝑦 = 10,
活動三 （1）≒ 3.5 （2）≒ 5.8 （3）≒ 501187 微米
活動四 （2）𝑥) = 12 𝑥 = √122 關鍵元素： 3 , 12
10, = 5 關鍵元素： 10 , 5 𝑥 = （自行設計一個圖案，其中包含 10 和 5）
3, = 7 關鍵元素： 3 , 7 𝑥 = （自行設計一個圖案，其中包含 3 和 7）
活動五 （1）𝑙𝑜𝑔>?7 （2）𝑙𝑜𝑔@5 （3）𝑙𝑜𝑔>?5 （4）𝑙𝑜𝑔@1024 = 10 （5）2 （6）3 （7）0 （8）−1
活動六 （1）𝑙𝑜𝑔>?3000 （2）𝑙𝑜𝑔>?2 × 10G ≒ 7.3
活動七 （1）0 分貝 （2）10 × 𝑙𝑜𝑔>?(3 × 10G) ≒ 73 分貝
3-3 對數
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3-3 對數
甲對數的定義
由指數的的定義及乘法運算，我們可得 2 的自然數指數及 3 的自然數指數與其冪次的對 應關係如下表：
𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2# 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 3# 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441
若問方程式 2# = 1024 或 3# = 2187 的解為何？同學們可由上表很輕鬆地便知道其分 解為10 和 7。但若問方程式 2# = 7 或 3# = 5 的解為何？同學們可能知道其解分別介於 2 與3 及 1 與 2 之間，但其真確值為何呢？
事實上，由指數函數的圖形，我們知道
（1）2# = 7 的解是 y = 2# 的圖形與水平線y = 7的唯一交點的橫坐標。
（如下圖 3-6）
（2）3# = 5 的解是 y = 3# 的圖形與水平線y = 5的唯一交點的橫坐標。
（如下圖 3-7）
圖3-6 圖3-7
一般而言，當𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，𝑏 > 0時，方程式𝑎# = 𝑏的解是 𝑦 = 𝑎# 的圖形與水平線𝑦 = 𝑏的
隨堂練習 www
試求下列各對數所表示的值：
（1）𝑙𝑜𝑔G25.
（2）𝑙𝑜𝑔;
F8.
（3）𝑙𝑜𝑔98√1000.
（答案請見最末頁）
例題2
若𝑙𝑜𝑔(HC9)(−𝑥:+ 4𝑥 − 3) 有意義，試求實數 x 的範圍.
解 若𝑙𝑜𝑔(HC9)(−𝑥:+ 4𝑥 − 3) 有意義 則底數 𝑥 − 1必須大於 0，且不等於 1，
而真數必須大於 0. 𝑙𝑜𝑔7𝑏 有意義 ó 所以𝑥 − 1 > 0 , 𝑥 − 1 ≠ 1 且 −𝑥: + 4𝑥 − 3 > 0 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 , b > 0 即 𝑥 > 1 , 𝑥 ≠ 2 且 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) < 0
即 𝑥 > 1 , 𝑥 ≠ 2 且 1 < 𝑥 < 3 故 𝑥 的範圍為1 < 𝑥 < 3 且 𝑥 ≠ 2
隨堂練習 www
試求實數x 的範圍，使 𝑙𝑜𝑔(KCH)(2𝑥:− 5𝑥 + 3) 有意義.
（答案請見最末頁）
隨堂練習解答
P.3 （1）2 （2）−3 （3）?:
P.3 𝑥 < 1 𝑜𝑟 ?:< 𝑥 < 3 𝑜𝑟 3 < 𝑥 < 4
數學教材學習感受問卷 (3-3 對數)
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你/妳的作答資料僅於研究分析使用，不另做其他用途 或外流，請放心填寫！感謝同學的配合！
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附件五
後測試卷
（1）設𝑎 > 0，𝑎 ≠ 1，關於函數𝑓(𝑥) = 𝑎+，選出正確的選項：
（A）𝑓(𝑥)的圖形恆過定點 (0,1)
（B）𝑓(𝑥)的圖形與 x 軸不相交
（C）𝑓(𝑥)的圖形與任一水平線相交
（D）𝑓(𝑥)的圖形與任一鉛直線相交
（2）請寫出對數的定義
（3）若 𝑙𝑜𝑔12(4 − 𝑥5) 有意義，
則𝑥的範圍為
（4）若 𝑙𝑜𝑔(+67)25 有意義，
則 𝑥 的範圍為
（5）若 𝑙𝑜𝑔:𝑥 = 3，則𝑥 = （6）若 𝑙𝑜𝑔+7 = 2，則𝑥 =
（7） 𝑙𝑜𝑔58 = （8）𝑙𝑜𝑔717=
（9） 𝑙𝑜𝑔√79 = （10）𝑙𝑜𝑔@27 =
（11）設 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔72，則 3+65 的值為何？
（12）設𝑥 = 𝑙𝑜𝑔53，則 4+ + 2B+ 的值為何？（請列出計算過程）
（13）實驗室培養細菌，假設在適當的溫度及環境下，每經過一小時細菌會增加為原來的 3 倍。已知目前共有5 個細菌。
1.請根據上述的規則完成表格
經過時間（時） 0 時 1 時 4 時 6 時
細菌數（個） 135
2.假設時間為𝑥，細菌個數為𝑦，請根據表格內容，猜想出兩者的關係式為何？
3.已知經過了𝑥小時後，細菌數為 150 個，請問 𝑥 的值為何？
（14）目前國際上使用芮氏規模來表示地鎮所釋放的能量，設Ｅ（單位：爾格）為地震芮氏 規模M 時所釋放的能量，其中 M 與 E 的關係如下：
𝑙𝑜𝑔12𝐸 = 11.8 + 1.5𝑀
1. 四川大地震的芮氏規模為 8.2，試問其震央所釋放的能量為多少爾格？
2. 當地震的芮氏規模增加 2 時，其釋放能量的是原來的幾倍？