研究者結合了 PISA 數學化架構、APOS 學習理論以及研究者採用的數學素養模式
“知用觀學”，實際設計一份素養導向對數單元教材，本節將詳細說明素養導向對數單 元教材的設計過程及實作成品，如表4-1-1 所列。
表4-1-1
素養導向對數單元教材設計
活動 說明 素養 APOS
情境 介紹地震、地震規模的正式定義 知 Action 活動一 填寫規模及震幅表格、猜測函數形式 知 Action ªProcess 活動二 平面上描點、猜測可能的函數圖形 用 Action ªProcess
活動三 透過上述表徵估計實際規模 觀 Object
活動四 回憶學過的符號、實際設計新符號 學 Object ªAction
對數定義 對數定義與限制條件 知 Action
活動五 熟練對數定義的轉換 用 Process
活動六 透過對數，計算規模與震幅的關係 用 ProcessªObject
活動七 聲音分貝（應用例） 觀 Object
研究者將素養導向教材設計分成三大部分，分別是情境選擇、數學模型化迴圈
（活動一-活動四）以及系統運用迴圈（對數定義-活動七）。
研究者選擇了地震作為本教材的情境選擇，透過地震震幅與地震規模間的轉換，
提供學習者一個真實世界的情境，並且透過數學模型化迴圈以及系統運用迴圈，引導 學習者學習對數的定義。以下依序將三大部分進行詳細的說明。
一、情境選擇
在PISA 數學化架構中，第一個步驟為真實世界的情境，所以首先我們要先在真實 世界中尋找一個適當的情境，以下是傳統教科書常見的對數應用題型，研究者分別比 較各種應用題型，如下表4-1-2 所列，表 4-1-2 即代表某一情境中，對數中底數的取用 值以及所造成對數值改變量所整理出的表格。
表 4-1-2 情境的選擇
應用題型 底數的取用值 對數值的改變量 音量（分貝） 聲音強度 ×10 分貝 +10 地震（震幅） 震幅 ×10 規模 +1 地震（能量） 能量 ×32 規模 +1 pH 值 [Ｈ＋] ×10 pH 值 -1 星等 亮度 ×100 星等 +5 半衰期 數量 ×1/2 半衰期 +1 音樂（十二平均律） 頻率 ×2 音階 +12 音量（分貝） 聲音強度 ×10 分貝 +10
根據十二年國民基本教育數學課綱中N-10-4「常用對數：log 的意義，有效位數與 科學記號連結，使用計算機的10#和log 鍵。透過操作而加強認識任意正數a 皆可以改寫
成10$%&'。不談其他底的對數」。
研究者採用以10 為底數以及對數值改變量為 1 的具體情境，學生只需要透過取對 數值即可獲得結果，不需經過額外的運算以及推導，增加不必要的認知負荷，最終研 究者選擇的真實世界的情境為地震震幅與地震規模間的轉換。
根據中央氣象局資料，台灣位於環太平洋地震帶上，地震發生的次數相當平凡，
平均每年約有965 次的有感地震，所以地震是在台灣學習者相對熟悉的具體情境，所 以研究者認為選擇地震情境可以有效提升學習者學習動機，並且透過此情境帶領學習 者透過數學解決生活上的問題。
二、數學模型化迴圈
選定真實世界的地震情境後，研究者希望學習者透過地震震幅的定義，如圖4-1-1，
將真實世界的問題轉化成數學世界的問題，即為PISA 數學化架構的步驟。進入活動一，
如圖 4-1-2，學習者透過舊有的先備知識指數，將真實世界的地震情境轉換成數學符號 填入表格中，並且猜測可能的函數形式。學習者透過多次反覆的操作以及猜測函數的過 程，即為APOS 學習理論結構圖中的將舊有的物件（Object）形成新的行動（Action），
並且將行動（Action）推展至過程（Process）。活動一在『知用觀學』 所扮演的角色為
『知』，即是將現有的地震震幅定義，由具體情境轉換至數學情境，透過所學的指數先 備知識進行操作完成表格填空。
圖4-1-1 素養教材-地震震幅的定義
圖4-1-2 素養教材-活動一
活動二，如圖4-1-3，則是延續活動一，透過不同的表徵方式，將數值表徵轉換成圖 形表徵，也從離散型轉換成連續型，此步驟透過多次的描點過程，讓學習者重複操作行 動（Action），並形成一個過程（Process）。活動二在『知用觀學』所扮演的角色為『用』，
即是將活動一的表格進行對應，將數值表徵轉換成圖形表徵。
圖4-1-3 素養教材-活動二
透過活動一及活動二的操作，讓學習者建立震幅與規模間的指數函數關係，透過重 複操作轉換也變得更為熟悉，可將此轉換能力視為學習者獲得的物件（Object）。
活動三則是將活動一及活動二建立起的物件（Object），利用實際生活中的案例，
將數學結果對應到具體情境的結果，使得學習者更容易了解此物件（Object）的功用。
活動三共有三個小題，如圖4-1-4，前兩小題是透過震幅，讓學習者經由活動二的指 數函數圖形推測規模，最後一小題則是已知規模，透過指數函數圖形的反向操作推測震 幅。活動三除了可以讓學習者熟悉震幅與規模轉換的物件（Object）外，也可透過反向 操作，更加熟悉轉換關係。活動三在『知用觀學』所扮演的角色為『觀』，即是希望學 習者將以建立的物件（Object），經由正確的推理，解決日常生活會面臨的問題。
圖4-1-4 素養教材-活動三
熟悉上述物件（Object）後，學習者了解地震震幅與地震規模是如何轉換，也可以 透過指數函數估計出近似的規模。活動四，如圖4-1-5，則是帶領學習者如何設計新符號 來代表一個數，並且根據以前設計符號的概念，引導學習者設計，最後告知學習者數學 家如何將大家設計出的不同符號進行統一，並提出正式的對數符號。活動四在『知用觀 學』所扮演的角色為『學』，即是學習者透過活動一到活動三，反思此符號的重要性。
以上是本教材的數學模型化迴圈，此迴圈帶領學習者從真實世界轉移到數學的世界，
並且經由數值表徵及圖形表徵解決問題，並從實際例子中獲得驗證。
圖4-1-5 素養教材-活動四
三、系統運用迴圈
數學模型化迴圈中，研究者從真實世界的情境出發，帶領學生透過 PISA 數學化架 構解決生活上遇到的問題。系統運用迴圈，則是以數學世界出發，帶領學習者直接認識 對數符號，並且進行簡易的計算，最後則是透過真實世界的不同情境加深對數概念。
首先，研究者將對數的正式定義，如圖 4-1-6，完整陳列在講義中，包含指數式與對 數式間的轉換、名詞介紹、底數與真數的限制條件，讓學習者透過正確的行動（Action），
將指數式與對數式做正確的轉換。對數的定義在『知用觀學』所扮演的角色為『知』，
透過正確的知識，讓學習者了解指對數的轉換過程以及相關的條件限制。
圖4-1-6 素養教材-對數定義
活動五希望學習者依照對數的定義進行操作，透過對數的定義，將指數式轉換成對 數式，並熟悉對數符號如何使用以及對數符號所代表的意義，透過重複的過程（Process）， 漸漸地讓學習者形成一個較穩固的物件（Object），學習者不僅從數學模型化迴圈中認 識對數符號的由來，也從活動五中更加熟悉指數式與對數式的轉換過程。活動五在『知 用觀學』所扮演的角色為『用』，透過已知的定義，解決數學世界的問題，並且得到最 終結果。
圖4-1-7 素養教材-活動五
對數的定義以及活動五，主要是在數學世界中進行的活動，透過行動（Action）及 過程（Process）的重複操作，熟悉指數式與對數式的轉換。接著，研究者提供學習者地 震規模對數型式的定義如圖4-1-8。
圖4-1-8 素養教材-地震震幅的對數型式定義
透過地震例的對數形式定義，學習者進行活動六，如圖 4-1-9，真實世界中的對數應 用，透過對數定義以及活動六，建立較完整的物件（Object），學習者除了在數學世界 了解對數外，也透過真實世界的例子學習對數。活動六在『知用觀學』 所扮演的角色為
『觀』，即是將所學的對數知識及基本對數轉換應用在真實世界中，藉由對數解決問題 並且驗證問題。
圖4-1-9 素養教材-活動六
活動七，如圖 4-1-10，則是與前面完全不同的應用例，透過不同的情境，學習者可 以再次熟悉對數物件（Object）。活動七在『知用觀學』所扮演的角色為『觀』，即是 將所學的對數知識及基本對數轉換應用在真實世界中，透過不一樣的情境，提供學習者 更多面向的應用。
圖4-1-10 素養教材-活動七
以上是本教材的系統運用迴圈，此迴圈從數學世界出發，透過數學具邏輯性的定義 切入，帶領學習者從不同角度理解對數符號，並且透過對數符號用更有效率的方式解決 生活中會遇到的問題。
研究者透過真實世界的情境引入，經由數學模型化迴圈，引導學習者理解對數並解 決生活中遇到的具體問題，也利用自行設計符號來幫助學習者記憶對數符號；系統運用 迴圈則是經由數學世界中的對數定義帶領學習者認識對數符號，並進行相關的運算，以 及解決真實世界的問題。經由這兩個迴圈，學習者不僅從真實世界中發現問題並且解決 問題，也從數學世界中理解數學的正式定義並進行運算，最終建立完整的基模（Schema）。
圖 4-1-11 素養導向對數單元教材設計架構表
地震例 活動一
活動二
知
用
觀
活動三
活動七 對數的定義
活動五
用
觀 觀
活動六
ＡàＰ
ＡàＰ
A O
PàO P O
知
知