APOS 理論是由美國數學教育學家 Dubinsky（1991）所提出的，源自於皮亞傑所 提出的抽象概念，皮亞傑將抽象概念分成三類，分別是經驗抽象(empirical
abstraction)；擬經驗抽象(pseudeo-empirial abstraction)；和反思抽象(Refletive
Abstractions)。經驗抽象是指個人從舊有經驗或是具體操作過程中獲得物體的特性，這 些特性是物體本身存在的，例如：物體的重量。擬經驗抽象是個人從舊有經驗或是具 體操作過程中獲得物體的特性，且這些特性並非是物體本身存在的，例如：比較二物 體的重量，並得知其中一物體較另一物體重。反思抽象是完全出自於個人的，透過個 人內在生成的概念，例如：某人知道物體甲較物體乙重，物體乙較物體丙重，從而得 知物體甲較物體丙重。
Dubinsky（1991）所提出的 APOS 理論是利用 Piaget 抽象概念中的反思抽象 (Reflexive abstraction) 理論，觀察學生心智結構的發展與個體如何透過反思抽象來發展 數學概念的心智歷程。APOS 理論認為學習者不可能直接學習到數學概念，而是透過 心智結構來讓所學習的數學概念產生意義。在學習數學概念的過程中若有產生適當的
新概念。因此，我們可以透過APOS 理論在教學中幫助學習者建立正確的心智結構進 而獲得數學概念。APOS 理論強調學習者在建構數學概念時需要經過四個階段，學習 者透過Action(行動)發現問題並根據線索解決問題，透過重複性的 Process(過程)，成為 一個較完整的Object(物件)，將多個物件互相整合，則稱為一個 Scheme（基模），以 下研究者將四個步驟進行詳細說明，如圖2-3-1。
圖2-3-1 APOS學習理論結構圖
以下分別說明四個階段：
（一）Action-行動
行動是學習者透過操作、活動親自體驗，感知問題的直觀背景以及與生活現實 之間的聯繫，並且進行轉換。行動需要透過明確的指令與明確地執行每一個轉 換步驟的能力，所以行動是形成一個數學概念不可或缺的起點。以下研究者將 舉例說明。
Schema
Action
Process
Object
內化
膠囊化 解膠囊化
1. 研究者給定一個真實世界的情境，學習者透過已學過的函數概念，將給定的 自變數代入獲得對應的應變數，即為行動。學習者將真實世界的問題與數學 世界的問題進行聯繫。
2. 研究者給定指數式與對數式的轉換步驟，學習者依照例題的方式模仿並執行 每一個轉換步驟，並且獲得解答，即為行動。
（二）Process-過程
重複和反思的進行同一個行動時，會對活動進行思考，並且經歷思維的內化、
整合過程。當某一個行動被內化時，學習者不在需要透過模仿的方式，而是直 接想像去執行相同的動作，並且進行反思、描述甚至翻轉原始動作的步驟。以 下研究者將舉例說明。
1. 研究者將給定的情境，透過多次自變數與應變數的對應關係，讓學習者進行 重複的行動，即為過程。透過多次的行動，可以讓學習者不在使用模仿的方 式，而是已經內化並且進行反思、觀察自變數與應變數的相互關聯。
2. 學習者重複進行指數式轉換成對數式的步驟後，學習者可以不需透過定義即 可熟悉轉換過程，並且進行對數式轉換成指數式的反向操作，代表學習者已 經將此行動內化成過程。
（三）Object-物件
當學習者可以將行動及過程視為一個整體時，自行轉換，並且能夠自行建構出 如此的轉換，那麼此學習者已經將過程膠囊化為一個認知的物件。（Dubinsky 2005）。反之，如果學習者已經到達物件的層級時，當它需要執行一個行動或過 程時，需要將物件解膠囊化回到原來的過程。
（四）Scheme-基模
任何的數學主題通常伴隨著行動、過程和物件，物件與物件間被組織或連結成 一個架構，這個架構即是基模。基模提供學習者去處理數學問題。一旦建構出 基模，物件和過程的連結可以更多樣化。所以一個人在心智中將動作、過程、
物件以及其他基模，有意識或無意識的想連結，並且可以解數學問題，即是建 構了基模。
研究者希望學習者可以透過PISA 數學化架構並且透過 APOS 理論幫助學習者建立 適當的心智結構，所以將PISA 數學化架構與 APOS 學習理論結構圖結合，如圖 2-3-2 所示。
圖2-3-2 教材設計結構圖(一) 真實世界
APOS
數學問題
數學答案 情境脈絡裡的答案
形成模式
使用數學
詮釋答案 確認答案
情境脈絡裡的問題
數學世界
圖2-3-2 研究者將 PISA 數學化架構與 APOS 學習理論結構圖結合，左台益、李健 恆（2018）指出學生在學習一個新的數學概念時，通常是由多個已膠囊化的物件所組 成，處理學習迴圈中的各個環節都可考慮以APOS 理論作為活動設計的依據。研究者 認為在PISA 數學化架構的過程中，都可以透過 APOS 理論來協助數學化循環的進行。
APOS 將學習過程分解成四個步驟，分別是 Action(行動)、Process(過程)、Object(物 件)、Schema(基模)。APOS 有效的將學習過程分解成較細微的步驟，透過細微的步驟 建立完整的概念。
接著，研究者將數學素養『知用觀學』融入此架構中，如圖2-3-3 所示。
圖2-3-3 教材設計結構圖(二) 真實世界
APOS
數學問題
數學答案 情境脈絡裡的答案
知
用
觀 觀
情境脈絡裡的問題
數學世界
學
圖2-3-3 是素養導向教材設計的基本架構圖。以下研究者將將『知用觀學』以及
『PISA 數學化架構』進行結合，作為本研究中素養教材設計的參考模型。
首先，學生在面臨真實世界中的問題時，需要透過已學過的的數學『知』識，將 真實世界的問題轉換至數學世界的問題，即為一種數學化的過程。接著，學習者運
『用』具有邏輯性、抽象性的數學能力，解決問題，並且獲得在數學世界中的答案。
獲得數學世界中的答案後，需要透過學習者對於情境的理解，將答案轉換至真實 世界中。左台益、李健恆（2018）指出學習者得到數學世界的答案後，必須以個人的
『觀』點對情境意義做合理的詮釋。
獲得真實世界中的答案後，需要分析答案與問題是否具合理性。左台益、李健恆
（2018）指出真實世界中的答案需要確認是否為合理的解決問題方案，否則重新評估 已知條件極可能的取代方案。除了解決問題外，也可以藉著個人『觀』點，來分析、
評估、批判真實世界的問題。
最後，研究者認為『學』是整個數學化循環的過程中一直在進行的。學習如何透 過先備知識將真實世界的問題轉換成數學世界的問題，並且解決問題、詮釋問題以及 批判問題。
研究者將根據此架構設計素養導向對數單元教材，並且將此教材與知識與能力導 向教科書教材進行比較，並藉由學習感受度問卷及後測試卷評估學習者的學習感受度 以及學習成效有何差異。