設計與實作素養導向對數單元教材

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系(所) 碩士論文 Department of Mathematics College of Science. National Taiwan Normal University Master’s Thesis. 設計與實作素養導向對數單元教材. 陳鵬宇 Chen, Peng-Yu. 指導教授：左台益博士. 中華民國 109 年 07 月 July 2020.

(2) 謝辭經過三年的時間，終於在今年暑假前完成我的研究所論文，從論文研究題目的尋找、文獻資料的探討整理、研究工具的設計修改、實際入班進行研究實驗以及論文的撰寫與修改，過程中遇到了許多困難以及瓶頸，還好有指導教授、學長以及同學的支持與鼓勵，才能順利將我的論文完成。首先要感謝我的指導教授左台益老師，經過老師三年的教導，讓我瞭解做學術研究應有的態度。從一開始的研究問題到論文的撰寫，透過老師專業且精準的建議，並且提供我許多實用的文獻，讓我在論文研究上可以更加順利。感謝陳明璋老師、李源順老師在百忙之中擔任我的口試委員，雖然受到疫情影響，無法當面進行口試，但是老師仍透過視訊方式，給了我許多寶貴的建議，讓我的論文可以更加充實及完整。感謝論文過程中協助我的鳳琳學長、健恆學姊、汪陽、怡君，讓我在研究過程中可以與你們討論並且從中獲得寶貴的資源。另外也要感謝協助我進行實驗的高中生，沒有你們的配合，我的論文也無法順利完成最後要感謝我的父母與家人，從小到大提供我豐富的資源，讓我在沒有後顧之憂的條件下，進行研究。有時也會提供我許多建議，讓我更加確信未來走向數學教育這條路，謝謝大家！. I.

(3) 摘要本研究的目的在設計與實作素養導向對數單元教材，並探討素養導向教材與傳統知識與能力導向教材對於學習者的學習成效及學習感受度有何差異。操弄變項分為兩個維度，分別為教材版本（實驗組、對照組）以及數學程度（高分組、低分組）。研究結果主要分為素養教材設計與實作成品及學習成效與學習感受度的量化分析。. 一、素養教材設計與實作素養導向教材設計結合 PISA 數學化架構、“知用觀學“數學素養模式、APOS 學習理論且以三層次設計與實作出素養導向對數單元教材。本教材利用地震情境引入教學，透過指數將具體世界轉換至數學世界，利用解決問題的過程理解對數的由來。最後則是利用對數的正式定義，將數學世界轉換至具體世界並解決相關應用問題。. 二、學習成效與學習感受度的量化分析 (1) 實驗組在對數定義及限制條件的相關試題中，學習成效顯著低於對照組。對數的基本運算及相關應用，實驗組與對照組則無顯著差異。 (2) 實驗組使用教材後的認知負荷明顯高於對照組。實驗組學生認為素養教材較為困難且花費許多時間在沒有效率的學習過程上。 (3) 對照組對於學習自信、學習目標及學習步調的掌握顯著高於實驗組。由上述結果得知，本研究設計的素養導向對數單元教材會造成學生的認知負荷過高以及對數學定義的不熟悉。未來可以針對不同的教學策略及引入數位工具，探討如何幫助學生降低素養導向教材的認知負荷以及提高學習成效。. 關鍵字：數學素養、對數、APOS 學習理論 II.

(4) 目錄謝辭 ............................................................................................................................................. I 摘要 ........................................................................................................................................... II 表目錄 ...................................................................................................................................... IV 圖目錄 .................................................................................................................................... VII 第壹章. 緒論 ........................................................................................................................ 1. 第一節. 研究動機 ........................................................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與研究問題 ....................................................................................................... 3. 第三節. 理論依據 ........................................................................................................................... 3. 第貳章. 文獻探討 ................................................................................................................ 5. 第一節. 數學素養的意涵 ............................................................................................................... 5. 第二節. 對數單元的相關研究 ....................................................................................................... 8. 第三節. APOS 理論 ........................................................................................................................ 9. 第四節. 認知負荷理論 ................................................................................................................. 15. 第參章. 研究方法 .............................................................................................................. 17. 第一節. 研究過程與步驟 ............................................................................................................. 17. 第二節. 研究對象 ......................................................................................................................... 20. 第三節. 研究工具 ......................................................................................................................... 21. 第肆章. 研究結果與討論 .................................................................................................. 30. 第一節. 素養教材實作成品 ......................................................................................................... 30. 第二節. 實徵研究結果 ................................................................................................................. 41. 第三節. 研究討論 ......................................................................................................................... 85. 第伍章. 結論與建議 .......................................................................................................... 95. 第一節. 結論 ................................................................................................................................. 95. 第二節. 建議 ................................................................................................................................. 98. 參考文獻 .................................................................................................................................. 99 附件一前測試卷附件二素養導向對數單元教材附件三知識與能力導向教科書教材附件四學習感受度問卷附件五後測試卷. III.

(5) 表目錄表 3-2-1 正式施測樣本分佈情況--------------------------------------------------------------------20 表 3-3-1 十二年國民基本教育數學課綱（對數部分節錄）-----------------------------------21 表 3-3-2 前測試卷測驗內容--------------------------------------------------------------------------22 表 3-3-3 前測試卷配分說明--------------------------------------------------------------------------23 表 3-3-4 學習感受度問卷-----------------------------------------------------------------------------27 表 3-3-5 後測試卷測驗內容--------------------------------------------------------------------------28 表 3-3-6 後測試卷配分說明--------------------------------------------------------------------------29 表 4-1-1 素養導向對數單元教材設計--------------------------------------------------------------30 表 4-1-2 情境的選擇-----------------------------------------------------------------------------------31 表 4-2-1 教材差異的前測試卷總分-----------------------------------------------------------------41 表 4-2-2 教材版本與數學程度的前測總分--------------------------------------------------------42 表 4-2-3 教材版本與數學程度對前測總分之二因子變異數分析-----------------------------42 表 4-2-4 教材版本的前測試卷類別分數-----------------------------------------------------------43 表 4-2-5 教材版本與數學程度的前測試卷類別分數--------------------------------------------43 表 4-2-6 教材版本與數學程度對前測指數類別分數之二因子變異數分析-----------------44 表 4-2-7 教材版本與數學程度對前測科學記號類別分數之二因子變異數分析-----------44 表 4-2-8 教材版本與數學程度對前測指數函數類別分數之二因子變異數分析-----------45 表 4-2-9 教材版本差異下的學習感受度-----------------------------------------------------------46 表 4-2-10 教材版本與數學程度差異下的學習感受度-------------------------------------------47 表 4-2-11 教材版本與數學程度對認知負荷向度之二因子變異數分析----------------------47 表 4-2-12 教材版本與數學程度對自信向度之二因子變異數分析----------------------------48 表 4-2-13 教材版本與數學程度對自我效能向度之二因子變異數分析----------------------49 表 4-2-14 教材版本與數學程度對學習策略向度之二因子變異數分析----------------------50 表 4-2-15 教材版本與數學程度對情意向度之二因子變異數分析----------------------------51 表 4-2-16 教材版本與數學程度對主動性向度之二因子變異數分析-------------------------52 表 4-2-17 教材版本差異的認知負荷向度逐題分析----------------------------------------------52 表 4-2-18 教材版本差異與數學程度的認知感受度逐題分析----------------------------------53 表 4-2-19 二因子變異分析。題 12：我覺得這份教材的內容非常困難。------------------54 表 4-2-20 二因子變異分析。題 3：學習這份教材時，我投入非常多心力在複雜的內容上。----------------54 表 4-2-21 二因子變異分析。題 5：這份教材讓我花費很高的心力在沒有效率的學習過程上。-------------55. IV.

(6) 表 4-2-22 二因子變異分析。題 6：這份教材的活動設計，能增強我對這個主題內容的理解。-------------56 表 4-2-23 教材版本差異的自信向度逐題分析---------------------------------------------------57 表 4-2-24 教材版本差異與數學程度的自信向度逐題分析------------------------------------57 表 4-2-25 二因子變異分析。題 1：我非常有把握看懂這份教材的內容。----------------58 表 4-2-26 教材版本差異的自我效能向度逐題分析---------------------------------------------59 表 4-2-27 教材版本差異與數學程度的自我效能向度逐題分析------------------------------60 表 4-2-28 二因子變異分析。題 7.這份教材的設計，可以讓我了解所學習目標---------60 表 4-2-29 二因子變異分析。題 10. 這份教材的活動，可以使我有能力達成設定的學習目標。------------61 表 4-2-30 二因子變異分析。題 14. 學習完這份教材後，我的數學能力增強了。------62 表 4-2-31 二因子變異分析。題 17. 學習完這份教材後，我會嘗試在生活中使用這些概念。---------------62 表 4-2-32 教材版本差異的學習策略向度逐題分析---------------------------------------------63 表 4-2-33 教材版本差異與數學程度的學習策略向度逐題分析------------------------------63 表 4-2-34 二因子變異分析。題 9. 這份教材的設計，能讓我發現自己懂什麼和不懂什麼。----------------64 表 4-2-35 二因子變異分析。題 4. 我在這份教材的學習過程中，能調整自己學習的方法和步調。-------64 表 4-2-36 教材版本差異的情意向度逐題分析---------------------------------------------------65 表 4-2-37 教材版本差異與數學程度的情意向度逐題分析------------------------------------66 表 4-2-38 二因子變異分析。題 11. 我喜歡這份教材裡的數學。---------------------------66 表 4-2-39 二因子變異分析。題 13. 我覺得這份教材很有趣。------------------------------67 表 4-2-40 二因子變異分析。題 19. 在學習完這份教材後，我更喜歡數學了。---------68 表 4-2-41 教材版本差異的主動性向度逐題分析------------------------------------------------69 表 4-2-42 教材版本差異與數學程度的主動性向度逐題分析---------------------------------70 表 4-2-43 二因子變異分析。題 8. 這份教材，讓我樂意主動學習數學。-----------------70 表 4-2-44 二因子變異分析。題 15. 學習完這份教材後，我會主動和同學討論數學。------------------------71 表 4-2-45 二因子變異分析。題 16. 學習完這份教材後，我比較敢在數學課主動發問。---------------------72 表 4-3-46 二因子變異分析。題 18. 這樣的教材，會讓我想多練習一點題目。---------72 表 4-2-47 二因子變異分析。題 2. 在學習這份教材時，我喜歡動腦想。-----------------73 表 4-2-48 教材版本差異的『知用觀學』分析---------------------------------------------------74 表 4-2-49 教材版本差異與數學程度的『知用觀學』分析------------------------------------75 V.

(7) 表 4-2-50 教材版本與數學程度對於『觀』的二因子變異數分析---------------------------75 表 4-2-51 教材版本與數學程度對於『學』的二因子變異數分析---------------------------76 表 4-2-52 教材版本間的後測試卷總分------------------------------------------------------------77 表 4-2-53 教材版本與數學程度的後測總分------------------------------------------------------78 表 4-2-54 教材版本與數學程度對後測總分之二因子變異數分析---------------------------78 表 4-2-55 教材版本的後測試卷類別分數---------------------------------------------------------79 表 4-2-56 教材版本與數學程度的後測試卷類別分數------------------------------------------79 表 4-2-57 教材版本與數學程度對後測對數定義與概念之二因子變異數分析------------80 表 4-2-58 教材版本與數學程度對後測對數的基本運算之二因子變異數分析------------80 表 4-2-59 教材版本與數學程度對後測對數的應用之二因子變異數分析------------------81 表 4-2-60 對數的定義與概念中各題的平均數與標準差---------------------------------------81 表 4-2-61 二因子變異數分析。後測試卷第 2 題。---------------------------------------------82 表 4-2-62 二因子變異數分析。後測試卷第 3 題。---------------------------------------------82 表 4-2-63 二因子變異數分析。後測試卷第 4 題。---------------------------------------------83 表 4-2-64 二因子變異數分析。後測試卷第 5 題。---------------------------------------------83 表 4-2-65 二因子變異數分析。後測試卷第 6 題。---------------------------------------------83 表 4-3-1. 教材版本與數學程度對於前測試卷的影響------------------------------------------85. 表 4-3-2. 教材版本與數學程度對於學習感受度六大向度的影響---------------------------86. 表 4-3-3. 教材版本與數學程度對於學習感受度各題的影響---------------------------------87. 表 4-3-4. 教材版本與數學程度差異下對於後測試卷的影響---------------------------------89. 表 4-3-5. 教材版本與數學程度對於對數的定義與概念的影響------------------------------91. 表 4-3-6. 後測試卷題 2 對數定義的特殊案例---------------------------------------------------92. VI.

(8) 圖目錄圖 1-3-1 數學化循環----------------------------------------------------------------------------------- 4 圖 2-3-1. APOS學習理論結構圖-------------------------------------------------------------------- 9. 圖 2-3-2 教材設計結構圖(一) ---------------------------------------------------------------------- 11 圖 2-3-3 教材設計結構圖(二) ---------------------------------------------------------------------- 12 圖 3-1-1 研究流程圖 -------------------------------------------------------------------------------- 18 圖 3-3-1 教材結構 ----------------------------------------------------------------------------------- 23 圖 3-3-2 素養教材設計架構表--------------------------------------------------------------------- 24 圖 4-1-1 素養教材-地震震幅的定義 ------------------------------------------------------------- 32 圖 4-1-2 素養教材-活動一 ------------------------------------------------------------------------- 32 圖 4-1-3 素養教材-活動二 ------------------------------------------------------------------------- 32 圖 4-1-4 素養教材-活動三 --------------------------------------------------------------------------33 圖 4-1-5 素養教材-活動四 ------------------------------------------------------------------------- 34 圖 4-1-6 素養教材-對數定義 ---------------------------------------------------------------------- 35 圖 4-1-7 素養教材-活動五 ------------------------------------------------------------------------- 36 圖 4-1-8 素養教材-地震震幅的對數型式定義--------------------------------------------------- 37 圖 4-1-9 素養教材-活動六 ------------------------------------------------------------------------- 38 圖 4-1-10 素養教材-活動七 ------------------------------------------------------------------------ 39 圖 4-1-11 對數單元素養導向教材設計架構表. ------------------------------------------------ 40. 圖 4-3-1 後測試卷 4 ---------------------------------------------------------------------------------- 93 圖 4-3-2 後測試卷 6 ---------------------------------------------------------------------------------- 94. VII.

(9) 第壹章. 緒論. 本研究旨在探討素養導向對數單元教材的設計與實作並比較素養導向對數單元教材與知識與能力導向對數教材對於學習者的學習感受度以及學習成效有何差異。本章共分成三節，第一節為研究動機、第二節為研究目的與研究問題、第三節為理論依據。. 第一節研究動機 Schoenfeld(1992)認為學習數學的目的就是解決生活中遇見的問題。而透過數學解決相關生活問題一直是人類進步重要的過程，如：天文、測量、匯率、投資、科學等等，顯示數學與生活關係的密切性。無論各個年級的學習者，都應該將數學視為解決生活問題的工具，而非只是一個考試的科目。現今的學生常常將數學視為一個記憶的科目，都只想把公式背熟，並且透過練習題目來增加熟悉度，研究者希望可以從解決生活問題的角度切入，先讓學習者對生活問題產生興趣，並且透過具有邏輯性的推理、驗證，有效地解決問題，進而從解決問題的過程中學習到新的數學概念。在 99 課綱的安排下，學習對數單元前的教材內容包含數與式、多項式以及指數。這些學習內容中都曾經在國中教材中出現過，對於學習者較不陌生，高中教材僅是將學習內容加深加廣，對學習者來說是相對熟悉且較容易上手的學習內容。對數單元則是全新的內容，也是高中階段第一次面臨從未見過的數學符號，導致學習者常常在這個階段遇到許多困難。研究者在過往的教學經驗中發現，有部份的學習者無法將對數符號視為一個函數，也無法瞭解對數符號存在的意義，更不清楚對數符號是如何建構的，而是將對數當成一個特殊的數學符號，並用記憶的方式來理解對數，並沒有進行相關的轉換，導致後續的對數律等課程都變成公式或是利用死背的方式學習，學習者也無法將對數符號正確的應用在各種應用問題更無法實際應用在解決生活問題中。 1.

(10) 研究者希望設計一份具有素養導向的對數單元教材，讓學習者可以透過解決生活問題的流程學習對數概念與符號意義，而非透過定義解題的方式瞭解對數。對數在各種不同領域中都是相當重要的內容且應用非常廣泛，因此學習者在現階段有必要將對數課程學好，並且透過邏輯、統整、理解等能力，才可以將對數概念應用到其他領域。在此之前有相當多的研究指出學生在學習對數單元時的常見錯誤類型，像是對數函數的定義、對數的運算性質、指數函數的過度引申、函數圖形的概念等類型（陳建蒼 2001）。這些研究多半是透過檢驗的方式去發現學習者不熟悉的內容並進行事後的補救教學。本研究希望從教學的角度出發，幫助學習者在學習階段就將對數概念建構穩固的基礎，而非透過補救教學的方式重新建立。研究者也期望學習者在後續學習對數的運算性質、對數的相關應用時都可以透過穩固的基礎，完成學習目標。有別於 99 課綱強調的能力導向，108 年開始實施的十二年國民基本義務教育中提到三面九項二十七條的素養，其中三大面向分別是自主行動、溝通互動以及社會參與。總綱希望學生以「自發」、「互動」、「共好」為理念，以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景。數學領域課程綱要呼應總綱的三大核心素養，提出了五大基本理念：1. 數學是一種語言，宜由自然語言的題材導入學習、2. 數學是一種實用的規律科學，教學宜重視跨領域的統整、3. 數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感、4. 數學應提供每位學生有感的學習機會、5. 數學教學應培養學生正確使用工具的素養。研究者希望可以透過素養導向教材，讓學習者可以了解學習數學是為了解決生活中會遇到問題，而非僅是公式的記憶背誦以及數學成績。本研究希望可以透過 108 數學課綱中所提到的特點設計出一份具有素養導向的對數單元教材。並且透過實驗組與對照組的研究方法比較兩者對於學習者的學習感受度以及學習成效中是否具有差異。 2.

(11) 第二節研究目的與研究問題本研究的主要目的是根據 PISA 數學化架構以及 APOS 學習理論來設計具有數學素養導向的對數單元教材，並分析素養導向對數單元教材與傳統教科書對數教材對於學習感受度及學習成效有何影響。根據以上的研究目的，本研究提出下列兩個研究問題：一、設計與實作素養導向對數單元教材的特質為何？二、對於所發展素養導向對數單元教材進行教學實驗、評估成效為何？. 第三節理論依據本研究為了發展素養導向對數單元教材，研究者採用 PISA 提出的數學化（mathematisation）模型搭配 APOS 學習理論來建構，以下我們分別說明 PISA 數學化架構以及 APOS 學習理論：. 一、PISA數學化架構 PISA的測驗中，主要是檢驗學生在各種情境中如何形成數學問題、如何使用數學概念以及如何詮釋數學問題。PISA認為一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（mathematisation）。數學化的過程共可以分成四大步驟，首先要從真實世界產生的問題透過數學知識形成數學世界中的問題，透過數學的解題模式形成數學結果及答案，接著需要將數學世界中的結果與答案轉換至真實世界中詮釋答案，最後則是將真實世界中的結果套用在原本的具體問題上（如圖）。本研究採用此架構來設計教材並進行實驗與分析。. 3.

(12) 圖 1-3-1. 數學化循環. 二、APOS 學習理論 Dubinsky（1991）和他的同事用APOS縮寫描述學習者透過心智結構來發展新的數學概念，強調學習者在學習新的數學概念時，需要將概念作起源分解，以便建立適當的心智結構。從行動（Action）經由內化（Interiorization）到過程（Process），過程經由膠囊化（Encapsulation）到物件（Object），最後將整體組織成一個基模（Scheme），並且透過基模來解決問題。APOS理論堅持在學習者發展數學概念與數學概念本身有密不可分的關聯性（Dubinsky 2005），學習者在學習過程中透過APOS來發展數學概念，所以本研究採用此理論來設計教材並進行實驗與分析。. 4.

(13) 第貳章. 文獻探討. 本研究目的為設計與實作素養導向對數單元教材，搭配 APOS 學習理論，幫助學習者學習對數概念，並且比較素養導向教材與傳統知識與能力導向教科書教材的學習成效及學習感受度差異。故文獻從四個面向進行探討：數學素養的意涵、對數單元相關研究、APOS 學習理論、認知負荷理論。第一節主要探討數學素養，分析各學者對於數學素養的定義，並歸納出本研究所採用的數學素養模式。第二節探討對數單元的相關研究，並作為設計研究工具的參考。第三節探討 APOS 學習理論，並透過此理論設計素養導向教材，第四節探討認知負荷理論，透過認知負荷理論進行素養教材設計及分析學習感受度。. 第一節數學素養的意涵國民素養將「數學素養」定義為「個人的數學能力與態度，使其在學習、生活與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效與他人溝通觀點。」（李國偉等人，2013）。張鎮華教授根據上述對數學素養的定義歸納出四個項目，分別是：（1）數學學科知識的素養。（2）應用到學習、生活與職業生涯的素養。（3）正確使用工具的素養。（4）有效與他人溝通的素養。（張鎮華 2017）數學領鋼前導研究指出「十二年國教之數學課程架構，除了包含內容與能力兩大向度之外，也應蘊含認知與態度。因為中國儒、道、釋的哲學發展，也都蘊涵內容、能力以及認知與情意等面向，同時也廣為教科書編著者、教學者、評量者、甚至社會大眾所熟知。因此，我們用引用古聖先賢的智慧，簡單扼要的以中文的「知」、「行」、「識」來詮釋 12 年國教數學課程的內涵。」（林福來等人，2013）. 5.

(14) 前導研中的「知行識」，其中「知」代表的是數學知識，學習內容，而「行」則是操作數學的技能，「識」則是讓學生對於數學內容產生意義，並在數學領域內或者跨領域地連結其他學習內容，進而有機會賞識數學的價值。（單維彰 2016）除了「知行識」外，李國偉（2013）更提到數學素養的願景是：有效學習數學的思維方式（李國偉等人 2013）。我認為讓學生學習帶得走的數學能力也是數學素養中不可或缺的一個項目。左台益、李健恆（2018）從四個維度出發，分別是「知、用、觀、學」，以下我們介紹四個維度的意涵：. 一、「知」（Knowledge）數學知識是數學素養的核心及必要前提（左台益李健恆 2018）。林福來等人的在前導研究提到「知行識」當中的「知」，也提到了數學知識、學習內容的重要性。雖然知識不再是唯一重點，但卻是不變的基礎。個體為了能理解、溝通、應用更多數學相關概念，數學知識必然是發展數學素養的核心（左台益李健恆 2018）。. 二、「用」（Application）擁有了「知」以後，接下來最重要的就是如何運用這些知識來解決生活中遇見的數學問題。十二年國民基本教育課程綱要數學領域中的課程目標提到培養使用工具，運用於數學程序及解決問題的正確態度；培養運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力（教育部 2018）。因此，如何運用數學知識、數學方法、數學工具將是培養數學素養的重要元素之一（林方馨 2018）。. 6.

(15) 三、「觀」（Disposition）林福來等人的在前導研究提到「知行識」當中的「識」即是「觀」。如何讓學生有效地讓學生學習欣賞數學的美、做出正確的推理連結，並非僅是完成解題過程。十二年國民基本教育課程綱要數學領域中的課程目標也提到「培養學生欣賞數學以簡馭繁的精神與結構嚴謹完美的特質」（教育部 2018）。因此，從認知面以數學的方式表達對問題的個人觀點，或從情意面所表達對數學的觀感，它們都是數學素養的重要構成要素（左台益李健恆 2018）。. 四、「學」（Learning）除了「知」、「用」、「觀」分別對應「知」、「行」、「識」外，我認為「學」也是不可或缺的項目。李國偉（2013）在教育部提升國民素養實施方案-數學素養研究計畫結案報告中提及「提升數學素養的願景是：有效學習數學的思維方式，以變靈活運用數學知識、技能與工具，解決生活中的問題，並成為具備理性反思能力的公民。」（李國偉等人，2013），說明了有效學習數學的思維方式也是一個重要的課題，如何帶領學生正確的學習方式，在往後的生涯中可以透過自主學習獲取知識。十二年國民基本教育課程綱要數學領域提到數學教育應能啟迪學生的學習動機，培養好奇心、探索力、思考力、判斷力與行動力，願意以積極的態度、持續的動力進行探索與學習。從上述研究可知，除了數學知識、數學能力、對於數學的觀感外，學習如何學習更是不可忽視的維度。（教育部 2018）綜合上述各方專家對於數學素養的觀點，研究者採用「知」、「用」、「觀」、「學」為數學素養的內涵。並且透過此內涵中的四大維度設計素養導向的對數教材，並進行教學實驗以及學習成效評估。. 7.

(16) 第二節對數單元的相關研究對數單元在高中課程中，一直是相當重要的單元，在往後學習其他領域時，也需要以對數作為基礎，進行相關的延伸與應用。所以對數的錯誤概念錯誤類型以及學習者的學習過程也有不少的相關研究。以下研究者舉例說明。陳建蒼（2001）主要研究高一學生對數函數另有概念，並針對學生的對數函數另有概念的類型與成因提出個別化補救教學策略，再進一步探討各種補救教學策略的成效。可以發現以往的研究並非直接從教學的角度切入，而是透過相關的測驗方式，發現學習者的錯誤概念並且進行補救教學。謝育博（2012）主要研究台南地區高一學生在對數與對數運算可能的錯誤類型有兩大類，分別是對數符號的定義不清、對數的限制條件。並將學生發生錯誤的原因分成六大類： (1)先備知識不足。 (2)受先前學習過的知識或本班員學習經驗的影響，相似概念原則混淆，而做出錯誤的推論。 (3)因概念不清產生的錯誤。 (4)忽略、遺漏或誤加條件。 (5)對數運算性質的混淆。 (6)基本四則運算的錯誤或書寫的粗心。從上述研究可以發現主要都是針對學生的錯誤類型進行補救教學以及調整往後的教學模式，並未針對學習者如何學習對數以及如何獲得數學概念的角度進行探討。王幸娟（2013）則是透過 Pirie 與 Kieren 提出的數學理解動態理論作為描述個案概念學習過程的理論依據，分析個案在學習過程中面對問題的解決方式，了解學生在動態理論中的變化情形以及發展過程。 8.

(17) 以上的研究都是透過知識與能力導向教科書教材針對學生進行錯誤類型的分析以及概念理解層次的變化，本研究希望設計出一份素養導向對數單元教材，並且透過準實驗研究法，比較素養導向對數單元教材以及知識與能力導向教科書對數教材對於學習者在學習對數單元的學習感受度以及學習成效是否有所差異。. 第三節 APOS 理論. APOS 理論是由美國數學教育學家 Dubinsky（1991）所提出的，源自於皮亞傑所提出的抽象概念，皮亞傑將抽象概念分成三類，分別是經驗抽象(empirical abstraction)；擬經驗抽象(pseudeo-empirial abstraction)；和反思抽象(Refletive Abstractions)。經驗抽象是指個人從舊有經驗或是具體操作過程中獲得物體的特性，這些特性是物體本身存在的，例如：物體的重量。擬經驗抽象是個人從舊有經驗或是具體操作過程中獲得物體的特性，且這些特性並非是物體本身存在的，例如：比較二物體的重量，並得知其中一物體較另一物體重。反思抽象是完全出自於個人的，透過個人內在生成的概念，例如：某人知道物體甲較物體乙重，物體乙較物體丙重，從而得知物體甲較物體丙重。. Dubinsky（1991）所提出的 APOS 理論是利用 Piaget 抽象概念中的反思抽象 (Reflexive abstraction) 理論，觀察學生心智結構的發展與個體如何透過反思抽象來發展數學概念的心智歷程。APOS 理論認為學習者不可能直接學習到數學概念，而是透過心智結構來讓所學習的數學概念產生意義。在學習數學概念的過程中若有產生適當的心智結構，學習者自然會學習到新概念；反之，若沒有適當的心智結構，則無法獲得 9.

(18) 新概念。因此，我們可以透過 APOS 理論在教學中幫助學習者建立正確的心智結構進而獲得數學概念。APOS 理論強調學習者在建構數學概念時需要經過四個階段，學習者透過 Action(行動)發現問題並根據線索解決問題，透過重複性的 Process(過程)，成為一個較完整的 Object(物件)，將多個物件互相整合，則稱為一個 Scheme（基模），以下研究者將四個步驟進行詳細說明，如圖 2-3-1。. Schema. Action. 內化. 膠囊化 Object. Process. 解膠囊化. 圖2-3-1 APOS學習理論結構圖以下分別說明四個階段：. （一）Action-行動行動是學習者透過操作、活動親自體驗，感知問題的直觀背景以及與生活現實之間的聯繫，並且進行轉換。行動需要透過明確的指令與明確地執行每一個轉換步驟的能力，所以行動是形成一個數學概念不可或缺的起點。以下研究者將舉例說明。 10.

(19) 1. 研究者給定一個真實世界的情境，學習者透過已學過的函數概念，將給定的自變數代入獲得對應的應變數，即為行動。學習者將真實世界的問題與數學世界的問題進行聯繫。 2. 研究者給定指數式與對數式的轉換步驟，學習者依照例題的方式模仿並執行每一個轉換步驟，並且獲得解答，即為行動。. （二）Process-過程重複和反思的進行同一個行動時，會對活動進行思考，並且經歷思維的內化、整合過程。當某一個行動被內化時，學習者不在需要透過模仿的方式，而是直接想像去執行相同的動作，並且進行反思、描述甚至翻轉原始動作的步驟。以下研究者將舉例說明。 1. 研究者將給定的情境，透過多次自變數與應變數的對應關係，讓學習者進行重複的行動，即為過程。透過多次的行動，可以讓學習者不在使用模仿的方式，而是已經內化並且進行反思、觀察自變數與應變數的相互關聯。 2. 學習者重複進行指數式轉換成對數式的步驟後，學習者可以不需透過定義即可熟悉轉換過程，並且進行對數式轉換成指數式的反向操作，代表學習者已經將此行動內化成過程。. （三）Object-物件當學習者可以將行動及過程視為一個整體時，自行轉換，並且能夠自行建構出如此的轉換，那麼此學習者已經將過程膠囊化為一個認知的物件。（Dubinsky 2005）。反之，如果學習者已經到達物件的層級時，當它需要執行一個行動或過程時，需要將物件解膠囊化回到原來的過程。 11.

(20) （四）Scheme-基模任何的數學主題通常伴隨著行動、過程和物件，物件與物件間被組織或連結成一個架構，這個架構即是基模。基模提供學習者去處理數學問題。一旦建構出基模，物件和過程的連結可以更多樣化。所以一個人在心智中將動作、過程、物件以及其他基模，有意識或無意識的想連結，並且可以解數學問題，即是建構了基模。. 研究者希望學習者可以透過 PISA 數學化架構並且透過 APOS 理論幫助學習者建立適當的心智結構，所以將 PISA 數學化架構與 APOS 學習理論結構圖結合，如圖 2-3-2 所示。數學世界. 真實世界. 形成模式數學問題. 情境脈絡裡的問題. APOS. 確認答案. 情境脈絡裡的答案. 使用數學. 數學答案. 詮釋答案. 圖 2-3-2 教材設計結構圖(一). 12.

(21) 圖 2-3-2 研究者將 PISA 數學化架構與 APOS 學習理論結構圖結合，左台益、李健恆（2018）指出學生在學習一個新的數學概念時，通常是由多個已膠囊化的物件所組成，處理學習迴圈中的各個環節都可考慮以 APOS 理論作為活動設計的依據。研究者認為在 PISA 數學化架構的過程中，都可以透過 APOS 理論來協助數學化循環的進行。 APOS 將學習過程分解成四個步驟，分別是 Action(行動)、Process(過程)、Object(物件)、Schema(基模)。APOS 有效的將學習過程分解成較細微的步驟，透過細微的步驟建立完整的概念。接著，研究者將數學素養『知用觀學』融入此架構中，如圖 2-3-3 所示。. 學真實世界. 數學世界. 知數學問題. 情境脈絡裡的問題. APOS. 觀. 情境脈絡裡的答案. 用. 數學答案. 觀. 圖 2-3-3 教材設計結構圖(二). 13.

(22) 圖 2-3-3 是素養導向教材設計的基本架構圖。以下研究者將將『知用觀學』以及『PISA 數學化架構』進行結合，作為本研究中素養教材設計的參考模型。首先，學生在面臨真實世界中的問題時，需要透過已學過的的數學『知』識，將真實世界的問題轉換至數學世界的問題，即為一種數學化的過程。接著，學習者運『用』具有邏輯性、抽象性的數學能力，解決問題，並且獲得在數學世界中的答案。獲得數學世界中的答案後，需要透過學習者對於情境的理解，將答案轉換至真實世界中。左台益、李健恆（2018）指出學習者得到數學世界的答案後，必須以個人的『觀』點對情境意義做合理的詮釋。獲得真實世界中的答案後，需要分析答案與問題是否具合理性。左台益、李健恆（2018）指出真實世界中的答案需要確認是否為合理的解決問題方案，否則重新評估已知條件極可能的取代方案。除了解決問題外，也可以藉著個人『觀』點，來分析、評估、批判真實世界的問題。最後，研究者認為『學』是整個數學化循環的過程中一直在進行的。學習如何透過先備知識將真實世界的問題轉換成數學世界的問題，並且解決問題、詮釋問題以及批判問題。研究者將根據此架構設計素養導向對數單元教材，並且將此教材與知識與能力導向教科書教材進行比較，並藉由學習感受度問卷及後測試卷評估學習者的學習感受度以及學習成效有何差異。. 14.

(23) 第四節認知負荷理論. Sweller, Van Merrienboer & Paas, （1998）表示認知負荷是指一項特定任務在學習者的認知系統中所產生的負荷。學習者在學習過程中所產生的認知負荷量的多寡，受到教材難易度與學習者本身的數學能力影響。學習目標越簡單且學習者具有較豐富的數學知識時，學習過程中的認知負荷較低；反之，若學習目標較困難且學習者的數學能力較不足時，認知負荷較高。Chandler, P., & Sweller, J.（1991）將學習過程中的認知負荷分成三大類，內在認知負荷（intrinsic cognitive load）、外在認知負荷（extraneous cognitive load）、增生負荷（Germane cognitive load）。. 一、內在認知負荷（intrinsic cognitive load）內在認知負荷來自教材內容本身的難易度及學習者的數學能力，其中教材難易度取決於教材中元素與元素間連結的程度，而與教材設計與呈現方式無關。教材元素若屬於低度連結性，其產生的內在認知負荷較低；反之，教材中的元素若為高度連結性，則內在認知負荷較高，這是因為在工作記憶中必須要同時處理所有相互連結的元素。Clark 等人（2006）認為內在認知負荷是指教材內容本身的複雜性對學習者產生的認知負荷，主要取決於教學目標。除了教材內容難易度外，學習者的數學能力也是影響內在認知負荷的重要關鍵，當學習者在學習新概念時，透過先備知識與新概念產生連結，可以降低內在認知負荷。. 15.

(24) 二、外在認知負荷（extraneous cognitive load）外在認知負荷並非是教學內容本身造成的認知負荷，而是來自教材設計不良或是教材呈現方式不佳造成學習者認知負荷過大，進而變成無效的教學。由於外在認知負荷不屬於教學內容本身，所以在學習過程中，外在認知負荷應是教師最關注的核心，教師可以透過適當的教材設計、改變教材呈現方式，幫助學習者降低外在認知負荷，進而轉變成有效的學習。. 三、增生負荷（Germane cognitive load）增生負荷又可稱為有效認知負荷，主要是在學習過程中，學習者主動投入心力在處理內在認知負荷中的工作。教師可以透過教材設計以及教材呈現方式吸引學習者專注在學習內容上，主動與新概念中的元素產生連結，雖然這些教材設計會增加學習者的認知負荷，但可以幫助建構概念，稱為有效認知負荷。在學習工程中，教學者可以透過操作、提問、互動等方式，幫助學生提高增生負荷，達到較好的學習效果。. 研究者藉由探討認知負荷理論，將其應用在設計素養導向教材中，藉由教學設計及教材呈現方式降低學習者的外在認知負荷，並且透過適當的教學活動及操作提高增生負荷，幫助學習者進行有效的學習。. 16.

(25) 第參章. 研究方法. 本研究的主要研究內容是如何設計素養導向對數單元教材，透過素養導向對數單元教材讓學習者獲得對數概念，並探討高一學生針對此素養導向對數單元教材以及知識與能力導向教科書教材間的學習感受度及學習成效是否有所差異。本章共分成三節，第一節為研究過程與步驟、第二節為研究對象、第三節為研究工具，分別說明如下：. 第一節研究過程與步驟本研究採用『準實驗研究法』，透過前測試卷、學習感受度問卷及後測試卷，分析實驗組（素養導向對數單元教材）與對照組（知識與能力導向教科書對數教材）在學習感受度及學習成效是否有差異。本研究一共分成三個階段，分別是，一、研究準備期，二、研究執行期，三、研究分析期，如圖 3-1-1 所示：. 一、研究準備期（一）擬定研究主題透過閱讀數學素養、對數等相關文獻以及教材設計的相關理論，尋找適當的理論依據，並與指導教授進行深度討論確定研究目的與研究問題。. （二）編制研究工具研究者依據相關文獻、理論以及各版本教科書，並且諮詢數學教育專家以及在職教師的建議，編制素養導向對數單元教材、前測試卷、後測試卷，並參考數學教育專家編制的學習感受度問卷，經過多次與指導教授的討論與修改，正式成為我的研究工具。. 17.

(26) （三）尋找研究對象研究者徵求研究對象的教師同意與支援，並與教師進行多次的洽談，熟悉班級以及個案的學習狀況。. 二、研究執行期研究者利用實驗班級三堂數學課的時間，分別進行前測試卷、主要課程（教材、學習感受度問卷）以及後測試卷。以下分別說明三堂課的詳細內容。. （一）前測試卷第一階段進行前測試卷，測驗時間 20 分鐘，透過前測試卷分析實驗組與對照組是否在起始點有顯著差異，並根據差異進行後續資料分析調整的依據。. （二）主要課程第二階段進行閱讀教材及填寫學習感受度問卷，實驗組閱讀素養導向對數單元教材，對照組閱讀知識與能力導向對數教材，並給予學習者 40 分鐘的時間自行學習，但依個人的自學時間不同，閱讀時間也不相同，但以不超過 40 分鐘為限。完成教材後，利用該堂課最後 10 分鐘，填寫學習感受度問卷。. （三）後測試卷第三階段進行後測試卷，測驗時間 50 分鐘，透過後測試卷分析實驗組與對照組的學習成效。. 18.

(27) 三、資料分析期（一）分析資料由施測的資料中，針對教材版本差異（實驗組、對照組）以及數學程度差異（高分組、低分組）分別進行量化分析及比較，由研究者及研究生進行資料的整理及校對。並且透過多次與指導教授的討論，進行資料的統計及分析。. （二）撰寫結論與建議根據分析的資料進行研究論文的撰寫，回答研究問題及結論，並且針對教學面向與後續研究面向進行相關建議，以提供在職教師及後續研究者參考。. 圖 3-1-1 研究流程圖 19.

(28) 第二節研究對象本研究以台北市某公立高中高一學生作為研究對象，學生均為常態分班，男女合班。挑選兩個班級，分別進行實驗組以及對照組的施測。研究者利用高一上學期前兩次段考的平均成績作為分組依據，將實驗組班級與對照組班級各別分成高分組與低分組。其中前測試卷實驗組共有 32 人，對照組則為 37 人。主要課程（教材、學習感受度問卷）實驗組共 36 人，對照組 37 人。後測試卷實驗組共 35 人，對照組為 37 人。表 3-2-1 即是正式施測時，樣本分佈情況。. 表 3-2-1 正式施測樣本分佈情況閱讀文本教材版本. 數學程度. 前測試卷. 後測問卷學習感受度問卷. 高分組. 15 人. 18 人. 17 人. 低分組. 17 人. 18 人. 18 人. 高分組. 18 人. 18 人. 18 人. 低分組. 19 人. 19 人. 19 人. 實驗組. 對照組. 20.

(29) 第三節研究工具十二年國民基本教育將對數單元分成三部分，分別是常用對數的介紹、對數律以及指數函數與對數函數，如表 3-3-1 所列。編碼 N-10-4 在高一學習，編碼 A-11A-4、編碼 F-11A-4 則是在高二學習，本研究針對常用對數的介紹（編碼 N-10-4），進行素養導向對數單元教材設計，並進行教學實驗及學習成效的評估。. 表 3-3-1 十二年國民基本教育數學課綱（對數部分節錄）編碼. 學習內容條目與說明. 備註. 參考教具. 學習表現. N-10-4. 常用對數：log 的意義，有. 透過操作而加強認識任意. 計算機. n-V-1. 效位數與科學記號連結，使. 正數 a 皆可以改寫成. 用計算機的10# 和 log 鍵。. 10$%&' 。不談其他底的對計算機. a-V-1. 數. A-11A-4. 對數律：從10# 及指數律認. 認識一般底的對數，但. 識 log 的對數律律，其基本. 勿過度練習. n-V-2. 應用，並用於求解指數方程式 F-11A-4. 指數與對數函數：指數函數. 認識一般底的對數函. 方格紙. f-V-4. 及其圖形，按比例成長或衰. 數，重點是任意底的對. 計算機. g-V-2. 退的數學模型，常用對數函. 數皆可以換至常用對. 數的圖形，在科學和金融上. 數，不在同一條式子裡. 的應用. 刻意混用不同底的對數。任何指數函數𝑎 # 皆可改寫成10)# ，其中 0<a≠1. 本研究共有以下五種研究工具，分別是前測試卷、素養導向對數單元教材、某版本高中第一冊數學教科書、學習感受度問卷以及後測試卷。素養導向對數單元教材以. 21.

(30) 及某版本高中第一冊數學教科書教材，分別針對實驗組及對照組學習者進行教學實驗，透過前測試卷、學習感受度問卷以及後測試卷進行學習感受度以及學習成效的評估依據。由於主要研究項目為教材設計對於學習者的感受度以及學習成效，所以兩份對數教材皆以學習者自行閱讀教材為主，並不需要教師介入教學。以下分別針對五種研究工具進行詳細的說明：. 一、前測試卷為了強化研究的準確性，研究者透過前測試卷，檢驗實驗組與對照組學習者是否位在相同的起始點。由於研究者設計的素養導向對數單元教材以及知識與能力導向教材都是透過指數函數的引導，學習新的對數概念，根據教材所需的先備知識設計的前測試卷中，包含指數、科學記號、指數函數三大測驗主題。測驗內容中包含指數的基本定義、指數式求值、科學記號的定義與運算、函數的基本概念以及指數函數的定義與應用。測驗內容如表 3-3-2 所列。. 表 3-3-2 前測試卷測驗內容. 測驗主題指數. 科學記號. 指數函數. 測驗內容. 題號. 指數的定義. （1）（2）（3）. 指數的運算. （4）（5）（6）. 指數式求指數. （7）（8）（9）（10）. 科學記號的表示法. （11）（12）. 科學記號的運算. （13）（14）. 函數概念. （15）-1,2,3. 指數函數的定義. （16）. 指數函數的作圖. （17）-3. 指數函數的應用. （17）-1,2,4. 22.

(31) 研究者為了將前測試卷的作答情形量化，根據題目的難易度，並且透過數學教育專家的修訂，擬定了一份配分表，如表 3-3-3 所列。透過此配方方式，進行相關統計。. 表 3-3-3 前測試卷配分說明. 測驗主題. 測驗內容. 題號. 配分. 備註. 指數的定義. （1）（2）（3）. 4 分*3. 指數指數的運算. （4）（5）（6）. 4 分*3. 指數式求指數. （7）（8）（9）（10）. 4 分*4. 科學記號的表示法. （11）（12）. 5 分*2. 科學記號的運算. （13）（14）. 5 分*2. 函數概念. （15）-1,2,3. 2 分*3. 指數函數的定義. （16）. 8分. （17）-3. 6分. 不完整. （17）-1. 10 分. 填空題（每格 2 分）. （17）-2. 5分. （17）-4. 5分. 科學記號. 指數函數指數函數的作圖. 指數函數的應用. 23. 未用科學記號（得 3 分）未用科學記號（得 3 分）答案不完整（得 1 分）選擇題（每個選項 2 分）（得 4 分）.

(32) 二、素養導向對數單元教材為了研究學習者在素養導向對數單元教材以及知識與能力導向教材的學習成效差異，研究者將 PISA 數學化架構、APOS 學習理論以及研究者對於數學素養模式知用觀學結合作為教材設計的理論依據，根據圖 3-3-1 的結構設計素養導向的對數單元教材。. 學真實世界. 數學世界. 知數學問題. 情境脈絡裡的問題. 觀. APOS. 情境脈絡裡的答案. 用. 數學答案. 觀. 圖 3-3-1 教材結構. 研究者將素養導向對數單元設計分成三個步驟，分別是情境選擇、數學模型化迴圈、系統運用迴圈，透過這三個設計步驟，帶領學習者以素養的方式學習新的數學概念，以下研究者分別針對這三個步驟進行詳細的說明。. 24.

(33) 首先，素養導向教材設計需要透過真實世界中的具體情境引入，所以情境選擇是個相當重要的步驟，需考量學習者的先備知識以及相對感興趣的問題，選擇合適的具體情境，並且引起學習者學習動機進行新概念的學習。透過適當的情境選擇，讓學習者了解學習新概念除了為了考試需求外，也可以在往後的生活中解決相關問題。. 選定具體情境後，學習者開始進入數學模型化迴圈，透過學習者曾經學習過的先備知識，經由重複的操作及引導將具體情境轉換成數學世界中的數學符號，透過數學化的操作解決問題，並且將數學答案還原成具體情境的答案，讓學習者了解如何透過經由數學協助解決具體情境中的問題。此迴圈主要帶領學習者將真實世界中的問題轉換成數學世界中的問題。. 系統運用迴圈，從數學世界的角度直接切入，給定學習者正式的數學定義，引導學習者透過嚴謹的數學定義及邏輯學習概念，並且透過 APOS 學習理論，讓學習者不斷進行重複的操作及過程建立穩固的物件，並且形成基模，最後再透過真實世界的問題，實際將所練習的新概念應用到問題中。. 研究者分別從具體情境以及數學定義的角度切入進行兩階段的課程，透過 PISA 數學化架構、數學素養以及 APOS 學習理論，讓學習者在真實世界及數學世界中進行轉換，達到以數學素養學習新概念。圖 3-3-2 即為素養教材設計架構表。. 25.

(34) 知. 具體情境. 數學問題. 用. 觀具體答案. 數學答案. 知應用例. 對數的定義. 知. 觀. 具體答案. 用. 對數式轉換. 觀. 圖 3-3-2 素養教材設計架構表. 三、某版本高中第一冊數學教科書對照組使用某版本高中第一冊第三單元第三節對數（p.166～p.168），如附件三。由於測驗對象的學校選用此版本數學教材，所以研究者採用學習者平時最熟悉的版本作為對照組的主要教材內容。 26.

(35) 四、學習感受度問卷由於本研究是探討素養導向對數單元教材以及傳統教科書教材間的比較，所以研究者希望可以透過主觀的測量方式，針對學習者對於兩份教材的學習感受度進行分析。研究者參考左台益、呂鳳琳、曾士綺、吳慧敏、陳明璋、譚寧君（2011）所採用主觀測量方式來調查學習者的主觀感受。研究者針對六大項度認知負荷、信心、自我效能、學習策略、情意、主動性，設計 19 個問題，並透過李克特式六點量表，以「1」到「6」分別代表完全不同意、很不同意、不同意、同意、很同意、完全同意，分數越高代表學習者在學習感受表現越好，其中兩題為反向問題，分別是認知負荷向度中的第十二題及第五題，問卷內容如表 3-3-4 所列。. 表 3-3-4 學習感受度問卷六大向度. 問題內容. 12.我覺得這份教材非常困難認知負荷. 3. 學習這份教材時，我投入非常多心力在複雜的內容上。 5. 這份教材讓我花費很高的心力在沒有效率的學習過程上。 6. 這份教材的活動設計，能增強我對這個主題內容的理解。. 信心. 1. 我非常有把握看懂這份教材的內容 7. 這份教材的設計，可以讓我了解所學習目標。. 自我效能. 10.這份教材的活動，可以使我有能力達成設定的學習目標。 14.學習完這份教材後，我的數學能力增強了。 17.學習完這份教材後，我會嘗試在生活中使用這些概念。. 學習策略. 9. 這份教材設計能使我發現自己懂什麼和不懂什麼。 4. 我在這份教材的學習過程中，能調整自己學習的方法和步調。 11.我喜歡這份教材裡的數學。. 情意. 13.我覺得這份教材很有趣。 19.在學習完這份教材後，我更喜歡數學了。. 27.

(36) 8. 這份教材，讓我樂意主動學習數學。 15.學習完這份教材後，我會主動和同學討論數學。主動性. 16.學習完這份教材後，我更敢在數學課主動發問。 18.我覺得像這樣的教材讓我想多一點題目練習。 2. 在學習這份教材時，我喜歡動腦想。. 五、後測試卷後測試卷主要目的為檢驗學生透過素養導向對數單元教材以及知識與能力導向教教材間的學習成效差異為何。由於本實驗內容僅包含對數符號的定義以及基本的對數求值。所以研究者將測驗主題分成四大部分：對數的定義、對數的限制條件、對數式求值以及對數定義的基本應用。如表 3-3-5 所列。. 表 3-3-5 後測試卷測驗內容測驗主題. 先備知識對數定義與概念. 測驗內容. 題號. 指數函數的概念. （1）. 對數的定義. （2）. 對數的限制條件. （3）（4）. 對數定義的直接應用. （5）（6）. 對數基本運算. （7）（8）（9）（10）. 對數基本運算對數基本運算延伸. （11）（12）（13）-1. 對數的應用-1. （13）-2. 應用題. （14）-1. 對數的應用-2. （14）-2. 28.

(37) 研究者為了將後測試卷的作答情形量化，根據題目的難易度，並且透過數學教育專家的修訂，擬定了一份配分表，如表 3-3-6 所列。透過此配方方式，進行相關統計。. 表 3-3-6 後測試卷配分說明測驗主題. 測驗內容. 題號. 配分. 備註. 先備知識. 指數函數的概念. （1）. 8分. 同前測. 對數的定義. （2）. 10 分. 指數式轉對數式（得 5 分）限制條件 3 個. （得 1 分）. 對數定義. 真數底數. （得 1 分）. 與概念. 中文說明. （得 5 分）. 不完整. （得 3 分）. 對數的限制條件. （3）（4）. 6 分*2. 對數定義的直接應用. （5）（6）. 5 分*2. 對數基本運算. （7）（8）. 5 分*4. （9）（10）. 對數基本運算. 對數基本運算延伸. （11）. 6 分*2. （12）對數的應用-1 應用題. 對數的應用-2. （13）-1. 10 分. （13）-2. 5分. （14）-1. 6分. （14）-2. 6分. 29. 同前測.

(38) 第肆章. 研究結果與討論. 根據研究目的與研究問題，研究者運用 PISA 數學化架構、APOS 學習理論及研究者採用的數學素養模式“知用觀學”，設計了一份素養導向對數單元教材。並且透過前測試卷、學習感受度問卷及後測試卷分析素養導向對數單元教材與知識與能力導向教材對於學生的學習感受度及學習成效是否有顯著差異。最後再透過學習者前兩次的段考數學成績，分成高分組與低分組，進行交互作用的分析。本章共分成三節，第一節為素養教材實作成品；第二節為研究結果；第三節為研究討論。. 第一節素養教材實作成品研究者結合了 PISA 數學化架構、APOS 學習理論以及研究者採用的數學素養模式 “知用觀學”，實際設計一份素養導向對數單元教材，本節將詳細說明素養導向對數單元教材的設計過程及實作成品，如表 4-1-1 所列。表 4-1-1 素養導向對數單元教材設計活動. 說明. 素養. APOS. 情境. 介紹地震、地震規模的正式定義. 知. Action. 活動一. 填寫規模及震幅表格、猜測函數形式. 知. Action ªProcess. 活動二. 平面上描點、猜測可能的函數圖形. 用. Action ªProcess. 活動三. 透過上述表徵估計實際規模. 觀. Object. 活動四. 回憶學過的符號、實際設計新符號. 學. Object ªAction. 對數定義. 對數定義與限制條件. 知. Action. 活動五. 熟練對數定義的轉換. 用. Process. 活動六. 透過對數，計算規模與震幅的關係. 用. ProcessªObject. 活動七. 聲音分貝（應用例）. 觀. Object. 30.

(39) 研究者將素養導向教材設計分成三大部分，分別是情境選擇、數學模型化迴圈（活動一-活動四）以及系統運用迴圈（對數定義-活動七）。研究者選擇了地震作為本教材的情境選擇，透過地震震幅與地震規模間的轉換，提供學習者一個真實世界的情境，並且透過數學模型化迴圈以及系統運用迴圈，引導學習者學習對數的定義。以下依序將三大部分進行詳細的說明。. 一、情境選擇在 PISA 數學化架構中，第一個步驟為真實世界的情境，所以首先我們要先在真實世界中尋找一個適當的情境，以下是傳統教科書常見的對數應用題型，研究者分別比較各種應用題型，如下表 4-1-2 所列，表 4-1-2 即代表某一情境中，對數中底數的取用值以及所造成對數值改變量所整理出的表格。. 表 4-1-2 情境的選擇應用題型. 底數的取用值. 對數值的改變量. 音量（分貝）. 聲音強度 ×10. 分貝. +10. 地震（震幅）. 震幅. ×10. 規模. +1. 地震（能量）. 能量. ×32. 規模. +1. pH 值. [Ｈ＋]. ×10. pH 值. 星等. 亮度. ×100. 星等. +5. 半衰期. 數量. ×1/2. 半衰期. +1. ×2. 音階. +12. 分貝. +10. 音樂（十二平均律）頻率音量（分貝）. 聲音強度 ×10. 31. -1.

(40) 根據十二年國民基本教育數學課綱中 N-10-4「常用對數：log 的意義，有效位數與科學記號連結，使用計算機的10# 和 log 鍵。透過操作而加強認識任意正數 a 皆可以改寫成10$%&' 。不談其他底的對數」。. 研究者採用以 10 為底數以及對數值改變量為 1 的具體情境，學生只需要透過取對數值即可獲得結果，不需經過額外的運算以及推導，增加不必要的認知負荷，最終研究者選擇的真實世界的情境為地震震幅與地震規模間的轉換。根據中央氣象局資料，台灣位於環太平洋地震帶上，地震發生的次數相當平凡，平均每年約有 965 次的有感地震，所以地震是在台灣學習者相對熟悉的具體情境，所以研究者認為選擇地震情境可以有效提升學習者學習動機，並且透過此情境帶領學習者透過數學解決生活上的問題。. 二、數學模型化迴圈選定真實世界的地震情境後，研究者希望學習者透過地震震幅的定義，如圖 4-1-1，將真實世界的問題轉化成數學世界的問題，即為 PISA 數學化架構的步驟。進入活動一，如圖 4-1-2，學習者透過舊有的先備知識指數，將真實世界的地震情境轉換成數學符號填入表格中，並且猜測可能的函數形式。學習者透過多次反覆的操作以及猜測函數的過程，即為 APOS 學習理論結構圖中的將舊有的物件（Object）形成新的行動（Action），並且將行動（Action）推展至過程（Process）。活動一在『知用觀學』所扮演的角色為『知』，即是將現有的地震震幅定義，由具體情境轉換至數學情境，透過所學的指數先備知識進行操作完成表格填空。. 32.

(41) 圖 4-1-1 素養教材-地震震幅的定義. 圖 4-1-2 素養教材-活動一. 活動二，如圖 4-1-3，則是延續活動一，透過不同的表徵方式，將數值表徵轉換成圖形表徵，也從離散型轉換成連續型，此步驟透過多次的描點過程，讓學習者重複操作行動（Action），並形成一個過程（Process）。活動二在『知用觀學』所扮演的角色為『用』，即是將活動一的表格進行對應，將數值表徵轉換成圖形表徵。. 圖 4-1-3 素養教材-活動二. 33.

(42) 透過活動一及活動二的操作，讓學習者建立震幅與規模間的指數函數關係，透過重複操作轉換也變得更為熟悉，可將此轉換能力視為學習者獲得的物件（Object）。. 活動三則是將活動一及活動二建立起的物件（Object），利用實際生活中的案例，將數學結果對應到具體情境的結果，使得學習者更容易了解此物件（Object）的功用。. 活動三共有三個小題，如圖 4-1-4，前兩小題是透過震幅，讓學習者經由活動二的指數函數圖形推測規模，最後一小題則是已知規模，透過指數函數圖形的反向操作推測震幅。活動三除了可以讓學習者熟悉震幅與規模轉換的物件（Object）外，也可透過反向操作，更加熟悉轉換關係。活動三在『知用觀學』所扮演的角色為『觀』，即是希望學習者將以建立的物件（Object），經由正確的推理，解決日常生活會面臨的問題。. 圖 4-1-4 素養教材-活動三 34.

(43) 熟悉上述物件（Object）後，學習者了解地震震幅與地震規模是如何轉換，也可以透過指數函數估計出近似的規模。活動四，如圖 4-1-5，則是帶領學習者如何設計新符號來代表一個數，並且根據以前設計符號的概念，引導學習者設計，最後告知學習者數學家如何將大家設計出的不同符號進行統一，並提出正式的對數符號。活動四在『知用觀學』所扮演的角色為『學』，即是學習者透過活動一到活動三，反思此符號的重要性。以上是本教材的數學模型化迴圈，此迴圈帶領學習者從真實世界轉移到數學的世界，並且經由數值表徵及圖形表徵解決問題，並從實際例子中獲得驗證。. 圖 4-1-5 素養教材-活動四. 35.

(44) 三、系統運用迴圈數學模型化迴圈中，研究者從真實世界的情境出發，帶領學生透過 PISA 數學化架構解決生活上遇到的問題。系統運用迴圈，則是以數學世界出發，帶領學習者直接認識對數符號，並且進行簡易的計算，最後則是透過真實世界的不同情境加深對數概念。. 首先，研究者將對數的正式定義，如圖 4-1-6，完整陳列在講義中，包含指數式與對數式間的轉換、名詞介紹、底數與真數的限制條件，讓學習者透過正確的行動（Action），將指數式與對數式做正確的轉換。對數的定義在『知用觀學』所扮演的角色為『知』，透過正確的知識，讓學習者了解指對數的轉換過程以及相關的條件限制。. 圖 4-1-6 素養教材-對數定義. 36.

(45) 活動五希望學習者依照對數的定義進行操作，透過對數的定義，將指數式轉換成對數式，並熟悉對數符號如何使用以及對數符號所代表的意義，透過重複的過程（Process），漸漸地讓學習者形成一個較穩固的物件（Object），學習者不僅從數學模型化迴圈中認識對數符號的由來，也從活動五中更加熟悉指數式與對數式的轉換過程。活動五在『知用觀學』所扮演的角色為『用』，透過已知的定義，解決數學世界的問題，並且得到最終結果。. 圖 4-1-7 素養教材-活動五. 對數的定義以及活動五，主要是在數學世界中進行的活動，透過行動（Action）及過程（Process）的重複操作，熟悉指數式與對數式的轉換。接著，研究者提供學習者地震規模對數型式的定義如圖 4-1-8。 37.

(46) 圖 4-1-8 素養教材-地震震幅的對數型式定義. 透過地震例的對數形式定義，學習者進行活動六，如圖 4-1-9，真實世界中的對數應用，透過對數定義以及活動六，建立較完整的物件（Object），學習者除了在數學世界了解對數外，也透過真實世界的例子學習對數。活動六在『知用觀學』所扮演的角色為『觀』，即是將所學的對數知識及基本對數轉換應用在真實世界中，藉由對數解決問題並且驗證問題。. 圖 4-1-9 素養教材-活動六. 38.

(47) 活動七，如圖 4-1-10，則是與前面完全不同的應用例，透過不同的情境，學習者可以再次熟悉對數物件（Object）。活動七在『知用觀學』所扮演的角色為『觀』，即是將所學的對數知識及基本對數轉換應用在真實世界中，透過不一樣的情境，提供學習者更多面向的應用。. 圖 4-1-10 素養教材-活動七. 以上是本教材的系統運用迴圈，此迴圈從數學世界出發，透過數學具邏輯性的定義切入，帶領學習者從不同角度理解對數符號，並且透過對數符號用更有效率的方式解決生活中會遇到的問題。研究者透過真實世界的情境引入，經由數學模型化迴圈，引導學習者理解對數並解決生活中遇到的具體問題，也利用自行設計符號來幫助學習者記憶對數符號；系統運用迴圈則是經由數學世界中的對數定義帶領學習者認識對數符號，並進行相關的運算，以及解決真實世界的問題。經由這兩個迴圈，學習者不僅從真實世界中發現問題並且解決問題，也從數學世界中理解數學的正式定義並進行運算，最終建立完整的基模（Schema）。. 39.

(48) 知. 地震例. 活動一. ＡàＰ. 用 O. ＡàＰ. 活動三. 活動二. 觀. 知活動七. 對數的定義 O. A. 知. 觀 PàO. 用. P. 活動六. 活動五. 觀. 圖 4-1-11 素養導向對數單元教材設計架構表. 40.

(49) 第二節實徵研究結果本節分別將前測試卷、學習感受度問卷以及後測試卷三個項目進行分析，並且透過比較教材間與數學程度的差異來闡述本實驗的研究結果。. 一、前測試卷為了瞭解實驗組與對照組學習者是否位在相同的起始點，研究者透過前測試卷檢驗，測量實驗組學習者 32 人以及對照組學習者 37 人是否在研究開始前有所差異。研究者先從前測試卷總分進行分析，再透過三大類別分數進行比較。. （一）教材版本與數學程度對於前測試卷總分的影響研究者首先從實驗組與對照組的前測試卷總分進行分析，研究結果如表 4-2-1 所列。表 4-2-1 教材差異的前測試卷總分總分 83.16. 實驗組. （8.61） 82.68. 對照組. （10.99）. 表 4-2-1 可知教材間的總分差異並不顯著，為了更深入瞭解數學程度差異是否對前測試卷總分有所影響，研究者將學習者分成高分組與低分組，並將教材差異（實驗組，對照組）與數學程度（高分組，低分組）對於前測試卷總分進行研究，研究結果如表 4-2-2 所列。表 4-2-2 即為教材與數學程度對於前測試卷總分的平均數與標準差。. 41.

(50) 表 4-2-2 教材版本與數學程度的前測總分高分組. 低分組. 83.67. 82.71. （8.77）. （8.17）. 84.44. 81.00. （12.37）. （8.85）. 實驗組. 對照組. 研究者將教材與數學程度作為自變項，採用二因子變異數分析來比較教材版本與數學程度是否存在交互作用的關係。統計結果如表 4-2-3 所列。由表 4-2-3 可知教材版本（實驗組、對照組）與數學程度（高分組、低分組）在前測試卷總分的交互作用未達顯著水準（F=0.263，p=.610）。. 表 4-2-3 教材版本與數學程度對前測總分之二因子變異數分析平方和. 自由度. 均方和. F值. Ａ（教材版本）. 3.686. 1. 3.686. 0.037. Ｂ（數學程度）. 83.046. 1. 83.046. 0.826. 交互作用. 26.398. 1. 26.398. 0.263. 誤差. 6531.307. 65. 100.482. 變異來源. （二）教材版本與數學程度對於前測試卷類別分數的影響研究者進一步將前測試卷分成三大部分，第一部分為指數的相關定義與性質（以下稱為指數），第二部分為科學記號的定義與四則運算（以下稱為科學記號），第三部分為指數函數的定義與概念（以下稱為指數函數）。透過三部分的類別分數，分別進行統計，統計結果如表 4-2-4 所列。 42.

(51) 表 4-2-4 教材版本的前測試卷類別分數. 實驗組. 對照組. 指數. 科學記號. 指數函數. 35.53. 18.56. 29.06. （2.46）. （2.34）. （6.64）. 35.78. 17.59. 29.30. （3.21）. （3.31）. （7.10）. 由表 4-2-4 可知兩組間的差異並不大，為了更深入瞭解數學程度差異是否對前測試卷的類別分數有影響，研究者將兩個版本的學習者分成高分組與低分組，並將教材（實驗組，對照組）與數學程度（高分組，低分組）對於前測試卷類別分數進行研究，研究結果如表 4-2-5 所列。表 4-2-5 即為教材版本與數學程度對於前測試卷類別分數的平均數與標準差。. 表 4-2-5 教材版本與數學程度的前測試卷類別分數教材版本. 數學程度高分組. 實驗組低分組. 高分組對照組低分組. 指數. 科學記號. 指數函數. 35.73. 17.80. 30.13. （2.29）. （2.69）. （6.11）. 35.35. 19.24. 28.12. （2.59）. （1.73）. （6.94）. 37.11. 17.50. 29.83. （2.23）. （3.80）. （8.42）. 34.53. 17.68. 28.79. （3.48）. （2.75）. （5.52）. 43.

(52) 研究者將教材與數學程度作為自變項，採用二因子變異數分析來比較教材與數學程度是否存在交互作用的關係。統計結果如表 4-2-6、4-2-7、4-2-8 所列。. 由表 4-2-6、4-2-7、4-2-8 可知，前測試卷中的的三大部分皆沒有達到顯著水準，但可以發現指數的相關定義與性質類別對於學生的數學程度有顯著水準（F=4.764， p=.033）. 表 4-2-6 教材版本與數學程度對前測指數類別分數之二因子變異數分析平方和. 自由度. 均方和. F值. Ａ（教材版本）. 1.300. 1. 1.300. 0.165. Ｂ（數學程度）. 37.626. 1. 37.626. 4.764*. 交互作用. 20.795. 1. 20.795. 2.633. 誤差. 513.330. 65. 7.897. 變異來源. *p<.05. 表 4-2-7 教材版本與數學程度對前測科學記號類別分數之二因子變異數分析平方和. 自由度. 均方和. F值. Ａ（教材版本）. 14.663. 1. 14.663. 1.690. Ｂ（數學程度）. 11.224. 1. 11.224. 1.293. 交互作用. 6.698. 1. 6.698. 0.772. 誤差. 564.064. 65. 8.678. 變異來源. 44.

(53) 表 4-2-8 教材版本與數學程度對前測指數函數類別分數之二因子變異數分析平方和. 自由度. 均方和. F值. Ａ（教材版本）. 0.592. 1. 0.592. 0.012. Ｂ（數學程度）. 40.059. 1. 40.059. 0.805. 交互作用. 4.042. 1. 4.042. 0.081. 誤差. 3235.156. 65. 49.772. 變異來源. 二、學習感受度問卷為了瞭解學習者對於兩份教材（實驗組，對照組）的差異，設計了一份學習感受度問卷，藉由問卷內容分析實驗組 36 人以及對照組 37 人的回饋。研究者將問卷分成六大向度（認知負荷，自信，自我效能，學習策略，情意，主動性），透過這六大向度分析學習者對這兩份教材的主觀感受。以下研究者先分析六大向度對學習者的影響，並且透過逐題的分析，進一步了解學習者對於兩份教材間的學習感受度差異。. （一）教材版本與數學程度對於學習者學習感受度的影響----六大向度研究者將問卷分成六大向度（認知負荷，自信，自我效能，學習策略，情意，主動性），並且分別統計教材版本（實驗組，對照組）對於教材認知感受度的差異，如表 4-2-9 所列。由表 4-2-9 可知。對照組教材在認知負荷及自信兩大類別中明顯優於實驗組教材。其餘四大類別較無明顯差異。. 45.