後測試題反應分析

本節將控制組與實驗組在後測中的試題反應作比對分析。分為「大數法則」、

「常態分佈」及「信賴區間」等三個部分討論。

一、大數法則部分

大數法則部分共有三題，分別為第十二題、第十三題及第十四題，以下逐題 分析學生之作答反應情形。

（一）第十二題

1. 第十二題題目為：

投擲一枚公正的銅板其正面朝上的機率是 1/2。請問下列那個敘述是正 確的？

（D） 在投擲銅板很多次後，當投擲的次數愈多，得到正面朝上的比 例愈接近 1/2。

（A） 投擲 1000 次銅板，若得到正面超過 500 次以上，則再繼續擲 100 次，一定是反面的次數超過 500 次。

（B） 若投擲銅板很多次，就會得到正面朝上的比例是 1/2。一般而 言，投 10000 次以上就會得到機率值 1/2。

（C） 1/2 是理想中的值，實際上不論投擲幾次都不會恰好 1/2。

2. 兩組學生答題情形如下表：

3. 分析：

兩組學生答題情形非常一致，答錯的學生中大多數選擇選項 D，認為甲事件 與丙事件的機率相等，即具有機率相等偏見（The Equiprobability bias）的錯誤統 計思維，此結果和 Garfield （2002）的研究結果一致。

（三）第十四題

1. 第十四題題目為：

擲三次骰子，第一次時擲 2 顆，第二次時擲 6 顆，第三次時擲 10 顆，

若其中某一次的點數平均值為 1.5，請問是擲幾顆骰子時發生的可能性 比較高？

（D） 三種的可能性一樣高。

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-9 第十四題答題比例

選項 A* B C D

實驗組 .62 .02 .13 .23 控制組 .35 .00 .24 .41

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 8.35，p 值為.04（＜.05）， 達到顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應有顯著不同。

3. 分析：

此題兩組學生試題反應有顯著不同，其原因為實驗組同學的正確率明顯高於 控制組。因兩組學生皆未學習過高中機率課程，不瞭解二項分配的概念，因此推 測實驗組在「大數法則」單元的擲骰子實驗中藉由模擬投擲不同數量的骰子所得 到的數字及圖形使他們比較瞭解擲骰子的機率大小，使實驗組在本題有較高的答 對比率。兩組同學的錯誤選項大多集中在 D，這些學生認為三種不同的骰子數量 會有相同的機率，此即為相等偏見（The Equiprobability bias）的錯誤統計思維，

此結果與 Garfield（2002）的研究結果一致。

二、常態分佈部分

常態分佈部分共有六題，為第六題至第十一題，以下逐題分析說明。

（A） 2 顆骰子。

（B） 6 顆骰子。

（C） 10 顆骰子。

（一）第六題

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 3.13，p 值為.37（＞.05），

（D） 34% 。

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-13 第九題答題比例

選項 A* B C D

實驗組 .45 .23 .17 .15 控制組 .54 .24 .09 .13

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 1.75，p 值為.63（＞.05）， 未達顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應是沒有差異的。

3. 分析：

兩組學生在此題之試題反應相當一致。

（五）第十題

1. 第十題題目為：

高二學生 250 名，某次段考數學成績呈常態分配，若平均分數 60 分，

標準差 10 分，某生考了 70 分，請問他大約是第幾名？

（D） 40 。

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-14 第十題答題比例

選項 A B C D*

實驗組 .11 .21 .23 .45 控制組 .17 .11 .17 .54

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 3.17，p 值為.37（＞.05）， 未達顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應是沒有差異的。

3. 分析：

兩組學生在此題之試題反應相當一致。

（A） 13.5% 。

（B） 17% 。

（C） 27% 。

（A） 70 。

（B） 60 。

（C） 50 。

（六）第十一題

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-16 第十五題答題比例

選項 A B C* D

實驗組 .00 .23 .77 .00 控制組 .00 .20 .70 .11

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 5.43，p 值為.06（＞.05）， 未達顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應是沒有差異的。

3. 分析：

此題測試學生對於 95％信賴區間的定義。兩組的錯誤答案皆集中在選項 B，

可見仍有部分學生誤以為 95％是母體中的比率。

（二）第十六題

1. 第十六題題目為：

兩家機構同時對某一候選人支持度做民意調查，甲機構隨機抽樣了 800 人，乙機構隨機抽樣了 1000 人。在信心水準都是 95%的情況下，兩機 構所得到的信賴區間的範圍將會如何？

（D） 無法比較

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-17 第十六題答題比例

選項 A* B C D

實驗組 .70 .23 .06 .00 控制組 .52 .35 .13 .00

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 3.38，p 值為.19（＞.05）， 未達顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應是沒有差異的。

3. 分析：

此題測試學生是否瞭解在相同的信心水準之下，抽樣人數不同對於區間大小 的影響。兩組同學錯誤答案集中在選項 B，剛好是相反的答案，可見仍有部分學 生無法理解抽樣人數與信賴區間大小的關係。

（A） 甲機構的信賴區間的範圍會比較大。

（B） 乙機構的信賴區間的範圍會比較大。

（C） 甲、乙兩機構的信賴區間的範圍會一樣大。

（三）第十七題

1. 第十七題題目為：

兩家電視公司同時公佈同一候選人支持度的調查結果，A 公司指出支 持度的 95%信賴區間為（45%±3%），B 公司指出支持度 90%信賴區間 為（40%±3%），請問下列哪一個選項是正確的？

（D） B 公司調查得到的數字是 40%，低於 A 公司的 45%，所以信心 水準較低。

2. 兩組學生答題情形如下表 表 4-18 第十七題答題比例

選項 A B C* D

實驗組 .02 .23 .60 .15 控制組 .04 .13 .57 .26

將兩組學生之答題比例實施統計分析，得到χ2 值為 3.18，p 值為.36（＞.05）， 未達顯著差異，即兩組學生在本題之試題反應是沒有差異的。

3. 分析：

此題測試學生是否瞭解在不同的信心水準之下，得到相同的估計區間是由抽 樣人數不同而導致。兩組同學錯誤答案集中在選項 B、D，這些學生誤以為抽樣 的品質或者抽樣得到的成功比率會影響信心水準。

（四）第十八題

1. 第十八題題目為：

桃園縣人口為 190 萬人，台東縣的人口為 23 萬人，若要同時實施民意 調查，分別求得兩縣的 95%信賴區間，你覺得下列那個敘述是正確的？

（D） 分別在兩縣抽樣同樣多的人，95%信賴區間的範圍會一樣大。

（A） 信賴區間的信心水準一定是 95%，所以 B 公司的 90%是錯誤的。

（B） A 公司的抽樣調查找的人比較正確，所以信心水準比較高。

（C） B 公司的抽樣調查找的人比較少，所以信心水準比較低。

（A） 桃園縣的人口比較多，所以要抽樣比較多的人，才會得到 95%

信賴區間。

（B） 桃園縣的人口比較多，所以 95%信賴區間的範圍會比較大。

（C） 分別在兩縣抽樣同樣多的人，會以台東縣的結果比較準確。

2. 兩組學生答題情形如下表 愈大則抽樣必須愈大才能有相同大小的信賴區間。此結果與 Garfield（2002）的 研究結果一致，即學生誤以為高抽樣百分比才是好樣本。

學生誤以為多做幾次抽樣調查就可提高準確率，此與 Garfield（2002）的研究結 果一致，即人們相信不論抽樣樣本數為何，兩次抽樣的結果一定比一次抽樣來的 更接近母體（小數法則）。