電腦數學實驗運用在高中數學統計單元教學之研究—以「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元為例

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(1)國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. 電腦數學實驗運用在高中數學統計單元教學之研究 —以「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元為例 Using Computational Experiments to Teach High School Statistics: Examples of "Law of Large Numbers "," Normal Distribution" and "Confidence Interval". 研究生：陳彥良指導教授：袁. 媛. 中華民國. 教授. 九十六年六月.

(2) 電腦數學實驗運用在高中數學統計單元教學之研究 —以「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元為例 Using Computational Experiments to Teach High School Statistics: Examples of "Law of Large Numbers "," Normal Distribution" and "Confidence Interval". 研究生：陳彥良. Student：Yen-Liang Chen. 指導教授：袁. Advisor：Yuan Yuan. 媛. 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Degree Program of E-Learning June 2007 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年六月.

(3) 電腦數學實驗運用在高中數學統計單元教學之研究 ----以「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元為例研究生：陳彥良. 指導教授：袁媛教授. 國立交通大學理學院專班網路學習組. 摘. 要. 本研究之主要目的，在比較採用「電腦實驗教學」方式與「傳統講述式教學」方式於高中數學科之「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元之學習成效、試題反應差異、學生的錯誤統計思維，並訪談學生接受電腦實驗教學後的態度及反應，希望藉此建立電腦實驗教學在高中數學科實施的適當方式，做為將來在高中推展電腦實驗教學之參考。本研究之實驗設計採準實驗研究法，實驗樣本取自桃園縣某高中一年級兩班各 47 名學生，隨機分派一班學生為實驗組，另一班學生為控制組。實驗組學生採自由分組方式於電腦教室接受三個單元之電腦實驗教學，控制組同時接受相同三個單元之傳統講述式教學。各項資料經統計處理獲得下列主要發現：一、學習成效：在「信賴區間」單元，實驗組學生在學習成就測驗後測及延後測的成績皆顯著地高於控制組的學生，可見在「信賴區間」單元實驗組的學習成效優於控制組。二、試題反應差異：實驗組與控制組的學生在學習成就測驗十九題題目中有二題的試題反應差異達顯著，此二題分別為投擲不同數量骰子所得點數和的機率問題，以及常態分佈中 68-95-99.75 法則的應用問題。三、學生的錯誤統計思維有： 1、機率相等偏見。2、誤以為所有母體的性質都會呈現常態分佈。3、誤以為 95%信心水準是母體中的比率。4、誤以為抽樣的品質會影響信心水準。5、誤以為母體愈大則抽樣必須愈大才能有相同大小的信賴區間。6、誤以為多做幾次抽樣調查就可提高準確率。四、接受訪談學生中 96%表示喜歡電腦實驗教學的上課方式而給予正面的回應。. 關鍵字：數學實驗、大數法則、常態分佈、信賴區間. i.

(4) Using Computational Experiments to Teach High School Statistics: Examples of "Law of Large Numbers "," Normal Distribution" and "Confidence Interval" Student : Yen-Liang Chen. Advisors : Dr. Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University. Abstract The research used the nonequivalent-groups pretest-posttest quasi-experimental design to explore the performance differences between the computational experiments and the traditional teacher-centered approach in teaching high school statistics. The three leaning units used in this study were ’law of large numbers’, ‘normal distribution’ and ‘confidence interval’. Participates were 94 students from two 10th-grade classes, each with 47 students, from a high school in Tao-yuan county of Taiwan. The researcher randomly selected one class as the experimental group, and the other one as the control group. Students in the experimental group are grouped according to their wills and received a computational experiments instruction in a computer laboratory. Students in the control group received the traditional teacher-centered instruction. The major finding of this study are as following: 1. Learning effectiveness: Students in the experimental group performed better than those in the control group on the concept of ‘confidence interval’ in both the posttest and the retention test. 2. Students’ performance between the experimental group and control group were different in 2 of the 19 test questions. 3. The common fallacies found in students’ statistical thinking are: Students believe that (1) an experiment will result in the same result (the equiprobability bias). (2) all population distributions are normal. (3) 95% confidence level is a ratio of the population. (4) the quality and methods of sampling will affect the value of 95% confidence interval. (5) good samples have to represent a high percentage of the population. (6) the more random samples, regardless of how small they are, will result in a more similarity of the population. Students in the experimental group generally hold a positive attitude toward this computational experiments approach. However, some learners also expressed their favor of a traditional approach. They worried about taking the entrance exam and considered the traditional approach would to be more effective and time-saving. Keywords: computational experiments, law of large numbers, normal distribution, confidence interval. ii.

(5) 誌. 謝. 感謝指導教授袁媛博士，不僅使我在專業知識有所收穫，您的細心與耐心，也是我要學習的榜樣，在此致上最高的謝意與敬意。感謝清華大學全任重教授與專班莊祚敏主任在口試時給予寶貴意見，使本論文更臻完善。感謝專班李榮耀教授的言教、身教。陳明璋教授對於數學教學法的啟發。感謝專班學長顏貽隆老師及蔡政樺老師提供程式設計之建議，也感謝專班同學們的鼓勵，尤其是對我協助最多的國安老師、學隆老師、慶利老師。感謝振聲高中數學老師們的試題評鑑，孝曄老師、靜慧老師、安國老師、義翔老師的鼓勵與建議。感謝愛妻文娟對冠妤、楷文、政亨三個寶貝無微不至的照顧，使我沒有後顧之憂，更感謝父、母親給予莫大的精神勉勵與全力支持，讓我專心完成學業，謹將這本論文誠摯獻給最摯愛的您們！. 陳彥良謹致 2007 年六月. iii.

(6) 目. 錄. 頁次中文摘要.............................................................i 英文摘要............................................................ii 誌謝........................................................... iii 目錄........................................................... iv 表目錄........................................................... vi 圖目錄...........................................................vii 第一章緒論 ......................................................... 1 第一節研究背景與動機 ........................................... 1 第二節研究目的與待答問題 ....................................... 2 第三節名詞界定 ................................................. 3 第四節研究限制 ................................................. 8 第二章文獻探討 ..................................................... 9 第一節統計迷思概念 ............................................. 9 第二節統計教學內容與方法 ...................................... 12 第三節教學理論與實施方式 ...................................... 15 第四節電腦在統計教學上的應用 .................................. 22 第三章研究方法 .................................................... 30 第一節研究設計與流程 .......................................... 30 第二節研究對象 ................................................ 33 第三節研究工具 ................................................ 34 第四節資料處理 ................................................ 49 第四章研究結果之分析 .............................................. 50 第一節成就測驗後測成績比較分析 ................................ 50 第二節成就測驗延後測成績比較分析 .............................. 54 第三節後測試題反應分析 ........................................ 56 第四節訪談結果分析 ............................................ 66 第五章結論與建議 .................................................. 70 第一節結論 .................................................... 70 第二節建議 .................................................... 72 參考文獻........................................................... 75 中文部分 ....................................................... 75 英文部分 ....................................................... 78 附錄一學習成就測驗專家意見暨修訂明細表 ............................ 79 附錄二學習成就測驗試題 ............................................ 89 iv.

(7) 附錄三附錄四附錄五附錄六附錄七. 學習單 ...................................................... 93 實驗組教材（投影片） ........................................ 96 控制組學習講義 ............................................. 106 訪談問題 ................................................... 117 訪談記錄 ................................................... 118. v.

(8) 表目錄表 2-1 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 3-6 表 3-7 表 3-8 表 3-9 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13 表 4-14 表 4-15 表 4-16 表 4-17 表 4-18 表 4-19 表 4-20. 近年高中課程綱要（標準）統計單元內容一覽表 ........................ 14 實驗設計模式 ............................................... 30 實驗變項表 ................................................. 31 研究流程表 ................................................. 32 前測分項成績組別統計量數值表................................ 34 數學教師及專家之意見及處理方式彙整表........................ 36 第一次預試分析及處理情形彙整表.............................. 37 第二次預試分析及處理情形彙整表.............................. 38 各單元實驗程式設計目標...................................... 40 各單元程式功能.............................................. 47 前測成績組別統計量數值表.................................... 50 後測成績組別統計量數值表.................................... 51 大數法則各題答對率.......................................... 52 常態分佈各題答對率.......................................... 53 信賴區間各題答對率.......................................... 53 延後測成績組別統計量數值表.................................. 54 第十二題答題比例............................................ 57 第十三題答題比例............................................ 57 第十四題答題比例............................................ 52 第六題答題比例 ............................................. 59 第七題答題比例 ............................................. 59 第八題答題比例 ............................................. 60 第九題答題比例 ............................................. 61 第十題答題比例 ............................................. 61 第十一題答題比例 ........................................... 62 第十五題答題比例 ........................................... 63 第十六題答題比例 ........................................... 63 第十七題答題比例 ........................................... 64 第十八題答題比例 ........................................... 65 第十九題答題比例 ........................................... 65. vi.

(9) 圖目錄圖 1-1 圖 1-2 圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5 圖 3-6 圖 3-7 圖 3-8 圖 3-9. 標準常態分布的圖形 ........................................... 5 常態曲線下的面積 ............................................. 6 統計網路學習館擲骰子實驗畫面 ................................ 23 統計網路學習館常態分佈實驗畫面 .............................. 23 統計網路學習館中央極限定理實驗畫面 .......................... 24 統計網路學習館信賴區間實驗畫面 .............................. 24 電腦教室配置圖 .............................................. 34 統計概念學習成就測驗編製流程圖 .............................. 35 電腦教室小組座位分配圖 ...................................... 39 實驗程式設計流程圖 .......................................... 41 大數法則程式畫面 ............................................ 42 擲銅板程式畫面 .............................................. 43 擲骰子程式畫面 .............................................. 44 常態分佈程式畫面 ............................................ 45 信賴區間程式畫面 ............................................ 46. vii.

(10) 第一章緒論研究者任教於高中，擔任數學教師。多年來經常感覺學生對於數學總是興趣不高，甚至討厭或排斥。根據教育部統計處（1998）「中小學生對課程不喜歡比率」調查報告顯示，國小、國中及高中學生最不喜歡的科目都是數學（引自古淑美、朱延平，2000）。一直以來，許多老師致力於改善這個問題，但似乎沒什麼起色。學生數學學不好的原因很多，若只是單純地認為是學生努力不夠，而要求他們花更多時間於不停地反覆練習，結果必然將這些焦慮不安的孩子推入更大的危機（史堪普，1971/1995，p. 6）。如果教師能夠掌握良機，激發學生的好奇心，能夠因才出題，刺激學生思考，協助他們解決問題，也許能讓學生培養出獨立思考的習慣，也學會獨立思考的方法（波利亞，1944/2005，p. 12）。蔡聰明（2003， p. 349）認為教學的最高境界是，教師適當地佈置一個求知環境，不著痕跡地讓學生以為是自己找尋或發現到真理。曾志朗（1997；引自張逸婷，2002）更認為二十一世紀時會有一種好老師，他們能透過網路或其他的方式，將原來由老師去激發學生知識體的工作，讓學生自己去進行。老師只在一開始的時候去觸發、去輸入一些起始的資料，接下來的作業就由學生自己主動去完成。. 第一節研究背景與動機九五高中數學課程暫行綱要（教育部，2005）的修訂背景，主要是為了銜接第一屆接受九年一貫數學課程暫行綱要的國中畢業生。因此這些學生在民國九十四年進入高中時，應該會有一個全新的高中課程做為銜接。但因為部分原因，這個銜接課程並未如期進行，延到民國95年才實施。目前教育部又在進行高中數學課程暫行綱要的評估與修訂，預計民國98年入學的高一新生將接受最新的九八數學課程綱要。在九五課程暫行綱要中，機率與統計分為：機率與統計（Ⅰ）及機率與統計（Ⅱ）兩個部分，分別編排在第四冊（二年級下學期）與選修（Ⅰ）（三年級上學期）。機率與統計（Ⅰ）內容包含了：事件與集合、機率的性質、數學期望值、統計資料的來源分析、一維數據及信賴區間與信心水準的解讀等單元。機率與統計（Ⅱ）內容包含了：獨立事件、條件機率與貝氏定理、數學期望值與二項分配、交叉分析分析二維數據等單元。數學課程暫行綱要小組的召集人張海潮（2004；引自周盈吟，2004）曾指出，這次的課程修定，大部分的內容都和民國七十三年版和民國八十八年版相同。新增的部分只有在統計主題的學習內容，增加信賴區間與信心水準的解讀。所以對於高中老師來說，除了這一部分外，其他的課程內容並不陌生。. 1.

(11) 機率與統計在美國早已是一個受到注目的主題，也是一個能夠提供數學與實際生活情境關聯的學習主題，這個主題的學習可以發展計算與代數的技巧以及空間和表徵的技巧。因此對多數過去未曾有這些教學經驗的數學老師來說，教授這個主題意味著教師本身需要獲得新的內容知識以及新的教學技巧，來切合課程的需求（倪克森，2000/2004，p. 138）。一九八四年，在第五屆國際數學教育心理學聯盟會議提出關於概率與統計在學校中的教學趨勢，其中有：運用模擬情境作為練習和教學的輔具、運用計算機和電腦、希望能藉由真實的資料引起學生學習動機（倪克森，2000/2004，p. 139）。美國全國數學教師協會（2000）（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）亦認為資訊科技的使用是改善數學課程及教學的重要目標之一。九五高中數學課程暫行綱要中亦建議信賴區間與信心水準的解讀一節的教學活動由全班每一位同學模擬丟銅板的過程，以察覺信賴區間的意義，並且要以電腦來協助統計課程的進行。基於以上的背景因素，研究者希望能設計一種以電腦模擬抽樣來讓學生進行實驗的教學方式，引導學生學習信賴區間概念，並希望能激發學生的學習興趣，改變學生排斥數學的觀感。. 第二節研究目的與待答問題在傳統講述式教學模式下，有些學生已經漸漸喪失了學習數學的樂趣，學習意願低落，考試與升學成了學生學習數學的唯一目的。本研究之目的為希望了解融入電腦實驗教學的方式，是否能有助於學生數學的學習並改善對數學學習的態度。根據上述研究目的，本研究採準實驗研究設計，以「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元為教學內容。實驗組的學生以「電腦實驗教學」方式進行教學，控制組的學生則以對等的「傳統講述式教學」方式實施教學，除了實施前測、後測及延後測外，並輔以訪談部分實驗組學生，以探討下列問題：一、學生接受電腦實驗教學與傳統講述式教學的學習成效有何差異？（一）在「大數法則」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的成績有何差異？（二）在「常態分佈」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的成績有何差異？（三）在「信賴區間」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的成績有何差異？. 2.

(12) （四）在「大數法則」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗延後測的成績有何差異？（五）在「常態分佈」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗延後測的成績有何差異？（六）在「信賴區間」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗延後測的成績有何差異？二、學生接受電腦實驗教學與傳統講述式教學後的試題反應有何差異？（一）在「大數法則」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的試題反應有何差異？（二）在「常態分佈」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的試題反應有何差異？（三）在「信賴區間」單元，實驗組與控制組的學生在學習成就測驗後測的試題反應有何差異？三、學生有哪些錯誤統計思維？四、學生接受電腦實驗教學後的態度及看法？. 第三節名詞界定一、傳統講述式教學傳統上教師依照教科書或自行編製的講義為課程內容，課程進行方式以教師講述為主，通常有：老師講解、學生練習、老師提問要求學生回答等靜態教學活動，文字及圖像由教師以粉筆在黑板上呈現。. 二、電腦實驗教學在本研究中指：學生分為小組使用教師編寫的程式以電腦進行相關探究活動並完成學習單，最後由教師帶領全班進行討論的一種教學活動。. 三、學習成效學生於學習成就測驗後測所得到的成績。本研究使用之學習成就測驗為研究者自編試卷。. 3.

(13) 四、試題反應以學生於成就測驗後測中各選項之答題情形來比較實驗組與控制組有何異同。. 五、大數法則 (引自余文卿，2002，p. 87-89) 隨機試驗相對次數 f A =. m( A) （n 為試驗次數，m（A）為成功次數）有 n. 一重要性質，當 n 逐漸增加時， f A 會很穩定的趨近某一定數 p，其中 0＜p＜1，這裡的 p 是數學上所謂的極限值。洪密斜斯（R. Von Mises）於 1920 年左右提出 m( A) n →∞ n. P ( A) = lim. 的事件 A 發生的機率定義。這個機率定義必須滿足下列兩個基本假設：第一，某一事件的相對次數的極限值必須存在，第二，實驗結果的任意部分數列所對應之相對次數之極限值都必須相同。洪密斜斯的機率稱為經驗機率，當重複試驗次數愈多時，則愈接近於事前機率，此一規則稱為大數法則。根據此法則，在事前機率無法推知的情況下，可以依眾多次數歸納而得之經驗機率來代替事前機率，來從事種種研究分析，此種情形在研究社會現象上尤其常見．在高中課程中並沒有對大數法則做出如上的定義，僅定性的描述大數法則，即：當重複隨機試驗進行次數愈多時，則其相對次數愈接近於理論機率 p。本研究中的大數法則單元教學目標是學生能瞭解進行多次相同的隨機試驗其相對次數會趨近一個定值，以及藉由投擲銅板及骰子的實驗，當投擲次數愈多時，銅板正面個數或骰子點數和的分配曲線愈接近常態曲線，在不介紹中央極限定理之下引入常態分布。. 六、常態分布 (引自林正杰，2003， p.301-306) 常態分布（normal distribution）是以隨機變數的平均數為中心，圖形呈鐘形左右兩側對稱的機率分佈，它具有集中性、對稱性和均勻變動性的特點，是次數分布中重要且常見的連續型分布，它是許多統計方法建立的基礎，在 4.

(14) 科學研究時常應用它。. （一）常態分布曲線的機率密度函數及其圖形常態分布曲線是一條以中央為高峰，兩側對稱，兩端不與橫軸相交的鐘形曲線（圖 1-1），其機率密度函數為. f ( x) =. 1 e 2πσ. − ( x − μ )2 2σ 2. ，-∞＜x＜∞，μ＞0，σ＞0，. 式中 e 為自然底數，π為圓週率，μ為母體平均數，σ為母體標準差，並以 N （μ，σ2）記之。常態分布 N（μ，σ2），隨著參數μ和σ的改變，曲線的位置和形狀也跟著變化。為了應用方便，可將任何一個「平均數為μ，標準差為σ的常態分布」變換為「平均數為 0，標準差為 1」的標準常態分布（standard normal distribution），變換的方法是將變數值 x 變換為 z=. x−μ. σ. ，. 式中 z 稱為標準常態變數，其分布就是標準常態分布，這時候機率密度函數 f（x）就是. f ( x) =. 1 e 2π. − x2 2. ，-∞＜x＜∞，. 圖 1-1 標準常態分布的圖形. 5.

(15) （二）常態曲線下的面積常態分布與標準常態分布曲線下的面積（圖 1-2）是相同的，即曲線下的面積都是 1，不同的是常態分布的平均數為μ，變異數為σ，標準常態分布的算術平均數為 0，變異數為 1。從-∞到任意 z 值區間的面積可利用查表求得，並求出不同情況下的機率，圖 1-2 展示了三個常用的面積分布規律，即母體內各觀察值的分布機率為： μ±σ範圍內的面積全體佔 0.68（68%）； μ±2σ範圍內的面積全體佔 0.95（95%）； μ±3σ範圍內的面積全體佔 0.9975（99.75%）。. 圖 1-2 常態曲線下的面積學生能瞭解並能應用 68-95-99.75 法則即為本研究中常態分布單元的教學目標。. 七、信賴區間 (引自莫爾，2001/2002， p.542-576) （一）95%信賴區間（95% confidence interval） 95%信賴區間是從樣本數據計算出來的一個區間，保證在所有樣本當中，有 95%會把真正的母體參數包含在區間之中。. 6.

(16) 當要估計母體擁有某種特質的比例 p。將此特質叫做「成功」，我們會用簡單隨機樣本（simple random sample, SRS）中的成功比例 pˆ 來估計母體中的成功比例 p。一個統計量的抽樣分布，是指同一母體所抽出，同樣大小的所有可能樣本，其統計量的值之分布。從一個成功比例為 p 的很大母體抽取一個大小為 n 的 SRS ，用 pˆ 表示成功的樣本比例： pˆ = 樣本中的成功計數 n. 則當樣本夠大時： 1. pˆ 的分布為近似常態（approximately normal）。 2.抽樣分布的平均數和 p 相等。. 3.抽樣分布的標準差是：. p (1 − p) n. 標準差公式裡有母體比例 p，而實際上我們不知道 p 的值。但因為當取樣很大時，統計量 pˆ 的值很靠近參數 p 的值。所以用 pˆ 值當做 p 的值。這樣就有了一個可以根據樣本數據算出來的區間。即：參數 p 的一個近似 95%信賴區間為： pˆ ± 2. pˆ (1 − pˆ ) n. 其形式為：估計值 ± 誤差界限抽樣調查所做的新聞報導，通常都把估計值和誤差界限分開來報告。例如：「根據民意調查，有 66%的選民會投票給某候選人。誤差界限是正或負 4 個百分點。」有時新聞報導也會將信心水準省略不報。. （二）不同信心水準之母體比例信賴區間我們用了常態分布 68-95-99.75 規則的 95 部分，得到母體比例的 95%信賴區間。但對任意在 0 和 l 之間的機率 C 都存在一個數 z*，使得任何常態分布在平均數兩側 z*個標準差範圍內的機率是 C 。z*這個數叫做常態分布的臨界值（critical value）。常態分布在平均數 ± 2.58 個標準差範圍內的機率是 99%。在平均數 ± 1.96 個標準差範圍內的機率是 95% 。 68-95-99.75 規則中，用 2 來代替了臨界值 z*= 1.96 ，就實際應用來說這樣已經非常接近。 7.

(17) 也就是說，從觀測到的 pˆ 值往兩側各延伸 z*個標準差所得到的區間，會包含未知的 p 之機率是 C（信心水準）。計算標準差時 p 用估計值 pˆ 代替，就可以得到以下公式：從一個母體中抽取一個大小為 n 的 SRS ，母體中有比例 p 為成功。樣本中的成功比例為 pˆ 。當 n 夠大時，p 的近似水準 C 信賴區間為 pˆ ± z *. pˆ (1 − pˆ ) n. 依據九五數學課程綱要（教育部，2005）對於信賴區間與信心水準的解讀一節之說明：「不必引進機率模型，以教學活動瞭解信賴區間與信心水準的解讀。」，本研究設定本單元的教學目標為能瞭解區間估計中何謂信賴區間與信心水準，並瞭解樣本大小與兩者的關係。. 第四節研究限制一、本研究之實驗組與控制組學生在九十五學年度入學時，國中基測成績平均約為 200 分，而不同高中其學生入學程度可能有所不同，因此本研究結果只能推論至相類似之研究對象。二、依照課程綱要，統計單元應該在機率單元後實施，而本研究中之實驗組與控制組學生皆未學習過高中機率課程，所以對於實驗組與控制組測得之學習成效可能較實際為低。. 8.

(18) 第二章文獻探討自從英國人 Francis Bacon 在1604～20年之間發表《學問的進步》和《新方法》二本書提出歸納法為統計推論的方法而開統計先河以來，再加上電腦科技的快速進步，使得現代社會每天愈來愈離不開機率與統計的影響（李源順，1994）。統計也許是最不「純」的數學主題，因此對那些始終認為數學都是客觀與絕對正確的數學教師而言，統計可以說是最難教的。教授這個主題教師需獲得新的內容知識以及新的教學技巧，以切合課程的需求（倪克森，2000/2004，p. 138）。本章共分為四節，對於統計的迷思概念、統計學的教學內容與方法、教學理論與方法以及電腦在統計學教學上的應用等相關文獻做探討。. 第一節統計迷思概念一、統計概念發展本研究旨在探討高中統計的電腦實驗教學方法，因而瞭解學生的統計概念發展是很重要的課題。Shaughnessy (1992, p485)列出了四個統計概念發展期的特性：（一）非統計性（Non-Statistical）非統計性特徵是由信念、意志、因果關係或「別無選擇」地作出反應，以及不注重或不知道機率或隨機事件。（二）初始統計性（Naive-Statistical）初始統計性特徵是利用思考判斷，例如代表性（Representativeness）、可使用性（Availability）、平衡策略等，透過經驗或非正式的統計模式作反應，通常指略具統計概念者。（三）再現統計性（Emergent-Statistical）再現統計性特徵是具有利用正規的統計模式於簡單問題的能力，理解到直覺反應與數學模式的差異，通常受過一些統計訓練，也開始了解「機會」在數學上的多重表徵，例如古典的、次數的。. 9.

(19) （四）實用統計性（Pragmatic-Statistical）實用統計性特徵是對於隨機模式有一定程度的了解，能比較不同的模式或提出相對的隨機模式，面對問題能選擇適當統計模式，並應用在問題上。 Shaughnessy（1992, p486）亦提到初學統計的學生可以分為非統計性和初始統計性兩大族群，而整個教學過程都是在再現統計的範圈，因此由教師來製造學生對於初始統計認知衝突的教學便相形重要。Shaughnessy 深信，假如沒有訓練良好的老師（有數學和統計的基礎且對學生有關機率統計的概念形式和錯誤概念非常敏感的老師）小心的指導，學生將很難達成後兩個概念階段。. 二、統計思維（一）統計思維的意義 Chervaney、Collier、Fienberg、Johnson、Neter （1977）和 Chervaney、Benson、 Iyer （1980）認為統計思維是學生處理統計相關課程內容的能力（回想，認識及辨別各種統計概念）以及學生處理統計問題的解題步驟（引自Garfield，2002）。而Garfield（2002）則認為統計思維是將統計概念與統計資訊合理化的思考方法，其範圍包含解釋數據，圖表和統計摘要等。蘇國樑（2000）則認為統計思維是指統計概念彼此之間的思維運作過程，大部分統計思維結合數據和機率來推論並且解釋統計結果。（二）常見的錯誤統計思維（統計迷思概念）許多研究結果顯示，無論是學生還是專業人士經常誤解並且錯用統計思維。心理學家及教育家曾指出人們經常無法正確的利用他們在統計課程中所學習過的的觀念來對於統計相關的問題做判斷。Garfield（2002）指出常見的錯誤類型如下︰ 1. 平均數的迷思（Misconceptions involving averages）：平均數被認為是最具代表性的數字，人們經常認為要求得平均數必須將所有的資料加總再除以個數，而且有人認為應該永遠以平均數來做為兩個團體的比較依據。Mevarech（1983）研究指出大多數非數學相關科系學生無法掌握使用平均數，他們誤解平均數是一個滿足封閉性、結合律，具有單位元素和反元素等四個性質的一般數字。. 10.

(20) 2. 結果取向（The outcome orientation）：學生基於單一事件而非整個系列事件而做判斷的直覺模式。例如，天氣預報十天內下雨的機率是70%，結果在那十天中有七天實際上下雨，你覺得這個天氣預報準確度如何？很多學生會說預報不準確，因為預報說下雨的機率是70%，就應該是會下雨（大於50%）。這些學生集中於單一事件而沒有考慮整體系列事件的結果。對於以結果取向的學生而言，70%的下雨機率表示會下雨。同樣的，預測30%的下雨機率將意味著不會下雨。 3. 高抽樣百分比才是好樣本（ Good samples have to represent a high percentage of the population）：在大數法則之下數量大的抽樣樣本數足以代表母體，而學生的直覺認為抽樣樣本佔母體比例的高低才是最重要的。很多人認為抽樣多少或如何抽樣並不重要，但是比例一定要夠高。因此，他們會對大樣本感到懷疑，但卻覺得來自母體較大百分比的抽樣結果較有代表性。 4. 小數法則（The “law of small numbers”）：人們相信取樣樣本應該與他們類似才是好樣本。同時也有許多人認為不論抽樣樣本數為何，兩次抽樣的結果一定比一次抽樣來的更接近母體。這個迷思使得很多有經驗的研究人員使用多次的小樣本來推論母體。 5. 代表性迷思（Representativeness misconception）：人們會以樣本與整個母體的相似程度來判斷樣本發生的可能性。例如認為投擲一枚公正硬幣 n 次的結果會以正反面次數接近而且交互出現的機率高於投擲結果有較多的正面或反面。例如，投擲公正銅板六次的結果，學生認為結果依序為「正反正反正反」的機率會高於「正反正正正正」的機率。 6. 賭徒的謬誤（Gambler’s fallacy）：人們相信連續投擲硬幣出現多次同一面時，下一次投擲出現另一面的機率會高於正反面交互出現時的下一次投擲。這是一個謬誤，因為如果硬幣是公正的，則不論前面投擲得到的結果如何，下一次投擲得到正、反面的機率是相等的。 7. 機率相等偏見（The Equiprobability bias）：這是指一個實驗的不同結果傾向於被視為同樣可能。例如，如果有數量不同的工程課程與商業課程可以選修，部分學生可能認為如果經由隨機選課，則學生選到工程課程與商業課程的機率相等。另一個例子是擲三顆骰子，學生認為擲 11.

(21) 出三顆點數都是五點的機率與擲出恰有一顆為五點的機率相等。但事實上，擲出恰有一顆骰子為五點的機率是高於三顆都是五點的機率。為了能夠協助學生由非統計性及初始統計性發展為再現統計性及實用統計性，教師應瞭解學生容易發生的迷思概念，並利用各種教學策略來協助學生建構正確的統計思維。在上述文獻得到各種統計迷思，除了可供與本研究之樣本比對之外，亦可做為研究者在教學上的參考。. 第二節統計教學內容與方法以下分述近年來在教學理論以及資訊技術的發展之下，統計教學的內容及方法的發展趨勢：. 一、統計教學內容在第五屆（1984）國際數學教育心理學聯盟會議中，有一個議題是統計的教學，該會做出以下的聲明（倪克森，2000/2004，p. 139）：對於機率與統計在學校中的教學趨勢可以劃分如下： 1. 著重統計更甚於機率，尤其是敘述統計中資料的分析方法。 2. 著重應用及模式的建立。 3. 運用模擬情境做為練習和教學的輔具。 4. 運用計算機和電腦。 5. 運用專題研究。該會議亦提出適合十六至十九歲學生的課程規劃： 1. 應該要比較強調資料而非機率。 2. 要有一個可以讀取資料的情境。 3. 設計可以學習統計的真實情境。 Garfield（1995）認為學生應該要瞭解下列統計觀念： 1. 有關資料處理及敘述統計的方法。 2. 雖然很少是完美符合，但是常態分佈是有用的模型。 3. 樣本特徵值以及後續的推論是否有用取決於樣本的產生方式。. 12.

(22) 4. 兩個變量之間的相互關係不表示它們之間有因果關係。 5. 雖然統計結果可用來參考，但並不能證明什麼。因此統計結論不應該被盲目接受。 6. 學習統計的意義在於學習使用統計語言，解決統計問題，得到結論，並且能解釋結論、以推理來支持結論。 7. 統計問題通常不只一種解決方法。 8. 基於不同的假設以及使用不同的分析方法，雖然使用相同的數據但可能得到不同的結論。我國高中數學課程在民國 72 年所公布的課程標準中首次把統計納入高中教材，大大地提升了機率與統計在數學的地位。民國 84 年數學課程標準（教育部， 1995）中把機率與統計的課程分為兩段：較淺的前段列為高二下學期的共同課程，而較深的後段則納入高三的數學甲（自然組）版本中，而數學乙（社會組）版本則著重於實際的應用，機率與統計明顯地份量加重。此外，開始利用到小型計算機是 84 年課程標準的另一特色。為了順利銜接國中小九年一貫課程的畢業生，教育部於民國 95 年開始實施 95 課綱（教育部，2005）的新課程，就統計部分而言，95 課綱中新增加了「信賴區間與信心水準的解讀」，其他課程內容部分則與 84 年完全相同。95 課程綱要的另一改變是以選修取代分組，學生不再像過去一樣於高二時被分為自然組與社會組，而是讓學生於三年級時選擇不同的選修課程。其中三年級上學期有選修（I）可選修，三年級下學期則有選修（II）可選修。統計的課程內容則被分配到二年級下學期及選修（I），此亦與 84 年課程綱要一致。現正研擬中的 98 數學課程綱要草案（教育部，2007）中的統計課程，則是將 84 年與 95 年課程綱要中分散於二、三年級的上課內容集中於一年級下學期實施，也就是將部分必修、部分選修改成全部必修，可見對於統計課程更加重視。（近年高中數學課綱見表 2-1）由以上文獻亦可看出統計的教學內容應以建立學生建立正確的統計思維為主，而不應著重在各個統計公式的推導、證明以及計算。95 課綱的「信賴區間的解讀」單元中亦強調不必引進機率模型，以教學活動讓學生瞭解如何解讀信賴區間與信心水準（教育部，2005），並建議由全班每一位同學各自以亂數表模擬丟銅板的過程，來得到各自所得的信賴區間，讓學生察覺何謂信心水準，此點亦符合國際數學教育心理學聯盟對於課程趨勢的看法。. 13.

(23) 表 2-1 近年高中課程綱要（標準）統計單元一覽表 84 年課程標準 4-1 樣本空間與事件 4-2 機率的性質 4-3 數學期望值 4-4 統計抽樣 4-5 次數分配表與累積次數分配曲線 4-6 平均數 4-7 離差甲-1 條件機率與貝氏定理甲-2 獨立事件甲-3 變異係數甲-4 相關係數. 95 年課程綱要. 98 年課程綱要草案. 4-1 事件與集合 2-1 樣本空間與事件 4-2 機率的性質 2-2 古典機率的定義 4-3 數學期望值 2-3 獨立事件、條件機率、貝氏定理 4-4 統計資料的來源 2-4 期望值、變異數、標準差 4-5 分析一維數據 2-5 重複試驗、二項分布、二項分布之 4-6 信賴區間與信心水準的解讀性質選-1 獨立事件、條件機率與貝氏 2-6 一維數據：平均數與標準差、數據定理的標準化選-2 數學期望值與二項分配 2-7 二維數據：散佈圖、相關係數選-3 交叉分析 2-8 抽樣方法：簡單隨機抽樣選-4 分析二維數據 2-9 亂數表 2-10 常態分布、信賴區間與信心水準的解讀. 二、統計教學方法 Garfield 及 Ahlgren （1988）探討各階段學生對於學習統計的困難，發現很多學生無論在計算、報告、以及解釋上，對於分數的概念和比率的推理有一個基礎性的困難，學生所學習的機率概念經常與學生的實際生活經驗互相抵觸，而且有很多學生在學習數學的經驗中對於抽象化和公式化的學習方式感到厭惡。因此 Garfield 及 Ahlgren 提出下列幾項針對統計教學方法的建議： 1. 透過活動和模擬來介紹內容，而非抽象的概念。 2. 試試引起學生認為數學有用、與現實相關，而不只是符號、公式和定理。 3. 使用圖形說明並且強調探索資料的觀念。 4. 在不與機率結合下單獨教授敘述統計。 5. 向學生指出統計的誤用（例如，在新聞報導和廣告裡）。 6. 在教授機率之前，利用教學策略改進學生的有理數概念。 7. 找出學生的錯誤機率概念並且改正。 8. 以學生的觀點創造統計思維的需求。. 14.

(24) Garfield （1995）研究各種不同的統計教學方式之成效並得到以下幾點結論： 1. 分組教學的方式可以改進學習態度並且增進學習成效。 2. 學生藉由開放型的問題會比固定答案的問題學得更多。 3. 數學寫作活動可以增進學生瞭解數學。 4. 與傳統的教學方式比較，學生在一些強調解決問題及高層次思考的創新的教學活動中表現的更好，而且測驗結果並不會比傳統教學差。 5. 使用電腦和計算機的目的是讓學生探索資料以及視覺化輔助，而不僅是為了計算。謝哲仁（2002）亦認為視覺化的統計學習是很重要的。例如在資料分佈的情形與相關係數大小的關係以及各種的機率函數的圖形與比較。圖形往往讓我們更可以視察資料整理的結果更提供異於數量表徵的另類選擇。綜合以上學者的看法，研究者認為統計的教學必須擺脫傳統數學的定義、定理、證明、公式等教學方法與內容，而應以學生的生活經驗來喚起學習動機，取材應以學生經驗為主體。教學重點在協助學生建構統計思維，而非計算各種統計數據。合作學習、電腦圖形輔助學習、電腦模擬等教學方法都是很好的教學方式。. 第三節教學理論與實施方式一、傳統講述式教學張靜嚳（1996）認為傳統講述式教學是指教師講解和學生聽講與練習的教學。它的主要活動是教師依教學進度，把課本內容依序講解給全班學生聽；學生則經由上課專心聽講或練習，以及課後的溫習來熟練課本與教師所講授的知識內容。必要時，教師會補充教材或經由考試來增加增加學生練習的機會。傳統教學自有其優點，張靜嚳（1996）指出四點：1. 簡單方便。教師只要依照教材的編序進行講解，備課容易；2. 經濟快速。可以讓很多學生一起上課，且一節課可以講解很多的內容；3. 省時省事。直接講解結果可以省掉學生自行摸索的時間，甚至省掉實驗或操作等麻煩之事；4. 可以應付考試。只要針對考題類型加上大量反覆練習，對任何考試均有一定的效果，特別是對需要記憶事實或熟練技巧的考題尤其有效。但以教師為中心的傳統講述式教學也存在著一些問題：在每一次的課程中，教師自始至終在講課，學生發問的意願不高，也沒有時間可以討論教材內容；學習主要基於老師的講述以及教科書，學生不知道他們已經理解或掌握多少，教師 15.

(25) 也不知道學生進步的情形（Shuqin，2005）；此外，在傳統教學的教室裡，教師是權威，學生只是無知的個體。因此張靜嚳（1996）認為傳統講述式教學的重點是教學進度完成了多少，而不是學生了解多少；關心學生的答案是否正確，而不是答案怎麼來的；要求學生聽話和安靜，而不是意義和思考。傳統教學在工業社會曾取得絕對優勢。然而，隨著社會資訊化的變遷，此一優勢已面臨前所未有的挑戰，如今已在快速轉弱中(張靜嚳，1996）。所以教師教學時一定要隨時注意學生的反應，營造一個鼓勵學生發問的氣氛與環境，注重學生與教師之間的溝通，才可能避免傳統講述式教學可能發生的問題。. 二、建構式教學建構主義的理論是當今數學教育理論的主流。建構主義對於知識與學習的觀點與傳統知識論有很大的不同，傳統的學習觀點認為學習者就如同一張白紙般進入學習情境之中，而教師的角色在於灌輸知識。因此，學習就成為記憶與累積的過程；然而建構主義主張知識是由學習者主動建構的，無法直接由教學者直接傳授給學生，而且教師是學生建構知識過程中的促進者與媒介者。一般認為建構主義源自於皮亞傑（Piaget）與維果斯基（Vygotsky）的理論，有的建構主義者依循皮亞傑的理論，認為內在認知結構對學習的影響最大；有的建構主義者則認同維果斯基的觀點，強調個體外在情境對於學習的深遠影響。吳穎沺及蔡今中（2005）認為可以就各派別所主張影響學習的最重要因素來加以區分，可以將其分為「激進建構主義」以及「社會建構主義」，但也有其它的建構主義者則將兩者的主張加以調和。（一）激進建構主義（Radical constructivism）激進建構主義認為知識是經由學習者本身主動建構之結果，而無法藉由他人來完成。Piaget 主張認知是一種建構作用，而人為了適應外在環境，以本身的認知結構或基模（ schema ）為基礎，進而產生同化（ assimilation ）與調適（accommodation）作用去重組或改變原有的認知架構。此外，學習者的認知歷程應以其先備知識經驗為基礎才可產生真正的學習。此理論又被稱為「個人建構理論」。（二）社會建構主義（Social constructivism）社會建構主義主張知識是學習者在社會互動與合作之下，藉由共同討論而獲得共識之結果。知識的獲取要透過與他人（包含父母、教師與同儕）的互動方可產生真正之學習。因為 Vygotsky 之教育思想主要強調學習者所處之社會文化環境部分，所以其理論又稱為「社會建構理論」。 16.

(26) 倪克森（2000/2004，p. 8）認為建構主義有以下三種對於數學教與學的意義： 1. 不再把孩子視為知識的接收者，他們應該是知識的主動製造者。他們會主動地去選擇、吸收、調整既有的經驗，為的是要適應他們周遭的世界。 2. 為了要達到數學化，孩子需要去體驗生活中的數學，而不是缺乏情境的數學內容。為了讓孩子在學校所學的數學變得有意義，讓孩子可以進入數學領域及創造他們自己的數學，教師必須把孩子已知的數學和真實世界連結起來。也就是說，數學教學所連結的情境，對孩子而言必須是真實的，而且要能夠獲得他們的認同。 3. 不論是老師或同學都應該關心和認同每一個孩子參與數學解題活動的貢獻與付出，因為孩子個人已經產生獨一無二的覺察，再將他們個人既有的經驗引到情境中。建構主義者發展出一些教學模式，其中Driver與Oldham（1986）發展的建構式教學模式如下: 1. 確定主題教師可運用各種活動、問題、示範、影片、剪報等引起學生動機並確定探討的主題。 2. 引出學生的想法教師可讓學生透過各種活動或小組討論後提出報告，讓教師和學生注意到一些原先就有的認知。 3. 學生想法的重組教師可以採用示範、學生實驗、做題目、討論、閱讀、教師指導等，讓學生發現認知衝突並重組學生的想法，並考驗新建構出來的想法之正確性。 4. 應用新的想法教師可運用寫作、活動、解題、專題研究計畫等來增強學生的想法。 5. 回顧想法的改變教師可運用寫作、討論、作業、日記等，使學生回顧想法的改變及想法改變的程度。. 17.

(27) 建構主義強調知識是由學習者主動建構，教師不是教學的主體，學生才是學習的主體。因此，在教學情境中我們要尊重學生的主體性，教師應該以輔助者、引導者、詮釋者的角色來進行教學。. 三、合作學習史堪普（1971/1995，p. 269）認為對於學習最有助益的上課方式是小組教學。在其它科目中，小組教學早就就普遍推行，但在數學中似乎仍少應用。學生們仍是坐在座位上，自行聽講、自行演算。而合作學習方式重點是激發討論、互助、解釋，以產生共享的數學經驗。沈慶珩（2005）認為合作學習（cooperative learning）是一種有別於傳統講述法（ lecturing ）且相對於個別（ individualistic ）或競爭式（ competitive ）學習，是以學生為中心、以團體合作為取向的教學策略。. （一）合作學習的定義與特色合作學習是一種將三至五個學生有目的性的分為一組，使每組學生共同完成某些特定學習活動的教學過程，在此種以學習者為中心的教學過程中，小組每一成員皆對自己的表現負責，而教師係扮演小組學習促進者（facilitator）與諮詢者（consultant）之角色。依據 Johnson & Johnson（1986；引自沈慶珩，2005）的分析指出，合作學習具有下列幾項特色： 1. 小組成員間的彼此依賴：小組成員關心自己及全組成員之表現，以完成小組之目標為目標。 2. 個人責任與義務：所有小組成員須對被分配到的工作負責。 3. 異質性的成員：一般而言，小組成員在能力與個人特色（如性別、能力、文化背景）上具差異性。 4. 小組成員共同領導：小組成員共同執掌領導權，領導人並非由指派而來，亦非由一人領導到底。 5. 對每一成員之學習負責：組員對每一成員具有提供協助與鼓勵學習之責任，以確保所有成員將自己分派的任務做好。. 18.

(28) 6. 小組目標在於強化每一成員之學習效果與維繫良好的關係：小組的目標不僅在於完成教師指定的學習內容，亦在於增進每一成員的學習效能以及維持成員間良好的關係。 7. 教師須傳授合作的技巧：教師須教導學生與他人合作的技巧，如指導學生如何領導他人、如何與人溝通、如何建立彼此的信賴感與如何處理衝突狀況的產生等，否則合作學習的效能便無法發揮。 8. 教師觀察小組合作學習的狀況：教師應觀察小組分工合作的情形、分析小組所面臨的問題並針對每一小組合作的成效提供回饋。 9. 檢視小組合作學習的成效：教師應給予學生機會來分析小組合作的情形、檢討每一成員的學習效果是否增進以及組員間的關係是否良善等，以作為日後小組改進的參考。. （二）合作學習的限制雖然合作學習有其勝過於個別學習優點，但也有例外的狀況，王國棟（2005）舉出以下幾種情形可能會影響合作小組運作的效率： 1. 小組成熟度不夠，小組成員需要夠長的合作時間和訓練，才能發揮效率。 2. 沒有要求小組成員做出批判的回答，對需更進一步和有深度的理解發展造成很大的障礙。 3. 當個人的成績是看小組共同努力的成果時，懶惰的人便可從中混水摸魚，出現閒逛、搭便車的情形。 4. 當成員們覺察到不公平時，將會喪失學習動機。 5. 成員們有時為了避免受到傷害而尋求與其他組員一致的答案。 6. 不適當的分組。小組愈大則結構愈複雜，能參與的人就越少，所以個人貢獻比較不受重視，並且需要更好的協同工作技能。. （三）合作學習的實施方式沈慶珩（2005）認為合作學習具各種不同之形式，其較常被採用者包括共同學習法（Learning Together）、拼圖法（Jigsaw）、小組調查法（Group Investigation） 19.

(29) 等，簡要敘述如下： 1. 共同學習法此法是將學生分成四至五人為一組來共同完成教師所發學習單（work sheet ）或作業單（assignment sheet）上所規定的活動，學生成績乃根據學習單活動完成之優劣而定。 2. 拼圖法此法是由教師先將全部教材內容分成數部分，接著將學生三至六位不同能力者分為一組，小組中的每一成員被分配一部分教材並負責研讀該部分內容，之後，各組研讀相同部分教材之成員集合成為專家小組（expert group）進行討論，而後每位專家小組成員返回原所屬小組並教導其他成員其所精通的部分，最後，教師將一份內容含括全部教材之測驗施測於全班每一位學生。 3. 小組調查法此法是將學生分成每組二至六人，每組就教師指定教材範圍選擇一主題並進行調查研究。最後，每組將調查研究結果做一摘要報告。沈慶珩（2005）的研究結果顯示，相較於傳統式的學習，合作學習可使學生產生較佳的數學學業成績、較高的數學學習動機與學習態度、較積極的同儕互動以及較高層次的數學思考能力。本研究中之「電腦實驗教學」即利用「共同學習法」的方式來進行教學。合作學習並非完全由學生自行完成，教師需教導學生如何分工合作、注意小組合作情形並適時給予回饋，扮演好促進者與諮詢者之角色。. 四、情境學習理論情境學習理論也被稱為情境認知理論，認為知識存在於我們所生存的環境及我們所從事的活動中，且認為學習者欲習得知識，便應進入情境的脈絡（context）中（王偉仲、黃湘婷、曾建勳，2001）。（一）情境認知理論 1. 教學活動的屬實性（authenticity）知識的學習應建構在真實的活動裡，重視情境中的觀察、示範、解說、提示與備詢等學習方式及重視從邊際參與到核心參與的學習過程，如此才能了解知識 20.

(30) 的意義，產生對知識的認同。 2. 以認知見習（cognition apprenticeship）為策略學習活動應與文化結合，且應提供一個如給學徒般見習的環境，讓學生在探索中發展出屬於自己的問題解決策略。王偉仲等人（2001）亦認為情境學習強調知識是學習者與情境互動的產物，且本質上深受活動、社會脈動及文化的影響。學習應安排真實化的學習社群，透過實際的參與及專家的從旁引導，使學習者能夠真正的學習。（二）情境學習的特性龔玉春（2003）舉出情境學習具有以下的特性： 1. 強調學習活動的真實性學習情境的提供必須最能夠反應實際的環境，因為任何概念的學習是不能脫離情境而單獨存在。 2. 強調主動探索與操作主張情境學習觀的學者認為，所謂學習，應同時包括「知識的吸收」與「知識的應用」兩種認知歷程，知識意義的獲得應進一步透過對該知識的操弄，知識吸收的過程中，應「學」、「用」合一。因此，學習強調主動探索與操作，教學內容也應取材於現實生活中。 3. 重視情境中的示範、解說、提示與備詢等教學方式情境學習源自傳統技藝學徒制的概念，在教師的角色方面，就好比學徒制中的師傅，師傅偶而給徒弟示範、解說、提示，但最重要的並非師傅教徒弟，而是徒弟向師傅學，所以師傅的角色是備詢者與支持者，而不是主動的傳授者。 4. 重視從邊際參與到核心參與的學習過程情境學習理論強調學習應該從參與實際活動的過程中學習知識，但是學習歷程是由周邊開始，再不斷向核心推進。 5. 小組學習與知識分享小組成員共同參與，互助合作，齊心協力完成工作並彼此分享。. 21.

(31) 6. 重視涵化的學習歷程情境學習是一種「涵化」（enculturation）的學習歷程，也就是個體從實務社群的邊緣參與逐漸朝向完全參與，在此過程中，成員學習行業術語、模仿行業行為，到逐漸表現出符合文化規範的行為。在統計的學習中，教學內容應取材於學生的真實生活並設計符合真實的情境，以鼓勵學生主動探索與操作，使學生能將學習到的各種概念與方法與現實生活產生連結。. 第四節電腦在統計教學上的應用一、電腦在統計教學的重要性美國全國數學教師協會（2000）（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）將資訊科技的使用列為與改善數學課程及教學的重要目標之一。 NCTM 指出：科技的使用能幫助學生數學的學習；科技的使用能支持有效的教學；科技的使用影響數學如何被教。因此，透過科學計算器的使用，除可增進學習效率外，若配合數學建模之學習，也可促進數學與科學的整合，並改善目前數學學習與現實世界脫鉤的現象（陳宜良、單維彰、洪萬生、袁媛，2005）。李源順（1994）認為在電腦時代，老師應是「一旁的指導者」，而非「權威者」。老師應參與早期的計劃，而非僅是後期的研究發展。電腦環境也應納入老師和專家有關學生如何思考、如何學習的長期教學經驗。教學者在利用電腦教機率統計時，不應忽略其他的教學方法，尤其是具體的機率與統計經驗表徵。學生在他們能了解或接受電腦模擬之前，要有真正產生和收集他們自己具體資料的經驗，因為學生必須有相同的思考步驟去相信電腦是真的。發展具體模擬和電腦模擬之間的連結，對兩者之間的教學影響也是非常重要。蘇國樑（2000）指出統計學上的資料分配表或統計分配表是以資料集內在的數值關係為內容所表現出的數量化統計概念，統計圖將數量化概念再形象化或具體化而成為感官可以直接感覺到的具體化概念，統計概念的幾何化是必然的。電腦可以快速的建立精確且美觀的統計圖表，可見以電腦來輔助統計教學是必要的。然而電腦使用於統計教學也非萬能。Dwass（1975）指出以電腦輔助學習統計會有兩點危險，一是學生們將專注力完全放在電腦軟體的操作，而將統計概念的學習放在其次。另一為學生誤認為不必再學習數學，因為需要計算而得的數據資料都可由電腦模擬程式中找到非常接近的答案。 22.

(32) 二、應用電腦在統計教學的方式（一）JAVA 程式語言的應用黃文璋（2004）結合中山大學、成功大學、高雄大學等學校多位教授及研究所與大學部學生共同參與，以日常生活中之機率統計的題材，建立一個網站（網址http://probstat.nuk.edu.tw/），透過網路的互動管道，希望使中學生能掌握到機率統計的正確概念，了解各概念形成的背景及內涵。該網站收錄了多個Java Applet的互動學習程式。列舉與本研究相關部分如下： 1. 擲骰子實驗. 圖2-1 統計網路學習館擲骰子實驗畫面使用者輸入：骰子面數、輸入型式、骰子各面比率或機率及模擬次數等選項後按下確定，畫面右方顯示該次實驗結果的圖形，包含骰子各面的理論值與相對頻率值。 2. 常態分佈實驗. 圖 2-2 統計網路學習館常態分佈實驗畫面 23.

(33) 使用者輸入：分佈類型、平均數、標準差及取樣個數等選項後按下確定，畫面左側顯示常態分佈函數，右側顯示該次取樣之直方圖。 3. 中央極限定理實驗. 圖2-3 統計網路學習館中央極限定理實驗畫面使用者輸入：骰子個數及投擲次數等選項後按下開始，畫面中央會顯示骰子點數總和次數直方圖。 4. 信賴區間實驗. 圖2-4 統計網路學習館信賴區間實驗畫面 24.

(34) 使用者輸入：分佈型式，平均數、標準差、估計類型、每次取樣個數、顯著水準以及模擬次數等選項後按下確定，畫面左側顯示實驗結果，右側顯示所有抽樣區間估計的圖形。 JAVA 程式互動性高，除了可以讓操作者自行調整參數之外，模擬的結果皆能快速地以圖形清楚的顯現，這些優點提供了研究者在程式設計的參考。但另一方面，這些程式都未能顯現模擬隨機試驗的「過程」，對於高中生而言可能無法瞭解相關概念。因此，研究者計畫開發更適合高中生的輔助學習工具。（二）電子試算表的應用試算表可說是一種歷史悠久、價美物廉的計算工具，發展至今，在數字計算上，早已超越傳統計算機的功能。應用在教學上，尤其是數學教學，強大的計算功能更是無與倫比。阮宏展（2006）認為試算表的優點有： 1. 試算表具有自動重算的好處試算表當中的儲存格被設定成具有公式關係時，彼此間將連結在一起，只要有一個儲存格的值改變，則所有涉及到的相關儲存格的值亦將隨之自動重新計算。試算表之此一特性，使其得以即時而快速地反映出數據的變化情形。 2. 試算表具有數據處理與模擬功能電子試算表已被開發成為數理統計的工具，只要將數字或文字資料輸入到適當的欄列之中，就可以完成想要的結果。所以電子試算表不僅適用於理工科目之實驗數據處理與圖表呈現，更可以用於數學教學當中的數據模擬之用，只要將模擬數據輸入至適當欄位中，便可以呈現出模擬效果。試算表在這方面的應用，已經把學生從以往只是計算和轉變為可以著重在數學的理解。 3. 試算表具有塑模、建立概念的能力許多抽象的數學單元，往往因為其中的概念無法具象化，以至於扼殺了許多學習者的興趣。然而，有了試算表的幫助，透過適當的塑模過程，可以將抽象概念具體呈現出來，讓學習者得以觀察與想像。謝哲仁（2000）指出在電子試算表環境下可以建立以下的學習模式： 1. 歸納與探索使用者可以變化情境中的數值，觀察其因改變參數所帶來的變化。從中形成假設與驗證等認知活動。. 25.

(35) 2. 圖形與數值傳統式的學習較重視符號代數式的學習而忽視其他表徵方式的學習。試算表環境提供一個以情境出發再輔以其他表徵方式，促使學生的想像力得以驗證與發揮。 3. 主動行動和以往完全不同的學習經驗，學習者可以透過鍵盤與滑鼠改變情境中的某一參數，並立即觀察其因行動的改變所引發的改變。陳義汶（2004）則指出因為使用簡易以及不斷擴充功能，從1990年起，在數學、科學等不同的領域中，電子試算表即受到重視，而且也是多方位的教學工具。藉多種的數學、統計及圖表功能，試算表能幫助學生組織大量的數值資料，以具體的方式呈現，幫助學生了解數學的抽象概念。藉由使用電腦科技模擬一些數學實驗，可以將抽象的數學概念數位化、視覺化。（三）電腦模擬教學王偉仲、黃湘婷、曾建勳（2001）認為「模擬」是一種行為或現象的複製，是為取代某種現象而設計。在電腦中模擬，可以幫助學生了解一些現象或如何操作，其好處是可以讓學生對於沒辦法實際接觸或看得見的現象，藉由操作電腦時獲得了解。 Mills（2002）分析近年有關電腦模擬教學（Computer Simulation Methods， CSMs）的研究報告，指出CSMs有四種類型：第一種類型：由學生依據問題利用統計套裝軟體自行設計模擬程式（例如利用 SPSS）。第二種類型：由學生利用亂數產生器（如Excel）產生隨機樣本並對其做模擬實驗。第三種類型：教學者使用上述兩種方式設計樣板，讓學生可以自行修改參數進行模擬實驗。第四種類型：使用專門設計的套裝軟體進行模擬實驗。 Mill（2002）發現除了可以激勵學生的學習動機外，CSMs讓學生改變各種參數以進行實驗，這樣的方式可以協助學生澄清抽象或困難的統計觀念。. 26.

(36) （四）數學實驗教學法 1. 數學實驗的定義葉東進（1990）曾提出：循著觀察現象、發現（或提出）問題、介紹工具（或概念）回答問題、解釋現象等程序，是一種理想的教學模式。韋輝樑（2002）認為數學實驗教學是讓學生通過自己動手操作電腦，進行探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最後獲得概念、理解或解決問題的一種教學過程。王兵團與桂文豪（2003）認為數學實驗的目的是提高學生學習數學的積極性，提高學生對數學的應用意識，並培養學生用所學的數學知識和資訊技術去認識問題和解決實際問題的能力。不同於傳統的數學學習方式，數學實驗是強調以學生動手為主的數學學習方式。在數學實驗中，由於資訊技術的引入和數學軟體的應用，為數學的思想與方法注入了更多、更廣泛的內容，使學生擺脫了繁重及乏味的數學演算和數值計算，促進了數學與其他學科之間的結合，從而使學生有時間去做更多的創造性工作。 2. 數學實驗課程設計原則韋輝樑（2002）指出數學實驗課程應滿足下列條件： (1) 數學實驗環境應能清晰地表達所研究的數學問題，這種表達要符合相關的規定或習慣用法。 (2) 數學實驗課程應能迅速地提供大量有關數學概念和規則的實例，以幫助學生形成概念和掌握規則。 (3) 數學實驗對所研究的數學元素應能進行動態操控和動態測量，具有即時回饋或同步互動的功能。 (4) 數學實驗應允許在實驗過程中隨時添加某些可操控的數學元素，以幫助解決問題的探究。 (5) 數學實驗由學生直接操作，而不是只能觀看。 (6) 配合教材、涵蓋教材內容，各種符號、名詞、術語必須以教科書為標準。 27.

(37) (7) 功能夠用而不過多，實用就可以了。過於追求功能的完美和強大，勢必使系統複雜，學習費時，最終可能會使學生或教師卻步。 (8) 數學實驗的主要使用者是學生，要能引發學生的興趣，要配合教材，考慮學生的年齡和學習特徵，適當地超越教材，使學習變得有趣味，有利於學生由被動學習轉向主動學習。 (9) 數學實驗系統必須要有簡易的使用者界面以方便學生使用。 (10)與其它自然科學實驗一樣，學生實驗前需要預習，實驗後要完成實驗報告。 3. 數學實驗教學的步驟覃思乾（2006）提出數學實驗教學的主要過程與步驟：第一步驟：提出實驗問題藉由實驗問題的提出，引起學生原有認知結構的衝突，以激發探求解決問題的動機。提出問題後，教師應當使學生明瞭實驗目的、實驗要求、以及實驗所使用的教學軟體。第二步驟：進行實驗實驗活動一般以2~4人為合作小組進行，包括實驗設計、動手實驗、實驗觀察和探求規律等活動。第三步驟：形成猜想歸納觀察得到的資料做一合理猜想。在驗證性實驗中通常先猜想再進行實驗，而探索性實驗則先進行實驗再行猜想。第四步驟：驗證根據邏輯推理，以數學原理加以說明或證明。第五步驟：交流與反思教師利用共同討論協助同學解決未完成的問題或疑問。第六步驟：完成實驗報告. 28.

(38) Zeilberger（1993）曾指出今日的數學要求我們要能嚴謹地證明一切。而明日的數學，因電腦在數學領域中扮演如同望遠鏡與顯微鏡在天文學與生物學中扮演的角色，故藉由數學實驗，將有很多令人興奮的新發現。可見數學實驗極有可能成為未來數學研究及教學的重要工具。藉由以上文獻可以得知數學實驗課程設計的原則以及數學實驗進行的步驟。研究者也認為將來數學的學習也會如同物理、化學等學科一樣，將實驗視為課程中的重要部分。. 29.

(39) 第三章研究方法本研究之主要目的，在比較採用「電腦實驗教學」方式與「傳統講述式教學」方式於高中數學科之「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元之學習成效。希望探討電腦實驗教學在高中數學科實施的可行性，作為將來在高中推展電腦實驗教學之參考。在本研究中除了進行相關文獻的探討之外，並對兩組學生進行統計概念學習成就前、後測驗，在實驗後，針對實驗組實施「學習態度訪談」以瞭解學生經由電腦實驗教學後的學習態度及反應。課程結束後四周，實施統計概念學習成就延後測，以比較兩種不同教學方式的延宕效果。本章內容有：研究設計與流程、研究對象、研究工具及資料處理等四個小節。. 第一節研究設計與流程一、研究設計本研究之實驗設計考量無法隨機分派受試者到實驗組與控制組，實驗設計採不等組前測－後測設計的準實驗研究法（表 3-1），實驗變項列於表 3-2。表 3-1 實驗設計模式組別. 前測. 實驗處理. 後測. 實驗組. O1. X. O3、O5、Q6. 控制組. O2. O4、Q7. 設計的主要步驟可分為下列六個步驟： 1. 隨機選擇一班為實驗組，另一班為控制組。 2. 實驗處理前，兩組均接受「統計概念學習成就測驗前測」（O1 ，O2）。 3. 實驗組接受實驗處理（X），即「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」的電腦實驗教學方式，控制組則於相同的三個單元實施傳統方式教學。 4. 實驗處理後，兩組均接受「統計概念學習成就測驗後測」（O3 ，O4）。 5. 實驗處理後，實驗組接受「學習態度訪談」（O5）。。 6. 實驗處理後四周，兩組均接受「統計概念學習成就延宕測驗」（O6 ，O7） 30.

(40) 本研究之教學者為登記合格之高中數學教師，具 8 年教學經驗，資訊素養良好，曾擔任數學科召集人及資訊融入教學種子教師，教學認真，是位稱職的教師。表 3-2 實驗變項表自變項（教學法）. 實驗組（電腦實驗教學）. 控制變項. 依變項. 1. 起點行為（成就測驗前測）學習成就 2. 學習時數（成就測驗後測） 3. 學習進度學習態度 4. 教材內容（學習態度訪談） 5. 教學者. 1. 起點行為（成就測驗前測） 2. 學習時數控制組學習成就（傳統講述式教學） 3. 學習進度（成就測驗後測） 4. 教材內容 5. 教學者. 二、研究流程本研究自民國九十五年八月開始進行資料的收集與整理，與指導教授討論後確定研究主題。實施程序分為實準備階段、預試階段、前測階段、實驗階段、後測階段、資料分析及論文撰寫等步驟（表 3-3）。. 31.

(41) 表 3-3 研究流程表流程圖準備階段. 工作說明 1. 訂定研究主題 2. 文獻、資料之蒐集與探討 3. 設計電腦實驗課程 4. 編製學習成就測驗試題 5. 編製訪談問題 6. 選取預試樣本及正式樣本. 預試階段. 1. 電腦實驗課程測試 2. 修正電腦實驗課程 3. 學習成就測驗之預試（二次） 4. 修正學習成就測驗. 前測階段. 1. 實施學習成就測驗前測. 實驗階段. 1. 實施大數法則電腦教學實驗 2. 實施常態分配電腦教學實驗 3. 實施信賴區間電腦教學實驗. 後測階段. 1. 實施學習成就測驗後測 2. 實施訪談 3. 實施延後測驗. 資料整理與分析. 1. 資料的整理與統計 2. 進行數據資料的分析與歸納. 論文撰寫. 1. 統整所有文獻與資料 2. 提出結論與建議而完成論文. 32.

(42) 第二節研究對象本研究的目的在於探討學生在電腦實驗學習方式下，對於高中數學科之「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等單元之學習成效，故本研究對象的選取方式如下：選取桃園縣某高中學生甲、乙二班學生各 47 人，隨機分派甲班為實驗組，乙班為控制組。其中控制組有一位學生因故未參加後測，經剔除後控制組共有 46 位學生。進行實驗的學校為桃園縣一所私立高中，其高一新生入學的國中基測成績約為 200 分，變異不大。該校一年級為常態編班，兩班之數學老師為同一人。而且因為實驗課程於高一寒假時實施，所以可以排除學生是否參加補習的干擾因素。經研究者實施統計概念學習成就測驗並親自閱卷，學生前測平均成績實驗組為 6.74，控制組為 6.73。經統計考驗分析，t 值為 0.014，顯著性為.98（>.05），未達顯著差異。進一步將實驗組與控制組兩班學生的四個分項成績得分求出並實施 t 考驗。結果實驗組與控制組兩班學生在「敘述統計」、「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等四個分項成績皆未達顯著差異（表 3-4）。在敘述統計部分，實驗組的平均得分為 2.57，控制組的平均得分為 2.56。經統計考驗分析，t 值為 0.042，顯著性為.967（>.05），未達顯著水準。在大數法則部分，實驗組的平均得分為 1.04，控制組的平均得分為 1.17。經統計考驗分析，t 值為-0.764，顯著性為.447（>.05），未達顯著水準。在常態分佈部分，實驗組的平均得分為 1.53，控制組的平均得分為 1.63。經統計考驗分析，t 值為-0.443，顯著性為.658（>.05），未達顯著水準。在信賴區間部分，實驗組的平均得分為 1.59，控制組的平均得分為 1.36。經統計考驗分析，t 值為 1.163，顯著性為.248（>.05），未達顯著水準。相關數值列於表 3-4。由以上分析顯示兩組學生的起點行為相同，即實驗組與控制組兩班同學在統計概念學習成就測驗中，不論總分或「敘述統計」、「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等四個分項在實驗教學前兩組學生在這些概念的測驗結果沒有差異。. 33.

(43) 表 3-4 前測分項成績組別統計量數值表分項敘述統計大數法則常態分佈信賴區間總分. 組別. 個數. 平均數. 標準差. 實驗組. 47. 2.57. 1.098. 控制組. 46. 2.56. 1.046. 實驗組. 47. 1.04. 0.779. 控制組. 46. 1.17. 0.876. 實驗組. 47. 1.53. 1.018. 控制組實驗組. 46 47. 1.63 1.59. 1.122 0.900. 控制組實驗組. 46 47. 1.36 6.74. 0.974 2.00. 控制組. 46. 6.73. 1.79. t值 0.042 -0.764 -0.443 1.163 0.014. 第三節研究工具根據研究目的，本研究的研究工具包含：統計概念學習成就測驗、「大數法則」、「常態分佈」及「信賴區間」等三個單元的電腦實驗課程及學習態度訪談問題。. 一、電腦教室與設備因實驗學校沒有數學實驗室，所以將實驗課程安排至電腦教室進行。該電腦教室共有 56 部電腦（圖 3-1）所以每位學生都可以自己使用一部（規格：CPU 賽揚 2.5G，RAM 256 MB），所有電腦皆安裝有 Windows XP 視窗環境與 Office 2003 （包含 Word 及 Excel）以及廣播系統，並可連上網際網路。教師端除可控制廣播系統外，亦安裝有上網管控軟體，可隨時開放或關閉學生連上網際網路。. 圖 3-1 電腦教室配置圖 34.