折線之模型研究動機與概念解釋及相關意義

本小節將討論，在產品數量與價格之間的關係仍為線性轉換的概念之下，

延伸設計出另一種的合約：折線式混合模型。本論文設計折線式混合模型的動機 在於，在目前常見的合約設計模型中，基本上僅作單一直線的討論。單一直線意 味著單一策略。因此，本論文試圖導入並結合兩種不同策略，共存於單一合約。

也就是希望在不同的決策考量之下，能有不同的策略與其呼應，同時結合兩種不 同供給曲線於同一模型之中。不過，在實際進入模型的推導之前，首先說明何謂 折線的概念，並以圖 4 中的兩張圖形作解釋。其中 Q 代表產品數量，P 代表價_R 格，m 以及₁ m 分別代表不同直線的斜率。 ₂

圖 4 不同斜率組合之折線圖形 (a) m₁<m₂

Q (產品數量) Q (產品數量)

P (價格) R

P (價格) R

(b) m₁>m₂

折線的方式有很多，本論文從最基本的兩段式折線來思考並且做推導，即整 個合約數學模型的組成是由兩段斜率不同的直線線段所構成，此兩線段會相接於 一點，且因為兩線段斜率的不同，造成所謂的“折線＂的效果。以圖 4 來看，兩 線段中線段較靠近原點且該線段不具有截距項的稱為第一段，離原點較遠且具有 截距項的線段稱之為第二段。此外本論文對於第一段線段，除了該線段為較接近 原點線段的設定外，另外要求此一線段經過其延伸線將會通過原點，如同線性模 型中的數量獎勵模型。除此之外，相當重要的是，以數量獎勵模型作為折線式混 合模型中第一段的另一個理由是，可藉由數量獎勵模型以及其推導與結果，作為 本節折線式混合模型推導求解的基礎。

圖 4 不只單單以圖形說明整個折線的概念，同時更進一步地透露出重要的訊 息。在圖 4 中，橫軸代表的是下游零售商的購買價格，縱軸代表的是產品的數量。

而圖形的斜率所代表的意義為，產品數量的變化量與價格變化量的比值。因此，

斜率越大，表示在相同大小的價格變化下，下游零售商可獲得的產品數量將會隨 斜率的增加而加大。相反地，當斜率越小，同樣大小的價格變化下，可以獲得的 產品數量則會變小。

不同的折線模型，其經濟上的意義也隨之不同。在此，僅說明本論文中所提 及之折線式混合模型的經濟意義。由於本論文之研究主要著眼之對象為上游製造 商和下游零售商，故分別就兩者各自的觀點做說明。試以圖 4 做說明，由於第一 段是屬於延伸線通過原點的線段，如同 3.3.1 節中所介紹數量獎勵模型，當上游 製造商基於某些原因，比如有多餘的產能可以利用，或是可能當產量對利潤的影 響，較價格對利潤的影響來的大時，上游製造商願意提供額外的產品數量當成獎 勵，當作誘因給下游零售商，吸引下游零售商訂購產品。而第二段的思考模式是，

當上游製造商因為產能的限制，無法在提供相同於第一段的數量優惠，或是考量 客觀市場參數以及本身的製造成本等因素許可下，設定當下游零售商所提出的購 買價格達到某一個預設的價格之後，轉換成另一種合約形式，進而獲得較第一段

更高的利潤。此一可能推論，不難從 3.3.3 節中的觀察得到印證。而相對的至於 對下游零售商來說，不管是圖 4(a)或者是圖 4(b)，由於本身是跟隨者，故所作的 決策都必須考慮到上游製造商的可能反應，分析可能的影響因素，如銷售策略，

市場對產品需求的渴望，市場需求週期的長短，產品銷售之後可能得到的附加利 益等等，經過慎重地判斷之後，做出最有利選擇。

瞭解什麼是折線模型，以及模型所可能隱含的經濟意義之後，以下為模型的 推演過程。首先，對模型中出現的各個變數以及參數做定義，有關市場和下游零 售商的相關符號以及參數定義都不變，會有改變的，為有關上游製造商新增加的 變數與其定義，下游零售商的決策變數亦無改變。因此，相同的參數請參閱合約 模型一之符號及定義說明，這裡僅就不同的變數做另外的補充說明，如下表示之。

變數

b ： i 上游製造商決策變數，i=1, 2

a ： 2 上游製造商的決策變數，即第二段線段的截距項

其中b 代表不同線段各自的斜率，_i b 為表示圖 4(a)或圖 4(b)中第一段的斜率，₁ b₂ 則是表示為第二段的斜率。a 是表示第二段，有截距線段之截距項。 ₂

合約模型二的基本設計為兩段式折線，第一段為過原點之直線線段(數量獎 勵模型)；第二段為具有截距項的直線線段(無數量獎勵模型)，兩線段相連於一 點，將兩種不同模型混合為一種模型。藉由兩段不同線段相連造成折線，以及在 單一模型中整合兩種模型的概念。因此合約模型二，本論文稱該模型為折線式混 合模型，其數量與價格的函數表示如下。

(

2

)(

1

)

i R i i R i

Q=b P I + a +b P −I , 1, 1 0, 2

i

I i

i

⎧ =

= ⎨⎩ = ^, i=1, 2 (31)

其中 ,I i_i =1, 2為指標函數(indicator function)。此外由(31)以及圖 4 可以看出，當 下游零售商提出的P 落在不同的範圍之中，整個合約的表示方式也將跟著不同。 _R

在符號表示與定義中，對於下游零售商的購買價格P 僅做大於零的假設限_R 制。由於合約模型二的設計概念為折線，因為模型牽涉到折線的關係，對於P 的_R 要求必須要更加嚴謹。在此，本論文將就P 範圍的界定做以下的討論。首先，_R 從上游製造商與下游零售商之間的關係開始說明。上游製造商生產商品的時候，

生產產品的單位生產成本c，下游零售商提出的購買價格為P 。上游零售商會有_R 意願生產商品的首要條件為，必須要有正的利潤收入，否則將沒有誘因從事生 產。所以，經由上游製造商的利潤函數Π =M

(

PR −c Q

)

可以知道，下游零售商提 出的購買價格P ，必須大於等於上游製造商的單位生產成本_R c，不然上游製造商 將不會有正的利潤收入。同樣的，市場的需求函數為 P= −r sQ，下游零售商的 利潤函數為Π =R

(

P−P QR

)

，下游零售商有意願投入市場的條件是獲利必須為 正，根據市場需求函數和下游零售商的利潤函數，可以看出市場價格 P 將會大於 等於下游製造商的購買價格P 。而根據市場需求函數可知，市場價格 P 的上界_R 為 r ，故綜合前面之敘述推導得P_R ≤ 。因此，r P 的上下界的範圍為_R c≤P_R ≤ 。 r

本論文所建構之折線式混合模型，在確定購買價格P 的合理範圍之後，下_R 一步驟為決定分段點(breaking point)。本論文假設折線式混合模型之分段點為數 量獎勵合約模型的最佳購買價格。此一假設的理由是，由於折線式混合模型合約 中，第一部份的基礎為 3.3.1 節的數量獎勵模型，因此，若選取的分段點並非大 於等於數量獎勵模型的最佳購買價格時，當下游零售商選擇折線式混合模型合約 的第一部份，根據 3.3.1 節的推導，上游製造商無法對下游零售商的購買價格做 出最佳的反應，使得兩者皆無法找到均衡的最佳解。如此一來，這一份合約模型 設計相當於是一份沒有意義的合約。所以，本論文選取數量獎勵模型中的最佳購 買價格作為分段點，避免折線式混合模型的第一部份所找出的最佳解，因為分段

點選取關係，使得最終可能的最佳解，無法落在合約中對購買價格的限制範圍， 將推導過程詳述如下。因為所有的合約都是以 Stackelberg 模型的理論為基礎，

所以，同樣地以逆向歸納法做推導。下一節將會對折線式模型，做詳盡的過程推 導。

在文檔中 應用Stackelberg模型於價高量多市場之兩階層供應鏈合約設計研究 (頁 38-42)