第三章 合約制定之基本模型
3.3 合約模型一 線性模型
3.3.2 無數量獎勵之線性模型
本小節將介紹無數量獎勵之下的線性模型，基本定義的兩大假設皆與 3.2.1 節設定相同，以及符號的表示定義與 3.2.2 節所敘述的相同。不過，與 3.3.1 節不 同的是，上游製造商所提出的合約為帶有截距項之直線，無數量獎勵之線性模型 表示如(21)，其中a≠0。
Q= +a bPR (21)
同樣的，在無數量獎勵模型中，上游製造商先作決策，其決策變數為b；接著下 游零售商再決定最佳的反應決策，其決策變數為購買價格P 。而相關的決策順R 序，各個階段所獲得的資訊以及所決定的決策變數之說明，見圖 3。
圖 3 無數量獎勵模型之決策時間軸
與 3.3.1 節的數量獎勵模型不同，無數量獎勵模型多出一個截距項a。由於 本節之設計為上游製造商並不提供產品數量的獎勵，也就是下游零售商的購買價
PLANNING HORIZON
Manufacturer’s contract variable is revealed to
retailer.
STAGE 1 STAGE 2 Manufacturer determines
contract variable , a b .
Retailer determines retail priceP . R
Market clears.
Manufacturer observes unit cost
c.
必須大於等於上游製造商的單位製造成本，上游製造商才會生產產品。因此，為 了找出當下游零售商的購買價格恰等於上游製造商單位製造成本時數量的臨界 點，可利用截距項a，推導出無數量獎勵模型當上述特定情況時，合約模型在數 量上的調整量。除此之外，此數量調整項(截距項)a必須不等於零。在無數量獎 勵的前提下，將a=0帶入(21)之後，將會得到 3.3.1 節數量獎勵模型之(4)，雖然 兩者形式同為Q=bPR，但令a=0之作法並無法得到數量的調整量。因此，為了 區別兩模型之間的差異，本論文限制截距項a的大小為一個不等於零的數。
對於上游製造商而言，當下游零售商提出的購買價格P 大於單位製造成本R 時，其獲利才會大於零。若下游零售商提出的購買價格P 等於或低於單位製造R 成本c時，則上游製造商將不會，也沒有意願製造產品來賣給下游零售商。因此，
以這個前提假設作為出發點，透過(21)，當PR = 時，將使得c Q= ，整理之後可0 得
0= +a bc
a= −bc (22)
由(22)可知，雖然在形式上，a仍為上游製造商的決策變數之一，但藉由前 述之前提，經過轉換之後，可以推導出決策變數a可改寫成以決策變數b的形式 表示，如(22)。故將(22)帶回至(21)並整理之後，可改寫為(23)。
R'
Q=bP (23)
其中PR'=PR − 。 c
根據經過轉換之後所得到之(23)，與上一小節的數量獎勵之線性模型的形式 相同，但在經濟意義的解釋與上一小節卻不相同。在 3.3.1 節上游製造商提供給 下游零售商額外的產品數量，而本小節在產品的數量上並不會有額外的增加量。
即為下游零售商的購買價格必須滿足上游製造商的要求，上游製造商才會出貨給
最後，本論文將討論無數量獎勵模型成立之限制。根據 Assumption 1，基於 獲利大於零的基本假設，可得到(27)中
(
4)(
2)
量獎勵模型的推導過程是經由套用數量獎勵模型的求解過程。因此，無獎勵數量 模型必須滿足 Assumption 3。綜合前面所述，無數量獎勵模型的成立，必須滿足 下面假設條件。
Assumption 5: 市場參數 r 與上游製造商單位製造成本c，滿足r>4c關係時，無 數量獎勵模型才成立。