第三章 合約制定之基本模型
3.3 合約模型一 線性模型
3.3.1 數量獎勵之線性模型
M PR c Q
Π = − (2)
同樣地，下游零售商的收入為單位市場的價格 P ，向上游製造商購買商品 的單位價格為P ，所以下游零售商的利潤函數可以表示如(3)。 R
( )
R P P QR
Π = − (3)
3.3 合約模型一 線性模型
3.3.1 數量獎勵之線性模型
本研究首先討論合約模型為，以線性當作基礎之合約模型。由於線性多項 式在數學中是屬於較為容易處理的問題，因此本研究在直觀上先取線性模型當作 上游製造商的合約。同時，若線性多項式中變數個數的數目越少，亦可降低處理 上可能發生的問題，故此小節首先提出數量獎勵之線性模型。
Q=bPR (4)
在模型中各階段決策者的決策順序以及所決定決策變數依序為上游製造商先決 定合約中有關產品數量和購買價格之間轉換的決策變數b，並告知下游零售商。
下游零售商根據上游製造商所提出的合約之後，再提出自己願意付出的購買價格 P 給上游製造商。整個流程中，決策順序，各個階段的資訊的取得以及所決定R
的決策變數可見圖 2 之說明。
圖 2 數量獎勵模型之決策時間軸
本論文將此一模型稱之為數量獎勵模型，其原因可以經由(4)以及 Assumption 1 得到適當解釋。從(4)可看出，假使下游零售商願意提出的購買價格P 等於上游R 製造商的單位製造成本時，上游製造商依照合約仍然會出貨給下游零售商，出貨 的數量為bc。這樣的行為在經濟上並不是沒有可能出現的。一般來說，在正常 的情況之下，當下游零售商的出價價格等於上游製造商的製造成本時，表示上游 製造商若答應下游零售商的出價，那麼上游製造商的最終獲利將會等於零。因 此，在一般情況下，上游製造商基於沒有獲利的回饋之下，是不會生產製造產品，
並出貨給下游零售商的。然而獲利為零對上游製造商而言，卻不一定代表完全沒 有收穫。在某些情況之下，上游製造商為了吸引下游製造商向其採購產品，可在 合約中說明，若下游零售商同意訂購產品時，在下游零售商所採購的數目上，有 條件地提供額外的產品數量作為其訂購產品的獎勵。對上游製造商而言，雖然提 出數量上的獎勵有獲利為零的可能，但如果最終的目的是，希望藉由提供下游零 售商一個基本的數量(bc)當作誘因，吸引下游零售商訂購，取得產品訂單的話，
則經由數量的獎勵，不失為一個值得思考的方向。而數量的獎勵對於下游零售商 來說，由於對產品有一定的需求，倘若上游製造商在相同的購買價格水準下，願 意另外再提供多一部分數量的優惠當作簽約的誘因的話，若是同意合約對自己的
PLANNING HORIZON
Manufacturer’s contract variable is revealed to
retailer.
STAGE 1 STAGE 2 Manufacturer determines
contract variableb.
Retailer determines retail priceP . R
Market clears.
Manufacturer observes unit cost
c.
好處是，不僅是可以花相同的採購成本卻可取得更多數量的產品，平衡採購的成 多。以及先前的假設條件 Assumption 2，分別將下游零售商的利潤函數(5)中的 P 與 Q ，做數學代換後帶入可表示為(6)。
經由對P 做一階以及二階導函數後可以發現，(8)的值恆為一個小於零的數。所R 以，下游零售商的利潤函數Π 會是一個嚴格凹函數(strictly concave function)。所R 以Π 會有極大值的存在，且此極大值會發生在一階導函數等於零的時候的R PR
首先對(12)做b的一階導函數，可以得到下面式子。
為產生利潤極大時之b值。 設。故將(15)之結果與 Assumption 3 作比較，可得到(15)確實符合凹函數之假設 條件。故經上述過程檢查後可確定，此時上游製造商的利潤函數滿足 Assumption 3，確實為凹函數。
數，並沒有彼此之相關關係。但從(16)的結果，可以得到參數c以及參數 r 的相
從上游製造商獲取更多的產品，其因應之最佳決策P 將會隨著市場參數R r 增加，
而有增加出價的空間；但對上游製造商的決策變數影響，則無一特定傾向，需視 市場參數 r 以及市場參數s，兩者相互之間的大小關係不同而有不同的解讀。