產品設計

本研究擬設計一套與我國指數型房貸市場環境相符的產品，為純粹觀察因利 率模型選取的不同對於房貸證券化產品評價的差異性，我們設計此商品為一完全 浮動利率制的商品，其後再針對相關的契約特性差異做調整，觀察其對價格影響 程度的敏感度變化

貸款群組(Mortgage Pool) 1000000 元

標的指數(Index) 五大行庫一年定儲平均利率

信用等級利差(Margin) 2.3%

初期無風險利率(Initial Interest Rate) 1.4%

週期利率上下限(Periodic Cap / Floor) 無 貸款期間利率上限(Lifetime Cap) 無

利率調整週期(Adjustment Interval) 每三個月調整一次 服務費率(Service Rate) 0.5%

貸款期間(Mortgage Life) 20 年

本金攤還方式(Amortization Type) 每月固定攤還本金餘額

17 Longstaff and E. S. Schwartz, 2001 利用最小平方法的觀念成功的將Monte Carlo模擬法應 用在美式選擇權的評價，此方法乃同時模擬所需的多條股價路徑並利用所有路徑的股價資訊以 最小平方法估計選擇權持有者繼續持有該項選擇權價值多項式的參數，Longstaff 以此方法成 功的應用到評價股票的美式賣權以及美式的交換選擇權等

第二節、房貸基礎證券評價相關模型 具有自我相關的情形，因此擬再使用Cochrane-Orcutt 與 MLE 技術方法(附錄 A) 重新估計其參數值；該方法利用最小平方法以重複性的步驟獲得殘差與其延遲一

Coch. method

0.00049 0.91345 0.08226 (1.05) (72.93) (7.18) 0.0008 0.9008 0.0919

0.99 1.5372

Le.

Coch. method

0.005 0.8918 0.0623 (6.41) (62.69) (6.39) 0.0058 0.8745 0.0716

0.9845 1.672

Cp.

Coch. method

-0.0039 0.5627 0.5226

☆ Coch. method 之右方各參數值為使用 Cochrane-Orcutt 方法重新估計參數值的結果

2. 利率模型

部分調整模型中的市場利率水準需以無風險利率模型描述其動態過程，此單 元中將對於所採用的 Linear Drift,CEV Diffusion Model、Vasicek Model、CIR 等三個利率隨機模型估計參數，所選取的樣本期間為民國70 年 1 月至 91 年 12 月一個月加權平均金融隔夜拆款利率總共264 筆的月資料，其估計結果列於表 5-2

表5-2：利率模型參數估計結果

Interest Rate Model Parameter Value

Variance-Covariance Matrix Log

Likelihood 5.4644*10 -1.0172*10 8.3091*10

⎛ ⎞

Linear Drift, CEV Diffusion

dz

第二節、房貸基礎債券之評價

房貸基礎債券中最早的產品就是發行者直接以轉付的架構將所獲得的現金 流量在扣除手續費等成本後，原封不動的轉付給投資者，投資者所表章的權益即 是抵押貸款長達2、30 年的各期現金支付。本節將利用上節所提及的利率模型進 行指數型房貸基礎債券之評價，亦即其貸款群組為以五大行庫一年平均定儲利率 為標的指數；本研究在評價方法上以蒙地卡羅模擬法來評價房貸基礎債券，所需 的模擬次數則以標準誤的收斂情形判別之；另外在模擬部分擬再使用對稱變異法 的變異數降低技術方法來與傳統的蒙地卡羅模擬法做效率上的比較。

經由下列各系列圖表的結果，我們得出幾點結果：1)相同的 OAS 條件下(同 等於2%)，在使用不同利率模型對本研究所設計的 MBS 產品定價時，運用蒙地 卡羅模擬法來降低變異的執行效率各有明顯差異；由圖5-4 發現 Linear Drift, CEV Diffusion Process 的利率波動度最大，因此在增加樣本數時其降低變異的效率最 差，再者使用對稱變異技術降低變異時所需的是模擬兩組的利率路徑間需為負相 關，當相關係數越接近負一時其效果越顯著，經由模擬數百次結果發現CEV process 所模擬的利率負相關程度最低，其值為-0.608、CIR process 所模擬的利率 路徑其相關係數為-0.803、而 OU process 允許利率可為負值，故相較其他兩者其 相關係數為-0.897，故經由圖 5-1 至 5-3 系列圖的比較可知 OU process 下使用對 稱變異降低技術效率最佳、而CEV process 最低。2)不同的利率模型所評價出的 MBS 價格也稍有差異，由於所使用的三種利率模型建立在同一組利率資料且相 同的參數估計法下，因此所得出之結果可相對比較之。在完全浮動利率下MBS 的價格取決於提前還款行為所造成現金流量的改變以及利率的折現效果，在OTS 提前還款模型的假設下，由於CEV process 的評價價格較其他兩者為高，因此可 判定其提前還款效果是優於其他兩者的，而OU 以及 CIR process 評價的結果則 沒有太大的差距，因此其提前還款效果與折現效果兩者間的交互作用程度在這兩 利率過程間是相近的。

圖5-1：Vasicek Model 模擬之標準誤

模擬方法 模擬次數 模擬時間¹⁸ 標準誤 MBS 價格

傳統蒙地卡羅 5000 915.17 秒 153.23 991044.53 對稱變異法 2000 586.49 秒 5.38 991157.57

圖5-2：CIR Model 模擬之標準誤

模擬方法 模擬次數 模擬時間 標準誤 MBS 價格

傳統蒙地卡羅 5000 923.65 秒 87.84 992590.99 對稱變異法 2000 579.68 秒 38.58 992617.43

圖5-3：Linear Drift, CEV Diffusion Model 模擬之標準誤

模擬方法 模擬次數 模擬時間 標準誤 MBS 價格

傳統蒙地卡羅 5000 947.57 秒 222.62 999834.9 對稱變異法 2000 573.97 秒 157.28 999934.96

18 為有效比較兩個Monte Carlo模擬法的執行效率差異，配備Intel Celeron 450 處理器與 256mb 的記憶體

圖5-4：50 次模擬下之利率走勢圖

第三節、評價相關敏感度分析

對於一般浮動利率貸款的契約規格，美國大都設有保護貸款者措施的契約利 率調整期間上限、貸款期限利率上限，另也有貸款銀行自我保護措施的貸款利率 調整期間下限，這也相等於對於投資者的保護措施；所以一個浮動利率抵押債權 證券的投資者在完善的契約規格下其MBS 價值可以表示為：

買一純粹浮動利率貸款價值+賣一貸款契約利率調整期間上限+賣一貸款期限利 率上限+買一貸款契約利率調整期間下限。上述方程式第一與第四項價值對於 MBS 價格有正面效果影響；而第二與第三項價值，由於其對 MBS 投資者不利，

所以對於MBS 價格產生反面效果影響。以下將針對此四項價值對於 MBS 價格 的影響分別用所探討的不同利率模型進行分析。

1. 利率波動度參數之敏感度分析

由圖 5-5 的相關序列圖可知在完全純粹浮動的利率環境中，無論使用 Vasicek、CIR 或 CEV 利率模型評價 MBS 其對於利率模型波動度的變動並沒有 很大的敏感性，如同之前所提及，在完全浮動利率的貸款行為中，利率波動幅度

的改變引發了提前還款效果上的差異與折現效果，這兩者間的交互作用使其在無 論哪一利率模型中其對於利率波動度的改變並無太大的敏感程度；而在考慮該貸 款群組具有利率上限時(0.5% period cap & 10% lifetime cap)，MBS 價格開始產生 對於利率波動的高敏感程度；故經由5-5 的序列圖可發現在有 cap 選擇權存在情 況下，隨著利率波動幅度的增大，三個利率模型其MBS 價格大致呈現向下的趨 勢，原因即為此限制賦予貸款者cap 選擇權，當利率波動越劇烈，此選擇權價值 也越高，故可解釋MBS 價格隨利率波動幅度增大而降低的趨勢；同時就 Vasicek Process 而言，由於利率模型假設其利率波動度在任一時點皆為一常數並不受利 率水準的影響，概觀來看，增加相同幅度的利率波動度使得Vasicek Process 相較 於CIR、CEV 而言其利率水準是產生比較劇烈的變動，這也解釋了為何 Vasicek Process 在增加相對小幅度的利率波動度下其 MBS 價格就能夠產生比較高度的敏 感性；而雖然CEV Process 在上述評價中其利率波動程度最大，但也因此過程利 率波動參數伴隨著利率水準0.99 次方關係(參數估計結果)，因此在增加相同幅度 的波動度下，其價格敏感性是最低的。當同時賦予投資者具與cap 幅度相同的 floor 選擇權時(0.5% floor)，由於其對 MBS 價格有正面影響故可發現 MBS 價格 在相同利率波動度下比只有cap 選擇權時的價格還高，而對於 Vasicek Process 而 言利率波動幅度增加越大其floor 選擇權越有價值使得其越能抵銷 cap 選擇權帶 來的負面價值，因其並沒有利率水準碰到零即會反彈向上的現象而可能會產生負 值，這也可觀察出Vasicek 的 floor 選擇權是要比 CIR 以及 CEV process 的 floor 選擇權要來的高。

圖5-5：MBS 價格 vs.利率波動度之序列圖

2. 房貸基礎債券利率風險分析³

(1) 利率上下限(Cap/Floor)¹⁹之利率風險衡量

在此假設cap值從 0.005~0.1 變化來觀察MBS利率風險的變化，經由圖 5-6 左發現 當cap越大時，對三個利率模型而言MBS價值是越大的，因其cap選擇權價值的減 少，這也可由OAD變化得知在cap增大時，OAD是呈現縮小的情形，因而MBS價 格增加，此趨勢在當cap從 0.005 增加至 0.03 時顯的最明顯；而三個利率模型在 只有cap存在的環境下其評價差異部分可由利率敏感度來觀察，因在此環境下 CEV process的OAD是較OU以及CIR為低的，OAD越低表示碰觸cap的機會越低，

因而MBS價格也因提高。當考量floor(=0.005)的引入時，因floor選擇權帶給MBS 價值正面的影響，所以評價價格比只有cap存在時的價格高，但因其floor選擇權 的價值並不顯著因而MBS評價價格相較於只有cap存在時的價格來看只有些微的 提昇(大致提昇數百至兩千之間)，也因此觀察OAD在只有cap與cap/floor環境下時 兩者間的差異並不大²⁰。

19 此處利率風險採用之前所提及的Effective Duration(Option Adjusted Duration)衡量之

20 OU 與CIR process下OAD的差異大致界在 2 個百分點間，而CEV process下OAD的差異界在 6 個 百分點間

圖5-6：MBS 價格以及 MBS Duration vs. Cap 變化：

(2) Margin 之利率風險衡量

由圖 5-7 左顯示當 margin 增大，其 MBS 價格也隨之增大，乃因投資者每期 利息收入增加的緣故；在有cap/floor 選擇權存在的情形下，其評價價格比 pure floater 環境下價格低，此為 cap 選擇權價值較高的緣故，這結果也與前面分析部 分相呼應、由OAD 觀察在 cap/floor 存在時(虛線部分)比 pure floater(實線部分) 環境下高，而高出的部分以cap 貢獻者為多因而價格較 pure floater 下為低；另外 由圖5-7 右得知隨 margin 增加其 OAD 是呈現減小的趨勢，這因為 margin 的增 加加速了本金的提前回收速度因而存續期間較低；而在有cap/floor 存在下雖然 因margin 增加加速本金的回收速度，但也因 margin 增加提高了碰觸 cap/floor 限 制的幅度，且此程度相當大，因而發現其OAD 比 pure floater 下高，並且可觀察

由圖 5-7 左顯示當 margin 增大，其 MBS 價格也隨之增大，乃因投資者每期 利息收入增加的緣故；在有cap/floor 選擇權存在的情形下，其評價價格比 pure floater 環境下價格低，此為 cap 選擇權價值較高的緣故，這結果也與前面分析部 分相呼應、由OAD 觀察在 cap/floor 存在時(虛線部分)比 pure floater(實線部分) 環境下高，而高出的部分以cap 貢獻者為多因而價格較 pure floater 下為低；另外 由圖5-7 右得知隨 margin 增加其 OAD 是呈現減小的趨勢，這因為 margin 的增 加加速了本金的提前回收速度因而存續期間較低；而在有cap/floor 存在下雖然 因margin 增加加速本金的回收速度，但也因 margin 增加提高了碰觸 cap/floor 限 制的幅度，且此程度相當大，因而發現其OAD 比 pure floater 下高，並且可觀察