評價流程

第四章研究方法

第一節評價流程

本節針對本研究所使用到的評價方法依照 MBS 的整個評價架構順序性的作一個介紹。所採用的forward MBS 評價模型可以下列數個步驟來表示：

1. 決定適當的利率模型，並估計相關的模型參數；本研究選取 Linear Drift,CEV Diffusion Model、Vasicek Model、CIR 三種隨機利率模型來觀察評價結果的差異性。

2. 選擇適當的評價方法，本研究採用蒙地卡羅模擬法，再以變異降低技術來增加計算執行效率與降低變異。

3. 提出適當的提前還款模型；由於資料取得的困難性，本研究採用 OTS 提前清償模型、但根據我國氣候因素而調整其季節性因子。

4. 利用數值方法蒙地卡羅法模擬法所需的 N 條利率路徑，此 N 條路徑樣本基本上是越大越好，但也須符合成本效應；利用此利率路徑的產生計算相關的契約遠期利率與折現率以及在相對應的利率路徑下推導此貸款群組的提前還款機率。

5. 利用上述方法所計算出的評價所需的各項條件進一步的估計未來各期期望產生的現金流量，利用利率模型所推導出的利率折現路徑加入OAS(Option Adjusted Spread)評價觀念折現得出此 MBS 的價格。

6. 以 OAD 方法分析在微調各相關參數改變下，MBS 利率風險的變化情形。

第五個步驟中要估計證券化產品的 OAS 基本上需要有次級市場的存在，利用具相同性質的產品估計出近似的 OAS，再以所估計的 OAS 來評價所新發行的証券化產品，但因台灣目前尚無房貸證券化次級市場的存在，在此擬先假設 OAS 為一常數數值。

圖 4-1：評價架構圖

OU、CIR、CEV Diffusion 利率模型之參數估計

選取合適的提前清償模型估計每期之提前環款金額

利用蒙地卡羅模擬未來可能利率路徑，估計每期該證券化產品之現金流量

以相似的證券化產品價格估計OAS，並以此 OAS 當作將發行之證券化產品的OAS

將各期之現金流量以模擬之無風險利率加上估計之OAS 折現得到該證券化產品之現值

第二節、利率模型與其參數估計方法

利率走勢在利率衍生性產品的定價過程中佔有非常重要的地位，尤其在指數型房貸證券化的定價過程中，每個月的貸款利率決定於指數的未來走勢，而影響到持有此證券投資者的未來收益；就台灣而言，各家銀行的指數型房貸產品大多採取每三個月調整一次貸款利率的調整頻率，該證券化產品投資者未來所獲得的利息收入會受此調整策略的影響，主要是為使其能夠追蹤市場上的報酬率，避免該證券價值受到利率影響的價格波動幅度過大。為了評價指數型房貸證券化產品，需對未來的利率路徑進行模擬，本節中將針對所使用的利率模型參數估計方法作一介紹。

本研究採用三種均衡利率模型 Linear Drift,CEV Diffusion Model(Chan et al., 1992)(以下簡稱為 CEV model)、Vasicek Model(Vasicek, 1977)、CIR(Cox et al., 1985)；其中 CIR、Vasicek 都是被套入(nested)在 CEV Model 裡， CEV Model 裡需估計四個利率隨機模型的參數值，而Vasicek 以及 CIR 則是對 CEV Model 裡的參數值加以限制而得，Vasicek 以及 CIR process 貢獻三個參數自由度。由於此三種利率隨機模型彼此間的差異具有某種性質上的意義，三者都具有利率反轉 (mean reverting)的現象，但 CIR、CEV Model 則進一步認為利率過程的波動率與利率水準具高度的敏感性，當利率水準越高時，利率的波動程度也越高。藉由此三種利率隨機模型的運用，使用過去的利率資料進行參數估計，比較此三種利率隨機模型在指數型房貸評價上的差異即為本研究之目的，以下首先將針對此三種利率隨機模型以及參數估計方法作一說明。

1. Vasicek Model(Ornstein-Uhlenbeck Model, OU Model)

Vasicek(1977)首先提出具利率平均反轉現象的無風險利率隨機過程，認為折現債券的價格只決定於無風險利率狀態變數，在假設無風險利率的馬可夫隨機過程後，以此式來建立折現債券價格的偏微分方程式。在Vasicek 的文獻裡，無風

險利率的隨機過程可以以下式來表示：在 Vasicek Model 裡為一產出(Output)。

(3)式的利率隨機過程視為一馬可夫過程，並具條件常態分配性質，為一穩

為了解決Vasical Model 利率可能為負值的現象，Cox, Ingersoll, and Ross 提出另一個利率反轉現象的利率隨機過程為

( )

dr=κ θ −r dt+σ rdz_r (6)

其中Κ為利率調整速度、θ為長期利率平均水準、σ 為利率波動度，此隨機模型率隨機模型其條件分配為非中心的卡方分配(noncentral chi-square distribution)，

在馬可夫性質之下，我們同樣可運用最大概度估計法來估計參數。利用此利率模 the first kind of order q，由(7)式的條件機率分配，搭配Bayes’ rule以及Markovian nature的性質隱含此利率模型的最大概度估計函數(log-likelihood function)為

3. Linear Drift, CEV Diffusion Model

上述的 Vasicek 以及 CIR 利率隨機模型最大的差別在於隨機利率波動度的設定上，Vasicek Model 假設隨機利率波動度不隨時間改變而為一常數，但事實上利率的波動度通常都會與利率水準產生正相關的情形，高利率水準相對的其利率波動度也較高，所以在 CIR Model 裡利率波動度是與利率水準有關的，並且經由此設定而使利率水準不會產生負值的現象。Chan et al.(1992)提出了下列的利率隨積微分方程

此處Κ為利率調整速度、θ為長期利率平均水準、σ 為利率波動度，不同於 Vasicek 以及 CIR Model，Chan 的 Model 裡對於隨機利率的波動度同樣假設與利率水準有關，但此相關程度ρ為欲估之參數，且ρ>0.5，此模型賦予利率的隨機求，但必須估計參數間的變異數共變異數矩陣，因此我們採用Fisher’s Information Matrix來估計漸近的參數變異數。在已知概度函數值為異數共變異數矩陣為i(θ)^-1，其為Fisher’s Information Matrix的反矩陣。利用i(θ)^-1 的資訊則我們可採用t檢定統計量檢定參數的顯著性。

如同一開始所述，Vasicek 以及 CIR 都是被套入於 CEV Model 裡，其所需估計之參數自由度都要比較少，但也因在參數空間上的限制，使得其在補抓未來利率走勢時，可能不如未受限制的 CEV Model 來的有彈性；因此藉由這些相似的利

率隨機過程的選取並同時用來評價指數型房貸證券化產品，了解這些利率隨機過程評價以及利率敏感度的相對差異即為本研究結果的目的所在。

5. 部分調整模型(Partial Adjustment Model)

由各個利率模型所模擬出的利率路徑所表示的是無風險市場利率指標，而其與指數型房貸標的指數間的關係在評價與利率風險衡量的過程中需決定之；為了在評價結果中有效衡量不同標的指數間利率敏感性的差異，本文參考Ott 的技術方法採用部分調整模型來衡量標的指數與市場利率指標間的關係。

部分調整模型的衡量式可以下式來表達：

It = a + bRt + cIt-1 +εt (10) 其中I 為房貸中決定契約利率的標的指數、R 為市場無風險利率，在此模型中係數b 所表示的意義為市場利率影響標的指數的程度、係數 c 則表示標的指數自我調整的速度；當b=1 且 c=0 時，該標的指數完全的隨著市場利率在作調整、當 b=0 且 c=1 時，則標的指數幾乎不隨市場利率變化。

(10)式最初的表示方式為由下列(11)、(12)式聯合表達：

Yt* = α0 + α1Xt + ut (11) Yt – Yt-1 = λ(Yt* - Yt-1) 0<λ<1 (12) 此處Yt*為Yt之期望應有目標值(desired level)、λ為調整係數、Xt為決定Yt^*的外生變數，上述隱含意義為Yt值在每一時點裡將以λ速度部分地調整至目標值Yt*。將(11)式帶入(12)可得到

Yt=α0λ+ (1-λ) Yt-1 +λα1 Xt +λut (13)

，令α0λ=β0 、1-λ=β1、α1λ=β2、λut=εt，εt~NID(0,σ²^ε)，則(13)式可改寫為

Yt=β0 + β1Yt-1 +β2Xt +εt (14)

，一般最常用最小平方法估計(14)式的參數值。

第三節、指數型房貸抵押債權證券評價方法

1. 蒙地卡羅模擬法(forward solving method)

由Fabozzi(1995)的解釋，利用蒙地卡羅模擬法評價房貸證券化產品即是在模降低技術對稱變異(Antithetic Variable)以及控制變異(Control Variate)技術來達到相同作用。基本上蒙地卡羅模擬法即是在求 g y f y dy g

ˆ)

OTS 提前清償模型由Office of Thrift Supervision 所建構，此機構為美國所有

聯邦政府特許或州政府特許的儲貸機構的主要管制者，負責監督這些機構成員有無違法情形、監督其是否有不安全營業活動等，也因此藉由許多內部創造之技術方法評估各機構會員的資產負債投資組合的利率風險及價值之評估。本研究引用 OTS 機構所建立用來評估儲貸機構房屋貸款資產價值的 ARM 提前還款模型來評價本文所假設的商品。

OTS ARM 提前清償模型主要由三部份所組成~

(1) 再融資因子(Refinancing Factor)

Refin,t=0.2006-0.095*arctan[2.401*(1.021-Cn,t/Mn,t-3)]

其中Cn,t為第n個利率路徑下第t期的票面利率

Mn,t-3為第n個利率路徑下lag三期的再融資利率¹⁴，下圖即為OTS所衡量的

再融資利率，此再融資效果在ARM下較FRM不顯著，符合市場現象

(2) 季節性因子(Seasonality Factor)

Seasonalityt=1+0.2*sin{1.571*[(month+t-4)/3]-1}¹⁵ 其中month 為房屋貸款發行月份

t 為模擬的當時總月數，亦即貸款群組的年齡

14 OTS採用模擬的五年Treasury zero-coupon yield加上用歷史資料所衡量出的平均價差)，本文為模擬出的指數型房貸標的指數利率加上2%的價差

15 此處仍假設我國房貸在季節性因子方面仍於夏天有較大的提前還款率，由於此季節性因子係以美國之氣候環境所發展，因此在使用時擬將此因子作係數上的部分調整(原始的OTS模型之季節性因子為1+0.2*sin{1.571*[(month+t-3)/3]-1})，以使其較符合我國之氣候環境，於七月至九月有較高季節性提前還款效果

sin 即為三角函數 sin function (3) 貸款年紀因子(Seasoning Factor)

Seasoningt=min(0.0333*t , 1)

上述三個組成因子ARM與FRM的主要差異在Refinancing Factor，Seasonality 與Seasoning Factor是相同的衡量方式。經由上述每個月所衡量的各因子數值可得當月的提前還款年率為CPRn,t= Seasonalityt * Seasoningt * Refin,t，轉換為每月提前還款本率即為SMMn,t=1-(1-CPRn,t)^1/12

3. OAS 選擇權調整利差法

選擇權調整利差法基本假設前提為其債券未來現金流量受到利率、抵押債權群組平均壽命等因子影響而造成還款現象的不確定性，其方法建立在由未來可能的各種利率情境而產生相對應的現金流量分配，且該現金流量分配具有路徑相依

在文檔中我國指數型房貸抵押債權證券評價與利率敏感度分析 (頁 41-0)

第四章 研究方法

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