摩擦單擺系統之識別方法及步驟

 摩卡摩擦機制



/



⁰

2 

Rmb

W e



 (3.36c)

另外，由於隔震系統受擾動作用產生往復運動過程中，將會包含x_b 0 與x_b 0兩種情況，因此，針對整個運動過程定義一總誤差函數e如下：

2

1 e

e

e  (3.37)

凡滿足總誤差函數e最小者所對應之隔震系統參數 、R、a、c₁與k₁即為 系統之最佳參數。至此即完成第一個迴圈之掃描搜尋。另外，上部結構之 物理參數(c_j與k_j)識別則可利用與 3.2.2 節之同樣方法求得。

前述推導結果係假設隔震系統支承壓力函數a為已知之情況下所得 到。事實上，因支承壓力函數a在進行識別分析之初並不知道，故分析時 亦須針對a進行增量掃描搜尋，加上c₁與k₁共計需進行三層(three-layered) 交錯的增量掃描搜尋，直到找出最佳參數為止。於第l次增量掃描計算過 程中，支承壓力函數為a^l a^l1a。其中，a1，a⁰ 0。另外，由於 由式 3.27(a)~(b)的兩種不同條件下所識別出來之隔震系統參數會有出 入，因此本文將取其平均值作為隔震系統之有效參數。茲歸納整個FPS 隔 震結構物理參數識別分析步驟如下：

Step1：假設 FPS 系統之支承壓力函數為a^l。

Step2：假設上部結構一樓阻尼係數c₁與勁度k₁之初始值。並將其代入式 (3.27)，且固定係數c₁之情況下，針對係數k₁進行m次增量掃描搜 尋計算。其中，k₁^m k₁^m1k₁⁽¹⁾；k₁⁽¹⁾為進行第一次迴圈增量掃描 搜尋過程中所設定之勁度係數增量(針對不同的結構系統，可能須 考慮不同之k₁⁽¹⁾)。

Step3(a):若考慮 FPS 系統為庫侖摩擦機制時，利用式(3.30)與式(3.32)

可求得系統參數 與R。並由式(3.37)計算出相對應之誤差函數 e值。重複 Step2 與 Step3(a)直到完成設定之m次增量掃描搜 尋，其中對應於誤差函數e之最小值者，即為暫訂之最佳系統 參數。

(b):若考慮 FPS 為摩卡摩擦機制時，配合承壓力函數為a^l，利用式 (3.34)與式(3.36)求得系統參數_min、 與_max R，並由式(3.37) 計算出相對應之誤差函數e值。重複 Step2 與 Step3(b)直到完 成設定之m次增量掃描搜尋，其中對應於誤差函數e之最小值 者，即為暫訂之最佳系統參數。

Step4：將式(3.27)中之k₁固定為 Step3 所求得最佳系統參數，並針對係 數c₁進行n次增量掃描搜尋計算。其中，c₁ⁿ c₁^n1c₁⁽¹⁾；c₁⁽¹⁾為 進行第1 次增量掃描搜尋過程中，所對應之阻尼係數增量(針對不 同的結構系統，可能須考慮不同之c₁⁽¹⁾)。

Step5(a): 若考慮 FPS 系統為庫侖摩擦機制時，利用式(3.30)與式(3.32) 求得系統參數 與R。並由式(3.37)計算出相對應之誤差函數e 值。重複Step4 與 Step5(a)直到完成設定之n次增量掃描搜尋。

其中對應於誤差函數e之最小值者，即為暫訂之最佳系統參數。

(b):若考慮 FPS 為摩卡摩擦機制時，配合承壓力函數為a^l，利用式 (3.34)與式(3.36)求得系統參數_min、 與_max R，並由式(3.37) 計算出相對應之誤差函數e值。重複 Step4 與 Step5(b)直到完 成設定之n次增量掃描搜尋。其中對應於誤差函數e之最小值 者，即為暫訂之最佳系統參數。

Step6：令a^l a^l1a。其中，a1，重複Step2 至 Step6 直到完成設

定之l次增量掃描搜尋為止。此時，即完成第一迴圈之掃描搜尋。

其中對應於誤差函數e之最小值者，即為暫訂之最佳系統參數。

Step7：重複 Step2 至 Step7 直到完成設定之s次迴圈之增量掃描搜尋計 算為止。其中，c₁^(s) c₁^(s1)/10與k₁^(s) k₁^(s1)/10。

Step8：利用式(3.19)及式(3.22)即可求得第 j樓層之物理參數c_j與k_j。其 中，系統參數c_j1與k_j1由前一步驟求得之結果代入。

經由上述之分析步驟即完成整個FPS 隔震系統識別之過程。此時，隔震結 構系統之所有物理參數(a、c_j、k_j、 (或_min及 )與_max R)皆可完全識別 出來。

3.3.3 數值範例

為了示範前述識別方法之應用並驗證其可行性，茲針對一座五層樓隔 震結構進行數值模擬分析。隔震結構之上部結構考慮為剪力屋架，隔震系 統為FPS，如圖 3.16 所示。隔震結構之物理參數歸納於表 3.3，而上部結 構之主要週期為0.65 秒。分析時，以 El Centro 地震波作為輸入擾動(圖 3.6)，並考慮地表尖峰加速度峰值(PGA)為 0.35g。

3.3.3.1 庫侖摩擦機制（Coulomb’s Mechanism）

摩擦單擺支承考慮為庫侖摩擦機制，且其隔震週期為2 秒(R 2 m)、

摩擦係數 0.1。上部結構與基礎層受地震擾動下，數值模擬所產生之絕 對加速度、相對速度與相對位移歷時反應分別如圖3.17～3.19 所示。

1° 第一迴圈之掃描搜尋

識別時，首先假設一樓之阻尼係數c₁之初始值為零，並以勁度增量 m

kgf k₁⁽¹⁾ 100000 /

 逐步假設k₁值進行分析。k₁與誤差函數e之關係曲線如 圖3.20 所示。其結果顯示，當k₁ 3000000kgf /m時，誤差函數e為最小。

接著固定k₁ 3000000kgf /m，並以阻尼係數增量c₁⁽¹⁾ 100kgf s/m逐步假 設c₁値進行分析。c₁與誤差函數e之關係曲線如圖3.20 所示。其結果顯示，

當c₁ 800kgf s/m時，誤差函數e為最小值。此時，對應之FPS 系統物理 參數分別為 0.0989，R2.0053m。如此即完成第一圈之掃描搜尋。

2° 第二迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 800kgf s/m，並以k₁ 30000003k₁⁽¹⁾ 2700000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽²⁾ k₁⁽¹⁾ /1010000kgf /m逐步進行增量掃描分析。

k1 與 誤 差 函 數 e 之 關 係 曲 線 如 圖 3.21 所 示 。 其 結 果 顯 示 ， 當 m

kgf

k₁ 3040000 / 時，誤差函數e為最小。接著固定k₁ 3040000kgf /m，並 以阻尼係數c₁ 8003c₁⁽¹⁾ 500kgf s/m 作為初始値，並以阻尼係數增量

m s kgf c

c₁⁽²⁾  ₁⁽¹⁾ /1010  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關係 曲線如圖 3.21 所示。其結果顯示，當c₁ 760kgf s/m時，誤差函數e為最 小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為 0.1001，R1.9994m。 如此即完成第二圈之掃描搜尋。

3° 第三迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 760kgf s/m，並以k₁ 30400003k₁⁽²⁾ 3010000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽³⁾ k₁⁽²⁾ /101000kgf /m逐步進行增量掃描分析。k₁ 與誤差函數e之關係曲線如圖3.22 所示。其結果顯示，當k₁ 3036000kgf /m 時 ， 誤 差 函 數e為 最 小 。 接 著 固 定k₁ 3036000kgf /m， 並 以 阻 尼 係 數

m s kgf c

c₁ 7603 ₁⁽²⁾ 730  / 作 為 初 始 値 ， 並 以 阻 尼 係 數 增 量

m s kgf c

c₁⁽³⁾  ₁⁽²⁾/101  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關係 曲線如圖3.22 所示。其結果顯示，當c₁ 765kgf s/m時，誤差函數e為最 小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為 0.1000，R2.0000m。 如此即完成第三圈之掃描搜尋。

4° 第四迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 765kgf s/m，並以k₁ 30360003k₁⁽³⁾ 3033000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽⁴⁾ k₁⁽³⁾/10100kgf /m逐步進行增量掃描分析。k₁ 與誤差函數e之關係曲線如圖3.23 所示。其結果顯示，當k₁ 3036000kgf /m 時 ， 誤 差 函 數e為 最 小 。 接 著 固 定k₁ 3036000kgf /m， 並 以 阻 尼 係 數

m s kgf c

c₁ 7653 ₁⁽³⁾ 762  / 作 為 初 始 値 ， 並 以 阻 尼 係 數 增 量 m

s kgf c

c₁⁽⁴⁾  ₁⁽³⁾/100.1  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關 係曲線如圖3.23 所示。其結果顯示，當c₁ 765.3kgf s/m時，誤差函數e為 最小值。此時，對應之FPS 系統物理參數分別為 0.1000，R2.0000m。 如此即完成第四圈之掃描搜尋。

5° 第五迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 765.3kgf s/m，並以k₁ 30360003k₁⁽⁴⁾ 3035700kgf /m作為 初始値，並以勁度增量k₁⁽⁵⁾ k₁⁽⁴⁾ /1010kgf /m逐步進行增量掃描分析。k₁ 與誤差函數e之關係曲線如圖3.24 所示。其結果顯示，當k₁ 3036000kgf /m 時 ， 誤 差 函 數e為 最 小 。 接 著 固 定k₁ 3036000kgf /m， 並 以 阻 尼 係 數

m s kgf c

c₁ 765.33 ₁⁽⁴⁾ 765  / 作 為 初 始 値 ， 並 以 阻 尼 係 數 增 量 m

s kgf c

c₁⁽⁵⁾  ₁⁽⁴⁾ /100.01  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關 係曲線如圖3.24 所示。其結果顯示，當c₁ 765.29kgf s/m時，誤差函數e 為 最 小 值 。 此 時 ， 對 應 之 FPS 系 統 物 理 參 數 分 別 為  0.1000，

m

R2.0000 。如此即完成第五圈之掃描搜尋。

隔震系統之物理參數經過五次迴圈掃描搜尋分析之識別結果歸納於 表 3.4。其結果顯示，識別所得之參數與結構真值非常接近，驗證本識別 方法能有效將隔震系統之物理參數識別出來。其後，利用識別出來之c₁與k₁ 代 入 式 (3.19) 聯 立 求 解 ， 求 得 二 樓 之 參 數 c₂ 725.26kgf s/m 與

m kgf

k₂ 2836000 / 。再將c₂與k₂代入式(3.22)逐步往上求得結構各樓層之 參數c_i與k_i，而上部結構各樓層識別所得之參數整理於表 3.5。其結果顯 示，識別所得之結構各樓層阻尼與勁度皆與結構真值非常吻合，證明本物 理參數識別方法，可有效識別庫侖摩擦機制之FPS 隔震結構之系統參數。

3.3.3.2 摩卡摩擦機制（Mokha’s Mechanism ）

隔震系統之上部結構考慮與3.3.3.1 節相同之五層樓結構(表 3.3)，惟 其摩擦單擺支承元件改考慮為摩卡摩擦機制，而其隔震週期仍維持 2 秒 (R 2 m)。另外，考慮此摩卡摩擦機制之最大與最小摩擦係數分別為

1 .

max 0

 與_min 0.05、支承壓力函數a 10。上部結構與基底層受地震擾 動下，數值模擬所產生之絕對加速度、相對速度與相對位移歷時反應分別 如圖3.25～3.27 所示。

1° 第一迴圈之掃描搜尋

識別時，首先假設 FPS 系統之支承壓力函數為a^l a^l1a。其中，

1

a ，a⁰ 0與l 20。且配合每個承壓力函數a^l假設上部結構一樓阻尼 係數c₁為零，並以勁度增量k₁⁽¹⁾ 10000kgf /m逐步假設k₁值進行分析。分 析結果顯示當k₁ 3000000kgf /m時，將使誤差函數e為最小，而k₁與誤差 函數e之關係曲線如圖3.28 所示。接著固定k₁ 3000000kgf /m，並以阻尼 係數增量c₁⁽¹⁾ 100kgf s/m逐步假設c₁値進行分析。c₁與誤差函數e之關係

曲線如圖3.28 所示。其結果顯示，當c₁ 900kgf s/m時，誤差函數e為最 小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為a10、_max 0.0989、

0494 .

min 0

 與R2.0141m。如此即完成第一圈之掃描搜尋。

2° 第二迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 900kgf s/m，並以k₁ 30000003k₁⁽¹⁾ 2700000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽²⁾ k₁⁽¹⁾ /1010000kgf /m逐步進行增量掃描分析。

k1 與 誤 差 函 數 e 之 關 係 曲 線 如 圖 3.29 所 示 。 其 結 果 顯 示 ， 當 m

kgf

k₁ 3030000 / 時，誤差函數e為最小。接著固定k₁ 3030000kgf /m，並 以阻尼係數c₁ 9004c₁⁽¹⁾ 500kgf s/m 作為初始値，並以阻尼係數增量

m s kgf c

c₁⁽²⁾  ₁⁽¹⁾ /1010  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關係 曲線如圖3.29 所示。其結果顯示，當c₁ 800kgf s/m時，誤差函數e為最 小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為a10、_max 0.0998、

0499 .

min 0

 與R2.0025m。如此即完成第二圈之掃描搜尋。

3° 第三迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 800kgf s/m，並以k₁ 30300003k₁⁽²⁾ 3000000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽³⁾ k₁⁽²⁾ /101000kgf /m逐步進行增量掃描分析。k₁ 與誤差函數e之關係曲線如圖3.30 所示。其結果顯示，當k₁ 3036000kgf /m 時 ， 誤 差 函 數e為 最 小 。 接 著 固 定k₁ 3036000kgf /m， 並 以 阻 尼 係 數

m s kgf c

c₁ 8004 ₁⁽²⁾ 760  / 作 為 初 始 値 ， 並 以 阻 尼 係 數 增 量 m

s kgf c

c₁⁽³⁾  ₁⁽²⁾/101  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關係 曲線如圖3.30 所示。其結果顯示，當c₁ 765kgf s/m時，誤差函數e為最 小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為a10、_max 0.1000、

0500 .

min 0

 與R2.0000m。如此即完成第三圈之掃描搜尋。

4° 第四迴圈之掃描搜尋

固定c₁ 765kgf s/m，並以k₁ 30360003k₁⁽³⁾ 3033000kgf /m作為初 始値，並以勁度增量k₁⁽⁴⁾ k₁⁽³⁾/10100kgf /m逐步進行增量掃描分析。k₁ 與誤差函數e之關係曲線如圖3.31 所示。其結果顯示，當k₁ 3036000kgf /m 時 ， 誤 差 函 數e為 最 小 。 接 著 固 定k₁ 3036000kgf /m， 並 以 阻 尼 係 數

m s kgf c

c₁ 7654 ₁⁽³⁾ 761  / 作 為 初 始 値 ， 並 以 阻 尼 係 數 增 量 m

s kgf c

c₁⁽⁴⁾  ₁⁽³⁾/100.1  /

 逐步進行增量掃描分析。c₁與誤差函數e之關 係曲線如圖3.31 所示。其結果顯示，當c₁ 765.3kgf s/m時，誤差函數e為 最小值。此時，對應之 FPS 系統物理參數分別為a10、_max 0.1000、

0500 .

min 0

 與R2.0000m。如此即完成第四圈之掃描搜尋。

5° 第五迴圈之掃描搜尋

5° 第五迴圈之掃描搜尋

在文檔中 結構系統識別與損傷探測之研究 (頁 131-141)