從國內外的研究中可看出：影響教師教學的因素很多，例如：教師的知識、社 會資源、社會的價值觀、環境的改變…等，但其中最重要的也是影響力最大的，非 教師的知識莫屬了。而教師對學科教材的知識、如何將學科內容傳授給學生，兩者 長久以來皆被認為是教師知識的主要內涵；加上近年來研究發現，課堂上的教師會 依據學生的認知表現，修正調整教學活動，由此可知，認知學生學習時的情形，也 就成為教學實務上不可忽視的一個環節（黃幸美，2000）。歸納而言，上述三種知 識：學科知識、學科的教學知識、認知學生如何學該學科的知識，是教師知識結構 的三元素，同時也是教師能力的檢核項目。從數學領域來說(Swafford, Jones &
Thornton, 1997；黃幸美，2000)：數學教材內容概念和教法知識概念都是影響教學 的潛在動力，具備以上知識概念的教師，較能分析教材內概念以及概念間的關係，
加上對學生學習情況的認知，在佈題、語言表徵，引導討論以及舉例說明的教學活 動上，較能引導以及促進學生理解。本研究將以國小數學科領域中的分數為研究範 疇，在此針對教師的分數知識、分數的教學知識和認知學生分數學習知識三種概 念，整理敘述如下（周筱亭、黃敏晃，2002； 教育部，2003）：
（一）分數知識：分數具有多重意義: Ohlsson 認為分數有四種建構：有理數、二元 向量、商的函數、合成函數； Kieren 認為分數有五種建構：測 量、商、比、部分-全體關係、運算元；國民中小學九年一貫課 程綱要中，從平分、測量、比例、比率、比值、部分-全體關係 六個角度來討論分數的意義。
（二）分數的教學知識：教師使用合適的教學策略與活動方式，表徵分數的概念與 問題，引發學生認知理解與學習興趣。例如：根據舊經驗引起動 機、運用實物或具體物的操作、從生活上舉例說明和開放的問答 討論，使分數知識容易被學生理解與接受。
（三）學生分數學習的認知知識：了解學生對分數概念基模和先備知識，所持有的 想法和思考模式、解題策略、迷失概念，以及對分數某一概念學 習時認知困難或容易。
國外研究者 Bromme & Brophy(1986)將數學教師的知識分為理論知識、專業知 識和日常生活知識三大項。Romberg(1988)將數學教師的知識分為數學的知識、教學 的知識和管理的知識。Shulman(1987)將數學教師的知識分為學科知識、一般的教學 知識、課程知識、教學內容知識、學習者特性知識、教育脈絡的知識和教育的目的 價值及其哲學背景…等七大項。Ernest(1989)也將數學知識列入數學教師應具備的六 項知識之中。雖然國內外研究者(Bromme & Brophy, 1986; Ernest, 1989; Romberg, 1988; Shulman, 1987；呂玉琴，1998）對於數學教師應該擁有哪些知識的看法不同，
分類的方式也不同，但是，他們卻都一致認為數學知識是身為數學教師一定要具備 的知識。國內研究者呂玉琴(1998)透過探討教師對某一類知識的了解及其知識對教 學的影響，以及根據相關研究證據(Carpenter, 1989; Clark & Peterson, 1986; Shavelson
& Stern, 1981)提出數學教師的認知知識至少要包括數學知識、學習者數學認知的知 識、教學知識這三項知識，以及國內國小數學新課程提出解題、溝通、推理、關聯 的數學觀點，參考學習理論與教學理論的內涵，設計出探討國小教師分數教學相關 知識的架構，如圖 2-1-1。
*單位量概念 1.學生的思考特性 1.分數的學習序列
*分數意義的關聯 2.解題策略 2.教學方法
*分數與其他數學概 *學生的解題策略 *診斷教學概念
念的關聯 *解釋形成錯誤概念的原因 *糾正錯誤概念的教學
*數型及其推理 3.學習困難 方法
*約估分數值 *等值分數 *分數除法
*組合能力 3.教具操作與演算法的
程序差異
圖 2-1-1 國小教師的分數知識圖（引自呂玉琴，1998，397）
近二十幾年來，從認知層面分析教師的教學活動發現：教師的知識結構是影響 其教學歷程的關鍵因素(Richardson, 1990; Carpenter, Fennema & Franke, 1996）。欲推 展兒童有意義的數學學習，教師必須理解數學課程所包含的知識概念，了解學生在 學習時的解題思考，以及如何使用不同的教學策略促進學生理解，經協調統整後進 行以理解為目標的數學教學(NCTM, 1991)。在國內，黃幸美（2000）對擔任中年級 數學教師進行研究發現：教師的數學教學知識和其對兒童數學知識的認知兩者之間 具關聯性。許美華（2004）認為：如果教師具備豐富的知識，則較能分析教學的概 念以及概念間的關係，也較能配合學生的認知發展和個別差異，教導學生學習與理 解，所以，教師的知識對學生的學習成就有相當大的影響。柯藍婷（2004）提出：
對分數知識有較佳了解的國小教師，比其他教師有能力且能正確的建立分數相關概 念彼此之間的關係，使分數相關概念能融合成一個知識的整體，並設計符合學生需 求的教學活動來發展學生的分數概念。反之，對分數知識了解較差的國小教師所教
國小教師的知識：分數
分數知識 學生分數認知的知識 分數教學的知識
出來的學生，也就無法具有好的分數概念。研究顯示：部分國小教師的分數概念教 學有偏差（林福來等人，1993），部分國小教師視教分數為畏途(王淵智，2004），約 有 21%~67%的國小教師在單位量、等分概念、以文字呈現分數時的大小比較方法、
分數知識中存有錯誤概念，究其原因有：缺乏幾何知識導致缺乏等分概念的彈性思 考、無法將分數視為二數相除或相比的結果、無法用完整的定理描述分數的大小關 係、缺乏以文字描述分數大小關係的能力、…等(Linchevski & Vinner, 1989; 劉好，
1991；呂玉琴，1996，1998；柯藍婷，2004 )。
從以上的文獻分析顯示，國小教師必須具備了解分數的概念，以及概念性的關 聯與分數相關的數學概念，和分數與其他數學概念之間的關係，能用數學當作解 題、溝通與推理的工具，這樣才能對分數知識有較佳的了解，而且教師如擁有較高 的數學知識，對兒童的數學學習與問題解決能力有正向的影響。國內研究者呂玉琴
（1998）針對 136 名教師的筆試及訪談結果，提出國小教師分數的相關知識可分為 分數及其教材教法的知識、學生分數學習的知識兩大範疇，但研究結果發現一半以 上的教師在這兩方面的表現都不理想；黃幸美（2000）針對教師的數學教學知識與 其對兒童數學知識認知的探討發現：教師的數學教學知識和對兒童數學知識的認知 兩者間存在典型相關，但在回收的問卷中，仍有 10.6％的教師未能答對總題數一半 以上的題目；加上陳順榮（2007）提出運用邏輯流量檢測計分理論在教師甄試數學 考科中，以概念構圖法來評量準教師所具備的數學知識結構，並建議以此作為彰化 縣教師甄試甄選評分的項目之一，但目前臺灣尚無教師數學知識結構與兒童數學學 習成就影響的相關研究，故可藉由此次的研究結果，作為運用邏輯流量檢測計分理 論在教師甄試數學考科的有利證據。