教師知識結構評量與學童學習成就之相關研究—以同分母分數加減為例

國立臺中教育大學數學教育學系在職進修

教學碩士學位班碩士論文

指導教授：許天維 博士

教師知識結構評量與學童學習成就之

相關研究—以同分母分數加減為例

研究生： 呂依親 撰

中華民國九十八年六月

摘要

本研究的目的是探討學童學習成就與教師知識結構的相關情形。本研究採問卷 調查，研究對象為九十六學年度，臺中縣、臺中市、高雄縣國民小學四年級，其數 學領域選用南一版教科書的班級，且願意参與研究的八所學校，共三十五個班級進 行施測，學生的有效樣本數為 1140，教師的有效樣本數為 35。 研究得到下列發現： 一、學生的學習成就與學校所在縣市有關。 二、不同縣市教師在同分母分數加減範圍的知識結構表現達顯著差異。 三、在同分母分數加減範圍內，教師知識結構與兒童學習成就間為正相關 (positive correlation)，互相具備 47％的變異量解釋度，且經由具備不同知識結構的 教師教學後，學生的學習成就表現顯著不同，知識結構為高分組的教師，其學生的 學習成就顯著高於教師知識結構為低分組所教的學生其學習成就表現。 四、學童的學校所在縣市以及學童數學授課教師的知識結構對學童學習成就的 影響並無顯著交互作用關係存在。 關鍵字：教師知識結構、學習成就、邏輯流量檢測(LFT-extended)

Abstract

Theaim ofthisstudy isto probeinto students’learning achievementsin relation to the knowledge structures of teachers. Questionnaires are used in this study. The study objects are 4thgrade students from elementary schools in the school year of 2007, who used math textbooks by Nan-I publisher. There are 8 schools from Taichung County, Taichung City and Kaohsiung City respectively that are willing to participate in this study. There are in total of 35 classes took part in the survey, which include 1140 students and 35 teachers as valid samples.

The discovery from this study is as follow:

1. Students’learning achievementsarein relation to thelocation oftheschools. 2. The knowledge structures from different counties or cities in the same

denominator fraction plus/minor range show distinct differences.

3. Within the same denominator fraction plus/minor range, there is a positive correlation between theknowledgestructuresoftheteachersand thestudents’ learning achievements, in which they both are provided with 47% of the

variability of explicatory degree. Furthermore, the students who were taught by teachers with different knowledge structures show distinct differences in their learning achievements. For the group of teachers with higher score in theirknowledgestructures,theirstudents’learning achievementare distinctively higher than the students of the group with lower score.

4. Theeffecton students’learning achievementin termsoflocation oftheschool and the knowledge structures of the math teachers shows no obvious existence of cross action.

Key words: knowledge structure of the teachers, learning achievement, logical flow test – extended

目 次

第壹章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與待答問題 ... 3 第三節 名詞定義 ... 4 第四節 研究範圍與限制 ... 6 第貳章 文獻探討 ... 7 第一節 教師數學知識之相關研究 ... 7 第二節 影響學生學習成就之相關研究 ... 11 第三節 概念構圖之相關研究 ... 13 第四節 知識結構評量之相關研究 ... 17 第五節 國小教師甄選之相關研究 ... 19 第六節 國民小學分數課程知識概念之相關研究 ... 24 第叁章 研究方法與步驟 ... 29 第一節 研究設計 ... 29 第二節 研究架構與流程 ... 30 第三節 研究對象與樣本選取 ... 32 第四節 研究工具之編製 ... 34 第五節 資料處理與分析 ... 46 第肆章 結果與討論 ... 47 第一節 不同縣市的學生在學習成就的差異情形 ... 47 第二節 不同縣市的教師在知識結構方面的差異情形 ... 50 第三節 教師知識結構與兒童學習成就的相關情形 ... 54 第四節 不同縣市與不同知識結構教師對學生學習成就的交互作用情形 ... 58 第五節 綜合討論 ... 59 第伍章 結論與建議 ... 61 第一節 結論 ... 61 第二節 建議 ... 63 參考文獻 ... 64 一中文部分. ... 64 二外文部分 ... 68 附錄 ... 70 附錄一 同分母分數加減試題 ... 70 附錄二 同分母分數加減之概念例題紙卡 ... 73 附錄三 邏輯流量檢測(LFT-extended)測量教師數學知識結構例圖 ... 74 附錄四 受試教師知識結構得分表 ... 75 附錄五 受試班級學生學習成就平均分數列表 ... 76 附錄六 高級中等以下學校教師評審委員會設置辦法 ... 77 附錄七 高級中等以下學校教師甄選作業要點 ... 81 附錄八 師資培育法 ... 83

表 目 次

表 2-2-1 影響學業成就因素表...12 表 2-5-1 教師甄選相關研究整理一覽表...22 表 2-5-2 97 學年度各縣市辦理國小教師甄選時間一覽表...23 表 2-6-1 同分母分數加減能力指標與分年細目表...25 表3-4-1 分數課程編排架構表...34 表3-4-2 國小四年級學童同分母分數加減評量試題雙向細目表...37 表 3-4-3 同分母分數加減評量試題信度統計量表...40 表 4-1-1 不同縣市學生學習成就組內迴歸係數同質性檢定摘要表...47 表 4-1-2 不同縣市學生學習成就共變數分析摘要一覽表...48 表 4-1-3 不同縣市學生學習成就共變數分析的事後多重比較表...49 表 4-1-4 不同縣市學生學習成就事後比較摘要表...49 表 4-2-1 教師知識結構描述性統計量表...50 表 4-2-2 不同縣市教師在知識結構表現之單因子變異數分析統計量表...51 表 4-2-3 不同縣市教師知識結構變異數分析的事後多重比較表...52 表 4-2-4 不同縣市教師知識結構事後比較摘要表...52 表 4-3-1 同分母分數加減範圍內教師知識結構與兒童學習成就的相關係數矩 陣...54 表 4-3-2 迴歸分析模式摘要表...56 表 4-3-3 迴歸係數統計量表...56 表 4-3-4 不同教師知識結構教師所教導學生之學習成就共變數分析摘要一覽 表...57 表 4-3-5 高、低兩組教師知識結構教師對學生學習成就的 t 檢定量表...57 表 4-4-1 單變量雙因子共變數分析摘要表...58

圖 目 次

圖 2-1-1 國小教師的分數知識圖...9 圖 2-3-1 說明概念圖的典型例子...14 圖 2-6-1 南一版分數課程教材地位圖...25 圖 2-6-2 同分母分數加法概念架構圖...26 圖 2-6-3 同分母分數減法概念架構圖...27 圖 3-2-1 研究架構圖...30 圖 3-2-2 研究流程圖...31 圖 3-3-1 分數知識架構圖...32 圖 3-4-1 分數課程教材地位圖...35 圖 3-4-2 同分母分數加法概念架構圖...42 圖 3-4-3 同分母分數減法概念架構圖...42 圖 3-4-4 同分母分數加減專家知識結構圖...44 圖 3-4-5 修改與補充說明...45 圖 4-2-1 教師知識結構平均數圖...51 圖 4-3-1 同分母分數加減範圍內教師知識結構與兒童學習成就散佈圖...55

第壹章 緒論

第一節 研究動機

數學一直是小學課程中重要的學習內容，也是最不容易講授的科目。教育研究 者(Bromme & Brophy, 1986; Ernest, 1989; Romberg, 1988; Shulman, 1987；呂玉琴，

1998)從認知層面分析教師的教學活動發現：「教師的知識結構是影響其教學歷程的

關鍵因素」。國外研究者(Richardson, 1990; Carpenter, Fennema& Franke, 1996)甚至提

出：「可以從學童的學習成就上，看見教師知識結構的影響力」。 因此，教師的知識結構對學生學習成效的影響頗大。同時，呂玉琴(1996)亦指 出擁有完整知識結構概念的老師，便能流暢的教學。尤其在臺灣的國小教師分數概 念教學，屢見偏差(林福來、黃敏晃、呂玉琴，1993)，常視教授分數為畏途(王淵 智，2004)，以致更為迫切需要完整的分數知識結構概念。 國內研究者余民寧曾經發展一套知識結構的診斷評量工具，利用美國新墨西哥 大學設計出應用軟體程式－知識網路組織工具（Knowledge Network Organizing Tool, 簡稱 KNOT）進行路徑蒐尋網路分析診斷，但研究指出（余民寧、林曉芳、蔡佳燕， 2001），因缺少圖形表徵方式來呈現潛藏的網路結構關係，所以對結果的說服性不 高。

日本研究者竹谷誠、佐佐木整（1997）根據知識結構表徵理論，以及有意義的 學習觀點，以概念的連結為計分基礎，整體結構為比較單位，用概念間的流量，對 圖形進行評價，發展出邏輯流量檢測（logical flow test, 簡稱 LFT）的計分模式，主 要內容係植基在堅實的數學理論之上，可以客觀比較教師專業結構的優劣，十分受 到矚目。隨後，又經國內研究者卓樹樣、胡豐榮、許天維（2004）的重新改良，完 成一個嶄新的計分理論，稱為 LFT-extended 計分模式(logical flow test-extended)。

從文獻中發現(劉好，1991；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1993；呂玉琴，1998； 柯藍婷，2004；王淵智，2004 )教師分數概念的不良比例，因研究者的不同而有 21% ～67%間的落差，相當迥異，且不易找出病因。如能透過竹谷誠（1978）的概念結 構分析，將可作為臺灣對於教師分數知識概念的評量準則；再由邏輯流量檢測計

分，將更能判斷教師分數概念結構的良窳。

職是之故，本研究擬首先建構教師的分數知識概念結構，然後透過 LFT-extended 模式計分法，來檢測教師的分數知識結構的好壞，並進一步的探究教師分數知識結 構與學生學習成就的相關情形，來確認臺灣教師的知識概念結構對學生學習成效的 影響，以提供教師進修或教師甄試的參考。

第二節 研究目的與待答問題

(一) 研究目的： 1 運用邏輯流量檢測(LFT-extended)計分理論探討教師在同分母分數加減 的知識結構表現。 2 分析教師同分母分數加減之知識結構與學童同分母分數加減之學習成 就間之相關情形。 (二)待答問題： 1 運用邏輯流量檢測(LFT-extended)計分理論，評量教師知識結構的情形。 2 教師同分母分數加減之知識結構與學童同分母分數加減之學習成就間 之相關情形。

第三節 名詞定義

(一)教師分數知識結構 數學教學之相關知識包括數學知識、學生認知數學的知識、以及教學知識三部 分(呂玉琴，1998)，本研究所指的數學知識結構就是將數學內容界定為分數，即教 師的分數知識、分數的教學知識和認知學生分數學習知識三種概念：（周筱亭、黃 敏晃，2002；教育部，2003） 1. 分數知識：國民中小學九年一貫課程綱要中，從平分、測量、比例、比 率、比值、部分-全體關係六個角度來討論分數的意義。 2. 分數的教學知識：教師使用合適的教學策略與活動方式，表徵分數的概 念與問題，引發學生認知理解與學習興趣。 3. 認知學生分數學習的知識：了解學生對分數概念基模和先備知識，所持 有的想法和思考模式、解題策略、迷思概念，以及對分數某一概念學習 時認知困難或容易。 (二)概念圖 概念圖的內涵包括：概念、階層、連接線、連結語、交叉連接線，以及連結兩 個概念而成的有意義命題。而由以上基本元素所構成的概念圖，除了注重「點」， 還擴及到「面」，以一種類似網路結構脈絡來呈現，會隨著實作者的思考和理解程 度的不同產生變化，所以，每一個概念圖都會呈現出不同實作者的不同觀點，(余民 寧，2002) 。簡言之，概念圖是由許多命題組成，每個命題包括兩個或多個概念， 及概念之間的連結關係，並且，概念在概念圖中以階層的方式呈現，一般性、概括 性的概念在上層，較特定具體的概念在下層(余民寧，1997) 。 (三)概念構圖法 一種使用命題形式的概念圖，表徵概念與概念之間的連結關係，且以此概念圖 作為評量與研究實作者概念結構依據的學習方法(Novak, 1984; Novak & Musonda, 1991)。其中，概念構圖需要實作者自己架構概念，並且從回憶中去辨認概念之間的 關聯性，因此，是從實作者的觀點出發，而不是從編制測驗者的觀點來考慮的。簡

言之，概念構圖是一種非常有用的方法，它強調概念組織和統整，以視覺型組織訊 息為其內在本質(余民寧，2002)。 (四)邏輯流量檢測(LFT-extended) 根據知識結構表徵理論以及有意義的學習之觀點，以概念的連結為計分基礎， 並以整體結構為比較單位對圖形進行評價所發展出的計分理論(竹谷誠、佐佐木整， 1997)，針對概念圖進行評分，測量知識結構的評量工具。國內研究者卓樹樣改善原 邏輯流量測驗(logical flow test,簡稱 LFT) ，重新定義重要度、類似度、到達度及差 異度，解決迷思概念對到達度產生加分效果之不合理現象，提出更合理靈敏有效， 且更具鑑別力的：擴充之邏輯流量測驗(logical flow test-extended,簡稱 LFT-extended) 計分理論，利用此測驗可知教師是否了解某一主題的數學知識間具有明確的邏輯關 係，和單元內容構造，並為課程設計者提供整合教材結構的方法(卓樹樣、胡豐榮、 許天維，2004) ，為使計分理論名稱更貼近評量知識結構的涵意，並且避免讀者誤 以為是二種不同的計分理論，將研究中出現的計分理論 logical flow test 和 logical flow test-extended 都稱為邏輯流量檢測。 (五)教師甄選 教師法第十一條及教育人員任用條例第二十六條規定，高級中學以下學校教師 之聘任，分為初聘、續聘、長期聘任；另外，除了依師資培育法（附錄八）第十三 條第二項或第二十條規定給予分發，校長還可以經由公開舉辦教師甄選，依照公 平、公正、公開的原則來辦理，從合格人員中，提請教師評審委員會審查，通過後 聘任，此為教師甄選的由來。以 97 年度為例：國小教師甄試分北、中、南三區， 進行策略聯盟統一命題、統一考試日期，採兩階段甄試，先舉行初試筆試，再舉行 複試（含試教、口試）。

第四節 研究範圍與限制

茲就本研究的範圍與限制，分別說明如下： 一、研究範圍 （一）就研究地區而言 本研究地區包含臺中縣、臺中市、高雄縣。 （二）就研究對象而言 本研究對象針對九十六學年度臺中縣、臺中市、高雄縣國民小學四年 級，其數學領域選用南一版教科書之八所國民小學，共三十五個班級的 學生和老師進行施測。 （三）就研究內容而言 本研究內容中的教師數學知識結構與學童數學學習成就，僅限於國小課 程中的同分母分數加減之範疇，其他未予包含。 （四）就研究方法而言 本研究採用根據九年一貫能力指標及專業數學教師審議後所編製的「國 小同分母分數加減成就評量試題」，和陳順榮（2007）編製的「國民小 學教師數學概念結構圖繪製表」來進行。 二、研究限制 （一）在適用上的限制 本研究僅針對臺中縣、臺中市和高雄縣國小四年級，使用南一版數學教 科書的教師和學童為施測對象，且研究內容也僅限於同分母分數加減， 此為本研究結果在適用上的限制。 （二）在方法上的限制 本研究最主要是採用根據九年一貫能力指標，加上專業數學教師審議後 所編製的「國小同分母分數加減成就評量試題」來進行，且將最後的測 驗總分作為受測者的學習成就表現，並無進一步去細部分析每位受試者 在哪一概念上有錯誤，此為本研究在方法上的限制。

第貳章 文獻探討

本章將對研究中所需的知識，進一步進行相關探究，第一節為有關教師數學知 識之相關研究，第二節為影響學生學習成就之相關研究，第三節為概念構圖之相關 研究，第四節為知識結構評量之相關研究，第五節為國小教師甄選之相關研究，第 六節為國民小學分數課程知識結構之相關研究。

第一節 教師數學知識之相關研究

從國內外的研究中可看出：影響教師教學的因素很多，例如：教師的知識、社 會資源、社會的價值觀、環境的改變…等，但其中最重要的也是影響力最大的，非 教師的知識莫屬了。而教師對學科教材的知識、如何將學科內容傳授給學生，兩者 長久以來皆被認為是教師知識的主要內涵；加上近年來研究發現，課堂上的教師會 依據學生的認知表現，修正調整教學活動，由此可知，認知學生學習時的情形，也 就成為教學實務上不可忽視的一個環節（黃幸美，2000）。歸納而言，上述三種知 識：學科知識、學科的教學知識、認知學生如何學該學科的知識，是教師知識結構 的三元素，同時也是教師能力的檢核項目。從數學領域來說(Swafford, Jones & Thornton, 1997；黃幸美，2000)：數學教材內容概念和教法知識概念都是影響教學 的潛在動力，具備以上知識概念的教師，較能分析教材內概念以及概念間的關係， 加上對學生學習情況的認知，在佈題、語言表徵，引導討論以及舉例說明的教學活 動上，較能引導以及促進學生理解。本研究將以國小數學科領域中的分數為研究範 疇，在此針對教師的分數知識、分數的教學知識和認知學生分數學習知識三種概 念，整理敘述如下（周筱亭、黃敏晃，2002； 教育部，2003）： （一）分數知識：分數具有多重意義: Ohlsson 認為分數有四種建構：有理數、二元 向量、商的函數、合成函數； Kieren 認為分數有五種建構：測 量、商、比、部分-全體關係、運算元；國民中小學九年一貫課 程綱要中，從平分、測量、比例、比率、比值、部分-全體關係 六個角度來討論分數的意義。

（二）分數的教學知識：教師使用合適的教學策略與活動方式，表徵分數的概念與 問題，引發學生認知理解與學習興趣。例如：根據舊經驗引起動 機、運用實物或具體物的操作、從生活上舉例說明和開放的問答 討論，使分數知識容易被學生理解與接受。 （三）學生分數學習的認知知識：了解學生對分數概念基模和先備知識，所持有的 想法和思考模式、解題策略、迷失概念，以及對分數某一概念學 習時認知困難或容易。

國外研究者 Bromme & Brophy(1986)將數學教師的知識分為理論知識、專業知 識和日常生活知識三大項。Romberg(1988)將數學教師的知識分為數學的知識、教學 的知識和管理的知識。Shulman(1987)將數學教師的知識分為學科知識、一般的教學 知識、課程知識、教學內容知識、學習者特性知識、教育脈絡的知識和教育的目的 價值及其哲學背景…等七大項。Ernest(1989)也將數學知識列入數學教師應具備的六 項知識之中。雖然國內外研究者(Bromme & Brophy, 1986; Ernest, 1989; Romberg, 1988; Shulman, 1987；呂玉琴，1998）對於數學教師應該擁有哪些知識的看法不同， 分類的方式也不同，但是，他們卻都一致認為數學知識是身為數學教師一定要具備 的知識。國內研究者呂玉琴(1998)透過探討教師對某一類知識的了解及其知識對教 學的影響，以及根據相關研究證據(Carpenter, 1989; Clark & Peterson, 1986; Shavelson & Stern, 1981)提出數學教師的認知知識至少要包括數學知識、學習者數學認知的知 識、教學知識這三項知識，以及國內國小數學新課程提出解題、溝通、推理、關聯 的數學觀點，參考學習理論與教學理論的內涵，設計出探討國小教師分數教學相關 知識的架構，如圖 2-1-1。

*單位量概念 1.學生的思考特性 1.分數的學習序列 *分數意義的關聯 2.解題策略 2.教學方法 *分數與其他數學概 *學生的解題策略 *診斷教學概念 念的關聯 *解釋形成錯誤概念的原因 *糾正錯誤概念的教學 *數型及其推理 3.學習困難 方法 *約估分數值 *等值分數 *分數除法 *組合能力 3.教具操作與演算法的 程序差異 圖 2-1-1 國小教師的分數知識圖（引自呂玉琴，1998，397） 近二十幾年來，從認知層面分析教師的教學活動發現：教師的知識結構是影響 其教學歷程的關鍵因素(Richardson, 1990; Carpenter, Fennema & Franke, 1996）。欲推 展兒童有意義的數學學習，教師必須理解數學課程所包含的知識概念，了解學生在 學習時的解題思考，以及如何使用不同的教學策略促進學生理解，經協調統整後進 行以理解為目標的數學教學(NCTM, 1991)。在國內，黃幸美（2000）對擔任中年級 數學教師進行研究發現：教師的數學教學知識和其對兒童數學知識的認知兩者之間 具關聯性。許美華（2004）認為：如果教師具備豐富的知識，則較能分析教學的概 念以及概念間的關係，也較能配合學生的認知發展和個別差異，教導學生學習與理 解，所以，教師的知識對學生的學習成就有相當大的影響。柯藍婷（2004）提出： 對分數知識有較佳了解的國小教師，比其他教師有能力且能正確的建立分數相關概 念彼此之間的關係，使分數相關概念能融合成一個知識的整體，並設計符合學生需 求的教學活動來發展學生的分數概念。反之，對分數知識了解較差的國小教師所教 國小教師的知識：分數 分數知識 學生分數認知的知識 分數教學的知識

出來的學生，也就無法具有好的分數概念。研究顯示：部分國小教師的分數概念教

學有偏差（林福來等人，1993），部分國小教師視教分數為畏途(王淵智，2004），約

有 21%~67%的國小教師在單位量、等分概念、以文字呈現分數時的大小比較方法、 分數知識中存有錯誤概念，究其原因有：缺乏幾何知識導致缺乏等分概念的彈性思 考、無法將分數視為二數相除或相比的結果、無法用完整的定理描述分數的大小關 係、缺乏以文字描述分數大小關係的能力、…等(Linchevski & Vinner, 1989; 劉好， 1991；呂玉琴，1996，1998；柯藍婷，2004 )。 從以上的文獻分析顯示，國小教師必須具備了解分數的概念，以及概念性的關 聯與分數相關的數學概念，和分數與其他數學概念之間的關係，能用數學當作解 題、溝通與推理的工具，這樣才能對分數知識有較佳的了解，而且教師如擁有較高 的數學知識，對兒童的數學學習與問題解決能力有正向的影響。國內研究者呂玉琴 （1998）針對 136 名教師的筆試及訪談結果，提出國小教師分數的相關知識可分為 分數及其教材教法的知識、學生分數學習的知識兩大範疇，但研究結果發現一半以 上的教師在這兩方面的表現都不理想；黃幸美（2000）針對教師的數學教學知識與 其對兒童數學知識認知的探討發現：教師的數學教學知識和對兒童數學知識的認知 兩者間存在典型相關，但在回收的問卷中，仍有 10.6％的教師未能答對總題數一半 以上的題目；加上陳順榮（2007）提出運用邏輯流量檢測計分理論在教師甄試數學 考科中，以概念構圖法來評量準教師所具備的數學知識結構，並建議以此作為彰化 縣教師甄試甄選評分的項目之一，但目前臺灣尚無教師數學知識結構與兒童數學學 習成就影響的相關研究，故可藉由此次的研究結果，作為運用邏輯流量檢測計分理 論在教師甄試數學考科的有利證據。

第二節 影響學生學習成就之相關研究

目前國內對於探討學生學習成就的研究相當多，因各研究者觀點不同，所考量 的因素也就不盡相同。整理發現：陳誕（1986）在家庭因素及心理特質與國小兒童 學業成就之關係的研究中，發現智力與學業成就相關很高，其中與數學科的相關高 達 0.60；陳淑絹（1994）對 129 名臺中市國小六年級的學生進行成就歸因問卷調查 研究，發現學生會將失敗歸因於個人、將成功歸因於學校；游淑純、蔡玉瑟（1998） 在臺中縣市、彰化縣、南投縣四縣市分層抽樣選出 72 名五年級學生，對 72 名五年 級學生進行學習成就相關因素比較，發現兒童的家庭社經地位會影響兒童學習成 就，且在排除智力因素的影響後，都市兒童的學習成就比鄉村兒童來的好；巫有鎰 （1999）以臺北市和臺東縣的國小學生作比較，發現家長的教育程度、職業類別、 家庭經濟收入都會影響學生學業成就；黃雪萍(2001)對 76 名臺東縣的國小高年級學 童進行參加校外補習與對數學學習影響之研究，發現大部分學童參加數學補習後， 成績都維持穩定或進步；魏麗敏（2002）在中部進行隨機抽樣，選出 1035 名國中 小學生，其中國小學生為高年級，共 590 人進行調查發現學習成就和學生的個人背 景、家庭因素、專注行為、學習動機有關；李俊淵（2003）則對南投、彰化、臺中 的鄉鎮型學校 1223 名五年級學生的研究發現：學習成就測驗結果和其所使用課本 版本有關；林宜慧(2005)對臺南地區 392 名國一學生的研究發現：參加校外數學補 習的學生，其數學學習成就高於沒有補習學生的學習成就，且有補習學生的數學成 績落差較小，成績較集中；歐玉萍（2006）對高雄市五六年級學童採分層隨機抽樣， 且以公文交換方式取得 1021 名學生當樣本，在 100﹪的問卷回收下分析結果得到： 兒童知覺教師風格、學生學習滿意度都和學習成就有關；邵秋桃(2007)對臺南市、 臺南縣、高雄市、高雄縣、屏東縣等，南部五縣市的國小四年級、五年級、六年級 學生進行學習策略與學業成就關係之研究，發現學習策略整體與學業成就有顯著相 關，而且國小學生的學習策略對整體學業成就的預測力達 20%。 將上述文獻依其影響因素分為：個人、家庭、學校及補習四大類，整理如表 2-2-1：

表 2-2-1 影響學業成就因素表 影響因素 研究者 時間 研究結果 個人 陳誕 1986 個人智力與學業成就相關很高，其中與數學科的相關 高達0.60。 邵秋桃 2007 學生個人學習策略整體與學業成就有顯著相關，且學 習策略對其整體學業成就的預測力達20%。 家庭環境 巫有鎰 1999 家長的教育程度、職業類別、家庭經濟收入都會影響 學生學業成就。 游淑純 蔡玉瑟 1998 兒童的家庭社經地位會影響學習成就，且在排除智力 因素的影響後，都市兒童的學習成就比鄉村來的好。 魏麗敏 2002 學習成就和學生的個人背景、家庭因素、專注行為、 學習動機有關； 學校 陳淑絹 1994 發現學生會將成功學習歸因於學校，而將失敗歸因於 自己。 李俊淵 2003 學習成就測驗結果和學生在校所使用課本版本有關 歐玉萍 2006 學生知覺學校教師風格和學習成就有關。 補習 黃雪萍 2001 大部分學童參加數學補習後，成績都維持穩定或進 步。 林宜慧 2005 有補習學生的學習成就高於沒有補習學生，且有補習 學生的數學成績落差較小，成績較集中。 由上述可看出，影響學生學習成就的因素相當多，各家研究者所做的研究也不 少，但相較於家庭背景因素、學生本身情意影響與學生學習成就的關係被廣泛且多 元的討論與研究，學校教師本身知識和學生學習成就的關係就無深入的探討，加上 深入研究上述文獻發現：研究者歐玉萍（2006）和魏麗敏（2002）在研究中也同時 考慮了教師性別、帶班時間及教師學習支持，游淑純、蔡玉瑟（1998）和李俊淵（2003） 則在研究末提出：未來研究中宜考量教師教學等相關因素，所以，本研究將會探究 教師知識結構和學生學習成就的相關情形。

第三節 概念構圖之相關研究

根據 Ausubel 的學習理論(余民寧，2002)：概念與概念之間的關係和學習者的 先備知識兩者在有意義的學習上扮演重要的角色，美國研究者 Novak 經過多年的研 究，提出一套可以作為、教學、學習、評量工具的教學方法，稱為「概念構圖」(concept mapping)。而當中概念圖的內涵則包括：概念、階層、連接線、連結語、交叉連接 線，以及連結兩個概念而成的有意義命題。而由以上基本元素所構成的概念圖，除 了注重「點」，還擴及到「面」，以一種類似網路結構脈絡來呈現，會隨著實作者的 思考和理解程度的不同產生變化，所以，每一個概念圖都會呈現出不同實作者的不 同觀點。Novak 認為(Novak & Gowin, 1984; Novak & Musonda, 1991; 余民寧，

1997）：幾乎所有概念意義的學習都是經由命題形式學到的，而概念構圖是一種在 兩個向度上，使用命題形式的概念圖(concept maps)，來表徵所欲教學和學習的概念 與概念間的階層連結關係，並以此概念圖作為評量與研究實作者概念結構的圖示技 術，它是由實作者自行架構概念，從經驗回憶辨認概念之間的關聯性，也就是說是 實作者的觀點來考量，和一般傳統直線式表徵學科的綱要式組織法相比較，概念構 圖法多了一個關聯的向度，所以也就比綱要式組織法更適合來表徵概念之間的命題 關係。下頁圖 2-3-1（引自余民寧，1997）為說明概念圖的典型例子：

圖 2-3-1（引自余民寧，1997，71）說明概念圖的典型例子 Robinson(1982)提出：概念構圖的活動就像是數字系統的發現一樣意義深遠， 是真實的轉型與類比空間的結合，爲我們帶來高階抽象思考的一個具體方式。雖然 國內曾有相關的研究（全中平，1992；余民寧、陳嘉誠，1996；余民寧、陳嘉誠、 潘雅芳，1996；李文石、徐順益、林建隆，2005）發現：剛開始學習概念構圖時並 概念圖 學習活動 結構 建構 用途 發展 具有 是 的 錯誤概念 結構 階層性 是 以澄清 以提高 以提高 解決問題 學習成就 概念 主題 課程 教學 評量 自 即是 聯結 具有 分支 可以是 交叉 聯結 發展 適於 有 一般 的 從 到 特殊 排列 和 藉著 用 作 透過 藉著 用 作 層次區分 單元 訓練 學科 課程摘要 教材研究 複習 測驗 回饋

不簡單容易。但另一方面，概念構圖確是一種非常有用的技術（余民寧，1997）， 強調概念組織和統整，以視覺型組織訊息為其內在本質，甚至有國外研究者 Malone & Dekkers 稱概念構圖為" windows to the mind "即心靈的視窗（余民寧譯）。

Novak 原先創立概念構圖的目的是要應用在科學教育領域，例如：生物科的教 學，但經過二、三十年來的發展，也逐漸展開應用到其他學科方面，作為教學、學 習、研究和評量的工具(余民寧，1997)，現今，概念構圖不但應用愈來愈廣，在國 內外已有相當多的實證研究陸續發表，研究方向有：概念構圖可以在知識領域直觀 啟發學生的有意義學習行為、概念構圖是一種後設學習策略、使用概念構圖來探索 學生知識概念的學習與改變、將概念構圖視為一種評量工具等四大類別，其成效卓 越，研究結果也大多支持概念構圖具有相當的應用潛力。 將上述四大類別研究觀點整理如下： （一）概念構圖可以在知識領域直觀啟發學生的有意義學習行為

Novak & Gowin(1984)提出概念構圖是一種直觀式啟發方法，可以在許 多 知 識 領 域 和 教 學 情 境 中 促 發 學 生 有 意 義 學 習 行 為 ； Heinze-Fry & Novak(1990)提出，概念構圖可以增加學生的統整能力，使知識習得較易成為 中長期記憶，更可以讓學生知覺自己是一位主動學習者，學習愈來愈好並往 更有意義的學習方向發展；國內研究者陳嘉誠、余民寧（1998）也同樣提出 受過概念構圖教學的學生，在高層次的試題及記憶保留的試題上有較好的表 現；Cliburn(1990), Novak & Musonda(1991), Trowbridge & Wandersee(1996)的 研究結果皆支持：概念構圖具有相當的應用潛力，學生能透過概念構圖主動 學習。

（二）概念構圖是一種後設學習策略

Novak & Gowin(1984)認為概念構圖是一種後設學習策略，用來幫助學 生學會如何去學。邱上真（1989）研究指出，概念構圖可以幫助國民中學生 物科教師，選擇適當的教學教材，做為學生的學習策略；邱垂昌、官月緞 （2003）對大學生所作的研究顯示：超過 80%修習高等會計學的學生認為概 念構圖是一種良好的後設學習策略，也提升了複習的成效。李文石、徐順益、 林建隆（2005）以高中學生為研究對象，在物理運動學學習領域，以概念構 圖為學習策略進行學習發現：學生均持正面看法，且顯示此實驗教學確實能

提升學生的學習成效。

（三）使用概念構圖來探索學生知識概念的學習與改變

Diekhoff(1982)提出概念構圖可以在學科中被應用成為表徵知識性結構 的工具；Wallace & Mintzes(1990)提出使用概念圖，不僅可以了解學生所知道 的知識是什麼，更可以知道學生是如何組織其知識的，確實是探索複雜教育 事項的一種強又有效的工具 ；Cliburn(1990), Novak & Musonda(1991)和 Mintzes & Jones(1994)的研究結果也強調，學生透過概念構圖學習知識，能增 強能力；陳嘉誠、余民寧（1998）對國小五年級的學生做研究時，發現不同 學習類型的學生，在概念構圖和概念結構品質表現上有所不同。

（四）將概念構圖視為一種評量工具

Novak & Gowin(1984)和 Schmid & Telaro(1990)從研究發現，概念構圖可 以作為一種有效的評量工具；邱上真（1989）研究指出，概念構圖可做為國 民中學生物科的一種評量方式；Novak(1991)也繼續將概念構圖應用在化學課 程上，認為概念構圖是一種評量學習成就的優良工具；陳嘉誠、余民寧（1996） 也提出概念圖評分法，可做為評量學生學習成就的方法。邱垂昌、陳美紀、 黃素琴、陳文義（1998）研究指出：將概念構圖應用到大學會計教育上，結 果發現高認知成就和低認知成就學生所畫的概念圖會有所不同；邱垂昌、陳 瑞斌（2000）和邱垂昌、官月緞（2003）更進一步的提出：概念構圖可以分 別成為初級會計學、高等會計學學科的評量工具。 經過二、三十年來的發展，Novak 所提出的概念構圖，廣泛展開應用到各種領 域，作為教學、學習、研究和評量的工具，直到今天，概念構圖在國內外已有相當 多的實證研究發表，美國 Journal of Research in Science Teaching 學術期刊曾經專門 探討-概念構圖的面面觀(余民寧，2002)，國內期刊－教育與心理研究和測驗統計年 刊也都曾發表概念構圖在各領域的應用研究。

第四節 知識結構評量之相關研究

1967 年以來，認知心理學逐漸成為心理學的主流(余民寧，2002)，訊息處理模 式的理論成為解釋人類學習行為的重要觀點，即強調人的認知學習取向是一種主動 處理訊息並努力追求意義的。此項潮流也影響到了教學評量上，發展出結合認知心 理學與心理計量學理論的認知診斷評量，重視學習過程中知識結構的學習與表徵， 並且在最近幾年，因電腦科技日益興盛，學科領域知識結構評量的應用軟體也相繼 問世，如美國新墨西哥大學設計出的應用軟體程式：knowledge network organizing tool ，簡稱 KNOT，知識網路組織工具。國內研究者余民寧曾經發展一套知識結構 的診斷評量工具，利用美國新墨西哥大學設計出應用軟體程式 KNOT 進行路徑蒐尋 網路分析診斷，但研究指出（余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001），因缺少圖形表徵 方式來呈現潛藏的網路結構關係,所以對結果的說服性不高。日本學者竹谷誠、佐佐 木整提出的計分理論：logical flow test,簡稱 LFT，邏輯流量檢測，其檢測方法是教 學者先決定數個學習項目或是解決問題的過程，並且選定前提項目和最終目標項目 後，再由教學者及受試者分別繪製出自己的 LFG ，並且以教學者的 LFG 為標準， 評價學生的 LFG 。 國內外研究者竹谷誠、佐佐木整（1997）、劉湘川（2004）、卓樹樣、胡豐榮、 許天維（2004）相繼提出邏輯流量檢測(LFT)於解釋評價結果時，無法區別同分的 問題，以及記分結果中存在的不合理處，並提出了改進的方法。其中，以卓樹樣、 胡豐榮、許天維（2004）根據 HAM 與 ACT-R 理論對知識結構表徵的主張及有意義 的學習之觀點，以 LFT 分析法的理論架構為基礎，將 LFG 中的路徑視為相關命題 組成的複雜命題，考慮錯誤命題或錯誤先備知識對整體知識結構的影響，根據”邊 之不同經由路徑之存在數量及參照圖形中各邊之序位值”，重新定義重要度、類似 度、到達度及差異度指標，提出完整的計分理論 logical flow test-extended,簡稱 LFT-extended，邏輯流量檢測，協助研究者更有效率的診斷出學習者的知識結構及 其變化情形，也為教學者提供補救教學實施的策略，並可以替課程設計者提供整合 教材結構的方法。測驗程序如下（卓樹樣、胡豐榮、許天維，2004）：

（二）由多位專家或教學者繪製出個人的知識結構圖。 （三）整合所有的專家知識結構圖作為參照結構。 （四）受試者繪製個人的知識結構圖。 （五）以第三步驟得到的參照結構為基準，運用 LFT-extended 計分指標比較 受試者知識結構圖與參照結構之類似情形。 卓樹樣、胡豐榮、許天維（2004）的研究發現 LFT-extended 分析法除了保有 LFT 分析法的理論性質及特色外，還有：評價結果較 LFT 分析法合理有效且更具鑑 別力；若受試者的 LFGs 都只缺少一個正確有向邊的條件下，每一個圖形的評價結 果還是和其所缺有向邊的重要度成負相關；解決 LFT 分析法中因迷思概念所產生不 合理計分的問題；可以根據評價結果對不同的受試者提供補救教學的實施順序等四 樣優異的特點，因此，本研究將採用 LFT-extended 分析法做為分析教師分數知識結 構的計分工具，期望能更有效診斷出教師的知識結構優劣。

第五節 國小教師甄選之相關研究

自從民國八十六年發布「高級中學以下學校教師評審委員會設置辦法」（附錄 六）後，民國九十三年一月教育部為落實教師法第十一條、教育人員任用條例第二 十六條第一項第一款及高級中等以下學校教師評審委員會設置辦法之規定，以公 平、公正、公開之原則辦理教師甄選，再次頒布公立高級中等以下學校教師甄選作 業要點。詳細條文請見附件七，相關要點說明如下： 一. 各級學校暨具獨立編制之附設進修學校，教師職務出缺，除依規定分發、 介聘或列入超額精簡、因應課程調整保留名額及依主管教育行政機關規定 可保留名額外，其餘缺額應依規定辦理公開甄選。代理代課教師必要時得 併專任教師甄選辦理。 二. 各校辦理教師甄選，若經教師評審委員會（以下簡稱教評會）決議成立甄 選委員會，其組織及作業規定，由教評會定之。前項教師甄選得以筆試、 口試、試教、實作方式辦理，並由教評會或甄選委員會視需要決議推選筆 試、口試、試教、實作委員，報請校長或由其指定專人聘任之，其中得包 括校外委員。 三. 各校訂定甄選簡章，內容應包括：甄選類科、名額、甄選資格、報名日期、 地點及程序、甄選時間、地點及方式、成績配分比例、甄試科目及範圍、 錄取總成績計算及相同時之處理方式、成績通知方式、成績複查期限及方 式、榜示日期及方式、報名費、申訴電話專線、信箱及附則等。前項名額 如有備取名額，以補足當次缺額為限。 四. 各校辦理教師甄選，應擬訂甄選簡章提交教評會審查。有關命題、製（印） 卷、協助工作人員均應設法隔離作業，或比照典試法及其施行細則之規 定，採入闈之方式處理。 五. 各校甄選簡章及職缺等有關教師甄試之資訊，應於學校及主管教育行政機 關網站公告，並視需要刊登於新聞紙；公告開始至報名截止期間不得少於 五日（含例假日）。 六. 各校依第三點第二項辦理教師甄選時，各項委員宜避免重複，並應建立明

確之評分基準與紀錄。口試、試教、實作採分組方式辦理者，同類科委員 分派之試場於考試前半小時抽籤決定。口試、試教之評分設最高、最低標 準分數，高於最高標準、低於最低標準或評分有變更時，評分委員應敘明 理由，並簽名負責。 目前，國內對於教師甄選的研究不少，此處以摘要方式呈現有關國民小學 教師甄選的研究發現： （一）張喬媚（1999 ）的研究中指出： （1）有豐富的學科知識、擁有教育專業知識、多樣的教學方法、善於輔 導學生、有效的班級經營、具有溝通表達能力、積極的教育熱忱、 良好的人際關係、關懷喜愛學生、持續的專業成長、民主法治的 素養、幽默感、情緒穩定、富有責任感、品行端正等十五項為較 常見的甄選標準。 （2）常見的甄選程序方面則有：學校形成人事決策、建立教師甄選標準、 成立教師甄選委員會，決定甄選程序與方式，開始進行招募、報 名、初試、複試，接著評分、錄取通知、報到等，最後要針對整 個甄選過程進行評鑑，並依此作為改進的依據。 （3）專業知能及教師個人特質等甄選標準受到認同。 （4）甄選方式中，積分審查及筆試考試內容有待改進。 （二）陳瑩如（2000）的研究中指出： （1）新任教師應具備之專業能力，包括教學能力與技巧、專業精神與態 度、品行操守、知識學養、教師人際關係五大面向能力。 （2）認為現行所採用的教師遴選方法，包括面談、學歷、試教、專長或 特殊表現計分、自傳是有效的。 （三）簡士寬（2001）的研究中指出： （1）桃園縣國小教師認同目前的聘任制度，已在為學校舉才方面看到初 步成效。 （2）桃園縣聘任教師重視教學能力及過去經歷。 （四）葉錦祥（2003）的研究中指出： （1）應試者期待：教師甄選制度發展出一套評定成績的程序與標準。

（2）應試者期待：公平、公開、公正的教師甄選制度。 （五）蘇鈺琦（2004）的研究中指出： （1）高雄縣市國小教師對目前甄選作業過程與結果不甚滿意。 （2）高雄縣市國小教師認為，應該對甄選項目及方式做明確規定，並提 高評分客觀性。 （3）高雄縣市國小教師認為教評會委員之專業能力應加強及重視。 （4）教育行政機關有責任提供配套措施，讓教師甄選制度回歸專業性、 公平性。 （六）劉秀蓬（2005）的研究中指出改進國小教師甄選的方法： （1）成立教師甄選委員會。 （2）讓專長教師參與甄選作業以評估受試者的專業能力。 （3）教師甄選測驗方式以筆試、口試、試教三階段程序實施。 （4）設立教師甄選專責機構，修法將「試用」納入甄選制度，聘用通過 教師甄選初試錄取人員為代理教師，推行新進教師輔導制，加強新 進教師之輔導、監督。 （5）辦理參與教師甄選工作相關人員之講習，設立申訴單位。 （6）甄選方式力求多樣化、適性化。 （七）朱良光（2006）的研究中指出： （1） 國小教師甄選的考試方式應該包含口試、試教、筆試、技能實作 等多元的項目。 （2） 國小教師甄選的考試方式佔分比例分配以「試教」、「筆試」的 重要性受到多數人的認同。 （3） 國小教師甄選的「筆試」內容應該包含的項目為「教育專業科目」 與「專長項目測驗」。 （4） 有效提高國小教師甄選「筆試」效度與客觀性的方式為「事前訂 定評分的標準」、「採用選擇題型的測驗」、「採用申論題型的 測驗」。 （5） 不同背景變項的受訪者對教師甄選制度的可行方法在各評估指標 的看法上並無太大的差異情形。

（6） 不同背景變項的受訪者對於辦理教師甄選制度可行方法的可行程 度的看法大致相同。 （八）陳順榮（2007）對彰化縣教師所作問卷調查的研究中指出： （1） 國小教師甄選的題目應著重與小學實際教學相關，應避免太困難 或艱深的考題，目前教師甄選的題目有待改進。 （2） 國小教師甄選應注重基本數學能力。 （3） 受訪教師認為教師甄要有客觀一致的評分標準。 透過整理上述研究可以發現：大部分的研究結果皆認為辦理教師甄選應該 注重「教師專業知能」、「教師教學能力」、「教師個人特質」、「客觀性的評分標 準」，歸納整理如下表： 表 2-5-1 教師甄選相關研究整理一覽表 教師專業知能 教師教學能力 教師個人特質 客觀性評分標準 張喬媚(1999) ˇ ˇ ˇ ˇ 陳瑩如(2000) ˇ ˇ ˇ 簡士寬(2001) ˇ 葉錦祥(2003) ˇ 蘇鈺琦(2004) ˇ ˇ 劉秀蓬 2005) ˇ ˇ 朱良光(2006) ˇ ˇ ˇ 陳順榮(2007) ˇ ˇ ˇ 從教師甄選的相關法規以及相關研究的分析整理，我們不難發現發現：雖然相 關法規已頒布，但對於教師的甄選要以何種方式進行，而其甄選的內容，乃至評分 的標準卻是飽受爭議，甚至讓參加甄選的教師們無法適從、疲於準備、舟車勞頓， 所幸 97 學年度開始（表 2-5-2），全國分為北中南三區三個聯盟，同一聯盟的縣市 由主辦縣市教育局統一命題，並在同一天辦理筆試。

表 2-5-2 97 學年度各縣市辦理國小教師甄選時間一覽表 縣市 所屬聯盟 初試日期 複試日期 金門縣 南區聯盟 7/5(六) 7/7(一) 屏東縣 南區聯盟 7/5(六) 7/8(二) 高雄縣 南區聯盟 7/5(六) 7/12(六) 嘉義縣 南區聯盟 7/5(六) 7/10(四) 臺南市 南區聯盟 7/5(六) 7/10(四) 桃園縣 北區聯盟 7/16(三) 7/23(三) 臺北縣 北區聯盟 7/16(三) 7/24(四) 臺中市 中區聯盟 7/19(六) 7/23(三) 雲林縣 中區聯盟 7/19(六) 7/22(二) 彰化縣 中區聯盟 7/19(六) 7/26(六) 如此一來，各個聯盟考試當天，因參與筆試的準教師為數頗多，出題的方向、 閱卷與批改都是難題，為顧及公平性與客觀性，若運用邏輯流量檢測(LFT-extended) 計分理論，測量準教師們的數學知識結構，也就可以客觀、公平、快速的評量準教 師們的數學專業知能。

第六節 國民小學分數課程知識概念之相關研究

九十四學年度開始，國小一到六年級全面實施九年一貫課程，本節將就九年一 貫數學能力指標中，有關分數概念的發展脈絡作一簡介，幫助研究者能對分數概念 有更多的掌握。然而，分數的概念所包含的意義並不少，考量研究者的能力及本研 究的方向，本節將只針對「分數加減運算」範圍的文獻來探討。 同分母分數加減之教材內容要點： （A）認識真分數、假分數、帶分數。 （B）能在離散量的情境中，透過操作活動以真分數、假分數或帶分數來描述 內容物。 （C）能在連續量的情境中，透過操作活動以真分數、假分數或帶分數來描述 內容物。 （D）透過操作的活動，進行假分數和帶分數的互換。 （E）能進行同分母分數（分母＜20）的加減計算。 （F）能在具體情境中，解決同分母真分數的合成問題，並用有分數得算式，摘 要紀錄解題過程和結果。 （G）能在具體情境中，解決同分母假分數的合成問題，並用有分數得算式，摘 要紀錄解題過程和結果。 （H）能在具體情境中，解決同分母帶分數的合成問題，並用有分數得算式，摘 要紀錄解題過程和結果。 （I） 能在具體情境中，解決同分母真分數的分解、比較問題，並用有分數得 算式，摘要紀錄解題過程和結果。 （J） 能在具體情境中，解決同分母假分數的分解、比較問題，並用有分數得 算式，摘要紀錄解題過程和結果。 （k） 能在具體情境中，解決同分母帶分數的分解、比較問題，並用有分數得 算式，摘要紀錄解題過程和結果。 將九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部，2003）中和同分母分數加減課程 相關的能力指標與分年細目整理如下：

表2-6-1 同分母分數加減能力指標與分年細目表 冊別 能力指標 分年細目 六 N-1-09能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。 3-n-09能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 七 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的 意涵。 4-n-06能在平分情境中，理解分數之 「整數相除」的意涵。 八 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分 數，作同分母分數的比較、加 減與整數倍計算，並解決生活 中的問題。 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分 數，熟練假分數與帶分數的互 換，並進行同分母分數的比較、 加、減與非帶分數的整數倍的計 算。 八 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分 的意義。 4-n -08能理解等值分數，進行簡單異分_{母分數的比較，並用來做簡單分} 數與小數的互換。 九年一貫課程綱要數學學習領域中和同分母分數加減課程相關的課程教材地 位圖整理如下（南一，2007）： 圖 2-6-1 南一版分數課程教材地位圖 第八冊 ＊同分母分數的 加減（包含假分 數、帶分數）。 第六冊 ＊認識單位分數和真 分數 ＊分母 20 以內，同分 母真分數的比較、 合成和分解活動。 第七冊 ＊分母為 100 以內的 分數。 ＊利用個物的多寡， 比較單位分數的大 小。 第九冊 ＊等值分數。 ＊由等值分數認識擴 分和約分。 第十冊 ＊認識通分和最簡分 數。 ＊異分母分數的加減。

九年一貫數學領域課程分數的概念學習承襲 82 年部編版的數學課程，依序為 「單位分數」、「真分數」、「假分數」、「帶分數」，運算則是先由「加減（合成與分 解）」活動，再進入到「乘除」活動，並且是先理解加減乘除的基本概念意義，再 學習直式算則。所以在分數加減計算學習活動中，第一階段在等分好、整體 1 能明 顯出現之具體生活情境中（包含連續量、離散量），能以分母在 20 以內的真分數描 述內容物為單一個物的幾份，並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、 分解活動（和＜1）；第二階段在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量， 進行同分母真分數（但單位分數內容物為多個個物）的合成、分解、比較活動及簡 單整數倍的問題，並理解等值分數的意義（教育部，2003）。從文獻的分析不難發 現：數學概念的發展有其脈絡可循，無論是 82 年部編版的數學課程或九年一貫數 學領域課程，其編排有其一致性，而且在數學課程的教學活動設計都會先使用具體 物，例如：繩子、積木、花片、分數板來操作，讓學生理解「分數」這項抽象的概 念，而且目前九年一貫課程強調：各個階段內新概念的學習，必須由學生感覺具體 的經驗和情境著手，再逐步的提升，以期學生能達到真正的理解。 同分母分數加減的概念架構可分為加法和減法兩部分呈現（陳順榮，2007) ，加法部分如下 ： 圖 2-6-2 同分母分數加法概念架構圖 帶分數加法（分數部份合1） 帶分數加法（分數部份和＜1） 真分數加法（和1） 真分數加法（和＜1）

減法部分如下： 圖 2-6-3 同分母分數減法概念架構圖 帶分數減法 帶分數減真分數（要從整數借 1） 帶分數減真分數（分數部份夠減） 正整數減真分數 1 減真分數

第叁章 研究方法與步驟

本章分為四小節，依序為研究設計、研究架構與流程、研究對象與樣本選取、 研究工具之編製、資料處理與分析。

第一節 研究設計

本研究參閱相關教師知識結構和學生學習成就之書報、期刊、論文，了解教師 知識結構的基本意涵、評量方法，並分析影響學生學習成就的因素後，著手進行研 究工作。研究中採用研究者陳順榮（2007）依據 Airasian & Bart 的 「順序理論」 (Ordering Theory)、竹谷誠的「試題關聯結構分析法」(item relational structure analysis; 簡稱 IRS)、「SPSS 相關分析及因數分析」及「專家學者意見」所整理出，包含 10 個同分母分數加減概念的概念圖作為「專家知識結構」，而且依據 82 年國立編譯館 所編之數學課程及九年一貫課程綱要數學領域中國小同分母分數能力指標，編製出 一份同分母分數加減的試題，經二次預試，且和指導教授許天維博士討論修正後， 取得一份信度效度皆有的正式試題進行施測。為排除不同版本中單元排序不同，以 致教師完成同分母分數加減的教學時間不一，和排除使用不同版本影響學生學習成 就的可能性，故隨機選取了臺中縣、臺中市、高雄縣國小四年級，使用南一版數學 教科書的班級，共 35 個班級進行研究，請班級教師以概念構圖的方式呈現同分母 分數加減知識結構，取得 35 個教師的同分母分數加減知識結構，稱為「生手知識 結構」，以 LFT-extended 進行概念連結的評分，取得 35 個教師在同分母分數加減的 知識結構得分，並以此對應 35 個班級，經過教師同分母分數教學後的數學成就表 現，分析教師同分母分數加減之知識結構與學童同分母分數加減之學習成就的相關 因素。

第二節 研究架構與流程

本研究將教師在同分母分數加減的數學知識結構概念當成自變項，將學童在同 分母分數加減的數學學習成就當成依變項，研究討論兩者間的相關情形。研究架構 如圖 3-2-1： 圖 3-2-1 研究架構圖 本研究透過文獻蒐集與探討後，以陳順榮（2007）「邏輯流量測驗計分在彰化 縣國小教師甄試數學科上的應用-以國小分數結構為例」的研究為基礎，以拼貼的施 測方法取得教師的知識結構圖；再依據現行九年一貫能力指標與國民中小學數學學 習領域的課程綱要進行研究，選出適合的題目，編製出一份學生學習成就評量試 題，對研究之實證結果加以探討與分析，進行歸納整理，提出相關建議。研究流程 如下頁圖 3-2-2： 教師數學知識結構概念 學童數學學習成就 結論與建議

圖 3-2-2 研究流程圖 決定研究方向 確定研究目的和題目 編製研究工具 諮詢專家意見修正研究工具 預試 分析、修正研究工具 確定研究工具與研究樣本 正式施測 閱讀、蒐集相關文獻 教師概念貼圖 學生紙筆測驗(前測、後測) 處理與分析資料 撰寫論文

第三節 研究對象與樣本選取

現行數學課程的教材中，分數知識內容可分成「分數的概念」、「分數的計算」、 「分數的應用」三大部分，其中「分數的概念」包含：分數的意義、分數比較大小、 等值分數、分數的稠密性、分數與小數的關係；「分數的計算」包含：分數的加法、 分數的減法、分數的來法、分數的除法；「分數的應用」則包含分數加法文字題、 分數減法文字題、分數乘法文字題、分數除法文字題（王瑞慶，2003）。如圖 3-3-1 圖 3-3-1 分數知識架構圖（引自王瑞慶，2003） 但是異分母分數加減法問題需使用「約分、擴分與通分」，亦即「因數與倍數」 的知識概念，加上分數加減和分數乘除的解題歷程與所需概念亦不盡相同，為使研 究單純化，方便控制變項，因此決定將研究訂在同分母分數加減範疇內，所以選擇 研究對象時，需考量我國小學現行數學課程在分數教材的編排方面，將分數的「同 分母分數加減」安排在小學中年級階段，但是目前國小教科書依據「一綱多本」原 分數知識 分數的概念 分數的計算 分數的應用 1 分數的意義 2 分數比較大小 3 等值分數 4 分數的稠密性 5 分數與小數的關係 1 分數的加法 2 分數的減法 3 分數的乘法 4 分數的減法 1 分數加法文字題 2 分數減法文字題 3 分數乘法文字題 4 分數除法文字題

則施行，使用不同版本的學生，完成分數的「同分母分數加減」課程時間不同，所 以，本研究是以使用南一版教科書的國小四年級教師和學生為研究對象。 本研究樣本的選取，在考量研究目的、時間和人力的因素下，於測驗試題編製 完成後，邀請臺中縣、臺中市、高雄縣國民小學四年級，其數學領域選用南一版教 科書的班級，共八個學校、三十五個班級的學生和老師進行施測，有效樣本 1175 人。 總言之： (一)本研究所稱之教師為：九十六學年度，使用南一出版社數學課本教授數學 的國小四年級老師，共 35 人。 (二)本研究所稱之學童為：九十六學年度，使用南一出版社數學課本的國小四 年級學生，共 1140 人。

第四節 研究工具之編製

本研究之主要研究工具為自編之「國小四年級學童同分母分數加減評量試題」 與引用國內研究者陳順榮（2007）「國民小學教師數學概念結構圖繪製施測表」，並 運用相關的統計軟體，茲將研究工具說明如下： (一)國小四年級學童同分母分數加減評量試題 （1）試題內容之概念架構 本試題的編製是由研究者參考：九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部， 2003）中和同分母分數加減課程相關的能力指標與分年細目，並參照九十五年南 一版的國民小學中年級數學領域教材內容中的分數課程，藉此找出分數課程編排 架構，以及分數教材地位圖，分數課程編排架構如表 3-4-1 所示，分數課程教材地 位圖如圖 3-4-1 所示，最後，再參酌分數概念的相關研究文獻，完成同分母分數加減 評量試題之內容概念架構。 表3-4-1 分數課程編排架構表 冊別 能力指標 分年細目 六 N-1-09能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。 3-n-09能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。 七 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的 意涵。 4-n-06能在平分情境中，理解分數之 「整數相除」的意涵。 八 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分 數，作同分母分數的比較、加 減與整數倍計算，並解決生活 中的問題。 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分 數，熟練假分數與帶分數的互 換，並進行同分母分數的比較、 加、減與非帶分數的整數倍的計 算。 八 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分 的意義。 4-n -08能理解等值分數，進行簡單異分 母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換。

圖 3-4-1 分數課程教材地位圖（南一版） （2）測驗試題的編製 1.試題編製之依據 本研究使用的研究工具「國小四年級學童同分母分數加減評量試題」，其編 製設計係依據九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部，2003），同時參照同分 母分數加減之教材內容要點（南一版，2006），用以瞭解國小四年級學童在同分 母分數加減的學習表現成就。 同分母分數加減之教材內容要點： （A）認識真分數、假分數、帶分數。 （B）能在離散量的情境中，透過操作活動以真分數、假分數或帶分數來描 第八冊 同分母分 數的加減 （包含假 分數、帶 分數）。 第六冊 認識單位分 數和真分數 分母 20 以 內，同分母真分 數的比較、合成 和分解活動。 第七冊 分母為 100 以內的分數。 利用個物的 多寡，比較單位 分數的大小。 第九冊 等值分數。 由等值分 數認識擴分和 約分。 第十冊 認識通分 和最簡分數。 異分母分 數的加減。

述內容物。 （C）能在連續量的情境中，透過操作活動以真分數、假分數或帶分數來描 述內容物。 （D）透過操作的活動，進行假分數和帶分數的互換。 （E）能進行同分母分數（分母＜20）的加減計算。 （F）能在具體情境中，解決同分母真分數的合成問題，並用有分數得算式， 摘要紀錄解題過程和結果。 （G）能在具體情境中，解決同分母假分數的合成問題，並用有分數得算式， 摘要紀錄解題過程和結果。 （H）能在具體情境中，解決同分母帶分數的合成問題，並用有分數得算式， 摘要紀錄解題過程和結果。 （I） 能在具體情境中，解決同分母真分數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結果。 （J） 能在具體情境中，解決同分母假分數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結果。 （k） 能在具體情境中，解決同分母帶分數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結果。 2.雙向細目表 本研究以數學的五個層次「知識」、「理解」、「應用」、「分析」、「綜合」當作橫 軸，同分母分數加減之教材內容為縱軸，來設計雙向細目表，所得之國小四年級學童 同分母分數加減評量試題雙向細目表，如下頁表3-4-2 ：

表3-4-2 國小四年級學童同分母分數加減評量試題雙向細目表 教 學 目 標 教 材 內 容 知 識 理 解 應 用 分 析 綜 合 認識真分數、假分數、帶分數。 1、2、3、 4、5、6、 7、8. 能在具體的情境中，透過操作活動 以真分數、假分數或帶分數來描述 內容物。 10 9 透過操作的活動，進行假分數和帶 分數的互換。 11、12、 13、14、 15、16 能進行同分母分數（分母＜20）的 加減計算。 17、18、 19、20 能在具體情境中，解決同分母真分 數的合成問題，並用有分數得算 式，摘要紀錄解題過程和結果。 21、 22、23 能在具體情境中，解決同分母假分 數的合成問題，並用有分數得算 式，摘要紀錄解題過程和結果。 31 能在具體情境中，解決同分母帶分 數的合成問題，並用有分數得算 式，摘要紀錄解題過程和結果。 34 能在具體情境中，解決同分母真分 數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結 果。 24、 25、 26、 27、29 能在具體情境中，解決同分母假分 數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結 果。 28、30 能在具體情境中，解決同分母帶分 數的分解、比較問題，並用有分數 得算式，摘要紀錄解題過程和結 果。 32、 33、35

（3）試題編製與命題原則 編製試題時，本研究乃依據九年一貫數學課程綱要中的能力指標及國小現 行同分母分數加減教材內容所歸納出之重點，再編製國小四年級學童同分母分 數加減評量試題之雙向細目表，試題內容係參考各出版社 95年出版之數學領域 教科書，包含南一、翰林、康軒、仁林和部編版本，以及各縣市國教輔導團有 關同分母分數的評量試題。舉例說明如下（引自教育部，2003）： 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數 的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數 倍的計算。 N-2-07 說明： 由本細目，開始發展分數的計算課題，建議分母小於 20，且用較常出現的 數，如 2，3，4，5，8，10，12，15，16，20 等。 由於分數本質上是一種乘除關係，一般其加減計算其實比乘除關計算複雜， 但是在同分母的情形，可以利用單位分數的點數，與整數的計算完全連結， 這就是本細目所處理的所有情形。建議教師先在一固定情境中（如平分披 薩），將課題說明清楚並作計算練習後，才開始做其他應用問題（如平分緞 帶）。 本細目應處理： （1）將整數點數與分數記號連結起來（例如 9 個1 4就是 9 4 ）。 （2）說明真分數、假分數、帶分數的意義。 （3）說明假分數與帶分數的轉換，並理解與分子除以分母的商與餘數的關係。 （4）說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結。 由於同分母分數的比較與加減，與學童的整數經驗完全相同，所以較容易。 因此，此細目可作假（真）分數的整數倍，但不作帶分數的整數倍。（參見 5-n-07）。在說明分數的整數倍時，先確定學童已能接受 4-n-06 中「若每位 小朋友有2 3個披薩，所以 3 個小朋友（3 倍）共有 2 3 個披薩×3＝2 個披薩」的 說明。教師可以採用整數乘法的經驗，建立整數倍的計算，也可與「整數相 除」的概念連結。簡單整數除數的情況也類似。

透過分解合成，理解加減互逆也可用於分數加減。 理解在帶分數減法時，可能要從整數借 1 的計算原理。並在以 10 為分母時， 理解這與小數相減借位的原理相通。 本細目處理完後，學童應能計算或理解： 16 30＜1＜ 45 30， 16 30 是真分數， 45 30 是假分數。 17 25＋ 34 25＝ 51 25＝2 1 25， 220 42－ 121 42＝ 99 42＝2 15 42。 21÷33＝21 33 （教師指定要寫成分數時）。 本研究的試題的編擬，掌握原則如下：符合九年一貫數學學習領域課程綱 要；配合教材內容；測驗內容符合研究目的。除此之外，命題也要符合下列原 則（余民寧，2002）： 1.內容要項： (A) 每個題目有明確的目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍與確定 的心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 (B) 在確定的內容向度上，題目與題目之間要互為獨立，避免發生題組間 相互依賴的情形。 (C) 試題的內容取材方面，避免使用過度特定或過度一般性的極端材料。 (D) 在心智活動向度考量上，應該聚焦在單一心智活動，而非一連串的心 智活動。 (E) 避免設計刻意的陷阱或無心的陷阱於試題之中。 2.題幹要項 (A) 使 用 有問題的題幹或是未完句。 (B) 確定題幹是十分清楚的。 (C) 將 試題的中心概念清楚呈現在題幹。 (D) 題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。 (E) 使用肯定句，避免否定用語、雙重否定或除此以外的用語。

（4）測驗試題的信度和效度 信度(reliability)又稱可靠性，係指測驗結果的穩定性而言（郭生玉，1989） 本研究者以 Cronbach’s 係數來求試題之內部一致性， 一份優良的教育測驗 至少應該具有.80以上的信度係數值，才具有使用的教育價值（吳明隆，2007）， 本研究的同分母分數加減評量試題編製完成後，以臺中縣九德國小五年級學生 共35人為預試施測對象，施測結果以SPSS求得α值為.890（如下表），其信度在 可接受之範圍內，再將試題內容的語句加以修飾並調整試題的順序，即可作為 正式施測之試題。 表3-4-3 同分母分數加減評量試題信度統計量表 Cronbach's 值 以標準化項目為準的 Cronbach's 值 項目的個數 .879 .890 26 效度（validity）亦即正確性，係指一個測驗能夠準確的測量到它所要測量之 能力或潛在特質的程度，或測驗能夠達到其編製目的的程度而言。本研究分別從內 容效度和專家效度兩方面說明。 1.內容效度： 內容效度的用途為有系統的檢查測驗內容的適切性，考量測驗內容取樣的適切 性，以及是否包括足夠的行為樣本。本研究中的測驗工具依據分數課程編排架構及 教材地位圖，發展出國小四年級學童同分母分數加減評量試題雙向細目表，再根據 命題原則逐一檢核所編製之試題，作為考驗內容效度之依據。 2.專家效度： 本研究完成試題初稿後，諮詢國立臺中教育大學專精於測驗的教授、臺中縣國 教輔導團數學領域教師，並邀請四位擁有數學教育碩士學位且教學經驗豐富的現職 教師進行審視試題是否恰當，根據其所提供的意見進行修改。 本研究的測驗試題經過上述原則與方式加以編製而成初稿，再將試題初稿請學 有專長之測驗專家及教學經驗豐富之學科專家提供意見進行修改，使試題更具內容 效度及專家效度，在預試中，本測驗試題的難度指數介於 0.27~0.92 之間，平均難度 為 0.73；鑑別度指數介於 0.23~0.55 之間，平均鑑別度為 0.41，皆屬可接受的範圍（郭 生玉，1995）。

(二)國民小學教師數學同分母分數加減概念結構圖繪製施測試題 （1）試題內容之概念架構（陳順榮，2007） 透過國小的分數教材分析，從 82 年版的國立編譯館所編之數學課 程、九年一貫課程綱要數學能力指標中，及國民小學（南一版）數學教師 手冊，參酌找出有關分數概念的發展脈絡，了解分數教學結構，及分數概 念學習的教材順序，其順序為： 「單位分數」「真分數」 「假分數」 「帶分數」 在分數運算活動部分，其順序為： 「合成與分解」活動「乘除」活動 在分數的加減計算學習活動中，其順序為： 第一階段：「在等分好、整體 1 能明顯出現之具體生活情境中（包含 連續量、離散量），能以真分數（分母20）描述內容物為單一個物的幾份， 並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成與分解活動（和＜ 1 )」 第二階段：「在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，進 行同分母真分數（但單位分數內容物為多個個物）的合成、分解、比較活 動以及簡單整數倍的問題，並理解等值分數的意義」（教育部，2001 ， 2003；陳順榮，2007）。 根據上述分數教材分析，予以建立同分母分數加減概念架構，將此同 分母分數加減概念架構分為加法和減法兩部分呈現，如圖 3-4-2 和圖 3-4-3。

圖 3-4-2 同分母分數加法概念架構圖 圖 3-4-3 同分母分數減法概念架構圖 帶分數減法 帶分數減真分數（需跟整數部分借 1） 帶分數減真分數（分數部份夠減） 正整數減真分數 1 減真分數 帶分數加法（分數部份合1） 帶分數加法（分數部份和＜1） 真分數加法（和1） 真分數加法（和＜1）