整數四則混合運算

壹、 教材分析

本研究之目的主要探討國小五年級學童整數四則混合運算之認知屬性表 現，故先探討整數四則混合運算在課程地位之重要性，再詳述國小五年級學童該 具備的整數四則混合運算能力為何。

國民小學數學課程依不同時期的發展分述如下，從兼顧社會生活需求和學童 身心發展的64年版課程標準，到強調學生本位、認知發展的82年版課程標準，以 能力培養、拓展「外部連結」為核心的89年暫行綱要、到強化演算能力和銜接高 中課程為目的的92年正式綱要、爲改善以階段劃分的能力指標在一綱多本下的缺 失而修訂的98年版九年一貫數學領域課程綱要（鍾靜，2005）。

曾爰靜（2010）在其研究中討論從單一版本時的64年版到82年版四則運算教 材引入的演變過程，透過比較發現：兩種版本的整數四則混合運算內容，在小學 四年級都已經出現，不過在64年版中有特別在五、六年級提出小數與分數的四則 運算，82年版並未特別提到。64年版比較以教師本位為主，希望學生以模仿老師 示範學得四則運算的規則，82年版卻認為應該是規則的了解，才引導出算則的產 生，才有進一步算則的記憶。

九年一貫課程是82年版的延續及擴展，92年正式綱要公布在第二階段（四至 五年級）要能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感，小學畢業前 則要能熟練小數與分數的四則計算；98年因階段劃分不同，修訂為第二階段(國小 三至四年級)能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；第三階段(國 小五至六年級)：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數

量關係，解決日常生活的問題。由課程綱要特別將四則混合計算於課程目標中提

第

三年級 3-n-02 能熟練加減直式計算（四

律、熟練運用四則運算性質。

在五年級分年細目詮釋中特別說明5-n-02是小學對於整數四則混合計算的總 結細目，學童應能熟練整數四則混合運算的性質，來簡化計算。這階段的學童應 能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則混合運算 的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。

而「四則運算的性質」包含加法與乘法的交換律、結合律，乘法對加法的分 配律以及先乘再除與先除再乘的結果相同、連除兩數相當於除以此兩數之積。並 且這些細目都是「檢查細目」，可以併入其他主題的教學，不一定要另立單元，

亦即整數四則混合計算已經融入其他學習主題之中，再次突顯其在數學學習上之 影響。教師若能藉由測驗結果分析、了解學童不熟練或錯誤的四則運算性質，除 了能夠進行有效的補救教學、節省補救教學時間，更能益助其他數學知識、技能 的順利建構和內化。

貳、 整數四則混合運算規則

四則運算是由多步驟運算概念衍生而來，為了使算式更加的簡潔，以便處理 更深入的問題，所以將二個以上的運算式併記成一個式子。其處理步驟如下：（謝 堅，2000）

1. 在產生併式時，人們先形成由左往右依次運算的共識

2. 當步驟愈多時，為了區別先算什麼，後算什麼，才用括號來標示先算的部 分，形成先算括號部分的共識。（括號內先算→由左到右）

3. 當問題更複雜，使用的括號數愈多時，由於日常生活中，先乘（除）後加

（減）的情境比先加（減）後乘（除）的情境多很多，如果要減少括號的 使用次數，當然優先省略使用頻率較多的情形，也就是省略乘、除部分的 括號；換句話說，形成先乘除後加減的共識，可以最經濟的使用括號，而 無法省略掉的括號仍然是需要最先處理的部分。（括號內先算→先乘除後

加減→由左到右）

4. 因為等號是等價關係，滿足遞移性，最後利用等號一步一步的完成四則混 合算式。

參、 四則混合運算相關研究

一、 四則混合運算的學習情形

曹宗萍（1988）藉由探討影響高屏地區國小六年級兒童四則問題解題過程及 相關因素，希望建立兒童四則問題解題過程表現的理解層次。研究結果發現：性 別不同的兒童在四則問題解題過程的表現上沒有任何顯著差異；語文能力的高 低、認知發展的快慢及閱讀理解能力的高低則都會影響兒童四則問題解題過程的 表現。建議教師在進行教材編製或實施教學時，應當注意這幾項因素造成學童學 習的個別差異情形。

陳博文（1996）對國小六年級數學低成就學童在四則運算之學習的研究中發 覺，學童在整數除法、四則混合運算上的學習較為困難。

陳家弘（1998）對六位台北市國小四年級數學學習障礙學生解四則運算問題 採質的分析，其發現有：括號的運用為數學學習障礙學生的解題策略之一。

江鈞正（2004）由研究國小五年級學生在線上多媒體系統輔助教學之前後，

整數四則混合運算應用問題解題能力的變化結果發現：雖然經過線上多媒體教學 與傳統教學法二種方法的實驗後，學生在前後測成績的比較上，均有明顯的提 高，但學生對用電腦來學習數學的正面評價比傳統教學高；更能提高學生學習應 用問題的興趣。

蘇勝峰（2005）在調查屏東地區國一學生分數四則混合運算的研究中提出，

學生沒有確實瞭解四則混合運算的規則，喜歡從簡單或容易運算的部分先著手，

所以算式中先算乘再算除；為了好計算，甚至忽略了先乘除後加減的運算規則。

二、 四則混合運算對數學學習的影響

陳博文（1996）對國小六年級數學低成就學童在四則運算之學習的研究中發 覺，學童在整數除法、四則混合運算上的學習較為困難，而且先前的錯誤會在後 續同類型的運算中出現，造成往後學習上的困擾。

陳家弘（1998）提及影響學習數學的可能因素有：認知技能不足、缺乏學習 持續力、語言上的困難、推理及思考能力低落、記憶力的缺失。

蘇勝峰（2005）認為學生的四則運算能力是所有計算能力的基礎；四則運算 能力是所有計算的基礎，並進一步分析出缺乏整數四則混合運算技能的先備知識 是影響分數概念與運算錯誤的原因，因此建議教師宜在授課前，針對整數四則混 合運算的類型做複習，以降低學生的錯誤機會。

李如弘（2008）的研究歸納出，五年級學生在解時間化聚問題時，對於繁複 的計算較容易出錯，因此建議加強四則混合運算的計算能力。

三、 整數四則混合運算之錯誤類型

劉天民（1993）調查高雄地區國一學生在整數與分數四則運算之錯誤情形，

由紙筆測驗及深入面談中蒐集關於四則運算錯誤類型如下：學生對四則運算的規 則，運用不太恰當，忽略了先乘除後加減的規則。

吳惠貞（2006）以自編的「整數四則運算測驗」工具，探討高雄縣及臺南縣 兩所國小五年級學童整數四則運算概念學習表現，發現國小五年級學童在整數四 則運算上之錯誤類型可歸納為：四則運算規則運用錯誤、算式或答案不完整、粗 心而導致之計算錯誤、抄錯題目、列式錯誤、隨意回答或空白等。並由錯誤中歸 納出下列發現：

1. 學童在兩步驟的四則運算類型中，以「含有括號」的錯誤率最低，以「沒 有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最高；在三步驟的運算中，

以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。

為在運算時也要先算加法再算減法、先算乘法再算除法，因而做出錯誤推 論，形成運算上的錯誤。

張育綾（2008）以自編的「四則運算解題測驗」為研究工具，分別就台中市、

台中縣（於2010合併為台中市）、彰化縣國小五年級學童進行四則運算概念的縱 貫研究，並根據潛在類別分析的分群結果，探討學童四則運算概念認知結構的變 化。相關結論如下：

1. 文字題部分以「使用括號」較不熟練，非文字題部分以「先乘除後加減」

尚需加強。

2. 潛在類別分析三大運算規則的分群結果，除了分群組數不同，且不同群學 童在各規則下的認知結構也有所不同。

綜合以上所述，整數四則混合計算已經融入其他學習主題之中，五年級學童 應能熟悉各種混合計算的約定，避免因先前的錯誤造成往後學習上的困擾，例 如：影響分數或時間混合計算的學習。

整數四則混合計算性質的不精熟，造成學童喜歡從簡單或容易運算的部分先 著手，因此產生了下列情形：忽略「先乘除後加減」，將「先乘除後加減」錯誤 推論為先算加法再算減法、先算乘法再算除法，不懂得在文字題中「使用括號」

來區分計算順序。