認知診斷模式及試題關聯結構分析在國小五年級整數四則混合運算之研究

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：曾建銘. 博士. 施淑娟. 博士. 指導教授：. 認知診斷模式及試題關聯結構分析在國小五年級整數四則混合運算之研究. 研究生：劉曉縈撰. 中華民國一 ○ 一年七月.

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(3) 謝. 誌. 四個暑假的堅持，在101年度得以開花結果，求學期間，教職歷經三所學校；由桃園市會稽國小轉調至彰化縣大莊國小、超額至北斗國小；在不斷適應工作環境轉換的衝擊中，感謝恩師 ― 曾建銘老師循循善誘地耐心指導，以及研究夥伴思綺、昱泓的共同鞭策，才得以順利完成碩士論文。為期兩年的每個月討論中，總能迸出不同的火花，從題目擬定、蒐集文獻、製作及修改試卷、資料回收分析、文章撰寫……一次又一次的聚焦，每次總懷抱著期待的心相聚、滿懷希望的心離去，而在曾老師的提點及鼓勵下，使我們的步伐走得相當愉快、踏實。感謝口試委員許天維院長、施淑娟老師、吳慧珉老師撥冗指點不完善之處，並且給予修改上的指教。感謝研究所同學三年來的陪伴，感謝協助完成此份研究的人們。感謝父母在我修業期間對我無止境的支持及體諒，曉縈謹以這份榮耀與親愛的父母共享！. 劉曉縈. 謹誌. 於國立臺中教育大學教育測驗統計研究所中華民國一○一年七月.

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(5) 摘. 要. 本研究以NAEP架構及九年一貫課程綱要中整數四則混合運算為基礎，以自編之「五年級整數四則混合運算診斷測驗」為研究工具，應用認知診斷模式及試題關聯結構分析法的知識結構圖，來探究學生施測結果的認知診斷模式適配情形、五年級學生整數四則混合運算的精熟程度，以及認知診斷模式與知識結構之關係。研究結果顯示：一、本研究資料適合用G-DINA模式來分析，學生在解題時所缺乏的認知屬性，會利用其他認知屬性來彌補。二、「括號內先算」為整數四則混合運算的先備知識。三、「先乘除，後加減」會被錯誤推論「先乘再除」、「先加再減」，後者被低分組學生錯誤使用的情形高於高分組。四、高分組學生在作答反應中所提取的認知屬性量較少，較接近專家所建構出來的型態；低分組學生在作答反應中會提取多種不確定的認知屬性組合來解題，導致認知屬性間相互干擾，不能有效的解題。五、每個試題中可能會有主要的解題認知屬性，透過試題關聯結構圖可以檢視學生知識結構中認知屬性的相關性，作為審查認知診斷模式中Q矩陣之參考。. 關鍵字：整數四則混合運算、G-DINA模式、試題關聯結構分析. I.

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(7) A Study of Integer Arithmetic in the Fifth Grade of Elementary School Using The Cognitive Diagnostic Models and Item Relation Structure Analysis Abstract Based on the NAEP framework, the integer arithmetic of Grade 1-9 Curriculum Guidelines and the research tool, the fifth grade integer arithmetic diagnostic test, this study performed cognitive diagnostic model and the knowledge structure of IRS (item relation structure) to investigate the fitness of the cognitive diagnostic model, the proficiency of the fifth graders’ mixed integer arithmetic, and the relationship between the cognitive diagnostic mode and IRS. The study had the following results. 1.. The study used G-DINA model to analyze the testing data and found that the students would use others to compensate the lack of cognitive attributes when solving problems.. 2.. The prior knowledge of the mixed integer arithmetic was “the content bracketed is the first consideration”.. 3.. “Multiplication and division must be completed before performing addition and subtraction” was always considered as “perform multiplication before division” and “perform addition before subtraction”. Especially the latter term was always misused by low-grade students.. 4.. The results from HA (high-achievers) was closer to the mode constructed by the experts because they extracted less cognitive attributes when answering the problems. The results from LA (low-achievers) showed that they would extract many uncertain cognitive attributed combinations and resulted in the interference of cognitive attributes and an ineffective problem-solving.. 5.. There may be a major problem-solving cognitive attributes for each question. The study could examine the relationship between the cognitive attributes of knowledge structure through by the IRS diagram and as the reference of the Q matrix in the cognitive diagnostic mode.. Keywords: integer arithmetic、G-DINA model、item relation structure. III.

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(9) 目. 錄. 摘要 ......................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... III 目錄 ........................................................................................................................................V 表目錄 ......................................................................................................................................VII 圖目錄 ....................................................................................................................................... IX 第一章緒論 ........................................................................................................................ 1 第一節. 研究動機 ................................................................................................................ 1. 第二節. 研究目的 ................................................................................................................ 4. 第三節. 研究問題 ................................................................................................................ 4. 第四節. 名詞解釋 ................................................................................................................ 4. 第五節. 研究範圍與限制 .................................................................................................... 5. 第二章. 文獻探討 ................................................................................................................ 7. 第一節. 整數四則混合運算 ................................................................................................ 7. 第二節. 測驗分析 .............................................................................................................. 14. 第三節. 認知診斷評量與診斷模式 .................................................................................. 21. 第四節. 試題關聯結構分析 .............................................................................................. 28. 第三章. 研究方法 .............................................................................................................. 35. 第一節. 研究架構 .............................................................................................................. 35. 第二節. 研究流程 .............................................................................................................. 36. 第三節. 研究工具 .............................................................................................................. 37. 第四節. 研究對象 .............................................................................................................. 43. 第五節. 資料處理與分析 .................................................................................................. 44. 第四章. 結果與討論 .......................................................................................................... 47. 第一節. 測驗分析 .............................................................................................................. 47. 第二節. 認知診斷模式適配情形 ...................................................................................... 48. 第三節. 整數四則混合運算認知屬性的精熟情形 .......................................................... 49. 第四節. 試題關聯結構分析 .............................................................................................. 60. 第五節. G-DINA 模式與 IRS 結構圖的關聯性探討 ......................................................... 75. 第五章. 結論與建議 .......................................................................................................... 89. 第一節. 結論 ...................................................................................................................... 89. 第二節. 建議 ...................................................................................................................... 91. V.

(10) 參考文獻 .................................................................................................................................. 93 一、中文文獻 ..................................................................................................................... 93 二、外文文獻 ..................................................................................................................... 96 附錄........................................................................................................................................ 99 附錄一. 自編整數四則混合運算測驗.............................................................................. 99. 附錄二. 「整數四則混合運算測驗」試題檢核表........................................................ 104. VI.

(11) 表目錄表 2-1 89 年、92 年整數四則混合運算之能力指標對照表 ..................................8 表 2-2 一~五年級整數四則混合運算相關分年細目表 ..........................................9 表 2-3 分數減法認知屬性 .......................................................................................23 表 2-4 de la Torre(2009a)中 Q 矩陣範例說明 ........................................................23 表 2-5 受試者的認知屬性狀態 ...............................................................................25 表 2-6 試題 i 跟 j 的聯合邊界機率 ........................................................................29 表 2-7 試題順序性係數 ...........................................................................................30 表 3-1 認知屬性與能力指標對應表 .......................................................................37 表 3-2 五年級整數四則混合運算測驗雙向細目表...............................................38 表 3-3 專家初次討論出的認知屬性組合...............................................................39 表 3-4 認知屬性組合與建議屬性的分析比較.......................................................39 表 3-5 新的認知屬性組合方案...............................................................................41 表 3-6 本研究的 Q 矩陣 ..........................................................................................42 表 3-7 認知屬性題號分配表 ...................................................................................42 表 3-8 正式施測有效樣本數 ...................................................................................43 表 4-1 CTT 試題分析表 ..........................................................................................47 表 4-2 測驗適配統計分析表 ...................................................................................49 表 4-3 全體學生精熟程度分析表 ...........................................................................50 表 4-4 全體學生在各試題中認知屬性組合型態的答對率參數估計 ..................52 表 4-5 受試者不具備任何認知屬性時，答對機率高於其他組合型態之探討 ..53 表 4-6 受試者具備全部認知屬性時，答對機率低於其他組合型態之探討 ......54 表 4-7 高、低分組精熟程度分析表 .......................................................................55 表 4-8 高、低分組學生在各試題中認知屬性組合型態的答對率參數估計 ......57 表 4-9 高、低分組試題屬性建議參數...................................................................58 表 4-10 閾值為 0.2 時的順序性關係探討................................................................61 表 4-11 閾值為 0.25 時的順序性關係探討 ..............................................................61 表 4-12 閾值為 0.3 時的順序性關係探討................................................................61 表 4-13 閾值為 0.35 時的順序性關係探討..............................................................62 表 4-14 閾值為 0.4 時的順序性關係探討................................................................62 表 4-15 K1 為共通認知屬性的試題 .........................................................................63 表 4-16 K2 為共通認知屬性的試題 .........................................................................65 表 4-17 K3 為共通認知屬性的試題 .........................................................................67 表 4-18 K4 為共通認知屬性的試題 .........................................................................69 表 4-19 K5 為共通認知屬性的試題 .........................................................................71 表 4-20 K7 為共通認知屬性的試題 .........................................................................73. VII.

(12) 表 4-21 表 4-22 表 4-23 表 4-24 表 4-25 表 4-26 表 4-27 表 4-28. 試題 5 的認知屬性組合型態參數估計 ...................................................... 75 試題 8 的認知屬性組合型態參數估計 ...................................................... 77 試題 11 的認知屬性組合型態參數估計 .................................................... 78 試題 21 的認知屬性組合型態參數估計 .................................................... 79 試題 10 的認知屬性組合型態參數估計 .................................................... 80 試題 12、13 的認知屬性組合型態參數估計 ............................................ 82 試題 17 的認知屬性組合型態參數估計 .................................................... 84 試題 22 的認知屬性組合型態參數估計 .................................................... 86. VIII.

(13) 圖目錄圖 2-1 DINA 反應程序圖 ........................................................................................24 圖 2-2 試題關聯結構圖之簡化過程.......................................................................31 圖 3-1 研究架構 .......................................................................................................35 圖 3-2 研究流程 ................................................................... 錯誤! 尚未定義書籤。圖 4-1 K1 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生 ..................................63 圖 4-2 K1 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................64 圖 4-3 K2 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生 ..................................65 圖 4-4 K2 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................66 圖 4-5 K3 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生 ..................................67 圖 4-6 K3 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................68 圖 4-7 K4 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生 ..................................69 圖 4-8 K4 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................70 圖 4-9 K5 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生 ..................................71 圖 4-10 K5 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................72 圖 4-11 K7 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~全體學生...................................73 圖 4-12 K7 為共通認知屬性的試題關聯結構圖~高低分組學生 ..........................74 圖 4-13 試題 5 的認知屬性組合型態關聯結構圖...................................................75 圖 4-14 試題 8 的認知屬性組合型態關聯結構圖...................................................77 圖 4-15 試題 11 的認知屬性組合型態關聯結構圖 .................................................78 圖 4-16 試題 21 的認知屬性組合型態關聯結構圖.................................................79 圖 4-17 試題 10 的認知屬性組合型態關聯結構圖.................................................80 圖 4-18 試題 12、13 的認知屬性組合型態關聯結構圖 ........................................82 圖 4-19 試題 17 的認知屬性組合型態關聯結構圖.................................................84 圖 4-20 試題 17 與試題 21 的關聯結構圖...............................................................84 圖 4-21 試題 22 的認知屬性組合型態關聯結構圖.................................................86 圖 4-22 試題 22 與試題 16 的關聯結構圖...............................................................86. IX.

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(15) 第一章緒論本研究以National Assessment of Educational Progress（NAEP）架構及九年一貫課程綱要中整數四則混合計算細目為基礎，編製標準化之「五年級整數四則混合運算診斷測驗」，再以測驗工具檢視五年級學童對於四則混合運算之約定的熟練情況，利用學生施測結果分析不同認知診斷模式適配度及知識結構，進而探討模式與知識結構之關係。本章分為四節，第一節說明研究動機，第二節列舉研究目的，第三節依研究目的擬定研究問題，第四節為本研究專有名詞的解釋，第五節解釋研究的範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 九年一貫數學領域課程綱要明白定出國民小學學生在第二階段(三、四年級) 要能熟練非負整數的四則混合運算，並須於小學畢業前，能熟練小數與分數的四則運算（教育部，2003）；顯見四則運算在數與量上具有舉足輕重的地位。吳進寶（2005）的研究中提及教育部於94學年度起逐年實施的數學領域課程綱要，因為面臨國小階段與國中階段，使用不同課程標準的狀況，為協助這些學生平順銜接二套課程標準，而規劃「國民中小學數學課程銜接補強建議」。建議中指出在一至三年級要加強三位數以內的加減法直式計算及熟練九九乘法，還特別指示五年級下學期在處理情境問題與理解算式約定之後，提供更多去情境之練習題，藉以熟練直式計算來「加強四則混合計算（不超過三步驟）」（教育部，2003），除了強調整數四則混合運算在數與量的課程上的重要，更不可忽視其對國中、高中階段之影響，若學生能具備熟練的四則運算能力，則可減少未來數學學習的挫敗感(蘇慧娟，1998；蘇勝峰，2005)。學生在學習過程中可能因為先備知識不足或錯誤而造成學習遷移困難，若未. 1.

(16) 能及早斷定出困難所在，惡性循環下，甚至產生更多的挫敗。透過詳盡的錯誤類型分析，越能明確的找出錯誤概念、釐清錯誤想法，還能提供教師補救教學的有效切入點，並作為將來教學的引鑑。學生是否精熟某種概念，可由其作答反應過程中得知，這些訊息方能幫助老師或學生瞭解哪一類的學習具有學習成效，透過錯誤類型的分析，診斷出學習困難所在，使老師在教學及補救上得以對症下藥，而不是又從頭到尾照單全"教"，所以測驗要具有能藉由作答反應組型，反映學生知識狀態的功用。試題關聯結構分析理論(item relation structure,IRS)能從測驗結果之分析獲得學生學習概念所呈現之結構圖，藉此暸解學習者概念建構情形。其結構圖也可與教師依教材特性所建構的學習結構圖或教科書中的教材地位分析圖做比較，比較結果對於改善教學方法與教材設計都有莫大的幫助。 Nichols（1994）以心理學發展的理論為基礎，將心理計量學與認知科學結合，發展出新的診斷評量方法，此方法稱之為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment,CDA)。認知診斷評量結果會因受試者之認知歷程與知識結構不同，而產生不同的診斷訊息，因此主張可以透過受試者的作答反應型態來比較生手與專家的知識結構差異，以進一步知悉受試者的知識建構過程，並推論出知識結構和認知歷程的可能狀態。認知診斷評量中的認知診斷模式（cognitively diagnostic models,CDMs）是使用於判斷受試者學習優勢與劣勢的心理計量學模式，其可以有效測量出受試者的學習，讓施測者得以依據測驗結果了解受試者的認知結構、診斷學習成效及錯誤類型，進而設計補救教學方案。教師可以運用認知診斷模式來檢視學生於測驗中是否因缺乏某種認知屬性而造成知識結構不完整或認知歷程的不順遂。學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念連結成個別的、具層級性的架構，這種存在於長期記憶中，能夠顯示出概念間關係的組織稱為知識結構（涂金堂，2003；吳德虎，2008）。Appleby, Samuel,& Treasure-Jones（1997）指出數學. 2.

(17) 知識具有結構性及階層性。NAEP(NAGB,2002)認為學生在特定的數學知識內的表現就是他的數學能力；數學能力包含概念理解(conceptual understanding)、程序知識( procedural knowledge)和問題解決(problem solving)三個層次。李源順（2005）指出我國大學入學考試中心在進行學生試題分析時也採用此一數學能力做為分析的向度。近來認知心理學家將知識區分為「陳述性知識」（declarative knowledge）及「程序性知識」（procedural knowledge）兩類，分別指事實資料的「記憶」及運用過程的「技能」，兩者密不可分。如解決四則運算問題（程序性知識），需用到加、減、乘、除的記憶（陳述性知識），而四則運算的概念（陳述性知識）也在運作（程序性知識）中形成。Jonassen, Beissner & Yacci (1993)認為知識結構是陳述性知識與程序性知識的媒介，有助於了解認知的過程。而使用在實施補救教學時所需要的補救教學知識結構，更是仰賴學生知識結構的基礎，並參照專家知識結構而得（楊淑菁，2008）。基於上述動機，本研究擬依據數學領域課程綱要之五年級分年細目中「整數四則混合運算的總結細目」（教育部，2003），以及學生常發生的錯誤類型為選項編列之考量，來進行標準化測驗編製，透過試題分析、認知診斷模式分析、試題關聯結構分析來檢視五年級學童對於整數四則混合運算之性質的熟練情況，探討學生在整數四則混合運算的知識結構及相關概念的發展順序，以及提供教學者關於學生錯誤類型的診斷分析，了解其錯誤原因，供其進行有效補救之參考。. 3.

(18) 第二節. 研究目的. 根據上述研究動機，本研究提出研究目的如下：一、 DINA與G-DINA模式之適配度分析比較。二、了解五年級學生在整數四則混合運算認知屬性的精熟度。三、高、低分組學生在整數四則混合運算認知屬性精熟差異情形分析。四、探討整數四則混合運算中知識結構與認知診斷模式的關聯性。. 第三節. 研究問題. 根據上述研究目的，本研究的待答問題如下：一、 DINA模式及G-DINA模式相對比較下，哪一種模式較適配？二、五年級學生在整數四則混合運算中各個認知屬性的精熟程度為何？三、高、低分組學生在整數四則混合運算中各個認知屬性精熟差異情形為何？四、整數四則混合運算的IRS結構圖與認知診斷模式之間的關聯程度為何？. 第四節. 名詞解釋. 壹、整數四則混合計算四則運算是由多步驟運算概念衍生而來，為了使算式更加的簡潔，以便處理更深入的問題，所以將二個以上的運算式合併記成一個式子。在每一學習階段中都有相關整數四則混合運算的分年細目，其中5-n-02「能熟練整數四則混合計算」是小學對於整數四則混合計算的總結細目，這階段的學童應能熟練的使用各種混合計算的約定，同時能利用整數四則混合運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。這裡所指熟練使用的約定為「括號. 4.

(19) 內先算」，然後「先乘除、後加減」，最後才是「由左到右計算」。. 貳、知識結構圖知識結構是儲存在長期記憶中的一個能夠顯示出概念間關係的組織（涂金堂，2003；吳德虎，2008）。學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念組織成個別的、具層級性的知識結構，這種結構關係，是攸關個人在運用（輸出）、重組（輸入）知識時的成敗關鍵。本研究的知識結構圖乃指將測驗結果量化，運用試題關聯結構分析理論分析後獲得的，藉以提供更多訊息作為教學者了解學童學習時的知識發展歷程。. 參、認知診斷模式認知診斷模式可分為潛在特質模式及潛在分類模式兩大類。本研究拿來探討的為潛在分類模式中的DINA模式和G-DINA模式，這兩種模式適用於二元計分的測驗，主要用來分析受試者的作答反應及潛在知識結構，讓施測者了解受試者在測驗中的錯誤類型或缺乏何種潛在能力。. 肆、 Q矩陣(Q-matrix) Q矩陣表示測驗中個別試題所需的特定概念或技能（通稱為認知屬性）的所有集合，若一份測驗中有J個試題及K個認知屬性，則Q矩陣大小為J×K。首先依教學目標找出解題時該擁有的認知屬性，再將認知屬性組合成試題，接著藉由關聯矩陣（incidence matrix）來說明試題與認知屬性之間的關係；大多數的CDMs中通常以Q矩陣（Q-matrix）來表示。Q矩陣及受試者的反應組型可協助施測者來推估受試者精熟或未精熟哪些認知屬性。. 第五節. 研究範圍與限制. 壹、研究範圍. 5.

(20) 一、四則運算是指含有加、減、乘、除運算符號的運算，本研究所謂的整數四則混合運算使用整數及兩種以上的不同運算符號來設計算式，並以併式方式呈現。小數、分數、多步驟的運算皆不在本研究範圍之內。二、本研究所指之認知診斷模式乃是潛在分類模式中的 DINA 模式和 G-DINA模式，潛在特質模式及其他的潛在分類模式皆不在本研究範圍之內。. 貳、研究限制一、「四則運算的性質」在五年級分年細目詮釋中為「檢查細目」（教育部， 2003），可以併入其他主題的教學，不一定要另立單元，故而本研究所設計之整數四則混合運算試題旨在了解運算符號之運用及三位數以內計算的熟練程度。因此對列式能力或其它數字型態的推論，應採取保留的態度。二、受限於各校使用版本不同，還有受測時間必須在五年級四則混合運算的單元學習完後立即進行，其施測時之環境、心理因素，非本研究者所能控制。三、本研究為立意取樣，對象是一百學年度彰化縣、臺中市、苗栗縣、桃園縣部分學校的五年級學童，因此，分析結果可能會受取樣影響，造成本研究結果推論上的限制。四、測驗試題以選擇題型式製作，每一試題有4個選項，扣除正確選項後，只有三個誘答選項來分析及歸類錯誤類型，未能盡善盡美的解釋學生可能犯的所有錯誤類型。. 6.

(21) 第二章文獻探討第一節. 整數四則混合運算. 壹、教材分析本研究之目的主要探討國小五年級學童整數四則混合運算之認知屬性表現，故先探討整數四則混合運算在課程地位之重要性，再詳述國小五年級學童該具備的整數四則混合運算能力為何。國民小學數學課程依不同時期的發展分述如下，從兼顧社會生活需求和學童身心發展的64年版課程標準，到強調學生本位、認知發展的82年版課程標準，以能力培養、拓展「外部連結」為核心的89年暫行綱要、到強化演算能力和銜接高中課程為目的的92年正式綱要、爲改善以階段劃分的能力指標在一綱多本下的缺失而修訂的98年版九年一貫數學領域課程綱要（鍾靜，2005）。曾爰靜（2010）在其研究中討論從單一版本時的64年版到82年版四則運算教材引入的演變過程，透過比較發現：兩種版本的整數四則混合運算內容，在小學四年級都已經出現，不過在64年版中有特別在五、六年級提出小數與分數的四則運算，82年版並未特別提到。64年版比較以教師本位為主，希望學生以模仿老師示範學得四則運算的規則，82年版卻認為應該是規則的了解，才引導出算則的產生，才有進一步算則的記憶。九年一貫課程是82年版的延續及擴展，92年正式綱要公布在第二階段（四至五年級）要能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感，小學畢業前則要能熟練小數與分數的四則計算；98年因階段劃分不同，修訂為第二階段(國小三至四年級)能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；第三階段(國小五至六年級)：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數. 7.

(22) 量關係，解決日常生活的問題。由課程綱要特別將四則混合計算於課程目標中提出，可見其在數學學習上的重要性，但因本研究對象所使用之教材乃依據92年正式綱要編製，因而本研究不探討98年版之課程綱要。本研究分析國內整數四則混合運算教材內容相關文獻（張育綾，2005；陳國雄，2006；曾爰靜，2010；葉金蓉，2009），茲將89年、92年數學領域課程綱要中國小階段整數四則混合運算能力指標比較整理列述如下表：表 2-1 89 年、92 年數學領域課程綱要國小階段整數四則混合運算之能力指標對照表階段 89 年暫行綱要 92 年第【一~三年級】【一~三年級】一 N-1-14 在情境中理解加法和 N-1-08 能在具體情境中，解階減法的相互關係及加法交決簡單兩步驟問題。段換律。 A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡化計算。第【四~五年級】【四~五年級】二 N-2-2 延伸加、減、乘、除與 N-2-02 能熟練整數加、減、階情境的意義，使能適用來解乘、除的直式計算。段決更多的生活情境問題，並 N-2-03 能熟練整數四則混合能用計算器械處理大數的運算，並解決生活中的問計算。題。 N-2-3 能理解加、減的直式算 A-2-01 能在具體情境中，理則。解乘法結合律、乘法對加法 N-2-14 能在情境中，理解乘的分配律與其他乘除混合法交換律、等號的對稱性、計算之性質，並運用於簡化「<、=、>」的遞移性、加計算。法和乘法的結合律與分配律，以及乘法和除法的相互關係。 N-2-16 能知道先乘除後加減的約定，並能用來列式及簡化計算式子。. 8.

(23) 第三階段. 【六~七年級】【六~七年級】 N-3-2 能嘗試理解乘、除的直 N-3-11 能熟練正負數的混合式算則--6 年級四則運算。. 分析上表，四則計算能力由89年的知道、理解，深入到92年的運用、熟練，符合課程強調的四則計算能力為國、高中數學學習的基礎，在熟能生巧下，才能減少學習新課程的阻力。因多數指標須採分年教學，方能漸近達成其教學目標，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，方能明確掌握分年教學的目標。92年版數學學習領域綱要中訂出國小五年級前該熟練的整數四則混合運算相關分年細目如下表：表 2-2. 92 年版數學學習領域綱要一~五年級整數四則混合運算相關分年細目表分年細目年級數與量代數一年級 1-n-06 能作一位數之連加、連減 1-a-02 能在具體情境中，認識加與加減混合計算。法的交換律、結合律，並運用於簡化計算。 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。二年級 2-n-03 能用＜、＝與＞表示數量 2-a-01 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認大小關係，並在具體情境中認識遞移律。（同 2-a-01）識遞移律。（同 2-n-03） 2-n-04 能熟練二位數加減直式 2-a-02 能將具體情境中單步驟計算。的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。 2-n-05 能作連加、連減與加減混 2-a-03 能在具體情境中，認識乘合計算。法交換律。 2-n-06 能理解乘法的意義，使用 2-a-04 能理解加減互逆，並運用 ×、＝作橫式紀錄，並解決生活於驗算與解題。中的問題。 2-n-08 能理解九九乘法。 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加與減，不含併式)。. 9.

(24) 三年級 3-n-02 能熟練加減直式計算（四位數以內，和＜10000，含多重借位）。 3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。 3-n-04 能理解除法的意義，運用 ÷、＝作橫式紀錄（包括有餘數的情況），並解決生活中的問題。。 3-n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算。 3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與除，不含併式）。四年級 4-n-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。. 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆。. 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 4-n-03 能在具體情境中，解決兩 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用步驟問題，並學習併式的記法於驗算與解題。（包括連乘、連除、乘除混合）。 4-n-04 能作整數四則混合計算（兩步驟）。五年級 5-n-01 能在具體情境中，解決三 5-a-01 能在具體情境中，理解乘步驟問題。法對加法的分配律，並運用於簡化計算。 5-n-02 能熟練整數四則混合計 5-a-02 能熟練運用四則運算的性算。質，做整數四則混合計算。二年級時要認識乘法交換律、能作加減混合計算；三年級要熟練乘除法計算、以及熟練四位數以內，和小於10000，含多重借位的加減混合計算；四年級要能作整數四則混合計算，還有理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積；五年級要理解乘法對加法的分配. 10.

(25) 律、熟練運用四則運算性質。在五年級分年細目詮釋中特別說明5-n-02是小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟練整數四則混合運算的性質，來簡化計算。這階段的學童應能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則混合運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。而「四則運算的性質」包含加法與乘法的交換律、結合律，乘法對加法的分配律以及先乘再除與先除再乘的結果相同、連除兩數相當於除以此兩數之積。並且這些細目都是「檢查細目」，可以併入其他主題的教學，不一定要另立單元，亦即整數四則混合計算已經融入其他學習主題之中，再次突顯其在數學學習上之影響。教師若能藉由測驗結果分析、了解學童不熟練或錯誤的四則運算性質，除了能夠進行有效的補救教學、節省補救教學時間，更能益助其他數學知識、技能的順利建構和內化。. 貳、整數四則混合運算規則四則運算是由多步驟運算概念衍生而來，為了使算式更加的簡潔，以便處理更深入的問題，所以將二個以上的運算式併記成一個式子。其處理步驟如下：（謝堅，2000） 1. 在產生併式時，人們先形成由左往右依次運算的共識 2. 當步驟愈多時，為了區別先算什麼，後算什麼，才用括號來標示先算的部分，形成先算括號部分的共識。（括號內先算→由左到右） 3. 當問題更複雜，使用的括號數愈多時，由於日常生活中，先乘（除）後加（減）的情境比先加（減）後乘（除）的情境多很多，如果要減少括號的使用次數，當然優先省略使用頻率較多的情形，也就是省略乘、除部分的括號；換句話說，形成先乘除後加減的共識，可以最經濟的使用括號，而無法省略掉的括號仍然是需要最先處理的部分。（括號內先算→先乘除後. 11.

(26) 加減→由左到右） 4. 因為等號是等價關係，滿足遞移性，最後利用等號一步一步的完成四則混合算式。. 參、四則混合運算相關研究一、四則混合運算的學習情形曹宗萍（1988）藉由探討影響高屏地區國小六年級兒童四則問題解題過程及相關因素，希望建立兒童四則問題解題過程表現的理解層次。研究結果發現：性別不同的兒童在四則問題解題過程的表現上沒有任何顯著差異；語文能力的高低、認知發展的快慢及閱讀理解能力的高低則都會影響兒童四則問題解題過程的表現。建議教師在進行教材編製或實施教學時，應當注意這幾項因素造成學童學習的個別差異情形。陳博文（1996）對國小六年級數學低成就學童在四則運算之學習的研究中發覺，學童在整數除法、四則混合運算上的學習較為困難。陳家弘（1998）對六位台北市國小四年級數學學習障礙學生解四則運算問題採質的分析，其發現有：括號的運用為數學學習障礙學生的解題策略之一。江鈞正（2004）由研究國小五年級學生在線上多媒體系統輔助教學之前後，整數四則混合運算應用問題解題能力的變化結果發現：雖然經過線上多媒體教學與傳統教學法二種方法的實驗後，學生在前後測成績的比較上，均有明顯的提高，但學生對用電腦來學習數學的正面評價比傳統教學高；更能提高學生學習應用問題的興趣。蘇勝峰（2005）在調查屏東地區國一學生分數四則混合運算的研究中提出，學生沒有確實瞭解四則混合運算的規則，喜歡從簡單或容易運算的部分先著手，所以算式中先算乘再算除；為了好計算，甚至忽略了先乘除後加減的運算規則。. 12.

(27) 二、四則混合運算對數學學習的影響陳博文（1996）對國小六年級數學低成就學童在四則運算之學習的研究中發覺，學童在整數除法、四則混合運算上的學習較為困難，而且先前的錯誤會在後續同類型的運算中出現，造成往後學習上的困擾。陳家弘（1998）提及影響學習數學的可能因素有：認知技能不足、缺乏學習持續力、語言上的困難、推理及思考能力低落、記憶力的缺失。蘇勝峰（2005）認為學生的四則運算能力是所有計算能力的基礎；四則運算能力是所有計算的基礎，並進一步分析出缺乏整數四則混合運算技能的先備知識是影響分數概念與運算錯誤的原因，因此建議教師宜在授課前，針對整數四則混合運算的類型做複習，以降低學生的錯誤機會。李如弘（2008）的研究歸納出，五年級學生在解時間化聚問題時，對於繁複的計算較容易出錯，因此建議加強四則混合運算的計算能力。三、整數四則混合運算之錯誤類型劉天民（1993）調查高雄地區國一學生在整數與分數四則運算之錯誤情形，由紙筆測驗及深入面談中蒐集關於四則運算錯誤類型如下：學生對四則運算的規則，運用不太恰當，忽略了先乘除後加減的規則。吳惠貞（2006）以自編的「整數四則運算測驗」工具，探討高雄縣及臺南縣兩所國小五年級學童整數四則運算概念學習表現，發現國小五年級學童在整數四則運算上之錯誤類型可歸納為：四則運算規則運用錯誤、算式或答案不完整、粗心而導致之計算錯誤、抄錯題目、列式錯誤、隨意回答或空白等。並由錯誤中歸納出下列發現： 1. 學童在兩步驟的四則運算類型中，以「含有括號」的錯誤率最低，以「沒有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最高；在三步驟的運算中，以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。 2. 學童將「先乘、除後加、減」的演算規則，類化並外推到其它的情境，認. 13.

(28) 為在運算時也要先算加法再算減法、先算乘法再算除法，因而做出錯誤推論，形成運算上的錯誤。張育綾（2008）以自編的「四則運算解題測驗」為研究工具，分別就台中市、台中縣（於2010合併為台中市）、彰化縣國小五年級學童進行四則運算概念的縱貫研究，並根據潛在類別分析的分群結果，探討學童四則運算概念認知結構的變化。相關結論如下： 1. 文字題部分以「使用括號」較不熟練，非文字題部分以「先乘除後加減」尚需加強。 2. 潛在類別分析三大運算規則的分群結果，除了分群組數不同，且不同群學童在各規則下的認知結構也有所不同。. 綜合以上所述，整數四則混合計算已經融入其他學習主題之中，五年級學童應能熟悉各種混合計算的約定，避免因先前的錯誤造成往後學習上的困擾，例如：影響分數或時間混合計算的學習。整數四則混合計算性質的不精熟，造成學童喜歡從簡單或容易運算的部分先著手，因此產生了下列情形：忽略「先乘除後加減」，將「先乘除後加減」錯誤推論為先算加法再算減法、先算乘法再算除法，不懂得在文字題中「使用括號」來區分計算順序。. 第二節. 測驗分析. 為提供回饋給教師及學生，作為修改課程、改進教學、實施補救的參考，在測驗編製過程中，測驗試題分析是不可或缺的步驟。本節分為兩部分，分別就試題的質、量分析及測驗的信度、效度兩大特徵進行探討，最後再說明本研究所採用之分析方式。. 14.

(29) 壹、試題分析試題分析（item analysis）是檢查試題品質優劣的方法，可分為質的分析 (qualitative analysis) 與量的分析(quantitative analysis)。前者在確保試題的內容符合測驗目的、試題形式符合編製原則；後者則是對試題的測試結果進行統計分析，以作為修改試題的依據。簡茂發（1991）指出所有試題必須經過質和量兩方面的分析，始能顯示其特性和相對效力的高低，經過取捨，然後以適當的試題構成有效的測驗，進而發揮其測驗與評量的功能。一、質的分析 (一) 內容分析不同的測驗有不同的適用範圍與功用，試題的編製應以測驗目的為依歸，藉由教學目標、命題原則進行試題內容的邏輯分析、審查，以確保試題切合教材內容、形式符合測驗編製原理。有鑑於此，測驗編製應請專家學者審閱題目，再輔以雙向細目表檢核，以確認試題是否能有效反映教材內容和教學目標。 (二) 形式分析試題的結構也須符合測驗編製原理的要求，本研究之測驗為選擇題型式，選擇題在結構上分為題幹和選項兩部分。茲就簡茂發（1993）在「測驗的編製」中選擇題型的相關編製要領在此探究。 1. 一般原則（1）注重原理的活用，而非零碎的知識（2）題意須明確，不可遺漏解題要件（3）試題彼此獨立，不可含有暗示的線索（4）應有不引起爭議的正確答案（5）試題文句應重新組織，不可抄襲教材. 15.

(30) 2. 選擇題命題原則（1）每題的選項數目一致（2）必要的敘述或相同的字眼要置於題幹中（3）正確答案在呈現上不可太過突出（4）錯誤答案和題幹要有相當的邏輯性和似真性（5）選項宜按邏輯順序排列（6）正確答案出現的位置應隨機排列，且出現次數相等，以避免受猜測因素影響二、量的分析 (一) 難度分析難易度適當的試題，是優良測驗的必要條件。難易度的計算方式有三（簡茂發，1991）： 1.以全體受試者通過或答對該題的百分比表示之；P為試題難度，N為全體受試者人數，R為答對該題的人數。其計算公式為： R N. P= ×100％. （公式1）. 2.將受試者依測驗總分的高低排列，把得分最高與最低的受試者各取全體人數的27％左右，定為高分組和低分組，再分別將兩組的通過人數百分比作平均而得該題的難度；P為試題難度，PH為高分組答對該題的人數百分比，PL為低分組答對該題的人數百分比。其計算公式為： P=. PH  PL 2. （公式2）. P值介於0~1之間，P值越大表示題目越容易，P值越小則題目越難；例如：兩個試題的難易度分別為0.2，0.8，則前者比後者難。但是因為P值是一種順序量尺，差距單位不相等，故只能表示試題間的順序等級或相對難度，無法指出各難度間的差異量。. 16.

(31) 3.美國教育測驗服務社（Educational Testing Service）另創一種以Δ（delta）表示的難易度指數，因為其假設為試題所欲測量的特質是常態分配，這個指數能以在常態分配曲線的橫軸上某一點的離差分數(deviation score) 表示之，所以具有等距量尺的特性。其計算公式為：Δ=13+4Z. （公. 式3）上式中，Δ為試題難度，Z為σ值，這是一種以13為平均數，4為標準差，下限為1，上限為25的標準分數。當通過率為84%時，查表得知Z=-1，則Δ=9；Δ 值越大表示題目越困難，Δ值越小則題目越簡單，Δ值不但能表示試題間的相對難度，也能指出不同難度之間的差異數值。 (二) 鑑別度分析測驗的試題必須能區別出所欲測量的特質，方能稱之為可靠的測驗。鑑別度分析的目的在分析受試者對試題的作答反應與某些參照標準之間的相關程度，以判定試題的性能及其對整個測驗的貢獻。依分析的參照標準，鑑別度的分析方式有二（簡茂發，1991）： 1. 內部一致性分析本分析法旨在瞭解各個試題的功能是否和整個測驗的功能具一致性。公式如下： D＝PH － PL. （公式4）. D ：鑑別度指數 PH：高分組答對百分比 PL：低分組答對百分比鑑別度指數介於-1~1之間，愈靠近1，表示個別試題反應與測驗總分之間的一致性愈高。依據鑑別度的定義，可以知道鑑別度高的試題越能有效區分出高能力與低能力的受試。一般而言，鑑別度以0.25以上為標準，高於0.4為優良試題。. 17.

(32) 2. 外在效度分析外在效度分析旨在檢驗試題是否具有預定的某種鑑別作用。目的在分析學生在試題上的反應與在效標上表現之間的關係，或學生在某試題的反應（答對或答錯）與測驗總分之間的關係。 (三) 選項分析選擇題的選項分為正確選項及誘答選項，除了注意正確答案不應引起爭議外，誘答選項的設計也要具備能吸引學習不夠精熟的受試者選答的功能，因此透過選項分析除了得以使測驗順利進行，更能對施測者提供明確、有效的回饋。郭生玉(1990)表示若想知道選項是否合理、有效，必須符合下列兩項要求： 1. 正確選項的選答率，高分組必須高於低分組 2. 每個誘答選項均有低分組的受試者選答，且選答率高於高分組. 貳、信度與效度分析信度與效度是測驗的兩個重要特徵，兩項特徵受試題品質影響，因此優良的測驗必須具備相當水準的信度和效度，而藉由測驗分析可提高試題品質。一、信度分析信度指的是可信、可靠的程度。理論上，同一份測驗對相同的受試者施測，結果應該完全相同，為了確保測驗的一致性、測驗結果的可靠性，因而要求測驗必須具備相當水準的信度。Carmines & Zeller（1979）認為，一份優良的測驗至少應有0.80以上的信度，才具有使用的價值。最常用的信度估計方法有三種（余民寧，2002）： (一) 再測信度同一群受試者在不同的時間重複測量同一份測驗，根據這兩次分數求得的相關係數。. 18.

(33) (二) 複本信度同一群受試者接受兩份內容、形式、難度類似的測驗，依據這兩次分數求得的相關係數。在同一時間連續實施的稱等值係數；間隔一段期間實施的稱穩定係數。 (三) 內部一致性只根據一次測驗結果就可以估計信度的方法。此種計算方法可分折半法、庫李法、α係數。二、效度分析效度指的是有效、準確的程度。研究的目的是要能測出研究所欲了解的特質，縱使一份測驗具有相當水準的信度，但如果測驗結果卻無法有效的解釋測驗目的，例如：用閱讀測驗解釋計算能力，則此份測驗對該研究就不具使用價值。效度分為三種類型：（余民寧，2002） (一) 內容效度依教材內容與教學目標所建立的雙向細目表來判斷測驗的內容效度。 (二) 效標關聯效度研究測驗分數與外在效標的關係，以推估受試者在效標表現上的可能狀況。 (三) 構念效度指測驗能夠測量到理論上的構念或特質的程度，以推論受試者是否具備某種理論特質。. 參、本研究的測驗分析方式基於以上探討，本研究在測驗試題分析上，將採下列方式：一、質的分析本研究就雙向細目表逐一審查試題是否符合能力指標，並依選擇題命題原則檢視試題呈現的形式，以提高試題提供有效資訊的水準或降低因猜測而影響試題. 19.

(34) 功能的機率。二、量的分析所有的試題均須經過預試，並根據施測結果進行統計分析，以作為修訂試題的依據，使正式施測達到良好的評量成效。本研究以全體受試者通過的百分比表示整份測驗的通過率，以每題通過人數的百分比作為各試題的難度，使用鑑別度指數來區別受試者能力高低的程度、鑑別試題反應與測驗總分之間的一致性，並且本研究試題鑑別度應該具有0.25以上的水準。三、選項分析為了確切瞭解學生不精熟或錯誤迷思之處，將迷思概念設計成誘答選項，透過預試後的選項分析，確認所有選項是合理且有效的。四、信度分析 α係數的內部一致性分析法適用於二元記分的測驗資料，能依據受試者對所有試題的反應，分析試題間的一致性。本研究只設計一份試卷，且不重複施測，資料的登錄採用二元計分方式，因此採用此法，而且本研究應該具有0.80以上的信度。五、效度分析本研究在比較受試學生在「整數四則混合運算」的知識結構與認知診斷模式上的差異，而非推估受試者在外在效標表現的可能狀態，因此採用內容效度分析法。. 20.

(35) 第三節. 認知診斷評量與診斷模式. 壹、認知診斷評量傳統測驗的結果以分數呈現，然而這些分數只能反映出學生在某個潛在變項的連續量尺上的位置排列，對分數背後所隱藏的知識結構、認知歷程都無法與以呈現，對於教學回饋這一部分更是流於表面，而無法幫助教師有效的進行補救或因材施教。在古典測驗理論（CCT）下，這種潛在變數是真分數，而在項目反應理論（IRT）中，這種潛在變數是潛在特質。項目反應理論雖然突破古典測驗理論，使每個試題反應模式都有一條試題特徵曲線來描述試題特性和受試者潛在特質，但它尚忽略了受試者在作答過程的分析。 2002年美國正式通過法案(No Child Left Behind Act of 2001)，規定美國所有實施的測驗應該给家長、老師及學生提供關於學習上強勢、弱勢的詳細診斷訊息，不可以只考試不診斷或者只診斷不補救。因而測驗的結果要能提供診斷訊息是近年來測驗的發展方向，其中結合了認知科學和心理計量學的理論而形成「認知診斷評量」（cognitively diagnostic assessment，簡稱CDA），更是成為教育評量的主要發展趨勢（王文卿，2010；甘媛源、余嘉元，2008；余民寧，2003）。 Nichols 於1994 年提出認知診斷測驗所探索的主題包含： 1. 透過測驗的方式，來瞭解受試者在試題反應中使用何種認知程序與知識結構。 2. 受試者在測驗過程中如何使用其認知程序與知識結構。 3. 高能力者與低能力者之表現差異為何。由上可知，認知診斷評量著重在利用測驗組合出受試者的知識結構，分析個人在某一學習領域的優勢、劣勢，進一步根據受試者之知識結構，指出學習困難的可能原因，提供個別化教學及補救，以達到有效教學，降低日後數學學習的阻. 21.

(36) 礙及挫敗。. 貳、認知診斷模式（CDMs）認知診斷評量大多是二元計分的測驗，認知診斷模式（CDMs）診斷目的是在各項認知屬性上將受試者分類成精熟和不精熟，而受試者在解答這份測驗時，所該擁有的知識、概念或技能都被視為認知屬性。這些CDMs可以被劃分為合取型（ conjunctive ）和析取型（ disjunctive ），也可被劃分為不補償型（non-compensatory）和補償型（compensatory）；如果缺乏一個認知屬性，可以由其他認知屬性的出現來彌補，則模型是補償性的（de la Torre，2009b）。一、 DINA模式 DINA模式（Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model）適用於二元計分測驗的認知診斷，創建於Junker & Sijtsma(2001)的研究，DINA模型僅涉及到“失誤 (slip)”和“猜測(guessing)”兩參數，參數易於識別，真正實現了對認知診斷模型的簡化，它是許多認知診斷與評估方法的基礎。 DINA模式應用在教學評量上，是利用試題將不同潛在分類的考生分成擁有試題所要求的全部認知屬性和至少欠缺一個認知屬性的兩種類型，所以，DINA 模式對一個要診斷K個認知屬性的試題，給了每個受試者在K個認知屬性上的二元向量（不是精熟就是未精熟）。既然K個認知屬性都有2個分類可能，則該試題預期學生會有2K個可能的認知狀態，例如K=3，所有可能的認知狀態有8種：（0,0,0）（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1）（1,1,0）（1,0,1）（0,1,1,）（1,1,1），如果一個受試者的向量表示為（1,0,1），即表示他精熟第1和第3個認知屬性，對第2個則不夠精熟。教師爲達到藉由考生的反應組型及Q矩陣來推估考生精熟或未精熟哪些概念、技能的目的，需先依教學目標找出解題時該擁有的認知屬性，並進行試題編擬，再找出所有試題的認知屬性型態，接著藉由關聯矩陣來說明試題與認知屬性之間的關係；大多數的CDMs中通常以Q矩陣來表示。. 22.

(37) Q矩陣表示測驗中試題個別所需的特定概念或技能（通稱為認知屬性）的所有集合，若一份測驗中有J個試題及K個認知屬性，則Q矩陣大小為J×K。表2-4為 de la Torre(2009a)的DINA 模式Q矩陣範例說明，表2-3則為矩陣中的認知屬性內容敘述。表 2-3 認知屬性 1 2 3 4 5. 表 2-4. 分數減法認知屬性敘述從整數部分借 1 基本分數減法化簡將整數與分數部分分開將整數變成分數. de la Torre(2009a)中 Q 矩陣範例說明認知屬性試題 1 2 3 4 5 1 2. 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0. 3 4 5 6 7 8 9 10 11. 1 1 0 1 1 1 1 1 1. 0 1 0 1 1 1 0 0 0. 0 1 1 1 1 0 1 1 1. 0 1 0 1 1 0 0 1 0. 0 1 0 0 0 0 0 1 0. 12 13 14 15. 1 1 1 1. 0 1 1 1. 1 1 1 1. 1 1 1 1. 0 0 1 0. 由上表可發現，第1題需要認知屬性1，第2題需要認知屬性1、2、3和4，依此類推。而受試者i在試題j的反應程序如圖2-5所示；當受試者i擁有答對試題j要. 23.

(38) 具備的認知屬性時（ ηij =1），他在試題j正確反應的機率是1-sj，當受試者i缺少至少一個答對試題j要具備的認知屬性時（ ηij =0），他在試題j正確反應的機率是gj。. 圖 2-1. DINA 反應程序圖(de la Torre，2009a). 能力反應組型（ ηij ）是受試者i擁有的認知屬性狀態（  ik ）和答對試題j要具備的認知屬性（ q jk ）的函數，定義如下：.  ij . K.  k 1. q.  ik jk. （公式5）. 其中 ij ：代表第i個受試者是否具有答對第j個試題所需的所有認知屬性。若其值為1，代表受試者具備該題所需的所有認知屬性，反之，其值為0，則受試者至少缺少1個答對該題所需的認知屬性。  ik ：代表第i個受試者本身是否擁有第k個認知屬性，若具有該認知屬性則其. 24.

(39) 值為1，無則為0。 q jk ：代表答對第j個試題是否需要第k個認知屬性，如需要該認知屬性其值為. 1，無則為0。表 2-5 受試者的認知屬性狀態認知屬性 1 2 3 4 受試者 1 1 1 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1. 5 0 1 1. 假設三位受試者的認知屬性狀態如表2-5，則三位受試者在第12題（需要認知屬性1、3、4）的能力反應為： q. q. q. 112 11121 13123 14124 1111. q. q. q.  212  21121  23123  24124  000  0. q. q. q.  312  31121  33123  34124  011 0. 第一位受試者具有答對第12題所需的所有認知屬性，其值為1，第二位受試者缺少答對第12題所需的所有認知屬性，其值為0，第三位受試者雖然缺少1個答對第12題所需的認知屬性，其值仍然為0，所以只有在完整具備題所需的所有認知屬性時， ij 值才會為1。 DINA模式假設具備解該題目所需之所有認知屬性時，即能答對該題，但是試題答對的機率，會受到粗心(slip) 及猜測(guessing) 兩個參數的影響，其模式定義如下：. Pij  i   PX ij  1 |  i   g j. 1ij. 25. 1  s . ij. j. （公式6）.

(40) g j  PX ij  1 | ij  0 s j  PX ij  0 |  ij  1. 其中 Pij ：代表第i個受試者答對第j個試題的機率。  i ：代表第i個受試者所具備的認知屬性向量。 X ij ：代表第i個受試者在第j個試題的反應組型。. g j ：猜測參數；代表受試者沒有掌握正確回答第j個試題的認知屬性，但卻猜. 對第j題的機率。 s j ：粗心參數；代表受試者掌握正確回答第j個試題的認知屬性，但卻因粗心. 答錯第j題的機率。在該模型中，規定（1- s j ）> g j ，也就是說模型假定受試者掌握了第j題的認知屬性比未掌握第j題的認知屬性時的正確反應機率大。假設給定試題參數 g12  0.2 、 s12  0.2 ，前述3位受試者在第12題中的答對機率計算如下：. 112 1 ， P112  g12 1  s12 1  0.20 0.81  0.8 11ij. ij. ij.  212  0 ， P212  g12 1  s12 0  0.21 0.80  0.2 10ij. ij. ij. 0 1 0  312  0 ， P312  g12 1  s12   0.2 0.8  0.2 10ij. ij. ij. DINA模式的核心觀念在於認定考生在解題時，如果缺少一個或一個以上的必備知識，他的答對機率都會很低（ P212  P312  0.2 ），即使是答對了也只能歸因於是猜對的。由此可見，DINA是一個合取，非補償模型。因為受試者唯有具備答對第j個試題所需的所有認知屬性，才會答對題目，因此可由所有受試者的認知屬性狀態，求出每個認知屬性被使用的普遍性，也就是. 26.

(41) 該認知屬性的精熟程度。二、 G-DINA模式 G-DINA 模式是 DINA 模式的一般化模型 (Generalized DINA Model, G-DINA )由de la Torre(2011)提出，可以下列方程式表示：. P α 其中. . ij.  δ. K j. j0.  δ jkα k 1. ijk. . K  j K  j 1. δ jkk'α ijkα ijk'   k' k k 1 . j.  ...... δ. . K j. j12...K j. α ijk （公式7）  k 1 .  j 0 ：試題j的截距  jk ：對  k 的主要影響.  j k ' k：  k 和  k ' 的交互影響.  j12...K  ：  k ，……，  k ' 的交互影響 j. 當  jk 和  jkk ' 均為0時，也就是認知屬性或認知屬性間不具有交互影響時，就是DINA 模式了，所以DINA 模式是G-DINA 的特例。 DINA模式將猜測機率視為相同的機率值，G-DINA猜測機率的估計則因受不同概念間的權重比例影響，而將多個認知屬性狀態組型的平均答對機率值作為估計猜測機率的標準。 G-DINA模式設定每個認知屬性和試題是相互影響的，因此受試者的答對機率會受到解該題所需具備的不同概念間的交互作用而影響，再加上粗心和猜測兩參數的影響，試題的答對機率會有所不同。以一個試題中需具備兩個認知屬性為例，假設第j題的Q矩陣為(1,1)，. α. i=(0,0)、(1,0)、(0,1)時，即受試者i缺少一個或一個以上的必備知識，在DINA模式. 中，其答對機率都會相同；G-DINA模式中，其答對機率會受到不同概念之間權重（  jkk ' ）的影響，而有不同的猜測機率(gj)，所以上述三種情形會有不同的答對機率。因此G-DINA是一個析取，補償模型。. 27.

(42) de la Torre 對G-DINA 的程式碼是使用Ox (Doornik,2003)程式編寫的，程式執行後提供了G-DINA 的參數估計與標準誤，以及認知屬性的後驗分配及受試者的分類情形，還有試題和測驗的適配統計（item- and test-level fit statistics）。. 第四節. 試題關聯結構分析. 壹、試題關聯結構分析理論透過學科領域專家針對教材做的知識結構分析，雖然與學生實際學習、建構的情形雖相去不遠，但若能分析錯誤迷思的知識概念，探討知識結構的結構特性和建構歷程，指出學習困難的可能原因，方能提供有效教學，降低數學學習的阻礙。因此教學活動設計要掌握學生概念發展及知識建構的順序，再從測驗結果之分析獲得學生概念學習情形，化成學童認知概念的結構圖，透過概念結構圖所呈現的訊息探討學生學習上的發展順序。試題關聯結構分析法(IRS)由日本學者竹谷誠（1980）所提出的測驗理論，用以分析試題的層級關係，以了解受試者的認知架構。此分析方法旨在製作具有指向性的圖形結構來分析試題的特性（許天維，1995）；亦即對於依測驗所欲求得的特質所編擬的試卷，進行試題的統計分析，用題目之間學生的反應形態所得的順序關係和答對率來建構知識概念圖形，運用結構圖解析概念建構過程，此法視小群體如一個班級之規模的結構圖來研究。因為順序理論中的順序性係數有不能完全反應兩兩試題間相關係數的缺點（秦達祐，2007），竹谷誠在1980年代根據順序理論（ordering theory）提出試題關聯結構分析法，先依試題答對率求出試題之間的順序性係數，再以閥值為判斷標準，決定試題之間的關聯是否存在，最後畫出試題間的結構關係圖（劉湘川、簡茂發、林原宏，1994）。試題關聯結構分析是先建立試題之間的順序性係數，以此為根基判定兩兩試. 28.

(43) 題間是否有順序關係存在，接著利用此種關係繪製試題關聯結構圖，茲將試題關聯結構的分析步驟列述如下：一、計算順序性係數順序性係數指的是試題之間的順序程度。令X=（X1,X2,X3,……,Xn）表示一個包含n個二元試題反應變數的向量，每一個受試者作答n題得到一個0（答錯）與1 （答對）的向量x=（x1,x2,x3,……,xn），試題i跟j的聯合邊界機率(the joint marginal probabilities)如下表所示（竹谷誠，1980）：表 2-6 試題j. 試題 i 跟 j 的聯合邊界機率. Xj=1. Xj=0. 總計. Xi=1. P（Xi=1，Xj=1）. P（Xi=1，Xj=0）. P（Xi=1）. Xi=0. P（Xi=0，Xj=1）. P（Xi=0，Xj=0）. P（Xi=0）. 總計. P（Xj=1）. P（Xj=0）. 1. 試題i. 順序性係數 rij* 表示試題i 指向試題j 的順序性程度，亦即「相對而言，試題i 為下位概念(lower concept)，而試題 j 為上位概念(upper concept)的程度」。順序性係數的求法如下： rij* = 1-. P(X i  0, X j  1) P(X i  0)P(Xj  1). （公式8）. 順序性係數值若超過閥值，則表示順序性存在，反之則否。根據竹谷誠的研究，此閾值為0.5，由電腦模擬產生，亦即 rij* ＜0.5，則試題i 及試題j 沒有順序關係；若 rij* ≧0.5，則有試題i 指向試題j 之順序關係，試題i 被連結到試題j，兩者的關係可以被記錄成i→j。若 rij* ≧0.5且 r ji* ≧0.5，則試題i 及試題j 存在著雙向的順序關係，可以記錄為i ↔j。. 29.

(44) 二、建立試題間的順序關係根據試題間之順序性係數，判別出兩兩試題之間是否有順序關係。假設某測驗試題間的順序性係數如下表所示：表 2-7 試題j 1. 試題順序性係數. 2. 3. 4. 5. 6. 0.44. 0.46. 0.25. 0.15. 0.31. 0.32. 0.37. 0.13. 0.20. 0.21. 0.42. 0.39. 0.39. 0.22. 試題i 1 2. 0.78＊. 3. 0.84＊. 0.15. 4. 0.85＊. 0.92＊. 0.28. 5. 0.55＊. 0.21. 0.68＊. 0.35. 6. 0.59＊. 0.38. 0.71＊. 0.43. 0.87＊ 0.85＊. ＊. 表示順序性係數大於0.5. 由上表中可以判斷此份測驗試題間的順序關係，並將其記錄為2→1、3→1、 4→1、5→1、6→1，4→2，5→3、6→3，5↔6（5→6、6→5）。. 三、根據試題間有否順序性關係，畫出試題關聯結構圖。試題關聯結構圖是以答對率為縱座標軸，依答對率標示出試題位置，並以單向箭號「→」來表示題目之間的關係，茲將表2-7中試題順序關係繪製成圖2-2(一)。但是為了使圖形易讀、但圖形傳遞的訊息不失真，在構圖時，有兩點必須要注意 (竹谷誠, 1980)： (一)簡化試題關聯結構圖兩試題間若能同時以直接和間接關係相連接時，則應除去直接連結的箭號，以簡化試題關聯結構圖，使圖面更整齊、易懂，因此可以將圖2-2(一)簡化成圖 2-2(二)。. 30.

(45) (二)對等群再簡化在結構圖中，將有對等箭號的項目集中在一起，稱之為對等群。如圖2-2(二) 之試題關聯結構圖所示，試題5和試題6有對等箭號相連結，此現象表示試題5和試題6可視為同一性質之試題，因此又可把結構圖再簡化成如圖2-2(三)。. （一）. （二）圖 2-2. （三）. 試題關聯結構圖之簡化過程. 許天維（1995）列出此種試題分析法的五種功能：一、教學設計之運用二、形成性評量之應用三、認知學習構造之分析四、概念形成過程之考驗五、課程教材構造之解析因為此種方法對於使用測驗分析來建立課程教材內容的學生知識結構大有助益，而本研究意欲將擁有相同認知屬性的試題視為一群組，藉由群組內其他認知屬性和試題共通認知屬性的關係，來探究學生在整數四則混合運算的認知學習結構，故採取關聯結構分析法。例如：試題1、試題2、試題3分別含有認知屬性1、認知屬性1和2、認知屬性1和3，可以藉此方法，了解學生在認知屬性2、3和認知屬性1的結構關係。. 31.

(46) 貳、試題關聯結構分析相關研究陳敏華（1997）在初探國小六年級兒童的比和比例概念時指出，利用試題關聯結構分析法，可以獲得學生的學習概念結構圖，再將從試題關聯結構圖獲得的訊息，對先前提出的概念模型提出局部修正，以獲得更可靠的效果。柯宏松（2005）在國小六年級學童圓形概念分析之研究中指出：不同能力值學童的試題關聯結構圖各不相同，其中以中能力值學童的概念發展較符合教材的編排順序。黃哲宏（2005）利用IRS分析法對國小五、六年級在時間的加減乘除四則混合運算問題分析其關聯結構圖，研究發現：文字題比計算問題困難；時間四則混合運算上，由易到難的順序是加減乘除的順序，符合學童學習的過程。黃英哲（2006）用IRS分析國小四、五、六年級學童周長迷思概念，在探討試題關聯結構圖中發現：隨著年級的增加，試題間具有更趨系統化的關聯，也會改變試題在關聯結構中的角色。周幼仙（2007）研究國小四年級學童小數轉換分數概念結構時，得到以下結論：內容、性質相似的試題，在專家的知識結構裡，試題之間理應在關聯結構圖上具等價關係，但學童的作答反應卻呈現一些不同的知識結構。趙新珍（2010）在其研究中透過試題關聯結構圖探討四年級學童在分數概念上的學習情形。其結果發現：IRS就是將學習者的認知概念以圖像表達，透過探討概念結構圖所呈現的訊息了解學童概念學習之情形及相關概念之發展。張哲郡（2011）在分析國小五年級因數倍數的應用中發現，順序理論(OT)和試題關聯結構理論（IRS）分析結果差異不大，順序合理上OT優於IRS，但在試題概念關聯上IRS優於OT，表示在分析關聯性試題時，IRS比OT更合適。綜合以上所述，IRS提供研究者了解學習者在各學習領域中的思考層次及試題間的關聯，本研究由學科專家根據教學理論與實務經驗分析施測範圍內所需具. 32.

(47) 備的認知屬性，再根據學生的學習歷程概念發展順序整理而成的認知屬性結構關係，由試題關聯結構圖中去探討學生在整數四則混合運算認知概念的結構及學習過程。. 33.

(48) 34.

(49) 第三章研究方法本研究根據研究目的、研究問題與文獻探討，設計可行的研究方法，本章分為五節，分別介紹研究架構、研究流程、研究工具、研究對象、資料處理與分析。. 第一節. 研究架構. 本研究的資料蒐集目的擬在編製整數四則混合運算試卷及了解學生在整數四則混合運算的精熟程度。期望透過資料分析、討論來了解學生在整數四則混合運算的學習情形，並在適配的認知診斷模式與試題關聯結構分析下，比較學生的認知屬性結構。研究架構如圖3-1所示。整數四則混合計算測驗. 資料整理. 模式適配度分析認知診斷模式分析. IRS 分析. 古典測驗 1. 試題分析(難度、鑑別度) 2. 測驗分析(信度). 知識結構圖 1. 不同層次的認知屬性結構圖 2. 學生在認知屬性間的建構歷程. 認知屬性分配情形 1. 試題參數估計 2. 整體學生認知屬性精熟度 3. 高、低分組學生認知屬性精熟度. 1. 探討試題與認知屬性之間關係 2. 參數估計與順序性關係之比較圖 3-1. 研究架構. 35.

(50) 第二節. 研究流程. 本研究參考四則混合運算相關文獻，並根據92年版數學學習領域課程綱要「5-n-02」來編製預試試題，透過預試結果著手修正不佳試題、分析學生作答情形、檢視個別試題所需的認知屬性集合（亦即Q矩陣），正式施測後，依據資料分析提出研究結論與建議，撰寫研究報告。研究流程如圖3-2所示。擬定研究主題. 蒐集與探討相關文獻. 擬定研究目的及範圍. 蒐集錯誤類型. 編製測驗試題. 進行預試. 修正試題與 Q 矩陣. 施行正式測驗. 資料分析整理. 撰寫研究報告. 圖 3-2. 研究流程. 36.

(51) 第三節. 研究工具. 依研究目的之需要，本研究使用的工具包括自編的「五年級整數四則混合運算測驗」及「Q矩陣」，分別說明如下：. 壹、自編五年級整數四則混合運算測驗在92數學領域課程綱要五年級分年細目詮釋中解釋5-n-02（能熟練整數四則混合計算）是「小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則混合運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉」。而四則運算的性質指加法與乘法的交換律、結合律，乘法對加法的分配律，能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化計算（5-a-01）以及能在具體情境中，理解先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積（5-a-02）。本測驗爲探討五年級學童是否具備九年一貫能力指標指定的熟練運用四則運算的性質，做整數四則混合計算的能力，因此將能力指標依性質、運算規則分類出學生解題應具備的認知屬性，再依據數學領域能力指標及NAEP數學能力評量架構的雙向細目表分析來編擬試題。表3-1為認知屬性與能力指標的對應表，表 3-2為本研究測驗的雙向細目表。表 3-1 編號 K1 K2 K3 K4 K5 K6. 認知屬性與能力指標對應表認知屬性. 能力指標. 計算時，運用「括號內的運算」優先於「先乘除後加減」的約定計算時，運用「先乘除後加減」的約定「先乘除」裡的乘除沒有先後之分「後加減」裡的加減沒有先後之分用「用括號區分計算先後次序」的規則，將應用題記成三步驟併式用「先乘除後加減」的規則，將應用題記成三步驟併式. 5-n-02. 37. 5-n-02 5-n-02 5-n-02 5-n-01 5-n-02 5-n-01 5-n-02.