第三章 研究方法
第五節 資料蒐集與分析
第五節 資料蒐集與分析
研究者根據五年級上學期第三次月考數學成績，從五年級兩班中選 出九位數學成績位於班級後百分之二十七的學生，先做前測，根據前測 卷中的答題情形（如表 3-4 整理），以分年細目中達成率未達 100％為 標準，將學生做同質性分組，全部分成三組，並依照前測時所測出學生 在代數方面未達成之處開始做補救教學（如表 3-5 整理）。
研究者利用每週二次的午休時間進行補救教學，預計進行十週。依 照研究者所發展的教學教案，讓三組根據自己組別的進度來進行補救教 學，本研究採用問題導向教學法，所以研究者不以一般傳統講述法進行 教學，而是給予每組具體情境中會遇到的問題及教具，讓小組成員自行 討論，分工合作找尋答案，並將每個人的想法隨時記錄在小組的工作紀 錄簿中，研究者隨時到各組聽取成員討論，錄下小組成員對話，或詢問 成員的想法。解決教案中例題後，再請小組成員個別完成練習題的學習 單，以觀察學生是否真的了解。
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表 3-4 前測學生答題情形
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 達 成 率
1-a-01 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ 100％
1-a-02 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ◎ × 83％
1-a-03 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ 83％
2-a-01 ◎ ◎ ◎ ○ ◎ ○ × × × 55％
2-a-02 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 44％
2-a-03 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ × 89％
2-a-04 ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ○ × 78％
3-a-01 ○ ◎ ○ ◎ ○ ○ ○ × × 50％
3-a-02 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ × × ○ 67％
4-a-01 ◎ × ○ ○ ○ ○ ○ × ○ 44％
4-a-02 ○ ○ × ○ × ○ × × × 22％
4-a-03 ◎ ○ ◎ ◎ ○ ◎ × ○ × 61％
4-a-04 ○ ◎ ◎ ○ ◎ × ○ × ○ 56％
5-a-01 ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ○ × 67％
5-a-02 ○ ○ ◎ ○ ○ ◎ ◎ ○ × 61％
5-a-03 ○ ◎ ○ ○ ○ ○ × × ○ 44％
附註：◎表示「達成」以 1 分計，○表示「部份達成」以 0.5 分計，×
表示「未達成」以 0 分計，□表每組開始實施的分年細目
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每位學生必須自行完成分年細目的學習單，以了解每位學生對分年細目 能力是否真的達成，並將此資料記錄在教師的檢核表中。
2.補救教學課堂資料
( 1 )工作紀錄簿：各組都有一本工作紀錄簿，用在學生各組討論 時學生自己做的紀錄，鼓勵學生把大家的想法都寫出來，利用圖示或任 何表徵都可以。讓學生在同儕互相腦力激盪下，刺激自己的想法，也能 自我調整學習。
( 2 )課堂錄音逐字稿：教師在學生討論過程中，用錄音筆錄下學 生之間的討論對話，或隨時提問，以了解學生在小組討論的過程中所出 現的迷思概念或不懂之處，轉錄為書面資料。
3.輔助資料
原班導師的回饋：訪談低成就學生的原班導師，經由訪談紀錄，得 知學生在課堂上學習數學的態度與觀念是否因補救教學實施而有所成 效。訪談的內容分為下列兩個部份：
( 1 )學習態度：學生在參加補救較學課程前後，上數學課的學習態 度積極是否有不同、上課參與度是否增加、對於做數學是否較有興趣。
( 2 )課業成就：學生在參加補救較學課程前後，在數學學習成績是 否有進步、對於代數部份單元是否較有概念、答題技巧是否更熟練。
二、資料分析
(一)質性資料
研究過程中透過學生學習單、學習的檢核表、討論時的互動錄音及 討論紀錄簿、研究者的教學筆記、原班級老師的回饋…屬於質性資料，
資料的質性研究資料的分析與整理，隨著研究者本身的研究風格範而有 所不同。黃瑞琴（1991）認為在質性研究之中，研究者常會將資料依其 顯現之規則或主題予以編碼轉錄。由於素材多為文字資料，其意義的多
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重意涵，研究者需保持高敏感的直覺和多向度彈性思考，才能儘可能表 達出主要報導人內心的想法。在質性研究的過程中，資料的蒐集、整理 即分析所得到的初步性結論，可以形成下次進入現場繼續追問或探尋的 待答問題（歐用生，1995）。
本研究對於這些資料的處理，首先先將質性資料整理成逐字稿，閱 讀蒐集來的資料之後，再依據研究主題來挑出重要的對話內容與敘述，
將資料編碼如表3-5，以方便日後分類之用。
研究者根據所蒐集的質性資料採用三角檢核（教師、學生、原班級 老師或指導教授）（錄音、觀察、文件分析）的方式進行同一情境中質 性資料的比對，找出是否有一致或矛盾、差距的說法，使資料有一個較 真實性的詮釋。
研究者從每次的錄音逐字稿及小組工作紀錄簿中，了解學生對於數 學概念的想法、是否理解問題意義、選擇解題的策略及執行策略的成效。
並從學生完成的學習單來檢核是否達成分年細目的概念問題。再藉由前 後測卷的比較，評斷學生在國小代數部分的分年細目認知是否有學習成 效，並從原班導師訪談中，了解學生是否因補救教學而在學習態度與認 知上有所轉變。
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體的學習成效，以及微觀的分析各個分年細目中答對題數，作為了解學 生在哪些分年細目的能力仍有不足。藉以與質性資料做比對及分析，以 求得研究結果真實的詮釋。
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第四章 研究結果與討論
本研究之研究目的為以「行動研究」的方式發展一套代數補救教學 課程，並以「問題導向教學法」實際進行教學，探究低成就學生的數學 學習歷程，以了解數學低成就學生在代數概念學習的困難，並提升其在 代數部份數學學習的表現。本章將分成三節來描述本研究的結果，分別 為第一節低成就學生在代數前測題的表現與易錯題、第二節補救教學實 施歷程分析、第三節補救教學實施後結果與分析。
第一節 學生在代數前測題的表現與易錯題
本研究開始時，先從兩班學生中，找出數學月考成績為班上後百分 之二十七的九位學生進行前測，並就其答題情形，先整理出學生整體的 答題情形，再以概念理解、計算流暢、應用解題三方面進行分析學生的 易錯題。因為實施前測時間為五年級上學期末，所以前測只做到分年細 目 5-a-03，也就是五年級上學期部編版數學的課程部分。
一、 學生在前測題的整體表現
以概念理解、計算流暢、應用解題三個向度來分析各個學生在前測 題各向度概念的答對題數及答對率，如表 4-1：
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率也很高，但運用於驗算時，答對率卻下降很多，有幾位學生雖然知道 加減互逆及乘除互逆，但不會運用於「驗算」及「解題」，所以運用解 題及驗算的答對率明顯變差。前測卷中，簡記公式部份只有正方形和長 方形的面積與周長公式，答對率卻不夠理想，可見學生對於公式不是不 記就是死記，過一段時間就忘光了。
學生列算式填充題的答對率遠高於解釋算式填充題，代表學生雖然 可以將文字轉換成數學符號表徵，但不一定能將自己心中的數學想法與 他人分享。學生有時會直接使用「算式」把答案算出，而非「列式」，
所以在解釋時只是將題目再抄一次，而沒有解釋出式子的意思。
整體而言，學生在認識律則、理解互逆、列出算式填充題三方面的 表現較佳，或許也是因為這些部分大都以選擇題呈現；表現不佳的部分 則是解釋算式填充題，另外在計算部份也還不夠理想。
二、 學生在代數前測題方面的易錯題
研究者從學生的前測題答案中，分析出大部分學生易錯的部份，並 從學生作答的過程和口頭詢問學生作答的想法中，藉以了解學生對題目 的迷思概念及不懂之處。
（一）概念理解方面
1.認識律則（1）遞移律
在題目「有 16、35、2 三個數，要怎麼表示它們之間的關係？」中，
有五個學生答錯， S7 選擇答案○1 35＜16＜2，S8 選擇答案○2 35=16=2，
S4、S6、S9 選擇答案○4 16＜35＞2，詢問他們原因：
T：為什麼你們會把＜、＞這樣排？
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S4 和 S6：因為 35＞2、16＜35 啊！
S7：啊！看錯了！
S8、S9：不知道。
T：可是這樣排法不會很奇怪嗎？＜、＞怎麼會相對呢？
S4 和 S6：可是題目把「16、35、2」這樣排啊！
T：那你們知道「16、35、2」哪一個數字最大？
全：35
(音 010118)
原來 S4 和 S6 認為題目中的數字排列方式不能改變，所以單純以 35＞2、16＜35 來補上＜、＞符號，代表他們兩人不知道＜、＞符號需 要遞移呈現，但所有學生都知道 35 是最大的數。在下一題的問題中：「大 明比小美重，小美又比阿華重，三個人誰最重？○1 大明○2 小美○3 阿華」
則是全員九人都答對，代表學生其實都有遞移率的概念，也都能判斷最 大數及最小數，只是對於生活上的情境和數學上的符號和數字無法做連 結。
（2）先乘再除與先除再乘的結果相同
這個概念的答題錯誤率很高，研究者要求他們不能使用計算的方法 求出答案，只能在心裡用判斷來作答。在題目「48÷3×25 的答案會和下 列哪一個相同？」中，只有 S1 和 S7 選擇正確答案○４48×25÷3，S2 選擇 答案○２48÷3÷25，S9 選擇答案○３48×3×25，其他五人都選擇答案○１48×3÷
25：
T：請問你們選擇答案○1 的理由是什麼？
S8：不知道。
S3：要有×也有÷啊！
S4 和 S5：對啊！數字位置沒有變，然後有一個×一個÷。
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T：那 S6 你怎麼想？
S6：跟他們一樣。
(音 010118)
從訪談中發現，選擇錯誤答案 48÷3×25＝48×3÷25 的學生認為，在 數學式子中，只要數字不變、位置一樣，運算符號和數量也相同，不管 放在哪個數字前，兩個式子都會相同，這是一個數學上很大的迷思，代 表學生不了解算式所代表的意義，不知道運算符號跟後面的數字是一體 的，數字 25 移動時並不能單純只有 25 移動，是要「×25」一起移動才行，
所以在做整數四則運算時，學生常會因為自行將符號隨意變更而做錯。
（3）連除兩數相當於除以此兩數之積
在題目「48÷3÷2 的答案會和下列哪一個相同？」，研究者同樣要求 學生不能使用計算的方法求出答案，只能在心裡用判斷來作答。S1、S2、
S3、S8 選擇正確答案○４48÷（3×2），S4、S6 選擇答案○１48×3÷2，S5、
S7、S9 選擇答案○２48÷3×2，詢問答錯學生答題的原因：
T：請問你們選擇答案的理由是什麼？
S4、S6：猜的。
S9：不知道。
S5、S7：因為÷3 又÷2 就是÷6 啊！就是可以先把 2 和 3 乘起來再去除啊！
T：那在式子中寫在後面卻要先做的部分要如何？
S8：用括號。
T：答對了，所以要選○4 才是正確答案，如果選○2 ，會變成 48÷3=16 後 再×2，答案就會不一樣了！
(音 010118)
S5、S7 知道可以先將兩數相乘之後再去除會和連除兩數的答案一
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樣，但學生仍然忘了在數學上的表示方法有其規定，在式子後面卻需要 先做的部分必須使用括號。因為 S8 居然答對這題，研究者特地詢問他：
T：你很棒，答對了這題，那你可以告訴老師，你為什麼會選擇答案○4 ？ S8：不知道。
(音 010118)
研究者心中知道，S8 和 S9 是資源班學生，有時答對題目可能是猜 對的，不是他們真正了解題目而解出答案。但他們對自己很沒信心，所
研究者心中知道，S8 和 S9 是資源班學生，有時答對題目可能是猜 對的，不是他們真正了解題目而解出答案。但他們對自己很沒信心，所