五年級學生代數學習補救教學之行動研究

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(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文. 指導教授：徐偉民博士. 五年級學生代數學習補救教學之行動研究. 研究生：楊素琴撰. 中華民國 102 年 1 月.

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(3) 謝. 詞. 仔細端詳鏡中的自己，一根、兩根、…、十根、……，這兩年半來，頂上白髮增加了不少，代表這段日子過程中的勞心與勞力。最終讓我熬到寫謝詞的這一天，就結果而言，是充實而甜美的。在工作、家庭、進修三頭馬車的強力拉扯的這段時間裡，感謝老爸、老媽和老妹芳淇，在我晚上去進修時幫忙照料孩子。感謝同事兼車友、同學的郁菁，我倆總在下班後趕往屏教大的路途上，互相打氣、說笑、咒罵…，撐過瞌睡蟲來襲。感謝工作學校裡一堆早已碩班畢業的「年輕學姐」們，總是適時提供資訊、資料、軟體、idea…，讓我的作業馬上迎刃而解。感謝戰友施君和雅鳳，沒有他們的鼓勵和督促，我就不會發奮圖強的埋頭苦寫。更要感謝指導教授徐偉民老師，他從不疾言厲色，臉上總是笑咪咪的，毫無怨言的批閱著我不知所云的作業。淡定的一句：「我把你的作業丟到窗外了。」就能令我心生警惕，乖乖低頭重寫。還有沒幫上什麼忙，但總在旁默默支持的老公慶龍，以及自己寫作業時總不忘督促媽媽我也去寫作業的兒子峻佑，感謝你們。. I.

(4) 五年級學生代數學習補救教學之行動研究摘要. 本研究的目的是要了解數學低成就學生在代數概念學習的困難，設計課程並進行教學，來提升低成就學生代數部分數學學習的表現。本研究採用行動研究法，採「問題導向」教學，並根據代數分年細目設計補救教學課程。以五年級9位數學低成就學生為對象，蒐集學生課堂上的討論、解題記錄及學習單，來了解學生在代數補救教學中的學習表現。結果發現，低成就學生在「應用解題」部分仍有其困難、補救教學後，低成就學生在代數分年細目的學習表現平均達成率進步到七成以上，顯示問題導向教學法在數學補救教學中可以提升數學低成就學生的學習表現和動機。. 關鍵字：代數、行動研究、問題導向教學、補救教學. II.

(5) An action research on algebra learning of fifth grade students by remedial instruction Abstract The purpose of this study was to understand the students of mathematics underachievers in algebraic concept learning difficulties, and to design curriculum and implement teaching to improve the performance of low-achieving students in algebra learning. This study was an action research and using "problem-based teaching" methodology, and based on grade specifications to design remedial curriculum and instruction. Sel ecting 9 students of fifth grade whose were mathematics underachiever as research subjects. During remedial instruction, collecting voice record of discussion, solving record and working sheets to learn about the students’ learning performance in remedial instruction. The findings of the study were as below. The application of problem-solving is difficult for underachiever students. After remedial instruction, the mathematics underachiever students could learn over 70％ in the algebra specifications. Problem-based teaching methodology in remedial instruction is effective for enhancing students’ learning performances and motives in algebra.. Keyword: Action research, Algebra, Problem-based learning, Remedial instruction. III.

(6) 目次頁次. 謝詞 …………………………………………………………………. Ⅰ. 中文摘要 ……………………………………………………………. Ⅱ. 英文摘要 ……………………………………………………………. Ⅲ. 目次 …………………………………………………………………. Ⅳ. 圖次 …………………………………………………………………. Ⅵ. 表次 …………………………………………………………………. Ⅶ. 第一章緒論第一節研究動機…………………………………………………. 1. 第二節研究目的…………………………………………………. 3. 第三節名詞釋義…………………………………………………. 4. 第四節研究範圍及限制…………………………………………. 5. 第二章文獻探討第一節國小代數課程的目標和所需的解題能力………………. 7. 第二節數學低成就學生的定義和特徵…………………………. 13. 第三節補救教學的意涵和相關理論……………………………. 17. 第四節問題導向教學法的意義及其相關研究…………………. 21. 第三章研究方法第一節研究方法…………………………………………………. 27. 第二節研究情境…………………………………………………. 28. 第三節研究流程…………………………………………………. 31. 第四節研究工具…………………………………………………. 33. 第五節資料蒐集與分析…………………………………………. 39. IV.

(7) 第四章研究結果與討論第一節低成就學生在代數前測題的表現與易錯題……………. 47. 第二節補救教學實施歷程分析…………………………………. 62. 第三節補救教學實施後結果與分析……………………………. 82. 第五章結論與建議第一節結論……………………………………………………. 101. 第二節建議……………………………………………………. 103. 參考文獻中文部份…………………………………………………………. 105. 英文部份…………………………………………………………. 108. 附錄附錄一. 前測卷…………………………………………………. 111. 附錄二. 後測卷…………………………………………………. 117. 附錄三. 檢核表…………………………………………………. 125. 附錄四. 參與研究同意書………………………………………. 127. 附錄五. 教學教案………………………………………………. 129. V.

(8) 圖次頁次圖 3-1 研究流程圖…………………………………………………. 32. 圖 4-1 比較面積的大小……………………………………………. 81. VI.

(9) 表次頁次表 3-1 低成就學生基本資料………………………………………. 29. 表 3-2 九年一貫代數部份分年細目雙向分析……………………. 34. 表 3-3 專家建議修改之題目………………………………………. 36. 表 3-4 前測學生答題情形…………………………………………. 40. 表 3-5 學生分組情形………………………………………………. 41. 表 3-6 資料編碼說明表……………………………………………. 44. 表 4-1 學生在代數前測題各方面答對題數及答對率……………. 48. 表 4-2 學生在分年細目 5-a-03 的答題情形………………………. 60. 表 4-3 前測學生答題情形…………………………………………. 61. 表 4-4 各組學生在前後測及學習單的達成率……………………. 82. 表 4-5 學生在代數後測題各方面答對題數及答對率……………. 83. 表 4-6 後測學生答題情形…………………………………………. 84. 表4-7前後測各個分年細目的達成率……………………………. 85. 表 4-8 前後測卷中，學生在 5-a-02 的答對題數…………………. 90. 表 4-9 後測卷學生在分年細目 5-a-03 的答題情形………………. 94. VII.

(10) 第一章緒論. 本章的目的旨在闡述本研究之動機、目的、對本研究中所提及之相關名詞作釋義與研究的範圍與限制。. 第一節研究動機學生學習數學的目的也就是為了解決生活上可能遇到的情境問題。對於學生將來的生活情境而言，數學是日常生活上必須的一項基本能力，但在現實情況中，有大部分學生對於學習數學心懷恐懼，造成在數學的學習表現上無法獲得好成績，以至於沒有獲得被肯定的滿足感，因而放棄數學，對於數學學習毫無興趣。現今教育中，所訴求是「帶好每一個學生」及「把每一位學生帶上來」。若在低年級時未能補救數學的學習障礙，到了中高年級時補救教學便愈形困難，學生的挫折感比率亦會逐年升高，最後成為學生終生對於數學方面的恐懼與障礙。數學低成就情形若在國小不及時補救，數學問題將持續到國中。數學學習的問題不僅呈現在就學期間，而且影響學生長大以後的成人生活(Cass, Cates, & Smith, 2003)。故重視數學學習的重要性，解決數學低成就的問題，乃當今學校教育的重要課題。 82年版數學課程以學生為本位，注重學生主動學習以獲得解決問題的能力，建構與理解數學的概念，培養以數學語言溝通、討論、講道理和批判的精神（教育部，1993），在目前九年一貫課程綱要下，強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育主軸，以終身學習為教育目標。台灣整體數學課程著重內、外部的連結，內部分為數與量、幾何、代數、統計與機率等四個主題貫穿連結；外部連結強調與日常生活及其他領域 1.

(11) 課程的連結，分為察覺、轉化、解題、溝通、評析等能力的培養（教育部，2003）。代數對數學現行課程來說，是扮演舉足輕重的教學主題之一，越來越多學者著重發展兒童早期代數推理的重要性。陳嘉皇（2007）描述代數是教導學童對基礎過程的數字、圖表及符號表徵加以詮釋、理解，並加以分析與比較關係，再創造數學模式，應用基本公式迅速解決問題的數學題材。美國數學教師協會 (The National Council of Teachers ofMathematics，簡稱NCTM) 也特別強調發展從幼稚園到小學、中學的代數概念，包括問題解決、運算技巧等(Schliemann, Carraher,Brizuela & Earnest, 2003)。代數與生活息息相關，除了解決生活問題，訓練思維技巧，也是具體表徵化為抽象邏輯的工具，但往往也是許多學童感到困難與難以跨越的鴻溝(徐曉慧，2010 )。 1993年9月教育部公布國民小學數學科課程標準，代數未獨立成一領域，而是散布在各個數與量單元之中；2000年頒布「九年一貫課程數學領域暫行綱要」將數學學習分為數與量、圖形與空間、機率與統計、代數、連結五大主題；2003年教育部公布「九年一貫課程數學領域課程綱要」，代數即為數學學習的主題之一。在數學學習的範疇中，代數相對於數與量、幾何和統計來說，對學生而言是比較抽象的(徐偉民、徐于婷， 2009)。所以在教學現場上，對於學生來說，代數是艱深難懂的，大部分學生認為代數只需求出答案，對於代數問題中將文字題轉化成算式文字題的部分感到困擾，未知數的存在更是學生學習代數的一大障礙。從國小數學教材地位來看，五年級的代數分年細目開始增多(由中低年級的 3 或 4 條增至 5 條)，代表五年級是代數部分一個重要的階段，且國小的律則部份及列式(算式填充題)部分在五年級全部結束，六年級開始將進入代數領域另一階段的「未知數」及「變數」部分，與國中代數銜接，所以在五年級時將代數部分做補救教學是比較合適的。就皮亞傑的認知發展理論中，五年級的孩童正處於形式運算階段 (形式運思期， 2.

(12) 12 歲以上），開始會類推，有邏輯思維和抽象思維，能按照假設驗證的科學法則思考解決問題，所以在此時對五年級學生做抽象概念的代數部分補救教學，正好也符合學生認知發展的能力，可以說是最佳時期。在九年一貫的數學綱要能力指標中，指標的內涵強調代數的學習應從學生生活經驗中數量關係的探討出發，培養觀察數量關係與展現數量關係之數學結構的能力。透過合理推論，發展代數思考，提昇思考層次，並能應用於生活中(教育部，2003)。在代數一到六年級的23條分年細目中，有11條分年細目強調「在具體情境中」，也就是要學生能在真實情境中找出適當的解題方法來解決生活中可能會遇到的數學問題。所以研究者採用問題導向教學法（problem-based learning, PBL）來進行教學， PBL 不同於傳統講述法，而以真實且較為複雜之問題為核心來引導學生學習，培養學生從做中學，藉由小組合作，互動討論及概念辨證等方式，培養學生主動、積極地從學習歷程中建構屬於自己一套問題解決的方法。楊坤原、陳建樺與張賴妙理（2011）指出，PBL透過真實性的問題來聯結學生的學習經驗並引起學習動機，激發他們扮演問題持有者 (stakeholder)的角色，運用各種自我導向學習和高層思考技能，主動探究問題和建構知識。這與課綱中代數學習歷程所需具備的能力及養成歷程相符合。. 第二節研究目的基於上述研究動機，為了提升數學學習低成就學生在學習代數的表現，本研究採研究者即行動者的立場，發展一套代數的補救教學課程，採取行動研究的方法，選擇九位五年級數學低成就學生，探究低成就學生的數學學習歷程，主要目的如下：一、了解數學低成就學生在代數概念學習的困難。 3.

(13) 二、設計課程並進行教學，來提升低成就學生代數部分數學學習的表現。. 第三節名詞釋義一、低成就學生數學學習低成就的定義是指學生個體智力正常，但是可能因為個人因素，如數學符號運算能力較低、計算能力較差、不容易了解題意等；或環境因素，如家中社經地位較差、家中學習氣氛不佳、文化刺激不利、數學學習動機不強等，導致學生的數學能力低落，個人的數學成績不能達到數學能力該有的水準(曾意玲，2009)。成就低落是指學生的學業成就表現顯著低於其年齡或年紀的常模標準(楊坤堂，1997)，在本研究中數學低成就學生的研究對象是五年級兩班學生中月考數學成績為後百分之二十七者。. 二、補救教學補救教學基本上是一種診療教學的模式﹙clinical teaching ，也稱臨床教學模式﹚，教師在事先診斷學生學習的困難，選擇好接受補救教學的對象後，再進行一連串積極的教學活動（張新仁，2001）。潘春華(2008) 認為，補救教學係指針對學習低成就、低落或欠佳的學生，實施額外的教學時間，以提升其學習成就的一種教學方式。. 三、行動研究所謂行動研究，就是將行動和研究二者合而為一，由實務工作者在實際工作情境中，根據自己實務活動中遭遇的實際問題進行研究，研擬 4.

(14) 解決問題的途徑與策略，並透過實際行動付諸執行，進而加以評鑑、反省、回饋、修正，以解決實際問題（蔡清田，2000）。. 四、代數學習本研究中所指的「代數學習」問題，範圍是 92 課綱數學領域中五大主題能力指標中的代數部份，其中國小一年級到六年級的分年細目。本研究的代數課程進度以部編版的數學課程為依據。. 第四節研究範圍及限制本研究以研究者任教的高雄市彩虹國小(化名)五年級學生為研究對象，採用質化的方式，紀錄教室內的實際教學情形。由於研究者身兼觀察者及教學者，為使研究不過於主觀，研究者採取不同的方法來蒐集資料，如：研究者教學筆記、學生的學習單、檢核表及工作紀錄簿等方式，多方面蒐集資料加以整理分析比較，以獲取較為全面的看法。同時輔以現場教學時研究者和研究對象的互動錄音，以增加資料蒐集的完整性，並且根據不同人員（研究者、指導教授、低成就學生原班級老師）的觀點來對數學教學的歷程作綜合的詮釋，以獲取更周全的看法。由於各教學現場的主客觀條件不同，因此結果僅適用於本研究，其實施過程不宜類推至其他教學現場。. 5.

(15) 6.

(16) 第二章文獻探討在研究開始之前，先由文獻中整理出國小代數課程的內涵以及補救教學的意義、概念，並找出適合學生學習代數的方法，以達成提升學生代數學習表現的目的。第一節是國小代數課程的目標和成功解題的能力，第二節是數學低成就學生的定義和特徵，第三節是補救教學的意涵和相關理論，第四節是問題導向教學法的意義及其相關研究。. 第一節國小代數課程的目標和成功解題的能力一、國小代數的課程目標（一）九年一貫代數課程目標在九年一貫數學學習領域課程綱要能力指標中，強調代數的學習應從學生生活經驗中數量關係的探討出發，培養觀察數量關係與展現數量關係之數學結構的能力(教育部，2003)。「九年一貫課程數學領域課程綱要」之代數內容領域指標及分年細目所包含的代數概念主題如下： 1.等量公理 2.遞移律（>，=，<） 3.運算規則：加減互逆、乘除互逆、加法交換律、加法結合律、乘法交換律、加法結合律、乘法對加法的分配律、乘除混合計算 4.將情境轉化為符號表徵（數量關係） 5.列單步驟與多步驟的算式填充題 6.中文簡記式，變數表示式 7.含未知數的等式或不等式 8.解決含未知數之算式題 7.

(17) 在 2005 年度開始實施的「九年一貫課程綱要」更加重代數主題在國小數學教材的地位，其國小代數教材安排特色如下（教育部，2003）： 1.能理解常用算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行解題。例：關係符號如：＝、< 、>；運算符號如：+、 -、 ×、÷；未知數符號如：甲、乙、 x、 y。 2.從最基本的加減問題開始，詳細安排兩步驟至多步驟的教學次序，並依序安排四則運算規律的教學，從整數到分數、小數，在具體情境中，瞭解各基本運算之性質，並應用於不同教學目標的教學。例：加法交換律、結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律、加減互逆、乘除互逆、遞移律。 3.從最基本的加減問題開始，到四則混合計算，讓學生最後能獨立於生活與具體情境，在形式與程序上，流暢進行整數計算。 4.協助發展對數學問題之解題策略。例：代入法、加減互逆、乘除互逆，反向思考解題、比例推理解題、比值解題，更複雜之混合策略解題（如傳統應用問題）。 5.能理解等量公理(等式左右同加、減、乘、除一數時，等式仍然成立)。由上可知，台灣代數課程目標以條列式的內容，分階段呈現應達成的能力。第一階段目標強調在具體情境和操作中，認識代數的基本概念，包括遞移律、交換律和互逆關係，並以算式填充題的形式和名稱，介紹初步方程式的概念；第二階段著重在代數初步表徵，以代數符號列出單步驟的方程式和常用的公式；第三階段則強調代數符號的進階應用，包括以代數符號表示未知數和變數、熟練一元一次方程式和不等式等（徐偉民、徐于婷，2009）。代數的符號、方法與系統，正是探討這些規律、表徵這些規律，為這些規律建立模式的語言與工具。根據這樣的理念，代數的學習可分為三個層次：第一個層次是認識與察覺生活周遭中之數量關係、樣式或情境；第二個層次是學習表徵這些數量關係、樣式或情 8.

(18) 境；第三層次是能將表徵的方式加以類化及系統化，以展現出這些數量關係、樣式或情境的數學結構（教育部，2003）。因此，代數的學習應從學生生活經驗中數量關係的探討出發，培養觀察數量關係與展現數量關係之數學結構的能力。透過合理推論，發展代數思考，提昇思考層次，並能應用於生活中。九年一貫的數學課程綱要代數目標教材的設計從算術數字的結構認識、運算律理解起，從初淺的程序性概念著手，再引入文字符號的表徵與操作使用，接著導入變數關係與列代數式解題的結構性概念發展，協助學生從算術程序性的運算進展至代數結構性的理解，藉由教材內代數的課程，讓學生從過程的操縱，提升至對代數符號、代數式的掌握與應用(徐曉慧，2010)。. （二）NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）代數課程目標美國 NCTM( 2000 )在學校數學的原則與標準《Principles and Standards for School Mathematics》一書中將數學內容分成「數與運算」、「代數」、「幾何」、「測量」以及「資料分析與機率」五大主題，並主張學生可透過「解決問題」、「推理與證明」、「溝通」、「連結」、以及「表徵」這五個數學歷程，來獲得數學知識並應用數學知識。NCTM (2000)在所出版的《The Idea of Algebra, K-12》一書中，提出以下有關代數教學的概念，包括了： 1.代數是對算術的歸納：代數能幫助我們用語言來表達數學內容。例如：2+6=6+2、3+2=2+3、……的加法交換性質可用代數歸納為 a+b= b+a來表示。 2.代數是數量關係的一種學習：代數式可清晰表達各數量的關係。例如：A = LW（矩形面積 = 長 × 寬）。 3.代數是解決問題的學習：可利用代數將問題具體化。例如：某數的2倍加3等於25，求某數，記成 2y + 3 = 25。 NCTM（2000）強調代數學習應加強量、函數之間的關聯，表徵數 9.

(19) 學關聯的方式及分析變化。在代數上，多數的符號及架構能建立學生對數的大規模經驗。NCTM（2000）代數題材的課程標準如下： 1.了解代數的模式、關係和函數。 2.使用代數符號來表示和分析數學情況和架構。 3.使用具體物、圖像與符號、數學模型，來表示和了解有關加法和減法的情境。 4.在各種情境脈絡中分析改變的狀況。 NCTM(2000)的代數標準認為老師應幫助學生建立有系統性模式經驗增進數學概念的理解，數經驗及用符號及代數表徵函數的特性。藉著學習這種情境能用數學描述，並形成數學模型的基本概念。. （三） NTCM 和九年一貫代數課程綱要之比較黃寶彰（2003）指出，NCTM學校數學的原則及標準中之代數領域，其課程內涵為覺察樣式、找出數量關係，能使用數學符號、數學模型來表徵及分析數學情境及注意整體的數學結構，在多種情境脈絡下分析改變的能力，就是初步的變數概念。代數也與幾何及資料分析等概念緊密連結。在九年一貫數學學習領域課程綱要能力指標中，指標的內涵強調代數的學習應從學生生活經驗中數量關係的探討出發，培養觀察數量關係與展現數量關係之數學結構的能力。代數內容領域指標及分年細目所包含的代數概念主題，由等量與遞移的數量關係理解等量公理、基本四則運算程序的理解及應用、列算式填充題到解題與驗算、進而使用數學化符號語言表徵情境。藉由幾何的素材，由固定其中一條件，而變化其他條件的方式，讓學童能體驗變數與關係。由上述的內容分析，可知代數概念內涵包括使用符號表徵、覺察函數關係與樣式、以及變數的概念三大部分，國內外皆然。. 10.

(20) 二、國小代數課程所需的數學解題能力（一）數學能力之定義美國數學教育成就評量( National. Assessment. of. Educational. Progress ,NAEP) 從1996年起到2000年、2003年的數學教育成就評量，就提出數學內容(ContentStrands)、數學能力(Mathematical Abilities)、數學威力(Mathematical Power)三個向度的評量架構。(呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009) 數學威力就是希望學生有能力結合和使用數學知識去進行探究、臆測、邏輯推理、解決非例行性的問題；因此數學威力是由推理 (Reasoning)、連結(Connections)和溝通(Communication)三個因子組成。數學能力可以看成是學生在特定的數學知識內展現出的能力，包含概念性瞭解 ( Concept ual Under st andi ng ) 、程序性知識 ( Pr ocedura l Knowledge)和解題(Problem Solving)三個因子。數學威力與數學能力都和數學內容知識息息相關。數學內容知識涵蓋數感、性質與運算、測量、幾何和空間、資料分析、統計與機率，以及代數與函數等。我國九年一貫能力指標所涵蓋的數學內容則分為數與量、幾何、統計與機率、代數等四大主題。張英傑、周菊美(2005)在序中提到，台灣數學教育學會 ( Taiwan Association of Mathematics Education，簡稱TAME)認為九年一貫數學課程綱要，除了規範教材中的數學內容之外，更要落實數學能力的目標。北歐著名學者Morgens Niss統整分析，數學能力分為兩種：一為提出問題及解決問題的能力，另一為使用數學語言和工具的能力。前者包含數學思維能力、擬題與解題的能力、分析與發展數學模式的能力，數學推理能力，後者包含數學表徵能力、符號化與形式化能力、數學溝通能力、輔助學習的工作使用能力(張英傑、周菊美譯，2005)。. 11.

(21) （二）學生在國小代數課程所需的數學解題能力楊朝欽( 2007）認為學生在代數方面的學習歷程如下： 1.用一般語言來描述特殊問題，不會用符號表達未知數。 2.能用文字符號來表示未知數，但不能利用代數式來表示一般式。 3.能用文字符號代表未知數，並能用文字符號表示一般解，已將代數視為處理數字關係以證明規則的工具。 4.利用文字符號代表變數，發展出函數的概念。顯示出學生在學習代數時，並不是馬上就可以以未知數的概念來解代數題，而是先由算數的概念來進入代數的解題方式。洪有情(2009)也指出，從算術到代數，國小生必須學好算術運算的能力，也要從算術的舊經驗中調適過來，才能順利進入到代數的學習。學生學習代數時，須使用與算術解題思維相逆的思維才能列出方程式。學會利用代數符號將文字題轉寫為代數的式子是在國小代數很重要的範疇，在國小階段兼顧代數與思維的發展，讓學生學會代數的符號、方法和推理能力。Kieran(1992)提出論述，認為代數概念發展從具體到抽象的思維（程序性概念到結構性概念），從具體的算術操作，過渡到早期代數的半具體物運思，再到代數方法的抽象推理。學生在解代數問題時的困難發生在問題表徵的步驟，該步驟是要將文字或圖案轉換成心理表徵，包含問題轉譯與問題整合，問題轉譯是將每一個句子或主要的詞句轉變為內在心理表徵，要將問題從文字表徵轉換成心理表徵；而問題整合要求學生將問題的敘述組合成連貫的表徵，以整合問題的訊息(徐偉民、林潔慧，2010)。所以學生除了具備分析、推理能力之外，學習代數還須擁有將問題「轉換」成符號的能力。由上可知，學習代數時，學生不只要能看懂題目，對於算則與律則要有基本概念(推理)，將題意與運算律則做結合(連結)，最重要的是將題意轉換成未知數的數學算式的能力(溝通)，這與NAEP所提出的數學威力之內涵不謀而合。本研究依照代數分年細目做教案設計，藉由動手操作 12.

(22) 及小組間互相討論激盪，以同儕間的言語來了解題意，利用圖畫或言語表徵來解釋式子與原題目的關係，讓學生學會文字轉換成數學符號的能力。. 第二節數學低成就學生的定義和特徵一、數學學習低成就學生的定義數學其實是非常生活化，也是非常有用的知識，在日常生活中，數學幾乎是無所不在，例如：買東西要用到數學、遊戲時也要用到數學、報稅要用到數學、建築、測量等種種都需要用到數學，然而現今卻有許多學生聽到「數學」兩個字就頭疼，甚至成為許多人在求學過程中揮之不去的惡夢。 Oberlin( 1982)曾歸納出下列七項理由是使學生不喜歡學數學的主因：（一）忽視個別差異，經年累月給予所有學生一樣的課堂要求及作業。（二）只強調數學方法，未強調教學方法的教學方式，數學課堂上多是一題解過一題，一頁做過一頁。（三）數學作業多為紙筆式，未能採用多元化的作業方式。（四）堅持學生須採用某種方法解題而忽略了其實數學可有多種解法。（五）在學生犯錯時給予額外的數學作業以示懲罰。（六）採用訓練方式來教數學，學生往往面對同一類型題目時，須做非常多機械式的練習。（七）在缺乏適時回饋的情形下，要求學生將所有做錯的題目，訂正到直到正確為止。這些不喜歡數學的學生，通常就是在數學學習上低成就的人，因為不喜歡數學，連帶也不想做數學，甚至看到數學就逃避，所以在數學學習上的成就低，受到師長責罵，同儕嘲笑，這些低成就學生就更討厭數 13.

(23) 學，如此惡行循環，低成就學生對於學習數學這件事就更排斥，也使得數學成績更下滑。低成就在英文上有兩種意義，一種是成就低落(low achievement)，另一種是低成就(under achievement) (楊坤堂，1997)。成就低落是指學生的學業成就表現顯著低於其年齡或年紀的常模標準，例如：學生的學業成就在該年齡或年紀最低的百分之二十。低成就是指學生的學業成就表現顯著低於自己的心智能力或潛力可以達到的學業成就水準。曾意玲 (2009)認為，數學學習低成就的定義是指學生個體智力正常，但是可能因為個人因素，如數學符號運算能力較低、計算能力較差、不容易了解題意等；或環境因素，如家中社經地位較差、家中學習氣氛不佳、文化刺激不利、數學學習動機不強等，導致學生的數學能力低落，個人的數學成績不能達到數學能力該有的水準。本研究中研究對象是五年級兩班學生中月考數學成績為後百分之二十七者。. 二、數學學習低成就學生的特徵與形成因素 Davis 與 Rimm(1998)歸納過去學者的研究成果，認為低成就學生主要有三項心理及行為特質：. （一）低落的自信心低成就者容易將失敗歸因於能力不足，而將成功歸因於運氣好。這種特質容易導致學習無助感，認定自己是無法將數學學習好的，因此在面對師長或父母要求時，常有叛逆、過度防衛和誇大行為出現。教師如果能隨時發現學生學習困難之處，提供適當的補救教學，學生就較不易因學習困難的累積而喪失學習興趣。. （二）學習成就動機低落自尊心低落使得低成就學生對學習動機低落(Diaz, 1998)，因為這類學生有逃避可能遭遇失敗的心理，所以他們可能會恐懼考試、喜歡拖延、 14.

(24) 排斥艱難的課業等，但對無威脅性的課外課程感興趣。教師可提供具有挑戰性，且含有鼓勵性的相關課程材料使學生能自我學習，並增進他們對自我的肯定，教師應站在學習輔導者的立場上幫助學生建立對學業目標設定之能力和達到目標所需的技巧，讓他們能學會管理自己的學習行為、分配自己的學習時間，進而逐漸增強學生達成目標的信心。. （三）社會適應不良因為低成就學生的學業成就低落，覺得被老師或同儕歧視，因此容易對他人產生不信任感甚至敵意，導致同儕間人際關係不佳、情緒控制不良、無法與人和平共處(Diaz, 1998)。教師可帶領學生在團體中分享感覺和想法，學習對他人的信任，確認自己的價值。邱上真、詹士宜、王惠川與吳建志（1995）認為數學學習低成就學生的表現有以下特徵：(一)理解數學概念有困難，(二)使用不正確或不合適的解題策略，(三)對於基本的運算事實不熟悉，(四)計算速度慢，(五) 運算效率差，(六)運作記憶差，無法處理較複雜的問題，(七)學習數學有焦慮感。張福松(2010)也認為，數學低成就學生學習行為有下列的特徵：（一）記憶力不佳：學生在保存數學概念、數學符號及計算規則的記憶上有困難，常容易忘記某些概念及演算的步驟。（二）語言能力不足：數學和語言、閱讀能力相關，他們較難理解數學的專有名詞及字義等的意義。在接受及表達能力上，數學語彙不足，導致運用數學符號語言的缺陷。（三）注意力不集中：他們常無法專心完成一道題目、無法從事多步驟的計算、缺乏耐心、無法有效地集中和保持注意力，或有效地轉移注意力。（四）學習動機不強：由於長期的學習挫敗，常會導致他們學習動機低落，而成為被動的學習者；他們通常缺乏積極的學習態度、較差的自我概念、負向的內在語言、較多的無助感及對數學產生焦慮。 15.

(25) 綜合以上所言，數學低成就學生由於在數學的運算及解題技巧缺乏，所以對於自己沒有自信心，造成對數學的焦慮感，引發在學習上的困難及社會適應不良。而影響低成就學生的因素，可以歸納為以下兩類：. （一）個人內在因素 1.自信心不足：黃雅婷(2009)認為，自信心是否足夠，將影響學生的學業成就。Baker, Bridger和 Evans（1998）也指出當學生表現不理想時，容易導致挫敗感，甚至否定自我的價值。此時教師可提供有意義，且含有鼓勵性的課程增進他們對自我的肯定，幫助學生建立設定學業目標的能力和達成目標所需的技巧，讓他們能自己對學習環境作反應、管理自己的行為、分配自己的時間，進而逐漸增強學生達成目標的企圖心。 2.缺乏學習動機：曾意玲(2009)認為，數學學習低成就學生由於長期的學業成績低落，因此在數學學習上產生學習的無助感，導致他們缺乏學習的動機及積極努力的態度，也沒有學習興趣。陳慧芬(2008)也指出，低成就學生的學習態度不佳，缺乏動機、恆心，不喜歡學校及家庭作業，甚至經常找藉口不交作業或遲交，不然就是向同學拷貝作業。 3.學習數學有焦慮感：Miller和Mercer(1997)認為情感亦是影響低成就學生數學表現的重要變項。反覆的學科失敗，會導致學生在數學學習時產生較低的自尊心、消極的心態及對數學的焦慮感。由於自信心不足又沒有學習動機，加上在數學學習上無法獲得成就感，所以低成就學生在學習數學生會產生焦慮感，害怕做錯，擔心成績不好被責罵，因而更不想學習數學、逃避數學。. （二）外在環境因素 1.社會因素：社會意識型態、價值體系、教育政策或種族不同等均影響學生的數學學習成就，例如，特殊文化或環境不利學生的數學學習就是受社會因素的影響。 2.學校因素：目前社會上一般家長過於重視成績，使得教師的教學方式偏重知識記憶，使得教學方式趨於僵化，無法激發學生的學習興趣， 16.

(26) 亦影響學生的學習意願。教師本身雖具豐富專業知識，但卻對於學生學習數學的困難點缺乏瞭解，或是教學內容不符合生活應用或實際性，無法引發學生的學習興趣與意願，只流於強調知識的重要與記憶 (張福松，2010) 。因為教學時間有限，老師追趕教學進度而使得數學低成就學生被迫放棄尚未完成的學習內容，使得學習未能落實，進而影響下一階段的學習。 3.家庭因素：黃志賢（2003）指出學生的家庭背景、父母對他們的期望、認知能力、學習動機等，都是構成學生在學習能力出現差異的成因和本質，這些因素都會不斷改變及互相影響，也影響著學習活動的成效。由於城鄉差距以及貧富懸殊，造成不同背景的學生接觸課外資訊機會的差距也愈來愈大，進而影響學生的學習效果。本研究的補救教學為避免低成就學生因為個人內在因素及外在環境因素而放棄數學，除了增進低成就學生實質的學習成效之外，會根據課綱分年細目編製教材，由淺而深的鋪陳題目，從低年級簡單的問題開始，以培養學生的做數學自信心，引起學生的學習動機，讓學生逐步練習數學的運算及解題技巧，解除學生的焦慮感，不因缺乏對數學的自信心而放棄數學。. 第三節補救教學的意涵和相關理論一、補救教學的意義行政院改革審議委員會在所彙整的《教育改革總諮議報告書》（ 1996）中明確指出「帶好每位學生」是教育改革的五大方向之一，而具體建議包括「建立補救教學系統」與「加強身心障礙教育」。在會議記錄中，主張實施「補救教學」如下：「政府辦理國民教育，應該堅持它的普遍性與公平性特質，應盡力使每個學生都能得到最好的照顧。此外，應發 17.

(27) 展學習診斷工具，配合以合宜的師資，規劃恰當的課程與教材。一方面使學生因為經驗與基本能力不足所造成的學習挫折，減到最小；另一方面，保障未來求知過程中不會受傷，人格得以健全發展。如果在國民教育階段，學習成果因個體的條件，而有難以短時彌平的差異，政府應檢討規劃，建立完整而一貫的補救教學系統，並輔以必要之補償教育措施，使得個人的學習獲得自我改善，可以在終身的學習時程上進行」。張新仁（2001）指出，補救教學基本上是一種診療教學的模式，教師在事先診斷學生學習的困難，選擇好接受補救教學的對象後，再在進行一連串積極的教學活動。建立完整而一貫的「補救教學系統」，是實踐「帶好每一位學生」教育改革理念的重要配合性措施。潘春華(2008)也認為，補救教學係指針對學習低成就、低落或欠佳的學生，實施額外的教學時間，以提升其學習成就的一種教學方式。就教育的觀點而言，採取適當的方法給予低成就學生有效的協助和指導，補救教學即被視為一種很好的措施。教育部將從民國 101 年 9 月起，從小一到國三落實補救教學，如果國、英、數三科沒有達到各年級基本標準的學生，都必須要接受補救教學。目前已經根據課綱訂出國小的基本學習內容，如果國小學生沒有學會達到這些基本學習內容的標準，就要接受補救教學。教育部強調，篩檢學生學習程度落後的線上測驗不是普測，只有老師認為學習落後的學生才要接受測驗，瞭解哪些學生需要補救教學，避免學習落差愈來愈大。可見補救教學對於低成就學生的助益，何況是大部分學生最為感到頭痛、最不感興趣的數學科，更是需要作適當的補救教學，以做為下一階段學習數學的基礎。. 18.

(28) 二、補救教學的原則補救教學的課程設計，首先要考慮到學習的原則：由易至難、由簡而繁、從已學到未學等，才能建立學生的自我信心與學習動機。補救教學基本上是一種針對低成就學生臨床教學模式，採用的是「評量─教學 ─再評量」的循環歷程，先選擇好接受補救教學的對象，再根據學生的學習困難設計教學課程及教學模式，方能契合學生的個別需求。教學過程中重視個案資料的蒐集、診斷評量，以及在教學後的測驗，以瞭解學生的實際學習狀況，並給予所需要的協助﹙張新仁，2001﹚。張基軍(2009) 則認為，除此之外，補救教學課程應該具有高度的結構性，同時學習目標需明確與具體，才能掌握學習的重心。另外，學習活動的設計要考量學生的能力、學習動機、學生的接受程度，對中低程度的學生來說，宜簡化教材，學習活動應富有變化，具趣味性，才能引發學生的學習興趣。杜正治（1993）認為一般補救教學的課程設計，應考慮下列項目： (一)分析基本能力：任何學科目標的達成，需要一定程度的心智能力，包括注意力、理解力、記憶力、觀察力、知覺力、以及想像力等。相關能力的不足必然造成學習的困難，因此在設計補救教學課程時，得考量學生的相關能力，再配合教材與教法，如此才能事半功倍。 (二)評量學科能力：在進行補救教學前，需先針對學科的學習能力進行測試與評量，以作為課程設計的依據，而學科能力的評量大多為成就評量，如語文科目的能力包括單字的記憶與瞭解、句子結構理解、文章閱讀能力等。 (三)評量學習動機：學習動機往往會影響學習成就，因此在進行補救教學前，教師應先瞭解學生學習動機的強弱。一方面設法對缺乏學習動機的學生提供外在的增強，另一方面可考慮學習動機強的成績低落學生為優先補救的對象。 (四)擬定課程目標：課程目標的研擬決定教學方法的選擇，也關係到 19.

(29) 教學的成效。然而教師在擬定課程目標時，要先了解學生的學習能力，以及學習的客觀條件。此外，課程目標的訂定，務必指出學習對象、學習的內容、行為的標準，教學方法以及評量的方式。 (五)選擇適合受試者能力的教材：有效的補救教學課程設計，宜根據學生程度選擇合適的教材，包括：訓練有效的學習策略、簡化原有教科書內容，另行編選坊間的教材、自行重新設計教材。綜合以上論述，本研究根據課程分年細目進行補救教學的課程設計，符合由易而難的設計原則，且有高度的結構性。並利用前測卷來測出低成就學生在代數課程方面的問題所在，選擇學生合適的教材內容，用以提升學生在代數方面的學習成效。. 三、補救教學課程類型補救教學的課程在內容上，因教育的理念、教師的素養、學習的設備以及學生本身的需要，而呈現多樣化。其常用的教學課程內容有補償性、導生式、適性、補充式、加強基礎性及學習策略等課程(張新仁， 2001)。以下就本研究相關之類型加以說明(潘春華，2008)：（一）導生式課程（tutorial program）：導生式課程旨在提供額外的協助，以學習正規課程內容。除了實施一對一或小組教學等教學方式外，其餘與正式課程沒有差異。其教學特色是為學生提供額外的解說，舉更多的例子，並對一般課程所呈現的教材再作複習。導生式課程係正規課程的延伸。因此，補救教學成敗的關鍵，在於補救教學教師與正規教學教師兩者之間的溝通與協調，共同策劃教學活動。導生式課程非常耗時，佔用教師大量時間與精神，所以教師可以鼓勵學生同儕參加補救教學活動，或由同班同學義務擔任教導的工作。（二）加強基礎課程（basic skills program）：加強基礎課程的特點，偏重於學生在正規課程中未能習得的基本技巧。加強基礎課程的基本假 20.

(30) 設認為：學習歷程是一種線性作用，因而國中一年級的學生無法受益國中一年級的課程，除非該生已經學會低年級的所有課程。如一位五年級學生的寫作能力，還停置在三年級的程度，則補救教學課程需強調三年級的寫作技巧之訓練。基於這觀點，在實施補救教學之前，重要的課題不僅在於診斷學生的學習困難，同樣重要的是確定學生當時的知識程度與能力水準。本研究之補救教學活動，就加強基礎課程之設計方向而言，本研究為低成就學生提供額外的課程時間，並對代數課程內容再作複習，且補救教學活動偏重學生在正規課程中已習得的基本概念。就導生式課程設計之方向而言，本研究之補救教學活動將採用小組教學方式進行，除了讓研究對象可以透過同儕學習的互相激勵，增強其學習動機；就學習策略訓練課程方向而言，補救教學的教材主要是藉由PBL理論發展而成。張景媛(1995)指出傳統講述法的教學方法無法因應學生的個別差異，而造成部份學生有低成就的現象。本研究採用問題導向教學，藉由學生在日常生活中的真實情境，引發學生學習的動機。不像一般傳統教師講述法，而是由學生自己分組討論、尋找答案，讓學生由被動式的學習變成主動學習。將在下一節做有關問題導向的論述。. 第四節問題導向教學法的意義及其相關研究一、問題導向教學法的意義以往的傳統教學策略為教師講授為主，以單向溝通方式進行，教學活動僅涉及師生間的互動及溝通，學生學習較被動。有鑑於此，近年來大力提倡教育改革，各種創新學習取向與教學策略不斷被提出。其中日益受到重視的一種教學策略即為「問題導向教學策略」（problem-based learning, PBL）。PBL 不同於傳統以知識灌輸為主的教學方式，以真實 21.

(31) 且較為複雜之問題為核心來引導學生學習，在創造性問題解決模式的歷程中，藉由互動討論及概念辨證等方式，培養學生觀察研判、探究思考、解決問題、歸納整合及溝通表達的能力（黃美瑤，2009）。問題導向學習法本來使用於醫學教育上，希望醫學院學生不是只會依照老師所教導的方法一步步地按表操課，而是利用真實案例極可能發生的情境當做教材，希望學生能自己找尋答案，進而解決問題。黃美瑤（2009）認為，問題導向學習的特徵在於：（一）以問題為學習的起點（二）問題必須是其在未來專業可能遇到的問題（三）學習內容是以問題為主軸所架構的（四）注重小組合作學習，較少使用講述法教學（五）學生必須負擔學習的責任，老師的角色只是促進者與引導者。根據Nash 的看法，問題導向學習有五個重要之假設：（一）學習者在真實情境中才能產生學習（二）學習者必須主動參與學習過程才能產生學習成效（三）學習者具自我導向性、富有動機且能被問題吸引（四）學習者重複地進行問題解決活動以成為有效率的問題解決者（五）學習者將學習價值內化並進行自我導向學習以成為終生學習者。本章的第二節中曾做論述，希望低成就學生能從教學課程中獲取自信心及學習動機而自動成為終生學習者，問題導向教學法與其論述不謀而合。在過去，傳統的數學教學模式一直以老師傳遞知識給學生的方式為主，問題由老師提出，由老師做例題來引導學生學習，過去的探究著眼在學生對問題的解題歷程，用以發現既有的答案。然而，為了因應快速變化社會，這樣個別化的探究歷程已經無法有效率地順應世界並獲得知識概念，從而採取的是團體解題文化為導向的探究歷程，透過引導學生發現問題進而解決問題，建構知識與概念。Wheatley（1991）提出問題中心教學策略是以問題為中心，透過小組合作解題、表達想法並分享經驗，教學模式有三個要素：任務、小組和分享。首先老師須提供學生能形成問題的任務，然後由小組自行合作解題，最後小組將解法向全班報告分享，並進行討論。簡言之，教師以問題為中心，自行設計或選取任 22.

(32) 務，讓學生在小組內討論以及解題，師生之間是以情境為基礎，透過對談行為的互動，共同來建構數學的概念及意義。. 二、問題導向教學法在代數補救教學上的意義 Vygotsky認為知識的形成是個體在社會中互動的結果，再將外在的社會互動結構內化到個人的心智基模。建構主義觀的教育意涵則認為：以學生為中心，運用學生的先備知識與經驗，並在有利的各項學習背景資源與脈絡中，提供開放式教學活動，從學生個人的能力本質上，激發其自主的學習興趣，使學生自己建構經驗，以產生知識（許雅婷，2003）。從Bandura 的社會學習理論中也曾經提及，學習者在學習情境中，會經由觀察與模仿他人的行為表現而改變個體行為（張春興，1994）。台灣過去的教育體制，一直偏重於知識和記憶，從90學年度開始實施的九年一貫課程，就是為了改變這個現象。從過去以強調內容知識的教學，改成以學生為主體、以生活經驗為中心，以培養解決生活實際問題的十大基本能力為目的的教學(教育部，2000)。由此觀之，問題導向教學內涵與九年一貫的教學精神相符合(鄭宇樑，2006)。代數的學習應避免讓學生機械式的背誦規則，而是將代數的學習融入情境當中，讓學童能夠將代數的學習融入其自身的生活情境當中，並在作答時用圖表、畫圖來幫助自己思考，以了解題意，進而能夠解題成功。因此在課室討論文化當中，老師應協助學生對於上述代數的迷思概念加以澄清，讓學生能夠透過班級團體的討論、辯證、推理與證明，來加強代數文字符號的使用、符號的表徵與等式的意義的建立，而形成班級團體的代數的數學概念(蔡昭傳，2009)。NCTM（1991）在新的「數學課程與評量標準」中指出，溝通應為從幼稚園到高三都要強調的標準，因為溝通可以幫助學生把他們從生活中所建構的非正式、直覺的概念和數學抽象的語言與符號聯結在一起，有助於數學學習。但是因為每個學生的先前知識不同， 23.

(33) 以致於有各種不同的理解，唯有透過溝通與磋商的過程，才能使對談更實質的進行。學生除了互相談話和回應之外，「寫」也是一個重要的成份。學生要寫出自己的想法，同時也要瞭解別人所寫的內容及意義。學生在一個有意義的情境下，使用數學對談的工具（如圖形、圖表、模型、記號等）來做為對談時的輔助工具。而且，在NCTM（1991）也強調，最根本的數學教學，是教師提供豐富的學習機會，讓學生在教室中主動的學習。即師生共同以問題為中心，在教師的引導之下，師生共同經由解題及對談，以創造數學解題的過程來發展數學能力（指探索、猜想、推理、解題、溝通、連結等能力）。綜合以上論述，學生的學習並不是只有自我本身的建構而已，還可以透過在活動中與他人互動溝通的情況下進行學習。由此可知，一般講述法並不適合在代數上的學習，學習代數除了了解問題、熟練律則算則之外，還要將問題轉換成算式，這也是一種與他人溝通的能力表現。問題導向教學的分組學習讓學生互相討論，和同儕間使用相同層次的語言及想法做溝通，比較符合代數的教學理念。在數學課綱代數部分的分年細目中，一直很強調「在具體情境中」來學習各種算則、律則及用未知數列出算式填充題。92課綱中，代數的學習目標也有培養學生觀察生活周遭數量樣式、數量關係與情境，並用未知數或變數的概念描述其規律之能力；發展學生以符號、一般化、系統化的代數思維進行解決生活周遭問題的能力。可見代數問題除了一般課堂上設法解題之外，課程目標更希望學生能使用在一般日常情境會遇到的問題，這與問題導向教學法的特徵中，問題須是學生將會遇到的實際情況相符合，所以適合用問題導向教學法來做補救教學。本研究採用問題導向教學，藉由學生在日常生活中的真實情境，引發學生學習的動機，不同於一般傳統教師講述法，而是由學生自己分組討論、尋找答案，讓學生由被動式的學習變成主動學習。低成就學生通常對自己的解題自信心低落，如果安排他們小組合作討論解題，在小組 24.

(34) 成員之間互相腦力激盪，相互合作思考解題方法中，提升低成就學生的解題信心，進而對自己有信心去做解題，這也呼應問題導向教學法中小組合作的特徵。 Diaz Camacho(2002)認為：問題導向學習並不是要尋求單一的正確答案，而是要學生去解釋問題、蒐集有關訊息、提出可能解決的方案、對這些方法做評鑑，然後選擇一種最好的方法去解決問題並呈現結果。在問題導向教學的教法中，教師不再是唯一或主要的知識來源，因為教學方式和型態的改變，教師扮演的角色也轉換成學生學習時的激勵者、輔助者、指導員甚至是同伴。但對於低成就學生來說，自行尋求問題解答，並不是一件容易的事。本研究中補救課程教材由研究者自編並以學生的生活經驗為出發點，讓學生以本身經驗為解題訊息，在教學過程中，研究者除了事先佈題之外，會至各小組巡視，幫助小組解決困難，使小組的合作解題進行順利，並引導學生討論、鼓勵學生發言、分享想法，而避免加入研究者個人的評論及想法，在教學過程中確實遵守問題導向教學的相關要點，卻又能解決低成就學生無法自行思考解題的困境。. 25.

(35) 26.

(36) 第三章研究方法. 本章共分為四節，第一節說明研究方法，第二節研究情境，第三節研究工具，第四節資料蒐集與分析。. 第一節研究方法本研究採取的是行動研究法，行動研究是以實際問題為主要研究內容，以解決問題為主要導向。行動研究的起源來自於教育工作中每日所產生的實際問題，研究者在改善教學實務、解決問題的同時，也可以建立參與者真正實踐的知識（黃佳連，2004）。研究者在研究之前，分析了研究者任職彩虹國小的學校教學環境，了解九位研究對象大部分是相對文化刺激弱勢及數學低成就的學生。在確定研究場域和研究對象後，研究者也對於自己在數學領域學習經驗以及教學的生涯做反思。研究開始後，研究者利用午休時間，一週兩節課的時間進行研究，預計進行十週補救教學。並運用問題導向教學法協助低成就學生進行代數方面的數學學習，來提升學生在代數方面的學習表現。在研究過程中，資料的收集主要以學生學習單為主，另外輔以學習的檢核表、討論時的互動錄音及討論紀錄、研究者的教學筆記、原班級老師的回饋等。蕭昭君(2002)指出，行動研究是老師在教學現場把所有的教學活動、任何教學過程都當作是影響下一步的教學行動的回饋，在這樣不斷的監看的過程當中，老師是可以改善自己的教學的。在本研究的研究過程中，經由蒐集學生在補救教學上的學習表現資料，藉著學生在數學領域的學習轉變，進一步思考研究者接下來協助的行動策略，找出哪些才是有效的解決方案，來解決現實教學中的問題，進而改善實務 27.

(37) 工作及教學品質，誠如Elliott（1991）所提的：行動研究是一種教學方式—教學和研究二者是不可分割的。. 第二節研究情境一、研究場域研究者任教於高雄市彩虹國小，該國小位於高雄市的郊區，此區的家庭大都為社經地位較差的狀況，大部分的家長都是勞工階級，外配及隔代教養的情形占大多數，單親和低收入的家庭也占有極大比例。根據研究者在任教學校的觀察以及平時和同事的討論發現，學生的家庭背景以及家長對於學生學習的參與和關心度，影響了多數學生的學習情況。在這個環境的學生們，相較於高雄市其他地區的小朋友，並沒有得到較多的文化刺激及教育資源，甚至有些學生的家長為求溫飽，每天都在外工作，無暇關心自己孩子的學習狀況，也無力讓孩子參加課外的安親班或補習班。有些連學校所辦的課後照顧班或攜手計畫的不願讓孩子參加，孩子每日下課後除了自行完成學校作業外，就是在外遊玩。也有一部分的家長，雖然注意孩子的教育，但是可能缺少良好的教育方法，不知如何幫助孩子學習。. 二、研究對象（一）低成就學生本研究選出彩虹國小五年級兩班學生，數學月考成績後百分之二十七者，共九位。這九位學生的基本資料如表3-1：. 28.

(38) 表3-1：個案學生基本資料學生代號. 基本資料家庭背景. S1 吳x○. 數學表現. 女性，家裡是典型外配家. 因為安親班的進度較快，所以. 庭，爸爸沒空，媽媽不會. 數學課堂上老師教的課本內. 教，所以參加校外安親班。容幾乎都可回答，但其他的例題或測驗題就不一定能作答正確。 S2 陳x○. 男性，原住民家庭，家中老上數學課較無耐心，回家的數么，做事迷糊粗心，未補. 學作業無人教就亂寫，常把. 習，有姐姐可教他。. 「不會」兩字掛在嘴邊。對於基本四則運算也常因粗心而錯，文字題部分較弱。. S3 孫x○. 男性，家中老么，做事懶惰課堂上例題大部分題目都可粗心，不愛動腦想。家中父自己解出正確答案。數學作業母對於成績要求不高，但本常偷懶沒寫，一片空白，但如身資質還不錯，沒有參加補果叫到老師身旁坐著算數習，回家幾乎也沒人可教他學，通常可做出七成寫作業。. S4 葉x○. 女性，個性溫和，但懶散。數學功課常常沒寫，也不會家中屬於中低收弱勢家. 寫。數學的四則運算會，但很. 庭，爸媽忙於工作沒空教. 慢，理解能力差，上課常常聽. 他，卻又以擔心他自己回家不懂老師說的內容，需要班上危險的理由拒絕讓他參加. 小老師教她。. 校內的安親班及攜手計畫。 S5 莫x○. 女性，家境不錯，爸媽也很學生本身對數學就是沒興. 29.

(39) 注重成績，送她到校外參加趣，看到數學就頭痛，能不碰數學補習班。. 數學就最好，上數學課態度不積極。個性活潑，其他科目表現都不錯。. S6 范x○. 女性，國語成績還不錯，上數學的文字題或多步驟的問課態度認真，參加校內課後題完全無法了解題意，其他類安親班及攜手計畫，家中無型的題目還可以，數學功課可人可教他。. S7 薛x○. 以自己完成。. 女性，家中屬於中低收弱勢基本計算可以，但文字題無法家庭，家中父親會教他數. 自行解題。上課時多話，專注. 學，但父親反應都教不會，力不夠，參加校內安親班，數數學成績一直很低落。參加學功課都在安親班完成。校內安親班及攜手計畫。 S8 呂x○. 男性，家中社經地位較差，數學四則運算部分還可以但為單親低收入家庭，本校資不熟練，但其他須思考解題的源班學生，參加學校的課後題目完全不行，數學功課幾乎安親班。. S9 黃x○. 都是抄答案。. 女性，本校資源班學生，單對數學興趣缺缺，上課態度不親家庭，父親忙於生計沒空積極，數學功課只能抄答案，管，參加校內安親班及攜手無法自己完成。基本四則運算計畫。. 還可以，面積或體積給公式會算，但無法自己背公式。. （二）研究者本身本研究的研究對象除了研究者的幾位學生之外，還包括研究者自己本身。研究者看到這些低成就學生的數學學習情形時，對照了自己本身在求學階段學習數學的回憶。 30.

(40) 研究者在國小階段對於數學科不排斥也不特別喜歡，雖然研究者的數學成績一向不錯，但對於研究者來說，數學就好像國語科、自然科和社會科一樣，只要多背幾次、多算幾次、把算法和公式背熟就足以應付考試了。在國中階段的研究者被選為數學小老師，常常要為同學解決數學上的問題，在多做題目的訓練下，數學仍然只是一個純熟的技巧。但在某一天，研究者突然「開竅」了，理解了一直以來用「背誦」所得到的公式及算法，從此以後，在求學過程中，數學這一科對於研究者而言，更不是個困難的科目。在研究者心中，一直想不懂，怎麼會有人連最簡單的算則都無法理解。在研究者十幾年的教學生涯中，大部分擔任導師職務，數學科是必教的科目，遇到很多對數學束手無策的學生，研究者以自己的學習經驗，試圖理解、體會數學學習低成就的學生的學習情況與心境，並以一個研究者的立場去探究，當研究者反思自己本身教學情形時，對於數學低成就學生學習可能產生的影響與轉變。研究者認為在教學現場，教師與學生之間的關係不僅僅只是教與學的關係而已。身為一位教師的我，應該從學生的學習情形學習如何扮演教師的角色，以協助學生以他們的立場為出發點來幫助他們的學習，讓自己除了扮演教學者之外，也扮演學習者的角色，更讓自己時時刻刻是一位教學反思者，從中獲得數學教學專業的成長。. 第三節研究流程本研究流程分為四個階段，分別為課程醞釀期、課程發展期、課程實施期及課程檢討期。本研究的研究流程如圖3-1，並說明如後。. 31.

(41) 教師自我省思. 第一階段. 課程醞釀期. 確定研究主題、對象. 蒐集並閱讀相關文獻. 決定研究目的、方法、步驟 -------------------------------------------------------------------------------------------------. 第二階段. 課程發展期. 分析閱讀相關文獻. 專家審編制前後測卷、撰寫教案及評量方法題 ---------------------------------------------------------------------------------------------進行前測. 檢討修正課程設計. 第三階段. 課程實施期. 進行補救教學. 進行後測 --------------------------------------------------------------------------------------------分析實施結果. 第四階段. 課程檢討期. 撰寫研究結論. 圖 3-1 研究流程圖 32.

(42) 本研究透過自我省思開始，確定研究主題及對象後，進行相關文獻的蒐集，以確定第一階段撰寫研究計劃的事項。第二階段課程發展期中，參考相關文獻與閱讀相關資料，根據數學課綱代數分年細目與參考部編版的數學課本、習作，編制前後測卷及補救教學教案，經指導教授及一位數學專業教師的審題，修改後即進行第三階段的課程實施期。第三階段的課程實施期，首先進行前測，將學生做同質性分組，接著進行補救教學課程，在每個分年細目課程結束後，學生需自行完成學習單，並於課程結束後進行後測。第四階段課程檢討期，針對編制課程的過程資料、編制課程所需的文獻資料、課程教學計畫資料、教學過程中所蒐集的資料及研究者教學反思等做資料分析，進行省思與檢討，以了解本研究之行動研究策略執行的結果。最後，將研究過程與結果及研究者透過自我省思的心得和感想，撰寫成研究報告。. 第四節研究工具本研究所使用的研究工具包括了：. 一、紙筆測驗（一）前測試卷此測驗卷於補救教學課程實施前施測，其目的在於了解低成就學生的學習困難所在，作為課程設計的依據，並學生程度施於適合的教材。研究者根據九年一貫代數部分逐條分年細目以雙向細目分析表進行分析（如表3-2），並輔以數學課本、習作及教師手冊等資料綜合編制出測驗題（附錄一）。在編制雙向細目表時，從課程綱要能力指標中，得知一到五年級代數部份相關的數學能力包括了「概念理解」、「計算流暢」、和「應用 33.

(43) 解題」三種能力。根據能力指標進行雙項細目分析，能力指標中有「能認識」「能理解」「能表示」等，則歸納為「概念理解」。能力指標為「能計算」等，則歸納為「計算流暢」。能力指標為「能運用」「能列式」「能解釋」「能驗算」「能解題」等，則歸納為「應用解題」。分析能力指標時，如果一條能力指標中同時提及「認識」和「運用」兩詞，則在雙向細目表中會有一題概念理解，一題應用解題。例：能在具體情境中，【認識】加法的交換律、結合律，並【運用】於簡化計算。此項能力指標在雙項細目表中，則【認識】是「概念理解」一題、【運用】「應用解題」一題。例如：能在具體情境中，認識加減互逆。→「概念理解」能在具體情境中，理解【乘法結合律】、【先乘再除與先除再乘的結果相同】，也理解【連除兩數相當於除以此兩數之積】。→ 雖然只有「概念理解」，但有三個概念，所以有三題。. 表 3-2：九年一貫代數部份分年細目雙向分析類型. 題 1.概念理解數 2.計算流暢 3.應用解題. 題目內容. 代數分年細目(補救課程設計). 1. 1. 1.等號. 1-a-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義。. 1、3. 2. 1. 交換律. 1-a-02 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於簡化計算。. 2. 結合律 1. 2. 1.加減互逆. 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。. 1. 2. 1. 三律. 2-a-01 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。（同 2-n-03）. 2. 遞移律 3. 2. 1. 列式 2. 解釋. 2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。. 34.

(44) 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。. 1. 1. 1.交換律. 1、3. 2. 1. 加減互逆 2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。解題 2. 驗算. 3. 2. 1. 列式 2. 解釋. 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋式子與原問題情境的關係。 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆。. 1. 1. 1.乘除互逆. 1. 3. 1. 乘法結合 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相律 2. 乘除位置同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。交換 3. 連除兩數相當於除以此兩數之積. 3. 2. 1.列式 2.解釋. 1、3. 2. 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式，並能解釋式子與原問題情境的關係。. 1.加減互逆解 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。題 2.驗算. 1. 4. 1. 長方形周 4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式。長公式 2. 長方形面積公式 3. 正方形周長公式 4. 正方形面積公式. 1、3. 2. 1. 分配律 2. 運用. 2. 6. 1.四則運算. 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 5-a-02 能熟練運用四則運算的性質，做整數四則混合計算。. 35.

(45) 3. 4. 1. 解題 2. 驗算. 1. 7. 5-a-03 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。. 1. 簡單平面 5-a-04 能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面圖形的面積，並說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響。積 2. 邊長或高變化時對面積的影響. 1. 2. 1. 長方體體 5-a-05 能用中文簡記式表示長方體和正方體的體積公式。積公式 2. 正方體體積公式. 1.信度研究者將所作之前測卷試題，請高雄市某國小五年級某班月考成績後百分之二十七的 11 位學生做預試，將預試結果以 SPSS 統計軟體內部一致性分析，求得α ﹦0.906 2.效度此份前測卷根據九年一貫代數部分一到五年級的分年細目所編列，應有不錯的內容效度。經過一位數理教育研究所教授審閱，及一位畢業於數理教育相關系所、任教十餘年的老師提供意見，應有一定的專家效度。（部分修改的題目如表 3-3 呈現）. 表 3-3 專家建議修改之題目分年細目 4-a-02. 編製前測題目. 修改後題目. 一盒巧克力 124 元，志嘉買. 一盒巧克力 124 元，志嘉買. 了若干盒，共花了 744 元，. 了一些，共花了 744 元，他. 他買了多少盒？用□表示買. 買了多少盒？用□表示買的. 的巧克力的盒數並記成算. 巧克力的盒數並記成算式，. 36.

(46) 式，再算算看。(學生不了解再算算看。若干的意思) 4-a-02. 王老師買了一些鉛筆，平分. 王老師買了一些鉛筆，平分. 成 6 堆，每一堆有 18 枝鉛. 成 6 堆，每一堆有 18 枝鉛. 筆。王老師一共買了多少枝. 筆。王老師一共買了多少枝. 鉛筆？用□表示買的鉛筆枝. 鉛筆？用ㄅ表示買的鉛筆枝. 數並記成算式，再算算看。(利數並出算式填充題，再算算用不同未知數符號來檢測學. 看。. 生) 註：（）內黑體字為專家意見. 3.鑑別度與難度本前測卷之所以未進行鑑別度與難度測試，有兩個原因：第一個原因是因為對於低成就生來說，就算是簡易程度的問題他們或許也會在解題上有所困難，第二個原因乃是因為此份前測卷根據分年細目而編，不管題目難易程度都是屬於學生必須學會的範圍內，故沒有做鑑別度與難度的評估。唯有經過預試後，研究者更改部分問題的文字敘述，以更符合學生理解能力。. （二）後測卷此測驗卷於補救教學課程實施後施測，其目的在於了解經過補救教學課程實施後，低成就學生在代數部分的學習表現是否提升。研究者根據九年一貫代數部分逐條分年細目編製，同時參考前測試卷與實施補救教學過程中，課堂上學生討論過或練習過的問題綜合編製出測驗題（附錄二），此份後測卷的內容結構與前測卷相同。. 37.