第三章 研究方法
第三節 補救教學實施後結果與分析
研究者在實施補救教學課程後施測後測卷，檢視低成就學生在補救 教學後，對代數部份的學習表現是否提升，表 4-4 中除前後測的達成率 外，還加入學習單的達成率，以分析學生在整個課程中的學習表現。
表 4-4 各組學生在前後測及學習單的達成率
達成 率 ％ A 組 B 組 C 組
學生 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
前測 81.25 81.25 81.25 78.13 68.75 68.63 43.75 37.5 21.8
學習單 82.14 85.7 89.28 73.33 73.33 76.67 83.33 63.87 50
後測 91.7 88.9 88.9 66.7 69.4 80.6 75 50 36.1
從上表來看，除S4之外，其他學生在後測的達成率比起前測皆有進 步，代表此次補救教學課程，確實有提升低成就學生代數部份數學學習 表現。大部分學生在補救教學當時所填寫之學習單的表現較優於後測，
這也符合當下記憶較延宕記憶深刻的理論。
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一、以學生後測時分年細目中的答題情形來分析
研究者利用表 4-6 作分析，分析出學生在前後卷中各個分年細目的 進退步情形。
表 4-6 後測學生答題情形
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 達成
率
1-a-01 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ 100％
1-a-02 ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ○ ◎ 78％
1-a-03 ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ 89％
2-a-01 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ 83％
2-a-02 ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ◎ × 83％
2-a-03 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ × × 78％
2-a-04 ○ ◎ ◎ ○ ○ ◎ ◎ ○ ◎ 78％
3-a-01 ◎ ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ◎ ○ × 78％
3-a-02 ◎ ◎ ◎ ◎ × ◎ ◎ ○ ◎ 83％
4-a-01 ◎ ○ ◎ ○ ○ ○ ○ ○ × 56％
4-a-02 ◎ ○ ◎ ○ ○ ○ ○ × ○ 56％
4-a-03 ◎ ○ ○ ○ ○ ◎ × ○ × 50％
4-a-04 ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ◎ ○ ○ 72％
5-a-01 ◎ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 44％
5-a-02 ◎ ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ○ ◎ × 77％
5-a-03 ○ ◎ ◎ ○ ○ ◎ ○ ○ × 61％
5-a-04 ○ ◎ ○ ○ ◎ ○ ◎ ○ ○ 67％
5-a-05 ◎ ◎ ◎ × ◎ ○ ◎ × × 61％
附註： ◎ 表示「達 成 」以 1 分 計，○ 表 示「 部份 達 成 」以 0.5 分計，×表 示「未 達 成 」以 0 分計， 表示
較前 測 退步 的 分年 細 目， □ 表示 較 前測 進 步的 分 年細 目 。前 測 部分 沒 有 5-a-04、5-a-05 兩個分 年 細 目。
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再從表4-6來分析，除去5-a-04、5-a-05兩個分年細目不計，學生在 補救教學前後測中的進步項目有46項，退步項目有19項，維持原本達成 的項目有79項，進步的項目高於退步項目，可見補救教學對於低成就學 生的代數學習有提升效果。在以各個分年細目在前後測中的個別達成率 做分析，如表4-7：
表4-7前後測各個分年細目的達成率
分年細目 前測達成率 後測達成率 進步＋、退步－
1-a-01 100％ 100％ 0 1-a-02 83％ 78％ － 1-a-03 83％ 89％ ＋ 2-a-01 55％ 83％ ＋ 2-a-02 44％ 83％ ＋ 2-a-03 89％ 78％ － 2-a-04 78％ 78％ 0 3-a-01 50％ 78％ ＋ 3-a-02 67％ 83％ ＋ 4-a-01 44％ 56％ ＋ 4-a-02 22％ 56％ ＋ 4-a-03 61％ 50％ － 4-a-04 56％ 72％ ＋ 5-a-01 67％ 44％ － 5-a-02 61％ 77％ ＋ 5-a-03 44％ 61％ ＋
5-a-04 67％
5-a-05 61％
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以前後測中各個分年細目的進退步率來看，分年細目1-a-02與5-a-01 中「運用於簡化心算」的概念，學生無法提高答對率，他們仍是傾向於 使用自己較為熟悉的算法，而不願採用新的策略解題。從表4-6也發現，
這兩個部份是較多學生在後測時退步的分年細目，部分不願意依照題目 所要求的策略答題的學生，可能因為缺少在每次做題目時一次又一次的 熟練相關性質的內容與應用，小組討論過程中也沒有積極的思考其他的 解題方法或是學習他人的的解題經驗，以至於在補救教學課程的後測中 又出現與正常班級上課時的現象，也就是學習落後，甚至答題時直接放 棄了。
另外在4-a-03中「理解乘除互逆，運用於驗算和解題」的答對率低 落，學生的乘除互逆觀念一直無法運用於解題及驗算上，但在加減互逆 的解題及驗算方面(分年細目2-a-04)答對率較高，就如同陳嘉皇(2008)提 出，對於不同內容之等式兩邊同時解題情境的問題，學童在加、減法的 問題正確表現的比例較乘、除法的問題為佳。這也說明了為何學生的乘 除問題的解題答對率較加減問題的答對率還差。
而2-a-03的概念乘法交換律，因為後測題的問題為：「下面哪一個 答案是錯的？」，而答錯的S8選擇了正確的選項，所以這題應該是粗心 答錯，而非觀念不懂。
二、以學生後測時的解題情形來分析
研究者將在前測卷中學生易錯的部份，和後測卷中學生答題情形做 比較，觀察在補救教學的前後，學生的答題情形是否進步，藉以觀察學 生在代數部份數學學習的表現是否提升。
（一）概念理解方面
1.認識律則（
1
）遞移律87
在後測卷中，題目「有126、162、99三個數，要怎麼表示它們之間 的關係？」這題，只有S8選了答案○2 126＞162＞99，其他人都答對了，
詢問S8原因，他說看錯了，他看成126比162大。但在題目「155□129，
□裡要填什麼？」中，S7居然選答案○3 ＜，而S9選了答案○2 ＝，令人感 到訝異，口頭問他們兩個155和129哪個數字大，兩人都答155，但選答案 時卻答錯，應該也是粗心所致。
（2）先乘再除與先除再乘的結果相同
這個概念的題目，研究者連題目的數字都沒有改，與前測卷的題目 一字不漏的相同題目（48÷3×25的答案會和下列哪一個相同？）出現在 後測卷，答錯的B組三人通通選擇答案○1 48×3÷25，而S9選擇答案○２48÷
3÷25，不過答對的人數從2人進步到5人，連S8都答對，令人欣慰。
（3）連除兩數相當於除以此兩數之積
在與前測卷完全相同的題目「48÷3÷2的答案會和下列哪一個相 同？」答錯的學生除了S5選擇答案○１48×3÷2，其他四人都選擇答案○３48
÷3×2。連在前測卷答對這題的S2和S8也答錯，問兩人原因，S8仍回答：
「不知道。」而S2回答：「我忘了要用括號。」
2.簡記公式
（1）簡記長方形和正方形的面積公式與周長公式
做前測卷時，還沒有教到其他平面圖形的面積公式，所以學生大都 以「長」、「寬」或「高」來亂答，而做後測卷時，學生更是出現「上 底」、「下底」、「對角線」或「對邊」等更多奇怪的答案。這題從3 人完全答對進步到4人完全答對。
（2）簡記簡單平面圖形的面積及長方體和正方體的體積公式 這兩個分年細目在前測卷部份並沒有，是屬於五年級下學期的教學 範圍，因為是較新的教學內容，也讓他們在補救教學課程中親自拿著附 件講解說明，所以這兩個部份共七題，有S1、S2、S3、S5、S7五位學生 完全答對，比簡單的「長方形和正方形的面積公式與周長公式」還多人
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答對，除了S8和S9錯誤題數較高，S6小錯了一題，S4則錯了三題，可見 學生親自動手操作的記憶效果比強迫他們記憶要來的強。
（二）計算流暢方面
在後測卷中，整數四則運算部份仍採用五上課本第八單元的課本練 習題來做測試，相較於前測卷，學生在後測的答對率有進步，但答錯的 類型仍有相似之處。
1.計算錯誤、抄錯題目的數字
粗心計算錯誤或抄錯數字的情形在後測卷比較少，除了 S7 和 S9 是 這種錯誤類型之外，其他同學沒有這種錯誤。
S7 計算錯誤 S7 計算錯誤
S9 計算錯誤 S9 抄錯題目的數字
(後 010504)
2.仍不會「先算乘除，後作加減」的規則
經過補救教學，S4 雖然不像前測卷時誤解了「先算乘除，後作加減」
的規則而隨意搬動符號和數字，但他在後測卷中卻和 S9 一樣，仍使用
「由左至右」的算法。
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S4 S9
(後 010504)
3.因為使用直式計算而混淆運算符號
這種情形似乎只發生在 S8 答題時，全體學生只有他和 S9 是使用直 式解題，S8 雖然知道「先算乘除，後作加減」的規則，但因為在直式過 程中無法逐一按照題意列出算式，所以導致他搞錯了運算符號，而答錯 題目。而且他在其他 5 題都答對，代表他的計算能力及概念應該是沒問 題，所以再訓練他一步一步列出算式，應該是提高他答對率的途徑。
S8 使用直式答錯的題目
S5 列橫式答對的題目 S6 列橫式答對的題目
(後 010504)
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再以前後卷中，學生在 5-a-02 的答對題數來比較（如表 4-8），可 知學生對於整數四則運算的計算題還不能完全答對，但大部分的學生在 補救教學課程後，對於四則混合運算的規則及計算能力較有進步了。
表 4-8 前後測卷中，學生在 5-a-02 的答對題數
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9
前測 卷 3 2 6 3 2 6 6 4 1
後測 卷 6 5 5 4 6 6 4.5 5 2
進退 步 ＋ ＋ － ＋ ＋ ○ － ＋ ＋
S1 和 S5 兩位學生能運用補救教學過程中所學會的運算規則概念來 將式子作簡化，列出「較簡單的算式」，讓運算過程更簡單好算，也代 表此概念已在他們數學演算過程中成為一種屬於他們自己的能力(如下 圖)。也可以視為他們對自己較有信心，較為肯定自己的計算能力，所以 在答題過程也會認為自己較為有能力可以解出題目，較有動機去解題，
也不會因為怕犯錯只用最基本的解題方法，而是學會運用所學的概念。
(後 010504)
在此部分的後測部分比前測退步的學生只有 S3 和 S7，S7 的錯誤部 份都屬於「計算錯誤」，他在後測時的答題中因為四則計算錯誤而錯了 幾題，應屬粗心錯誤，而非不會。而 S3 則在「3900÷(39×5)」這題答錯(如
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下圖)，詢問他原因，原來他本想利用「較簡單的算法」，所以先算 3900
÷39 的部份，但他沒注意 39×5 的括號拆開後，應該要變為 3900÷39÷5 才對，所以解題錯誤。研究者請他先看清題目，詢問他如果不用「較簡 單的算法」，要先算什麼？請他先按照原來的式子作答，他也知道要先 算括號內的算式(39×5)，詢問他為何這樣做出來的答案卻會和他用「較 簡單的算法」算出的答案不同？他無法說出原因。
S3 的錯誤
(後 010504) S2 則在某一題題目中(如下圖左)突然使用「由左至右」的算法，而 其他各題則採用「先乘除後加減」的正確算法，請他過來重做，想確定 他是「不會」還是「一時做錯」，他竟又寫出與原來相同的錯誤算法，
經過詢問，才知原來他對於此種題型有迷思，並不是只是單純的使用「由 左向右」的做法。詢問他原因，他說先做「238－98」再去除 7 比較簡單，
問他為什麼，卻又說不出來。要他先想想到底這個算式應該先做哪一個 部份？他說「98÷7」，問他為什麼？他說「因為要先乘除後加減。」，
他才恍然大悟原來這種題型不是他所想的「簡單的算法」，應是他還仍 未了解算式的意義。後來研究者又再出了一題相同題型的題目給他，他 答對了。
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S2 在後測的錯誤 相同題型題目的正確做法
(後 010504)
由此可見，S2 和 S3 在補救教學過程中學到了可以將複雜的數學式 子轉換成較簡單的算式，他們已經有「思考」的過程，而非只是單純的 計算，也算是補救教學過程中的收穫。但他們有時沒注意到括號去除掉 後，運算符號的改變，而造成解題的錯誤。
（三） 應用解題方面
1.運用分配律於簡化心算經過補救教學課程，學生在概念題「136×52＋364×52＝
（ ＋ ）×52」有七人答對，而在前測卷中答錯率很高的運用題
「算算看：35624×356＋35624×644＝ 」也有五人答對，研究者又 加了一題運用題「利用分配律算算看：456×501＝」，卻只有 S1 一人答 對，其他人就算題目要求用「分配律」，他們還是運用最簡單的「乘法」，
代表他們還是習慣運用最簡單熟悉的方式作答，很難改變他們的作答方 式。
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S5
（後 010504）
2.列出及解釋算式填充題
除了 S8 和 S9，大部分的學生都能列出正確的算式填充題，但還是 有列出算式填充題但不會計算的情形；對於解釋算式填充題的部份，大 多數學生也較能使用文字以外的符號或圖形來作答，代表學生已經能將
除了 S8 和 S9，大部分的學生都能列出正確的算式填充題，但還是 有列出算式填充題但不會計算的情形；對於解釋算式填充題的部份，大 多數學生也較能使用文字以外的符號或圖形來作答，代表學生已經能將