數學備課用書之教學提示形式

數學備課用書提示教師教學的形式包含教學設計、教學構想 (建議)、活動 的形式與情境、教學引導的內容與方式、補充資料 (補充題) 等。數學教學表徵 可以幫助學生理解數學概念，提供有效的解題學習 (洪郁雯、楊德清，2006；盧 淑津，2005)。概念理解是存在於學生內心的知識，是一種內蘊化 (interiorized) 的 解題過程 (Piaget, 1980)；老師可以利用各種教學活動的進行，讓學生將數學概 念理解的情形表現出來，而這就是數學教學表徴的應用 (何緼琪、林清山，1994；

陳彥廷、王瑞壎，2011；陳霈頡、楊德清，2005；張麗芬、林毓芬，2012；蔡宜 芳、楊德清，2007；Font, Godino & D'Amore, 2007；Lesh & Behr, 1987；Lesser &

Tchoshanov, 2005；Ozgun-Koca, 1998；Pape & Tchoshanov, 2001)。因此，備課用 書提供教師做為教學準備參考時，指引中所呈現之教學表徵素材的形式多樣化，

有利教師進行教學。多樣化的數學教學表徵形式能增進學生數學概念的理解，且 能和學生進行有效的溝通 (洪郁雯、楊德清，2006；劉秋木，1996)。

有鑑於此，研究者針對數學備課用書內容，提示教師進行教學之表徵素材的 形式進行探討；以期對教師參考備課用書做為教學準備時有所幫助；並協助研究 者分析國小一至三年級不同版本數學備課用書全數單元中，呈現教學提示層次的 各項說明時，提示教師協助發展學生在工具性、關聯性、邏輯性概念理解之各種 教學形式。本節先就教學提示形式的意涵進行探究，再分析與歸納教學提示形式 發展概念理解之層次關係。

一、教學提示形式的意涵

研究者進行備課用書教學內容初探性研究時，看見各種教學表徵以多種形式 表達，而這些形式的呈現提示教師數學表徵的多樣性。數學表徵意指學習者學習 數學知識，教師使用各種不同的形式教學，如具體物表、圖像、表格、口語表達、

文字、抽象符號表徵等，並藉由這些方式呈現個體的教學方式、想法與解法 (NCTM, 2000a)。本研究所指備課用書在數學表徵的教學提示形式，是一種編寫 的、外在表徵 (external representation) 的呈現形式，涵蓋指導語、教學建議或覺 察事項、呈序步驟、告知教學訊息等。表徵形如數字、代數方程、圖形、表格、

和圖表等是數學概念外在的表現形式，能作為一種對感官的刺激，並幫助我們理 解概念 (Stephen & Mourat, 2001)。這些表現形式成為教師參考備課用書教學表 徵內容的提示說明，以及協助教師閱覽概念理解層次之提示途徑。

備課用書中提示教學表徵所呈現的形式，在提供教師教學時，考量不同教學 提示層次發展學生數學概念理解；學生就能透過教師對概念理解的詮釋，啟發本 身的概念理解，成功地完成解題。蔣治邦 (1994) 認為「表徵是指用某一種形式，

將一種事物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的」。全美數學教師協會 (NCTM, 2000a) 在學校數學教學原則與標準中提及表徵對數學學習與教學非常 重要，能創新且使用表徵，用以組織、記錄、溝通數學思維；且能選擇、運用、

轉化數學各種不同的表徵以解決問題；使用表徴建構和闡釋各種物理、社會以及 數學的現象。劉秋木 (1996) 提到知識表徵可說是用以代表心理各種事物或經驗 等符號系統之通稱。因此，如何將這些表徵相互聯結在一起，並以各種教學形式 表現出來，就是外在的教學提示形式；研究者從各個版本備課用書中，看見這些 形式大致以列舉、告知、提醒或者設計案例等方式呈現出來，連結數學教學表徵，

提示教師瞭解表徵、使用表徵，讓學生看得見，也學得到教師教導概念理解所表 達的教學表徵。而教學提示形式所呈現的數學知識，也就是數學的教學知識 (pedagogical content knowledge)。

Shulman (1987) 在知識與教學 (Knowledge and teaching) 中提及，如果將教 師的知識編寫成一本手冊、一本百科全書、或一些其他編排形式的書，那麼至少 應該包括以下的類別或內容：知識內容 (content knowledge)、一般教學知識 (general pedagogical knowledge)、課程知識 (curriculum knowledge)、學科教學知 識 (pedagogical content knowledge)、教學脈絡知識、教學目的與價值等；其中學 科教學知識 (PCK) 特別重要，因為它定義了教學內容組織的獨特性；涵蓋了教 學內容與表徵教學方法的形式，例如問題的內容、問題的組成、問題呈現的形式；

這些數學教學知識的表徵應該考量不同學習者的興趣和能力，才能在教學中呈現 他們所能理解的教學內容形式。

有鑑於此，本研究欲瞭解備課用書中教學提示形式，認為此形式對教師及學 生會產生極大的影響；備課用書清楚地呈現教學內容所欲提示給教師瞭解的形 式，有利教師教學參考，對學生的學習也會產生正向的效果。換句話說，教學時 將數學概念以具體化、視覺化的方式表徵出來，用於教學上幫助學生理解數學 (劉祥通、黃國勳、蘇逸潔，2010)，這樣的表徵內容以不同形式呈現出來，提示 教師應該、需要、可能或覺察不同的教學或學生學習訊息，幫助教師具體化、視 覺化數學概念。學生在上課時看得懂教師所呈現的數學表徵，初步就能與教師達 成數學溝通的目的 (洪郁雯、楊德清，2006；蔡宜芳、楊德清 2007)。對學生而 言，數學表徴是一種視為看得見的、體會得到的情境，或者是一種內在形式的心 理表徵 (mental representation)。對教師而言，數學表徵是一種教學表現的通稱，

將之以不同形提示出來，是將教師心理存在的事物、經驗、組織、記錄、溝通、

闡述等知識外顯出來的教學詮釋。因此，備課用書內容必須提示明確的教學形式。

數學表徵是外在形式，例如數字、代數方程式、圖形、表格，圖表等，是一 種對學習者在感官上的刺激，能幫助學習者理解數學概念 (Pape, & Tchoshanov, 2001)。因而，Ainsworth (1999) 認為教師若以多元表徵方式去呈現數學概念，就 能互補單一表徵所無法提供的訊息，對學生的學習會有所助益。Seufert (2003) 在 其研究中表示，要求學習者在不同概念之間連接彼此的關聯性，對學習者而言是

非常困難的；因為沒有充份的理解，通常無法連貫；而教師以多元表徵的方式教 學，可以提供許多學習的功能，因應不同學習者的特徵和偏好，以利其獲取知識。

研究者認為數學備課用書須以協助發展學生概念理解為主旨，提示教學者適當的 教學形式，形式內含多元表徵，可以外在形式如文字合併數字或表格、圖示等，

條列出教學流程、教學注意事項，告知學生學習困難或提供教學示範，讓教師看 見這些多元的提示形式，再透過自己教學經驗，發展出幫助學生理解概念的方 法。因此，備課用書提供多樣的教學內容形式，老師就能呈現多元教學的形態或 活動，協助學生連接不同概念之間彼此的關聯性。

綜合以上對備課用書中教學提示形式探討，本研究所指之教學提示形式為教 師進行教學準備時，參考備課用書中教學素材的表徵時，能看見如何使用這些多 元表徵的提示，以列舉式、告知式、案例示範、提醒注意資訊等形式，呈現教學 樣貌；包括概念、原則、規則、或運算程序、問題情境、教學設計、教學構想 (建 議)、活動的形式與情境、教學引導的內容與方式、補充資料 (補充題) 、學生 學習訊息等參考資源。本研究探討數學備課用書教學提示內容，因此著重於分析 提示教師不同的教學形式為主要方向。

二、教學提示形式與發展概念理解之層次

全數單元的內容包括數、計算、情境方面。數的部分是指使用數的知識，瞭 解其排序 (例如位值)、多重表徵、數的大小及估算 (參考值) 等；計算方面是指 運用計算的能力和流暢度，包括瞭解計算對數的變化、計算的性質與計算方法之 間的關係與活用等；情境方面是指應用數與計算的知識和能力在問題的情境上，

善用有效的表徵或方式，例如心算、數的分解與合成等，以進行計算 (侯淑芬、

劉曼麗，2006)。因此，教學提示形式的內容涵蓋了以上這些概念，不同的形式 可能提示不同的概念理解層次。

(一) 教學提示形式與概念理解層次的關係

首先教師必須先瞭解，理解概念的知識轉換為教學表徵時，即將各種素材

(在本研究為備課用書提示內容) 的物件或形態以各種符號系統聯結起來，教師 參閱備課用書，看見提示這些教學素材所呈現的形式，將其以各種教學活動表現 出來，就是外在的教學表徵。劉秋木 (1996，頁 89) 提及組成知識表徵的重要性，

若未能有所聯結，知識表徵也只能是一盤散沙：「每一表徵，或為心像或為概念，

都可視為知識結構的一個小單位，大的結構便由這些小單位逐漸建築起來，就好 像蓋房子、或黏馬賽克一樣」。這更強調教學以各種形式表徵知識，以此為基石 將之整合，對逐步培養學生數學理解有所助益。Anderson (1983) 將知識區分為 一種知其然的陳述性知識，即以陳述事實或想法的方式理解知識；另一種知其所 以然的程序性知識，著重於探究理解知識的各個步驟；Anderson 以這兩種知識 所呈現的特徵，提出陳述性表徵 (declarative repesentation) 及程序性表徵 (procedural repesentation)。由此，與知識有關的表徵對協助教師發展學生概念 理解有所助益，其教學提示形式也因為學者對知識表徵不同的闡述與主張，而產 生不同的教學內容形式。是故，教學提示形式所提示的內容，除了提示教學表徵 呈現的形式，也不能忽視如何將理解知識的表徵，以清楚明示的提示形式，提供 教師參考。以下就理解概念所需的知識表徵，與提示形式進行相關的探討：

1. 劉秋木 (1996，頁 89-91) 對表徵的討論，研究者將之整理後，應用於本 研究對備課用書之教學提示形式的探討，內容如下：

(1) 能使教師「獲得更多的元素或知識單位，如獲得對一情境的行動表徵、

形像表徵、和符號表徵，或者獲得更多的概念、原則、或運算程序」。

此提供教師注意教學表徵間的關係，如概念、原則、或運算程序等，因此提

此提供教師注意教學表徵間的關係，如概念、原則、或運算程序等，因此提