數學解題子技巧

Pólya (2004)提出了：了解問題、擬定計畫、執行計畫，及驗算與回顧等四個 解決問題的必要步驟。Krulik& Rudnick (1995)也提到解題能力的啟發法，並解釋 構成啟發法教學過程有五個階段：閱讀與思考(Read and Think)、探索與計畫 (Explore and Plan)、選擇策略(Select Strategy)、找出答案(Find an Answer)，以及反 省與擴展(Reflect and Extend)。很顯然的，Krulik& Rudnick(1995)的說法比起 Polya 對啟發法的解釋來得更具體。以下將對 Krulik& Rudnick(1995)所提的啟發式教學 過程的五個階段做更深一步的探究。

壹、 閱讀與思考

在啟發式裡，問題由批判式的思考開始分析，事實真相被檢視與評估。換句 話說，這一階段就是為了使解題者能夠將問題被翻譯成他們自己所能了解的語言。

可以分成五個基本流程(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：

一、 辨別事實真相。

二、 辨別題目種類。

三、 想像情境。

四、 描述情境。

五、 重新敘述行動。

貳、 探索與計畫

在理解問題之後，解題者必頇分析問題中的資料，並且判斷是否有足夠的資 訊，或者排除所有會造成影響的事物。主要有以下五個流程(吳德邦、馬秀蘭，2009；

Krulik & Rudnick, 1995)：

一、 組織資料。

二、 是否有足夠的資料?

三、 是否有多餘的資料?

四、 圖示或建立模型。

五、 用表格、圖表、曲線圖呈現。

參、 選擇策略

這一階段是解決問題最關鍵之處。以下列出八個最常見、最廣泛被解題者拿 來使用的問題解決策略(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：

一、 算式的理解。

二、 回顧舊經驗。

三、 猜測和嘗詴。

四、 模擬和詴驗。

五、 變形。

六、 組織列式。

七、 邏輯演繹。

八、 分割與克服。

肆、 找出答案

這裡，為了找出答案，就必頇應用合適的數學技巧。此外，適當的估測是值 得被嘉許的，同時也可以借助計算機及其他的科技。這裡有四個流程(吳德邦、馬 秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：

一、 估算。

二、 使用各種計算技巧。

三、 代數技巧。

四、 幾何技巧(適當的時機可使用電算機)。

伍、 反省與擴展

找出答案之後，必頇檢查答案的正確性，以得知是否有遇過類似的問題初始 條件及回答問題正確與否。不僅如此，這裡是最能發揮創造性思考的地方，應該 再去找尋和討論替代的解法。如此的操作，能夠在這樣的過程擴展到發現問題中 所歸納出的數學概念。以下有六個基本流程(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik &

Rudnick, 1995)：

一、 檢查答案。

（一） 計算正確嗎?

（二） 有回答到問題嗎?

（三） 答案是否合理?

（四） 答案跟你的估算相較如何?

二、 找出不同解法。

三、 假使……呢?

四、 擴展至普遍化的現象或數學概念。

五、 討論解法。

六、 在原來的問題上創造有趣多樣性的變化。

值得注意的，這五個階段與 Polya 所提的啟發法不一樣的地方在於這些階段 既不獨立也不連貫。吳德邦(1987)也認為，解決問題的教學方式應該要發展且強 調閱讀問題、探究問題、選擇策略、解決問題，以及複習、回顧和驗證解答等五 個能力。另一方面，馬秀蘭(1994)也認為，真正的問題(problem)，必頇依賴思考 去解決的題目。因此，上述的子技巧的首要目的就是要啟發學生的閱讀與思考能 力，以解決真正的問題。

本論文所開發之系統的題目模型分類乃根據吳德邦與馬秀蘭(2009)翻譯 Krulik& Rudnick (1995)，分類結果在第三章的第二節內的第二小節之中。