國立臺中教育大學數學教育系碩士班碩士論文
指導教授：吳德邦 博士
國小學生數學解題子技巧學習單自動產
生系統之研究
研究生：高嘉祥 撰
中華民國一○三年一月
致 謝
兩 年 的 研 究 、 半 年 的 系 統 設 計 與 建 置 告 了 一 個 段 落 。 想 起 就 讀 本 校 數 學 教 育 的 碩 士 班 以 前 ， 增 進 自 己 的 數 學 教 學 能 力 是 我 的 主 要 目 標 。 順 利 地 進 到 本 校 就 讀 後 ， 確 實 增 進 了 自 己 的 教 學 能 力 。 在 一 下 時 擔 任 吳 德 邦 老 師 的 教 學 助 理 時 ， 聽 到 吳 老 師 願 意 教 導 我 論 文 寫 作 ， 心 理 非 常 地 雀 躍。此 外，吳 老 師 為 了 提 供 數 學 教 育 的 方 便，而 告 訴 我 這 個 系 統 的 研 究 。 心 裡 想 著：能 和 吳 老 師 一 起 為 數 學 教 育 界 做 出 貢 獻，是 很 榮 幸 的 一 件 事 。 在 這 兩 年 半 之 間，首 先 要 感 謝 指 導 教 授 吳 德 邦 博 士，謝 謝 您 在 研 究 、 邏 輯 思 考 及 論 文 撰 寫 上 嚴 謹 且 用 心 的 指 導 ， 以 及 在 設 計 系 統 的 過 程 中 ， 給 予 了 許 多 改 良 的 建 議 。 感 謝 口 詴 時 馬 秀 蘭 教 授 提 出 了 要 改 正 的 地 方 ， 精 闢 的 見 解 讓 我 受 益 匪 淺 。 以 及 陳 嘉 皇 老 師 在 百 忙 之 中 ， 特 地 列 出 了 這 篇 論 文 應 該 改 進 之 處 供 我 修 正 。 另 一 方 面 ， 非 常 謝 謝 甯 帄 獻 老 師 給 我 深 刻 的 啟 發 。 感 謝 數 位 系 的 陳 鴻 仁 老 師 ， 在 系 統 的 資 料 庫 建 置 上 給 予 我 提 點 。 謝 謝 陳 彥 廷 老 師 在 課 堂 上 、 空 閒 時 ， 能 夠 聆 聽 我 的 想 法 且 給 我 寶 貴 的 建 議 。 也 非 常 謝 謝 林 原 宏 主 任 時 刻 對 我 的 關 心 ， 以 及 系 上 所 有 的 老 師 提 供 的 寶 貴 意 見 。 黃 立 餘 學 長 在 系 統 功 能 上 的 設 計 給 了 我 許 多 的 設 計 意 見 。 還 有 研 究 室 的 學 長 姊 、 學 弟 妹 和 同 學 們 ， 謝 謝 你 們 的 鼓 勵 。 同 時 也 要 感 謝 一 起 上 課 的 同 學 們 ， 總 是 在 課 堂 上 提 出 許 多 非 常 有 意 義 的 問 題 ， 讓 我 對 研 究 有 著 深 刻 的 省 思 。 感 謝 我 的 家 人 和 Annie 在我 最 艱困 的時 刻陪 我度 過 。再 次 感謝 支持 我 的 你 們 ， 讓 我 有 動 力 完 成 這 個 學 習 階 段 。 在 此 獻 上 我 最 誠 摯 的 謝 意 ， 謝 謝 你 們 。摘 要
本 研 究 旨 在 設 計 提 供 小 學 教 師 使 用 的 解 題 能 力 學 習 單 的 自 動 生 產 系 統 ， 期 間 並 訪 談 小 學 教 師 教 師 得 到 回 饋 以 修 正 系 統 。 本 研 究 為 國 科 會 補 助 研 究 計 畫 之 部 分 成 果 (吳 順 治、 馬秀 蘭、 吳德 邦 ， 2014)。 此 系 統 所 使 用 之 開 發 帄 台 為 較 熱 門 的 LAMP 軟 體組 合， 分 別 代 表 ： Linux、Apache、MySQL 以 及 PHP 等 軟 體。此 外，客 戶 端 主 要 以 HTML、 CSS 和 JavaScript 等 程 式 語 言 作 設 計。建 立 系 統 帄 台 後，以 Douglas (2000) 提 出 設 計 有 效 教 學 軟 體 的 九 個 研 究 步 驟 作 為 研 究 方 法 。 在 系 統 架 構 中 ， 引 用 Krulik& Rudnick (1995)提出 的解 題能 力啟 發 法 作 為 題目 的分 類 結 構，這 個 啟 發 教 學 過 程 共 有 五 個 階 段：閱 讀 與 思 考 (Read and Think)、探 索 與 計 畫 (Explore and Plan)、選 擇策 略 (Select Strategy)、找 出答 案 (Find an Answer)， 以 及 反 性 與 擴 展 (Reflect and Extend)。 在 每 一 個 階 段 中 各 有 不 同 數 量 的 活 動 ， 以 各 活 動 所 提 供 的 學 習 單 作 為 系 統 的 題 目 模 組 ， 將 其 作 預 處 理 後 存 入 資 料 庫 ， 以 供 自 動 產 生 系 統 讀 取 之 用 。 此 外 ， 還 需 設 計 輸 入 模 組 供 上 傳 題 目 模 型 與 關 係 式 至 資 料 庫 、 輸 出 模 組 作 為 讀 取 題 目 模 型 與 關 係 式 、 修 改 模 組 則 為 剖 析 關 係 式 意 義 並 修 改 數 字 ， 以 及 三 種 使 用 者 介 面 ， 以 完 成 整 體 系 統 。 系 統 設 計 之 後 ， 進 行 兩 個 面 向 的 系 統 修 正 ， 其 他 出 題 網 站 的 比 較 、 使 用 者 操 作 回 饋 ， 且 歸 納 出 以 下 結 論 ： （ 一 ） 此 分 類 介 面 的 設 計 相 較 於 其 他 線 上 出 題 網 站 是 有 理 論 依 據 的 。 （ 二 ） 出 題 介 面 的 設 計 則 改 進 了 重 設 數 字 的 方 式 提 高 了 效 率 。 （ 三 ） 系 統 是 被 國 小 教 師 所 接 受 的 。 關 鍵 詞 ： 解 題 、 學 習 單 、 自 動 產 生 、 國 小A study of the system of automatically generative
problem-solving sub-skills worksheets in elementary
school
Gao Jia-Siang [email protected]
Abstract
This study is designed for primary school teachers aimed at solving ability to learn to use a single automated production systems , and interviews with teachers of primary school teachers t o give feedback to fix the system .
This system uses the development platform is more popular LAMP software portfolio , representing : Linux, Apache, MySQL and PHP and other software. In addition, clients mainly in HTML, CSS and JavaScript programming lang uage for design . After the establishment of the system platform to Douglas (2000)
proposed the design of effective teaching software nine research steps as research methods. In the system architecture , the refe rence Krulik and Rudnick (1995 ) proposed heuristic problem solving ability as a subject classification structure , this inspired teaching process consists of five phases :Read and Think, Explore and Plan, Select Strategy, Find an Answer, and Reflect and Extend.
Number of different activities at eac h stage in order to provide various learning activities as a system of single - subject modules will be stored in the database after its pretreatment for automatically generated by the system to read. In addition , the need to design input module for upload ing the topic model and the relationship to the database , the output of the module as a model and
relationship topics to read , modify, analyze the relationship significance compared with the module and modify digital , as well as three kinds of user interfaces, to complete the whole system .
After the system is designed to carry two systems for the correction of the problem compared with other websites , user feedback operation , and
summarized in the following conclusions :
1. This classification interface design compared to other online sites are out of question theoretical basis.
2. The title of the improved design of the interface to reset the digital way of improving efficiency.
3. The system is accepted by elementary school teachers.
Keywords: Problem-solving , worksheet, automatically generate,
目 次
摘 要
... I
目 次
... V
表 次
... VII
圖 次
... IX
第一章
緒論 ... 1
第一節
研究背景與動機 ... 1
第二節
研究目的與待答項目 ... 3
第三節
名詞釋義 ... 3
第四節
研究範圍與限制 ... 3
第二章
文獻探討 ... 5
第一節
學習單的功能 ... 5
第二節
問題情境 ... 8
第三節
數學解題子技巧 ... 11
第三章
研究方法 ... 15
第一節
開發工具 ... 15
第二節
系統設計流程 ... 18
第三節
系統操作檢驗與評估 ... 35
第四章
結果與討論 ... 37
第一節
出題系統 ... 37
第二節
訪談內容分析 ... 46
第五章
結論與建議 ... 49
第一節
結論 ... 49
第二節
建議 ... 50
第三節
未來研究的建議 ... 50
參考文獻 ... 51
中文文獻 ... 51
英文文獻 ... 53
附 錄
... 57
附錄一
研究甘梯圖 ... 58
附錄二
2013 年 12 月 06 日 A 教師訪談逐字稿 ... 59
附錄三
2013 年 12 月 10 日 B 教 師 訪 談 逐 字 稿 ... 67
附錄四
2013 年 12 月 12 日 C 教 師 訪 談 逐 字 稿 ... 76
指導教授簡歷 ... 79
作者簡歷 ... 80
表 次
表 2-1 語類和詞類之關係 ... 9
表 3-1 各階段活 動數(含學習單)統計 ... 18
表 3-2 識別字為 1-0-1-03 的題目模 型 ... 21
表 4-1 出題網站分類方式列表 ... 44
表 4-2 出題網站流程分類列表 ... 45
圖 次
圖 3-1 各活動的 技巧之模型 ... 19
圖 3-2 主系統架 構 ... 20
圖 3-3 題目模型 的資料表部分資料 ... 21
圖 3-4 使用者介 面呈現格式化題目、對應數字以及關係式 ... 23
圖 3-5 頁面初始 化 ... 24
圖 3-6 初始化完 成 ... 25
圖 3-7 重新出題 ... 25
圖 3-8 勾選不同 活動 ... 26
圖 3-9 勾選題目 、點下重設按鈕 ... 26
圖 3-10 取出內存 關係式，重設成功 ... 27
圖 3-11 無內存關 係式，重設失敗 ... 27
圖 3-12 一般使用 者操作流程圖 ... 28
圖 3-13 關係式存 入資料庫 ... 29
圖 3-14 進階使用者操作流程圖 ... 30
圖 3-15 題目模型存入介面 ... 31
圖 3-16 存入成功擷取畫面 ... 31
圖 3-17 題目模型上傳頁面操作流程圖 ... 31
圖 3-18 資料庫存取流程圖 ... 32
圖 3-19 檔案剖析器之剖析流程 ... 33
圖 3-20 關係式剖析器之剖析流程 ... 34
圖 4-1 Math-Drills.com 首頁 ... 37
圖 4-2 KidZone Math 首頁 ... 38
圖 4-3 Knowledge Share LLC.首頁 ... 38
圖 4-4 TeAch-nology.com 首頁 ... 39
圖 4-5 MathsIsFun.com 首頁 ... 39
圖 4-6 MathWorksheetsLand.com 首 頁 ... 40
圖 4-7 Softschools.com 首頁 ... 40
圖 4-8 AdaptedMind 首頁 ... 41
圖 4-9 tlsbooks.com 首頁 ... 41
圖 4-10 worksheetfactory.net 首頁 ... 42
圖 4-11 TheMathWorksheetSite.com 首頁 ... 42
圖 4-12 Schoolhouse Technologies Inc.首頁 ... 43
圖 4-13 子由數學小學堂首頁 ... 43
第一章
緒論
我國近二十年來，在社會大眾期盼的教育改革下，教育部分別在 1993 年頒 佈「新」的「國民小學課程標準」，又在 2000 年頒佈「國民中小學九年一貫課程 暫行綱要」，進而在 2003 年頒佈「國民中小學九年一貫課程正式綱要」，更於 2008 年對於部分學習領域之課程綱要做了大動作的修正。在這一波教育改革中，不論 是課程的精神，甚至於教育的最終目標都做了大幅度的變更。 臺灣九年一貫的數學課程，課程設計以學生為主體，以生活經驗為重心，培 養現代國民所需的基本能力。同時，除了希望學生能掌握數、量、形的概念與關 係外，更希望培養學生的數學素養、發展解決問題、表達與理性溝通、批判分析、 以及欣賞數學的能力，以成為未來世界的公民(教育部，2003)。然而，教科書的 內容，通常以數學問題的方式來呈現，而隨著學習主張不同，使數學問題呈現的 焦點有所不同：從強調正式數學表徵和抽象化原則的呈現，轉向重視學生的先備 知識和經驗的呈現方式(Willoughby, 2000)。 由上可知，數學課程頇以學生為主體，且其是為數學問題呈現。以下分成四 節，第一節研究背景與動機，第二節為研究目的與代答項目，第三節為名詞釋義， 最後一節為研究範圍與限制。第一節 研究背景與動機
數學能力對成年後的獨立生活與工作是有利的(Penny Rosenblum & Herzberg, 2011)。因此，數學課程若以學生為主體，將學生的生活經驗設為課程重心，並培 養其數學能力是必要的。影響學生數學學習的關鍵之一，就是教科書。因為教科 書不但提供了教學內容、教學順序與實施的架構(Nicol & Crespo, 2006)，而且是 影響教師數學教學的最主要因素(Lloyd, 2008)。Stein, Remillard 與 Smith (2007)則 指出美國傳統與改革版本的數學教科書，在內容呈現的順序、方法、焦點和組織 的形式上都有很大的差異，同樣也會影響學生數學學習的表現。Tarr 等 (2008) 的觀點是，對於不同取向的數學教科書，其哲學觀與內容呈現上有明顯的差異， 會影響教師教學時的呈現方式，並影響學生的數學學習。在這些研究中都指出數 學教科書內容組織與呈現的差異，將會影響學生的數學學習表現。 另一方面，臺灣過去中小學的數學課程，經歷多次改革，從學科本位、學生 本位到能力本位的發展過程(鍾靜，2005)，到強調計算與理解並重的課程內容(教
育部，2003)。從過去重視數學知識結構、基本計算技巧與例行性問題的練習，轉 向強調學生主動建構數學知識的觀點(Anderson, 2003; Becker & Selter, 1996)。這 些轉變，為的就是提升學生的數學能力。
因為數學問題是數學教科書內容的構成基本元件之一，不但直接影響學生學 習數學的方式和結果，同時也會影響學生對於數學本質和學習的觀點(Henningsen & Stein, 1997; Stein et al., 2007)。這樣的說法與 Willoughby (2000)的主張如出一轍， 都認為數學問題在數學教科書中是必要的一部份。基於這個理由，數學問題的設 計應是一項值得探討的研究。
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics , 2000)強調數學學習從強 調基本計算技巧的練習，轉變成思考與解決問題能力培養的重視，且問題的內容 也強調與學生的生活經驗有關。這樣的說法，可以作為數學問題設計的依據。但 是，教科書要如何呈現？由 Stein, Smith, Henningsen 與 Silver (2000)的觀點可知， 教科書內呈現的數學問題，依據解題時所需的認知需求作區分，由低到高可以分 為四個類型：記憶型、無連結程序型、具連結程序型、和作數學四種類型。其中 的記憶型、無連結程序型這兩類需求為低認知，另外二個則是高認知需求。Boaler 與 Staples (2008)以及 Gutstein (2003)皆對這個觀點作驗證，其研究驗證出教師採 用高認知的數學問題，供給學生較多思考、討論和互動的機會，能夠有效提升學 生數學學習表現。Stein 等 (2007)也在研究中說明了高認知的問題不但增加學生 對於概念理解的機會，也同時培養了學生思考、推理和溝通的能力。 綜合上面所說的，數學能力是為教科書的呈現所影響，教科書則是由數學問 題作為基本部件，數學問題能夠依解題時所需的認知需求做區分。然，若能夠在 設計數學問題時就預設好其所需的認知需求，對於教科書的設計是有一定幫助的。 徐偉民(2013a)對臺灣教師的課程使用作研究發現，臺灣教師偏向忠實使用數學教 科書的內容。其中的教學知識、教學和學習的觀點、學生程度、學生的學習特性、 課程內容的順序、和教科書的內容等考量因素占了相當大的比率。數學問題的設 計必然是影響學生學習數學能力的關鍵因素。 國內對於數學問題設計研究相當豐富，自動化的數學問題設計之研究卻寥寥 無幾。自動化的意思並非單純的以從題庫中抓取題目，直接編排成一張詴卷者； 而是針對某個數學主題或活動設計一系列的問題，甚至還能將這些設計好的問題 再度重構成為新的數學問題。國外有軟體 Mathematics Worksheet Factory Deluxe 3.0 (Schoolhouse Technologies, 1998)能夠依據數學主題分類成不同活動，再根據不
同活動定義一系列的問題，同時能將問題中的數字做改變。但是，這是一套需要 安裝的軟體。因此，研究者欲參考 Mathematics Worksheet Factory Deluxe 3.0 和子 由數學小學堂（吳維漢、羅文秀、莊珺涵，2005）的分類介面與出題介面，並製 作一個結合二者的自動化數學問題設計的網站，以供教師能夠搭配教材使用。
第二節 研究目的與待答項目
壹、 研究目的： 製作國小學生數學解題子技巧學習單自動產生系統。 貳、 待答項目 根據上述的研究目標，本研究探討的項目如下： 一、 數學問題分類介面的設計。 二、 數學問題出題介面的設計。 三、 邀請三位國小在職老師使用網站，探討本系統設計之成效。第三節 名詞釋義
壹、 子技巧 Krulik& Rudnick (1995)對解題啟發方式以子技巧做區分。所有的子技巧之間 是不連貫的，各自有自己的必要性。 貳、 學習單 本研究所指學習單係指形成性評量，為評估學生學習之概況。第四節 研究範圍與限制
壹、 研究範圍 本研究之目的為設計國小教師操作的系統。因此，無論是分類設計、操作設 計，都以國小教師之訪談回饋作為主要改進的考量。 貳、 研究限制 研究時間對於本研究限制之影響因素最大。因設計與建置皆是耗時的。第二章
文獻探討
在美國，中小學數學教育裡，數學的內容和教學法所採用的方向為全美數學 教師協會(NCTM)的三項主要出版的結果：《學校數學課程和評估標準》
(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989)，《數學教學的 專業標準》(Professional Standards for Teaching Mathematics, 1991)，及《學校數學 評量標準》(Assessment Standards for School Mathematics, 1995)。且，這些出版品 的重點就是問題解決及推理。 反觀台灣，徐偉民(2013b)對臺灣、芬蘭、新加坡國小數學問題類型分佈之研 究結果顯示，在教科書中，低認知問題(記憶型、無連結程序型)高於其他二個國 家，高認知問題的具連結程序型同樣地也較高；作數學則是低於新加坡、高於芬 蘭。另外，三國的表徵型態分佈之研究結果，文字、視覺型態皆高於其他二國， 其中以文字型態高出許多；數學、聯合型態則較低。而 Brown 與 Edelson (2003) 的研究發現，教師在使用教科書時，可分為「完全使用」(offloading)、「部分改編」 (adaptation)、「完全設計」(improvisation)三種不同的使用方式。 若以學生的觀點來看，馬秀蘭(2007)的研究結果顯示部分學生的思考轉向包 含「數學」的內容時，此表示他們能看出實際世界與數學之連結，他們能用數學 的概念去解題。因此，本章第一節節探討問題情境，第二節為解題能力與啟發法， 第三節來探究學習單的意義。
第一節 學習單的功能
本節之探討內容，會先將評量做界定，並對評量之目的做探究，再根據九年 一貫課程綱要(2008)之實施辦法為主體，推論評量應該實施的作業內容。其次， 將多位學者對學習單之定義做整理，並將學習單作分類，再取其研究者欲使用之 類別做深究。最後，再將評量與學習單之間做最後統整，以明確區別兩者之差異。 壹、 評量Lesh 和 Lamon (1992, p7)將評量區分成六種並各自給予定義：Examining、 Documenting、Assessing、Testing、Measuring、Evaluating，研究者將學習單歸類 在 Assessing 中。Assessing 之定義如下：
為了評估特定事項而去描述其目前的狀態─可能是參照了一些概念上、程序 上，或發育上的里程碑。(To assess something means describing its current state ─ probably with reference to some conceptual, or procedural, or developmental
landmarks.)
Lesh 和 Lamon 的對 Assessing 之定義中，說明此類評量為一「里程碑」。換 句話說，此類評量是敘述在當前發展過程中，具有意義且可做為參照的事件。 但是，評量的目的在描述學生的學習狀況(黃敏晃，1996)，並不僅限於描述 當前發展過程。黃敏晃(1996)又接著指出：「大部份的教育制度都選定某些時刻加 以切片，用紙筆評量的方式，來測定到此為止的學生學習成就，希望由此得到的 資訊，能幫助我們描述前一段時期中之學習概況，並發現一些學習上的問題。」 由此可知，「描述學習概況」與「描述學習狀況」兩者是有區別的；前者是對學 生在特定一段或多段學習歷程所做的敘述，後者則是對學生在任何時刻所做的描 述。但，描述學習狀況需要隨時隨地對學生的任何學習狀況做描述，對於現職老 師而言是不可能的。因此，研究者再將評量的目的限制為描述學習概況。 九年一貫課程綱要(2008)其指出：「應透過教學的評量，分析學生的學習問題， 做適當的診斷、導引與解決。」換言之，教學評量實施之後的工作就是描述學習 概況。因此，描述學習概況有兩項作業： 一、 分析學生的學習問題 這項作業與 Lesh 和 Lamon (1992)所認為可做為參照的事件。換句話說，就 是將教學評量上的敘述與學生的問題做參照、關聯。 二、 對分析後的學習問題做適當的診斷、導引與解決 藉由分析學生的學習問題所得到的參照，老師將已分析的學習問題判定問題 出處，再引導學生如何解決這些學習問題。 綜合以上內容，評量的目的是在描述學生的學習概況而非學習情況。描述學 習概況又分成兩項作業，分析學生的學習問題、對分析後的學習問題做適當的診 斷、導引與解決。
貳、 學習單 前面所述，研究者已將學習單歸類為 Assessing，也就是用來描述學生學習概 況的工具。以下繼續探究學習單之意義。 任慶儀(2012)將學習單做了以下定義：「學習單是在學習完一個主題或是小單 元時，用來檢測學習者學習到的知識、概念或能力表現的一種工具；此外，它也 是做為測詴教師設計的學習活動是否適當的形成性評鑑工具。」這個定義說明了 學習單有兩種功能。 另外，周淑卿等人(2007)則認為學習單有三種效用，(1)學習單可以幫助學生 整理與記錄課堂學習的內容與心得，進一步將習得的知識系統化；(2)可以引導學 生在學習活動中進行思考與探索；(3)具有形成性評量的功能，讓教師藉著學習單 的完成狀況，了解學生當時的問題或迷思概念，以調整教學策略或決定進一步的 教學活動 (周淑卿、顧翠琴、王郁軒，2007)。如上所述，(3)和任慶儀(2012)所提 及的功能相同。除此之外，可以觀察到，這裡是指同時在一學習單上產生的三種 效用，其中(1)、(2)為在學習者上的效用，(3)為在教學者上產生的效用。 許莉芬(2007)又將學習單的種類區分成三種：(1)自導式學習單：以學習者為 學習主體，自行完成的學習；(2)引導式學習單：使學習者依據學習單中所提列的 學習活動流程或指導重點；(3)診斷式學習單：學習活動完成時，測驗學習者是否 達到學習目標等。上述三種學習單，都是以學習者為主體，但是學習者所經歷的 過程也不同。仔細地說，學習者在進行(1)時，從學習的開始到結束都是由學習者 獨立經歷；進行(2)時，從學習的開始到結束是由學習單所提列之引導帶領著學習 者經歷；進行(3)時，是在學習的經歷結束後，繼續延伸的新的學習經歷。其中， (1)與(2)很明顯的差異在於學習單上是否有引導提列，(3)所提供的則是事後交於 教學者分析、診斷的根據。 參、 評量與學習單 綜合各學家對評量與學習單之說，評量係包含學習單，相同之處在於兩者皆 在「描述學習概況」(描述學習狀況不做討論)；相異之處則在於評量是一概念， 具有六個種類(Lesh & Lamon, 1992, p7)，而學習單最近 Assessing 的功能。因此， 研究者在本文中所提及之學習單，將以該功能為基礎做設計。
此外，學習單尚有自導式、引導式、診斷式等三種，而形成性評量則是在各 種學習單上的附加功能。在本論文學習單自動產生系統中所產生的學習單，都是 以自導式、引導式學習單為主。
第二節 問題情境
本節從語意學家看待問題情境，再以數學教育家的說法做解釋。 壹、 語意學家的說法 徐烈炯(1996)將多位語意學境況論的學者的文獻整理後，給出了一些結論， 而這些結論是語意情境重要的基礎。另一方面，參考羅肇錦(1993)的詞類、句子 和句子成分分析及句法奠定文字題的語法基礎。 一、 「境況」與「語意情境」 在現實中充滿無數的境況，而一個人在一生中所經歷到的只不過是各式各樣 的境況中很小的一部份，且這些境況在不斷地變化之中。每一個境況都有獨特之 處，又，境況與其他境況之間有所交叉；換句話說，境況是有無數可能且其彼此 之間是有所關連的。這些境況係由一些基本單位所組成：個體、性質、事物之間 的關係、地點以及時間；這些單位都能看作常項，並用集合論作為工具將它們組 合起來，就可構成無數的境況。這些構成的境況稱為抽象境況(abstract situation)， 當部份的抽象境況成了現實，則稱為現實境況(actual situation)。 「境況是否存在文字題中？」文字題的敘述有特定的語意以表示這個問題的 意思；這個語意就是和詴圖理解者交談的部分，而不是敘述。如此一來，語意必 會存在一個抽象的境況；這樣才能夠與詴圖理解者在同一個語意產生的空間中作 交談。這樣的假設，是為了和境況的基本單位作呼應；也就是說，這些基本單位 都存在某個境況的空間中，而詴圖理解者會在這個空間中找到這些基本單位，並 且去組織這些基本單位，產生成接近出題者要和詴圖理解者交談的語意。情境就 是存在的抽象畫面；可以在空間中找到的一些基本單位，進而組織成的結果。 研究者以這樣的推論，將境況和情境兩者視為相同。 二、 「詞類、句子和句子成分分析」與「文字題的語法」 對詞的分類可以分成實詞和虛詞兩大類；實詞能表示出實際意義，虛詞則不 能。前者分成名詞、動詞、形容詞、數詞、量詞、副詞、代詞等七種；後者分成介詞、連詞、助詞、嘆詞、語氣詞等五種。而句子是由詞和詞組，按一定規則所 組成，可以表達一個完整意義的語言單位。組成這些句子的成分有主語、謂語、 賓語、補語、定語、狀語、外位語、獨立語。然而，羅肇錦(1993)認為主語、謂 語、賓語、定語、狀語、補語等六個句子成分所常用或不用的詞類，一般來說以 動詞充當謂語，名詞充當主噢，形容詞充當定語，副詞充當狀語為多，但並不是 很嚴格，常常有跳用的現象。國語中實詞語句子成分的關係大致如表 2-1，其中 「+」代表句子成分可用的詞類、「-」代表句子成分不用的詞類。 句子成分是分析句子內部組成的結構關係與先後次序，光瞭解組成分子是不 夠的，必頇對句子類型加以研究掌握。按照句子的語氣、作用和結構的不同，句 法也不同。用語氣、作用劃分的陳述句、疑問句等二類；結構上劃分的完全句這 類，都是加減法文字題常用的句法。可是，這些句子都是單句，而單步驟加減法 文字題一般都由三或四個分句組成的複句。從結構和意義上看複句；複句至少有 兩套句子，意義和容量也較大。複句的類型，是依據分距之間意義上的聯繫的不 同來劃分的。由這樣的標準，複句分成聯合複句、偏正複句兩大類。聯合複句可 再分為並列複句、遞進複句、選擇複句、承接複句、總分複句；在加減法文字題 中，並列複句、遞進複句是較為常見的。偏正複句意指偏句和正句之間意義上聯 繫的不同而形成的，在一般文字題中較少用到，且通常被視為冗餘資訊，故本研 究不考慮此類複句。 總體而言，境況所處的空間中，有一些基本單位，組織這些單位的方法稱作 語法。換句話說，文字題的語意情境是在某空間中，利用句法和其與詞類的關係 來組織一些元素形成的畫面，這樣的畫面稱作是文字題語意情境。 表 2-1 語類和詞類之關係 主語 謂語 賓語 定語 狀語 補語 名詞 + 少數 + + 少數 - 動詞 受限制 + 受限制 + 少數 + 形容詞 受限制 + 受限制 + + + 數量詞 受限制 + + + + + 副詞 - - - - + 少數
貳、 數學教育學家的說法
九年一貫數學領域將學習主題分為：數與量、幾何、代數、統計與機率、連 結五大範疇，並將國中小的學習歷程分為四個階段：1-2、3-4、5-6、7-9 年級， 且每個年級均明確列出該年級所對應學習的分年目標。四個階段、九個年級分別 列有能力指標、分年細目等所需學習的能力。而教科書在整個教學系統中有重要 的核心作用(Ball & Cohen,1996)。研究指出，教師會根據其所面對的學生和特殊 的教室環境，來主動設計與建構課程，以達成教學目標(徐偉民，2011；Ben-Peretz, 1990; Remillard,1999)。這些都是數學問題教學的觀點。 從另一個觀點，數學問題學習的觀點切入，解題者的知識結構，會影響解題 者是否能提取適當的解題基模，進而影響解題能否成功(涂金堂，2007)。而且這 個說法與馬秀蘭(2007)的研究結果是相符的。除此之外，若以 Artzt 與 Armour-Thomas (2002)和 Wiske (2005)對數學學習的觀點來看，臺灣的例題比較容 易讓學生在學習過程中瞭解到不同解題的思考與方法，且有表達自己想法的機會 (徐偉民，2013b)。 因此，可以推論數學教育學家們，有的重於數學問題的教學，有的則重於數 學問題的學習；換句話說，就是偏重教師與學生兩方面。這些近代數學教育學家 們所重視的和語意學家不同之處在於語意學家所在意的是文字之中的蘊含的情 境，而數學教育學家則是偏重以學生和教師的角度去看到這個問題是否能夠讓解 題者在解題時與生活能有關聯的建立。 除了語意學家和數學教育學家對此有看法外，黃明雅(2005)也歸納研究相關 文獻得到文字題的分類可以分成：情境、運算、語意結構和以及生活經驗結合的 一致性這四種。Lesh, Post，與 Beh (1987)也提到，在數學的表徵系統中，包含了 圖像、符號、口語、具體物、真實情境等。這些見解中都直接或間接的表達出數 學與生活經驗或情境是絕對脫離不了關係的。
本論文所採用的題目模型，大部分都與生活經驗相關。如此一來，正如上面 所述，問題與生活經驗有所關連，就能讓解題者在解題時與自身的生活經驗做連 結，達到解題的目的。
第三節 數學解題子技巧
Pólya (2004)提出了：了解問題、擬定計畫、執行計畫，及驗算與回顧等四個 解決問題的必要步驟。Krulik& Rudnick (1995)也提到解題能力的啟發法，並解釋 構成啟發法教學過程有五個階段：閱讀與思考(Read and Think)、探索與計畫 (Explore and Plan)、選擇策略(Select Strategy)、找出答案(Find an Answer)，以及反 省與擴展(Reflect and Extend)。很顯然的，Krulik& Rudnick(1995)的說法比起 Polya 對啟發法的解釋來得更具體。以下將對 Krulik& Rudnick(1995)所提的啟發式教學 過程的五個階段做更深一步的探究。
壹、 閱讀與思考
在啟發式裡，問題由批判式的思考開始分析，事實真相被檢視與評估。換句 話說，這一階段就是為了使解題者能夠將問題被翻譯成他們自己所能了解的語言。 可以分成五個基本流程(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：
一、 辨別事實真相。 二、 辨別題目種類。 三、 想像情境。 四、 描述情境。 五、 重新敘述行動。 貳、 探索與計畫 在理解問題之後，解題者必頇分析問題中的資料，並且判斷是否有足夠的資 訊，或者排除所有會造成影響的事物。主要有以下五個流程(吳德邦、馬秀蘭，2009； Krulik & Rudnick, 1995)：
一、 組織資料。
二、 是否有足夠的資料? 三、 是否有多餘的資料? 四、 圖示或建立模型。
參、 選擇策略
這一階段是解決問題最關鍵之處。以下列出八個最常見、最廣泛被解題者拿 來使用的問題解決策略(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)： 一、 算式的理解。 二、 回顧舊經驗。 三、 猜測和嘗詴。 四、 模擬和詴驗。 五、 變形。 六、 組織列式。 七、 邏輯演繹。 八、 分割與克服。 肆、 找出答案 這裡，為了找出答案，就必頇應用合適的數學技巧。此外，適當的估測是值 得被嘉許的，同時也可以借助計算機及其他的科技。這裡有四個流程(吳德邦、馬 秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：
一、 估算。 二、 使用各種計算技巧。 三、 代數技巧。 四、 幾何技巧(適當的時機可使用電算機)。 伍、 反省與擴展 找出答案之後，必頇檢查答案的正確性，以得知是否有遇過類似的問題初始 條件及回答問題正確與否。不僅如此，這裡是最能發揮創造性思考的地方，應該 再去找尋和討論替代的解法。如此的操作，能夠在這樣的過程擴展到發現問題中 所歸納出的數學概念。以下有六個基本流程(吳德邦、馬秀蘭，2009；Krulik & Rudnick, 1995)：
一、 檢查答案。 （一） 計算正確嗎? （二） 有回答到問題嗎? （三） 答案是否合理? （四） 答案跟你的估算相較如何? 二、 找出不同解法。 三、 假使……呢? 四、 擴展至普遍化的現象或數學概念。 五、 討論解法。 六、 在原來的問題上創造有趣多樣性的變化。 值得注意的，這五個階段與 Polya 所提的啟發法不一樣的地方在於這些階段 既不獨立也不連貫。吳德邦(1987)也認為，解決問題的教學方式應該要發展且強 調閱讀問題、探究問題、選擇策略、解決問題，以及複習、回顧和驗證解答等五 個能力。另一方面，馬秀蘭(1994)也認為，真正的問題(problem)，必頇依賴思考 去解決的題目。因此，上述的子技巧的首要目的就是要啟發學生的閱讀與思考能 力，以解決真正的問題。 本論文所開發之系統的題目模型分類乃根據吳德邦與馬秀蘭(2009)翻譯 Krulik& Rudnick (1995)，分類結果在第三章的第二節內的第二小節之中。
第三章
研究方法
Douglas (2000)提出設計有效教學軟體的九個研究步驟：（1）研擬初始目的 (draft the initial goals)；（2）在這個目的的域中，建立學生知識與學習的明確模型 (build an explicit model of students' knowledge and learning in the goal domain)；（3） 為此軟體與活動塑造初始設計；（4）探討軟體的構成元件(investigate the
components)；（5）評估軟體的雛型與課程(assess prototype and curriculum)；（6） 在一個教室進行詴驗性測詴(conduct pilot tests in a classroom)；（7）在多個教室進 行現場測詴(conduct field tests in multiple classrooms)；（8）在前二個步驟找出可修 正之處並修正(recurse)；（9）透過管道進行傳播(publish)。 此系統之研究將使用到之開發工具會在以下第一節作說明。此外，上述之研 究方法適用於「學生操作之軟體」；本研究則為「老師操作之軟體」。因此，在（6） 與（7）這兩步驟，會以老師操作後之回饋作為系統之修正。第二節為系統設計(第 1 步驟到第 3 步驟)、第三節系統評估(第 4 步驟到第 5 步驟)。然，系統修正(第 6 步驟到第 8 步驟)會在下一章作分析，而系統散佈規劃(第 9 步驟)會在第五章作說 明。本論文為國科會補助研究計畫之部分成果(吳順治、馬秀蘭、吳德邦，2014)。
第一節 開發工具
此系統計畫以網頁作為操作介面，原因在於網頁的使用率和相容性最高。又， 礙於研究經費，研究者在伺服器端選擇 Fedora 作為作業系統、Apache 為伺服器 軟體、MySQL 為資料庫系統，以及 PHP 為網頁預處理器等作為系統伺服器；在 客戶端則採 HTML 為網頁語言、CSS 為網頁排版語言，以及 JavaScript 作為元素 修改語言。由是，以下將對這七個開發工具作簡介，以及在本系統中如何應用這 些開發工具。 壹、 FedoraFedora 是一個較具知名度 Linux 作業系統。目前 Fedora 最新的版本是 Fedora 20 已經在 2013 年 12 月 17 日發行，大約每六個月發布新的版本。它是由 Fedora Project 開發，Red Had 公司提供贊助。
然而，之所以選擇 Fedora 作業系統上，係其為免費的、具知名度的作業系統。 本研究所設計的學習單自動產生系統主要是提供一個包含網頁檔案、腳本檔案的
資料夾，藉由操作介面控制資料夾內部的檔案以存取資料庫內容。因此，只要在 有能夠處理 PHP 的腳本(含網頁伺服器)，以及 MySQL 資料庫能儲存安裝的作業 系統上，系統即可作用。
貳、 Apache
Apache 全名為 Apache HTTP Server，由 Apache 軟體基金會所開發，它可以 在多數作業系統中執行。且，由於跨帄台與安全性，被廣泛地使用，由 Netcraft (2013)統計 2013 年 12 月市佔率有 41.26%。此外，它還支援許多特性，模組化、 多語言介面等等。最近穩定版本為 2.4.7，於 2013 年 11 月 25 日釋出。 為了提供一個網頁伺服器，研究者選用 Apache 作為網頁伺服器。雖然這套 軟體的市佔率略為下降，但，不失一個流行且廣泛被使用的伺服器軟體。此外， 簡易安裝、設定也是優勢之一。 參、 MySQL MySQL 是一個開放原始碼的關聯式資料庫系統，原開發者為瑞典的 MySQL AB 公司，經 2008 年被昇陽微系統(Sun Microsystems)收購，昇陽微系統於 2009 年再由甲骨文公司(Oracle)收購。MySQL 現已為 Oracle 旗下產品。由於它的效能 高、成本低、可靠性好，成為最流行的開源資料庫，且被廣泛應用。最近穩定版 本為 5.6.15，於 2013 年 11 月 18 日釋出。 這套資料庫系統是免費的，與 PHP 關聯性也是最大的， PHP 提供了整套的 MySQL 函式庫。因此採用 MySQL 作為資料庫系統。 肆、 PHP PHP 全名為「PHP：Hypertext Preprocessor」，PHP：超文字預處理器；前面 的 PHP 則代表 Personal Home Page。它的應用相當廣泛，尤其是在網頁程式的開 發上。最近穩定版本為 5.5.7，於 2013 年 12 月 12 日釋出。
Linux、Apache、MySQL 與 PHP 是常被稱作 LAMP 的伺服器環境組合。另 外，因為 Ajax 是可以與 PHP 做連結的，能夠呼叫一個非同步的 PHP 腳本做處理， 以達到目的。因此選用 PHP 做後端處理語言。
伍、 HTML
超文件標記語言(Hyper Text Markup Language, HTML)是為了要建立可以在 網頁瀏覽器中看到訊息的一種標記語言，目前由全球資訊網協會(World Wide Web Consortium, W3C)持續開發。目前最新版本為 HTML5。
為了要在瀏覽器上作呈現，HTML 是最基礎的。它可以只靠瀏覽器的剖析， 呈現出想要的內容，不必透過伺服器提供。
陸、 CSS
串接樣式表(Cascading Style Sheets, CSS)主要的目的是用來為了結構化文件 (HTML 文件等)，增加樣式的語言；簡單來說就是處理網頁的排版。然而，各個 瀏覽器對 CSS 的支援皆不同，目前大多數瀏覽器已支援到 CSS3，而下一版的 CSS4 還在開發過程中。 單純只有 HTML 作呈現是不夠的，因此，才會有 CSS 的誕生。它存在的目 的是為了整體呈現的排版美觀，以及部分觸發事件(hover)時的特定格式設定。 柒、 JavaScript JavaScript 簡稱 JS，最早是在 HTML 網頁上作使用，為網頁增加動態功能。 在 1995 年時由網景公司與昇陽公司合作設計，最近釋出在 2011 年 3 月 22 日， 版本為 1.8.5。 網頁伺服器是用來提供服務的機器。但，流量是效能最大的考量。Javascript 能夠解決的問題主要有兩個：DOM 操作、Ajax。DOM 操作指的是對整份 HTML 文件中的節點及其屬性做操作(新增、刪除與修改)，Ajax 則是呼叫一個非同步的 函式在背景做處理。這樣的兩個功能，能夠解決傳統上客戶端不斷要求伺服端更 新文件的問題。 藉由上面的說明，可以知道本系統的環境主要分成架設環境以及操作環境。 架設環境即作業系統、網頁伺服器、PHP 套件、MySQL，操作環境則是 HTML、 CSS、PHP、Javascript。前者指的是這個系統架設在哪一個作業系統上，安裝的 套件有哪些。後者是對使用者操作時所會接觸到的環境。
第二節 系統設計流程
此節將說明：草擬系統的初始目標，將啟發法的五個階段作為解題能力的技 巧(學習目標)，再以各階段活動細分成子技巧(學習子目標)；建立明確的知識學習 模型，將所有子技巧作為模型並編號；此系統的初設計，設計系統架構及系統流 程，並將所有呈現子技巧的題目(各活動實施後的學習單)做前處理，再將所有經 過前處理的題目存入以建立的資料表(必頇建立辨別欄位以區分題目所屬之子技 巧)內。 壹、 草擬系統初始目標本系統草擬之初始目標係以 Krulik & Rudnick (1995)提出的問題解決啟發法 的五個階段裡的各個活動(內含子技巧)中的學習單作為題目模型(可重構的標準) 的分類，且，這樣的目標是具體的。五個階段裡一共有 33 個活動，31 個活動有 學習單範例，其中階段一的活動 7 以及階段三的活動 4.1 沒有學習單範例。上述 活動的統計結果如表 3-1 所示。 修改題目模型中的數字是本系統的主要目標；修改並非無意義的修改，而是 有根據的。其修改必頇依據固定的關係式做修改，如此才能確保產出的數字對題 目模型中的情境是合理的。 表 3-1 各階段活動數(含學習單)統計 階段 活動數 一 6 二 5 三 14 四 3 五 5 貳、 建立明確的知識學習模型 已知的，本系統所為的是數學解題能力。這個域之中，依照啟發法區分的五 個階段，必頇建立一個模型以呈現各個活動能夠習得的子技巧。Krulik & Rudnick (1995)的啟發法要讓學生習得的子技巧的簡短說明(如圖 3-1 所示)。未含學習單的 部分未被設計在此系統的目標之中，因此並未收錄在圖 3-1 內。
圖 3 -1 各 活動的 技巧 之模型
參、 系統的初設計
這一小節主要在詳細地說明系統的三大模組：輸入模組、輸出模組以及修改 模組。此系統的操作介面為瀏覽器；更嚴謹地說，題目以 HTML (HyperText Markup Language，超延伸標記語言)整理並標記後，再由瀏覽器剖析已整理標記的程式碼。 輸入與輸出則主要是以 JavaScript 取得網頁資訊後，再以 PHP (Personal Home Page：
Hypertext Preprocessor)對資料庫內的題目、關係式做存取。修改模組為本系統之 重點，目的為修改數字，主要以 JavaScript 剖析關係式後再對所有(部分)數字做修 改。 以下將以系統架構圖呈現三大模組之關聯，再以系統流程圖表示系統整體的 操作步驟。 一、 系統架構 在題目進入輸入模組之前，必頇經過預處理。再將預處理過的題目模組透過 上傳頁面存入資料庫中。當使用者連接到出題系統時，輸出模組會由階段一的活 動一所有題目中隨機取出一道題目，並且輸出到頁面，最後由瀏覽器剖析題目的 標記並依此排版輸出成一張學習單。同時，透過輸出模組的數字剖析器，將題目 模型中的數字擷取後並顯示在功能列，以供(欲輸入關係式的)使用者比照。最後 的修改模組能夠重新出題、修改數字。 圖 3-2 主系統架構 輸入模組 輸出模組 資料庫 修改模組 使用者介面 預處理 管理端 操作端
（一） 預處理 由每一道原始的題目(純文字資料，不含格式)經整理後，再以 HTML 中的區 塊級標籤(DIV)標記成一個題目區塊，每一個題目區塊皆有一個 question 類別以及 自己專屬的識別字(id)。部分活動的原始題目是由許多小題組成的學習單，這樣 的題目模型的識別字還會區分成 a、b、c 類，以便歸成同類的小題。在區塊內部， 大多以 content 類別組成(如表 3-2 所示)。 最後，識別字除了被標記在 DIV 中，也必頇標記在整個題目模型區塊的最前 方，為得是使存入資料庫時給予資料表的主鍵(類似識別字)。 表 3-2 識別字為 1-0-1-03 的題目模型 1-0-1-03
<div id="1-0-1-03" class="questions"> <div class="content"> 小妮和她媽媽、奶奶一起去電影院，12 歲以下的小孩門票是 180 元， 成人門票是 250 元，但是老年人門票可以有 10%的折扣。假設小妮 9 歲，奶奶是老年人，她們 3 張門票總共需要花費多少錢？ </div> </div> （二） 輸入模組 輸入模組的功能是將經預處理成為題目模型的原始題目存入資料庫中。存入 前，頇將識別字拆成兩部分。以表 3-2 為例，第一列資料「1-0-1-03」分解成活動 編號(aid)「1-0-1」以及題目編號(qid)「03」，如此才能對應傳入到資料庫的欄位 中(如圖 3-3 所示)。此外，其餘部分皆為題目模型，將會被存在資料庫中的 content 欄位中。 圖 3-3 題目模型的資料表部分資料
（三） 輸出模組 當資料庫內已經存有題目模型以及關係式，都可藉由輸出模組將題目模型或 關係式從資料庫隨機提取後，呈現在使用者介面中(如圖 3-4 所示)。此模組還包 括數字剖析器，其功能是將提取出的題目模型裡面的「有意義的數字」(在問題情 境中有代表意義的數字)，並輸出到右方的功能列以供欲輸入關係式的使用者做為 參考用。 （四） 修改模組 在輸出模組將資料輸出並交由使用者介面呈現後，在圖 3-4 中，右方列出的 關係式，即是由資料庫提取的。而此模組的功用在於，使用者可以將隨機提取後 的關係式做修改，並且存入資料庫。存入時會自動判斷是否重複。另一方面，最 重要的修改數字也存於此模組之內，主要是對關係式做剖析。 （五） 使用者介面 如圖 3-4 所示，使用者操作的介面主要分成左、中、右三大部分。左邊為顯 示五階段的各個活動，供使用者選取。中間為經輸出模組隨機從資料庫提取的題 目模型。右邊主要有：重新出題、產生新數字、數字對應表、關係式輸入列、啟 動關係式以及將關係式存入資料庫等功能。 上述為進階使用者介面，即，能夠將關係式存入資料庫之使用者的操作介面。 之所以這樣區分，為的是避免不了解關係式之使用者將不合理的關係式存入資料 庫，使得其他人使用時造成困擾。 （六） 資料庫 本系統之資料庫係由問題模型以及數字關係式等兩個資料表組成。前者存的 是問題模型，由活動編號(aid)、題目編號(qid)和內容(content)等三個欄位組成的 資料表；目前只能夠由管理端將預處理好的問題模型透過輸入模組存入資料表， 但，所有使用者都能透過使用者介面對此資料表做隨機提取。後者則是由使用者 介面的數字關係式欄輸入關係式之後，直接點選「存入資料庫」將關係式存入資 料表；所有使用者也能透過點選上方「產生新數字」之按鈕產生新的數字，更進 一步地，還能夠將已提取的關係式做修改後，直接點選「啟用關係式」按鈕，依 照新的關係式，產生新的數字。
二、 系統操作流程圖 前一小節所介紹的系統架構中，大致敘述了各個模組之間的關聯，以及其功 能。此小節，將對整體系統的操作流程做更詳盡的說明。接下來，先分成一般使 用者、進階使用者，還有管理者三個部份的操作流程做解說。其次，將資料庫存 取的流程做介紹。最後再將剖析器做詳細的闡述，包含文字檔剖析器、關係式剖 析器。 （一） 一般使用者 當使用者連接到出題系統時，系統會做初始化，如圖 3-5 所示；由資料庫中 隨機提取出階段一的活動一之類別的一題。提取後，將題目回傳至使用者端，再 以使用者之瀏覽器顯示題目模型，如圖 3-6 所示。此時，若使用者欲換其他題目， 只需點選「重新出題」之按鈕(如圖 3-7 所示)，系統會從資料庫再隨機地提取另 一道題目；然而，如果要選擇其他活動，則可以勾選其他活動，同時也會重設題 目，如圖 3-8。在題目模型展示後，可以再點選「產生新數字」之按鈕，取出資 料物中內存的關係式，透過關係式剖析器重設新的數字(如圖 3-9 所示)。若有內 存關係式，設定成功，則如圖 3-10 所示，否則為圖 3-11 所示。 圖 3-5 頁面初始化
圖 3-6 初始化完成
圖 3-8 勾選不同活動
圖 3-10 取出內存關係式，重設成功
此外，一般使用者的差別在於：可以將關係式填入至關係式欄，然後啟動關 係式；但是，不可以將關係式存入資料庫。除此之外，還能夠直接提用其他進階 使用者或管理者事前已經存入資料庫的關係式來使用，或修改後再使用。只要點 選「產生新數字」的按鈕，會自動提用該題的關係式。 因此，一般使用者介面主要功能有：勾選各階段活動、重新出題、重設數字、 修正(輸入)關係式等功能，其操作流程如圖 3-12。 圖 3-12 一般使用者操作流程圖 不 符 格 式 使用者連線 頁面初始化 重設題目 活動勾選 按鈕重設數字 顯示題目 檢查 資料庫 不重設數字 剖析關係式 無 資 料 有 資 料 輸入關係式 按鈕啟動 檢查 關係式欄 符 合 格 式 重設數字
（二） 進階使用者 與一般使用者不同的是，進階使用者在輸入或修改關係式之後，還能將關係 輸入或修改後的關係式存入至資料庫(如圖 3-13)，操作流程如圖 3-14 所示。在存 入資料庫的同時，會先檢查關係式是否符合格式。若符合格式，則會將此關係式 存入資料庫，同時進入關係式剖析器，對關係式作分析，再將選取的數字依照剖 析的結果重設。 圖 3-13 關係式存入資料庫
圖 3-14 進階使用者操作流程圖 使用者連線 頁面初始化 重設題目 活動勾選 按鈕重設數字 顯示題目 檢查 資料庫 不重設數字 不 符 格 式 剖析關係式 無 資 料 有 資 料 輸入關係式 按鈕啟動 檢查 關係式欄 符合格式 按鈕存入 檢查 資料庫 資料重複 存入資料庫 資 料 未 重 複 關係式啟動流程 資料庫存入流程 重設數字
（三） 管理者 不同於使用者，管理者除了能夠操作一般使用者和進階使用者的介面外，還 能夠操作輸入模組中的「題目模型存入」頁面。操作流程為：點選經過預處理之 題目模型文字檔→上傳→剖析文字檔→存入資料庫(如圖 3-15、3-16、3-17 所示)。 圖 3-15 題目模型存入介面 圖 3-16 存入成功擷取畫面 圖 3-17 題目模型上傳頁面操作流程圖 點選檔案 經預處理之檔 案 上傳檔案 剖析 文字檔 存入資料庫 剖析成功 剖 析 失 敗
（四） 資料庫存取 資料庫的存取主要包含存入、提取以及修改三種存取方式，依序分屬於輸入 模組、輸出模組和修改模組(如圖 3-18 所示)。 存入資料庫，分成存入題目模型、存入關係式兩個部分。前者擷取經過文字 檔剖析器剖析的檔案後存入題目模型資料表，後者則是擷取經過關係式檢查器檢 查成功的關係式存入關係式資料表。 從資料庫提取資料，分成提取題目模型、提取關係式二個部分。和存入資料 庫一樣從相同的兩張資料表中提取出來。提取題目模型後會由排版處理器作排版 再交給瀏覽器實現，提取關係式後則是直接交由關係式剖析器剖析後直接重設數 字。 修改資料庫，只修改題目模型資料表，利用和存入題目模型資料表相同的頁 面，存入時若已有相同編號則修改原本的問題模型。 圖 3-18 資料庫存取流程圖 問題模型 資料表 關係式 資料表 經預處理之 檔案 文字檔剖析器 關係式 關係式檢查器 排版處理器 關係式剖析器 瀏覽器排版 重設數字 存入/修改 提取 存入 提取
（五） 剖析器 剖析器有「檔案剖析器」和「關係式剖析器」等二個。關係式剖析器包含了 關係式檢查器，因為使用者可能會輸入錯誤的關係式格式(如圖 3-19 所示))。 檔案剖析器的剖析流程有：輸入經預處理之檔案、暫存檔案、讀取題目編號、 分解題目編號、讀取題目模型，及處裡跳脫字元等幾個階段(如圖 3-20 所示)。這 裡最重要的是兩個部份：將題目編號分解成三個部件並對應到問題模型資料表的 三個欄位，與對應的題目模型一同存在第四個欄位。 圖 3-19 檔案剖析器之剖析流程 關係式剖析器的剖析流程是：讀入關係式、檢查格式、檢查是否勾選題目、 判斷數字編號是否存在、關係式分類、關係式轉換、關係式解析，以及重設數字 等幾個流程。關係式的目的是為了重設數字，針對解析關係式必頇有嚴格的流程， 以排除不合理的數字被設定。 剖析流程經啟動後，檢查的格式定義為： ﹛xRy：x, y ∈﹛Ni：i∈ℕ﹜∪ℕ, R∈﹛<, >, <=, >=﹜﹜\ ﹛xRy：x, y ∈ℕ, R∈﹛<, >, <=, >=﹜﹜ 即不接受不等式的兩端都為實際數字，僅接受 n1>10、n2<10、n3>=10、n4<=10、 10> n1、10< n2、10>= n3 及 10<= n4 等一端為實際數字，或者 n1> n2、n1< n2、 n3>= n4、n3<= n4 等視一端為實際數字作為上下界基準。 預處理檔 案 暫存資料 讀取題目編號 分解題目編號 讀取題目模型 處理跳脫字元 解析後資料 問題模型 資料表
圖 3-20 關係式剖析器之剖析流程 存在 已勾選 不存在 暫存資料 數字編號 關係式 資料表 合格 關係式 分類關係式 啟動關係式 轉換關係式 N1<ni<N2 ni>N ni<N 解析器 重設數字 不符格式 未勾選 手輸 關係式 檢查格式 勾選題目 符合格式
第三節 系統操作檢驗與評估
這一節分兩個面向作評估：此系統的構成元件、此系統與課程之關聯。 壹、 出題系統的構成元件 本章第一節已經詳細地將整個系統架構、系統模組的內容做了介紹，在這裡 必頇站在教師的觀點去體驗本系統。換句話說，要以教師的角度去觀察這個系統 是否滿足需求。 這個系統主要的特色在於關係式共享，也就是所有使用者共用一個資料庫， 能夠使用彼此所上傳的關係式。然而，這樣的處理方式有個優點與缺點。優點是， 大家只要透過滑鼠點擊，就能夠從資料庫中取出關係式，並且修改題目中的數字。 缺點則是，若沒有人提供關係式，則所有使用者就必頇自己設立關係式做修改題 目中數字。 貳、 出題系統與課程的關聯 本系統採用的教學法與現行學校中的數學課程教學並無直接關聯；但，這樣 子的教學法能夠予以老師自行編撰延伸教材，以彌補現行數學課程中的不足。然 而，這樣的假設必頇要有依據。因此，研究者對三位國小教師做訪談，從訪談內 容中，獲取教師們對這套系統的建議，作為這個系統操作上的建議。 這個訪談的目的就是要得到使用者的回饋。因為要得到的回饋是體驗後的建 議，這樣的回饋是開放的，無法用事前設計好的問卷等等其他結構化的方式去取 得，所以選擇非結構訪談法。另一方面，這個訪談是與訪談者面對面，且針對「系 統體驗與建議」這個主題在討論，勢必要事先設計好訪談流程，讓整個訪談內容 能夠遍歷整個主題，如此才能以較高的效率取得使用者回饋。訪談流程設計如 下： （一） 確定訪談主題； （二） 篩選對象； （三） 與被訪者約時間地點； （四） 告知訪談者系統如何操作； （五） 訪談前先請被訪者操作界面； （六） 被訪者操作後，與之訪談； （七） 將錄音或筆記的過程做整理。參、 研究對象 在實施訪談之前，必頇確定訪談的題目，也就是「系統體驗與建議」。接著 選擇適合此主題的對象：國小在職老師，並與訪談對象相約時間地點。三位在職 教師分別有 5 年、10 年，以及 13 年的教學資歷。 然後是實施訪談前的準備，訪談之前先說明這一次的訪談主題，以及接下來 的訪談流程，目的是要讓被訪者能夠清楚的了解今天的訪談流程，以致被訪者能 夠對這一次的訪談過程中保留更多的記憶及資訊。接著告知訪談者系統操作方式， 再請被訪者操作使用者介面(進階使用者介面→一般使用者介面)。操作完後，尋 求被訪者是否同意錄音，接著開始正式訪談。最後，整理訪談的內容做歸結，以 便日後之分析。
第四章
結果與討論
既然系統已成為一個雛形，接下來，必頇將設計的系統作討論。然而，為了 加強本論文所研究的自動產生系統，以下分成兩個面向作修正依據，一為網路上 現行的出題系統，另一個面向為使用者訪談。第一節 出題系統
壹、 題目分類研究者在 Google 輸入關鍵字「Math Worksheet」，篩選 12 個國外的出題網站； 輸入關鍵字「數學 出題」，篩選了 2 個台灣主要被使用的出題網站。由圖 4-1 到 圖 4-14 呈現所有出題網站的首頁發現，這些網站的操作介面是非常複雜的。
一、 Math-Drills.com (http://www.math-drills.com/)
二、 KidZone Math (http://www.kidzone.ws/math/)
圖 4-2 KidZone Math 首頁
三、 Knowledge Share LLC. (http://www.superkids.com/aweb/tools/math/)
四、 TeAch-nology.com (http://www.teach-nology.com/worksheets/math/)
圖 4-4 TeAch-nology.com 首頁
五、 MathsIsFun.com (http://www.mathsisfun.com/worksheets/index.php)
六、 MathWorksheetsLand.com (http://www.mathworksheetsland.com/)
圖 4-6 MathWorksheetsLand.com 首頁
七、 Softschools.com (http://www.softschools.com/math/worksheets/)
八、 AdaptedMind (http://www.adaptedmind.com/gradelist.php)
圖 4-8 AdaptedMind 首頁
九、 tlsbooks.com (http://www.tlsbooks.com/mathworksheets.htm)
十、 worksheetfactory.net (http://www.worksheetfactory.net/)
圖 4-10 worksheetfactory.net 首頁
十一、 TheMathWorksheetSite.com (http://www.schoolhousetech.com/)
十二、 Schoolhouse Technologies Inc. (http://themathworksheetsite.com/)
圖 4-12 Schoolhouse Technologies Inc.首頁 十三、 子由數學小學堂(http://www.emathschool.math.ncu.edu.tw/)
十四、 博帅基金會數學線上選題系統(http://mlab.cs.pu.edu.tw/pu_qb/math_index.html) 圖 4-14 博帅基金會數學線上選題系統首頁 上述的網站中，除第十二必頇下載後再安裝使用外，其餘是直接在網路上出 題直接使用。以下對這些網站的題目分類、出題流程做分析，並以使用者身分體 驗操作其系統。 貳、 題目分類 這些出題網站的題目主要依據「主題」或「年級」做分類，大部分網站是兩 個分類併用的。在表 4-1 中，一到十四分別對應上述的十四個出題網站，T 表示 主題(Topic)、G 則表示年級(Grade)。 表 4-1 出題網站分類方式列表 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 T ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ G ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 因此，由表 4-1 可知，所有的出題系統分類中，以主題式的分類較趨近本系 統的分類架構。但，這些主題式的分類方式是沒有理論依據的，很可能在分類的
過程中流失了許多應呈現的概念或技巧。因此，本系統改進了這個部分，參考 Krulik& Rudnick (1995)提出的解題子技巧作為分類依據，以彌補這部分的不足。 參、 出題流程 另一方面，出題流程也是在教師操作過程中所在意的部分。這十四個出題系 統之流程，一開始一定是「選擇主題」或者「選擇年級」，結果部分則可以「產 生題目與否」、「呈現方式」以及「檢附答案與否」做區分。其餘流程不外乎是對 於學習單呈現方式的設定選項，抑或是對於產生題目時所需製造數字的範圍。以 下列出十四個網站的流程分類表(如表 4-2 所示)。 表 4-2 出題網站流程分類列表 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 ST ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ SG ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ RM ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ RP ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ RW ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ RA ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 註：其中 S、R 代表開始與結果；ST與 SG表開頭選擇主題或年級，RM、RP、RW與 RA分別表示 題目產生與否、是否為可下載之檔案、是否於網頁上顯示，以及是否提供答案等。 肆、 使用者體驗之操作 研究者在操作十四個出題網站後，認為若結合七、十二、十三等三個出題網 站之特色，對於使用者操作會更為簡便。第七個網站的特色在於他的出題設定全 部呈現在同一頁上，第十二個系統的特色則是能夠點擊一個按鈕後直接將題目的 數字做更替，第十三個出題系統特別的地方在於只要用滑鼠點擊就能將學習單輸 出。
第二節 訪談內容分析
任何欲給他人操作的軟體，若使用者不懂如何操作，就算這個軟體能夠提供 益處，也無法表現出這個軟體的價值。然而，此次訪談之目的在於改進。因此， 以下分成二個問題作討論： （一） 老師是否能夠操作這兩個介面? （二） 老師們的回饋建議能否達成? 這兩個問題都會伴隨著訪談的過程作討論。以第一個問題來說，會在訪談過 程時觀察老師的操作情況，並於訪談結束後以老師的回饋判斷是否能夠操作。而 第二個問題是採納老師的意見，提供這個系統一些改進的方向。以下分析的內容 收在附錄二、附錄三，以及附錄四。 壹、 老師是否能夠操作這個介面? 訪談的三位老師中，僅有一位有資訊背景。然而，這三位老師在聽完系統操 作說明後，對於操作是沒有困難的；也就是，操作的過程中，不會有呈現上不明 白之處。這樣的結果顯示，這個系統的操作介面適合給國小老師做操作。 貳、 老師們的回饋建議能否達成? 三位老師給予的回饋主要有： 一、 增加修改單詞的功能。 二、 增加更多樣式的關係式。 三、 介面的呈現要更容易閱讀。 四、 能夠讓使用者自己上傳題目。 五、 將此系統與學習歷程系統做連結。 六、 增加學生操作端。 針對上述幾點建議，做為修正與改進的探討如下： 首先，增加修改單詞的功能在實施上勢必要有語意學家的支持。更明確一點， 修改單詞必定上下文有關係。且，單詞的分類也是非常重要的一點，關乎到取用 的方法。例如：今天要將主詞「小鳥」替換成其他動物，而題目的動詞是「非」， 這個時候就不能替換成「烏龜」。這些關係到的是這些詞所蘊含的一些屬性，這些屬性主要是從生活經驗得來。因此，目前對於這個功能的開發是耗時的。慶幸 的是，中央研究院的中文詞知識庫小組(2004)以有單詞分類之分析研究。 第二，增加更多關係式的樣式，這一點是可以做到的。可是，在增加樣式之 前，必頇先規劃好樣式的規則，才不會與現有的關係式有所衝突。 第三點，操作介面更容易閱讀，這是有關網頁排版的問題。在該次訪談後， 已經將其做了修改。主要是在說明關係式規則的地方，需要讓讀者更易於閱讀。 第四點，能夠讓使用者自己上傳題目。若要實作，有個必頇考慮的問題：題 目的分類結構。在這個系統中所使用的題目模組，主要是以 Krulik & Rudnick (1995)提出的啟發法所列出的大部分範例。然而，若要上傳題目，則必頇設定每 個問題所屬的類別或主題或其他分類方式等等。在本章第一節對一些線上出題系 統網站做過分析，主要是以主題、年級做分類。因此，研究者認為，此系統也可 以增加類似的分類結構，以解決這個問題。 第五及第六點其實是有關連的。學習歷程系統的目的在於觀測學生在學習的 過程中對各個概念的精熟度的紀錄，而這樣的紀錄系統所需的研究時間是相當長 的。至於學生端的操作，這是屬於線上測驗的部分；但，也是可以與學習歷程系 統做連結。
第五章
結論與建議
本研究參考吳德邦、馬秀蘭(2009)翻譯 Krulik& Rudnick (1995)所著作的 The New Sourcebook for Teaching Reasoning and Problem Solving in Elementary School 一書中所提到的解題能力啟發法為研究基礎，並藉由書中所附的學習單中的題目 做為問題模型，這些問題模型是存在資料庫的。然而，最重要的研究目的在於能 夠重設問題中的數字；換句話說，就是可以將問題中的數字重新設定成新的一組 數字，且重設的依據是使用者所定義的關係式指定的範圍。 設計這一個系統的目的是為教學者提供一個易操作帄台，讓以往必頇從題庫 找出固定的題目或是自己重設數字的教學者們能夠更省時地設計新的學習單。因 此，以下就第四章所分析的訪談內容做結論與建議。本章分別對結論、建議，以 及未來研究建議三個部分做說明。此外，根據 Douglas (2000)提到的研究步驟的 最後一個步驟：軟體的散佈，會在第二節一併作描述。
