數學解題歷程理論

Polya( 1945 )在其所著的「怎樣解題」( How to solve it )一書中將解題 歷程以系統化的階段做為區隔，在書中提出四階段的解題歷程，並在每一個階段 中提出對應的解題策略，稱之為捷思（heuristics）。後續的研究者雖因研究取 向的不同，但多以此四階段為主軸加以修正而成。以下分別提出 Polya、Mayer、

Lester、Scheonfeld 等研究者的的解題歷程模式( 摘要自楊瑞智，1994 )。

一、Polya 的解題歷程模式

1.瞭解問題：了解已知條件是什麼，未知問題是什麼？

2.擬定計畫：擬定解題的方法、策略、執行步驟。

3.實行計畫：實行所擬定的計畫。

4.回顧解答：檢驗答案的合理性、使用不同的方法求解、將這個方法應用到別的 問題上。

二、Lester 的解題歷程模式

Lester（ 1985 ）修訂 Polya 的解題歷程模式，加入三個後設認知成分，將 後設認知與數學解題的密切關係清楚的表達出來。在這個模式中，Lester 融合 Polya 的解題模式與 Flavell 和 Wellman（ 1977 ）的後設記憶（ metamemory ） 概念，將認知成分分為導引、組織、執行與驗證四項，而後設認知成分則分為個 人、工作及策略三項，見圖 2-1，圖中「
」符號，代表後設認知的決策導引認 知活動，Lester 認為後設認知在解題歷程中，扮演監控、調整和修正的角色，

在每個階段將所需考慮的問題串連起來。在表 2-1 數學解題認知—後設認知模式

之認知分類表中，Lester 舉出了一些後設認知在解題歷程的作用。

三、Scheonfeld 的解題歷程模式

Schoenfeld（ 1985 ）認為研究數學解題需要考慮四個變項：1.資源：解題 者擁有與解題相關的數學知識；2.捷思：解題的技能與策略；3.控制：如何分配

五、驗證：檢驗答案的正確性。 題表徵(problem represent- ation)：將文字或圖案轉換成心理表徵，又包含轉譯 (translation)、整合（integration）兩個子步驟。(2)問題解決(problem solution)

：從問題的心理表徵進行到最後答案的過程。又可分為計畫與監控(planning and monitoring)、實施(execution)兩個子步驟，而且每一個步驟中都有解題者需要的

(三)計畫與監控：解題者要想出一項解題計畫和監控這個計畫，此階段需要的 是策略知識。

(四)解題執行：應用演算規則，完成計畫算出答案，這需要程序性知識來執行 正確的演算。

表 2-3 Mayer（ 1992 ）的解題歷程與需要的知識類型

兩個階段 四個步驟 需要的知識

表徵問題 語言知識

問題轉譯

語意知識

問題整合 基模知識

解決問題 計畫與監控 策略知識

解題執行 程序性知識

以解「五隻青蛙有幾條腿？」問題為例，首先兒童必須要有語言、語意知識，

知道問題中的已知條件為有五隻青蛙、每隻青蛙有四條腿的語言知識，在轉譯過 程中，也需要知道問題的解題目標為五隻青蛙總共有幾條腿的語意知識。接下來 在問題的整合過程中，兒童要能將已經知道的資料整合為連貫一致的問題表徵，

必須要有基模知識，心理學家使用基模一詞代表對一組人、物、事件或情境所做 的心理表徵( 賈馥茗等，2000 )，利用基模去比較記憶中已存在的類似基模，對 四年級學童學過乘除法算則而言，可能會用算式填充題來表徵問題。在計畫與監 控過程中，兒童會回顧乘、除法算則事實等解題策略並評估。在解題執行過程中，

兒童利用乘、除法算則事實等解題策略，依照程序實際求出答案。

將以上解題理論加以比較，Polya 的架構為許多學者提出解題理論的藍圖，

Lester、Schoenfeld 都重視答案的檢驗與評估，並強調後設認知對解題的影響，

而 Mayer 則由認知心理學的觀點出發，探討解題者心理運思的過程，本研究是探 討國小四年級學童解單步驟乘除法文字題的解題表現，解題過程並不複雜，雖然

在 Polya 回顧解答階段，Mayer 沒有對應的階段，但會輔以訪談的方式來了解兒 童解題的錯誤類型，所以基於以上理由本研究依據 Mayer 的解題理論，對單步驟 乘除法文字題的解題知識界定如下：

(一)語言及語意知識：認識及讀出題目中的字詞的能力，轉譯問題中的敘述

，辨認問題的已知條件和解題目標。

(二)基模知識：將問題結構或情境分類，如乘、除的分類，以符號表徵問題 的能力，如以算式填充題記錄問題。

(三)策略知識：使用已知條件來計畫和檢視解答的技能，及如何執行的方法

，如使用基本乘法、除法事實等解題策略。

(四)程序性知識：如何執行計畫、運算的實施程序，如使用基本乘法、除法 事實的程序。