國立臺中教育大學數學教育學系
在職進修教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：胡豐榮 博士
國小四年級學童解乘除文字題表現之研究
研究生：謝旻虔 撰
中華民國九十八年六月
摘 要
本研究以某國小四年級兩個班級共 67 位學童為研究對象，以 Mayer (1992) 的解題理論及 Greer (1992) 的乘除情境分類來探討學童解 9 種單步驟乘、除文字 題時的正確率，及產生的錯誤類型，並以試題關聯結構分析法（IRS）進行分析， 以瞭解學童解題的知識結構。施測結果發現如下： 一、解題正確率 1.問題轉譯過程中，有 80％以上的學童能了解問題的已知條件和解題目標。 2.問題整合過程中，各題型的正確率降到 70％以下，顯示學童在問題表徵時遇 到了困難。3.計畫及監控、解題執行過程中，各題型的正確率降到 60％以下， 顯示學童在問題表徵後與實際做法有一段落差。4.每一種題型的總答對率都在 60％以下，由高到低為：等組型(等分除)→等組型(乘)→比較型(乘)→矩形面積 (乘)、比較型(除)→等組型(包含除)→矩形面積(除)→笛卡兒乘積(除)→笛卡兒 乘積(乘)。 二、解題產生的錯誤類型 1.依據題目中兩個數字的大小來表徵，亦即把大的數字當被除數或積。2. 不了解題目中乘除運算關鍵字「平均」、「每個」、「搭配」、「配對」及「基準量和 比較量」的真正意涵。3.誤用關鍵字。4.空白類型，表示學童缺乏該題型的基模 知識，以笛卡兒乘積類型最多。 三、試題關聯結構圖 比較甲班和丙班的試題關聯結構圖發現：等組型(等分除)和等組型(乘)都屬 於下位知識結構，等組型(包含除)都屬於中位知識結構，笛卡兒(乘)都屬於上位 知識結構。 根據研究結果與發現，提出一些有關教學改進建議及日後相關研究之參考。 關鍵字：國小四年級學童、文字題、試題關聯結構分析A Study of Fourth Grade Students’ Understanding of
Solving on multiplication and division Word Problems
Abstract
The study aims at 67 students in two classes at the fourth grade in an elementary school to explore the accuracy of nine kinds of single step multiplication and division problems in texts and the types of mistakes with problem solving theory by Mayer (1992) and multiplication/division scenario classification by Greer (1992). IRS is used for analysis to understand students’ knowledge structure. The findings are:
I. Accuracy of problem solving
1. During problem interpretation, over 80% of students comprehend the known conditions and target of problems. 2. In problem integration, accuracy on problem types is reduced to below 70%, meaning students encountered difficulties in problem characterization. 3. In the process of planning, monitoring, and problem solving, accuracy on problem types is reduced to below 60%, showing the gap between understanding problem characterization and the actual practice. 4. Accuracy to each type of problems is below 60% from high to low: equal-group problems (equal division)→equal-group problems(multiplication)→comparison (multiplication)→rectangle area (multiplication), comparison (division)→equal-group problems (including division)→rectangle area (division)→Cartesian product (division)→Cartesian product (multiplication)。
II. Types of mistakes in problem solving
1. Characterization is the size of the two figures in problems. That is, the large figure is devisor or accumulation. 2. Students fail to understand the keywords such as, average, each, collocation and pairing in multiplication division calculation, basic quantity and comparison quantity. 3. Misuse of keywords. 4. Blank type means students lack of the schema knowledge of the question types, mostly Cartesian product.
III. Problem association structure chart
From comparison between Classes A and C, it is found: equal-group problems (equal division) and equal-group problems (multiplication) are in lower knowledge structure. Equal-group problems (including division) are in medium knowledge structure and Cartesian (multiplication) problems are in upper knowledge structure.
Attached with some of my opinions followed the findings of the study, I hope they can be helpful.
目 次
第一章
緒論 ... 1
第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 3 第三節 名詞釋義... 3 第四節 研究範圍與限制... 4第二章
文獻探討 ... 6
第一節 數學解題歷程理論... 6 第二節 乘除文字題題型分類探討... 11 第三節 相關研究的探討... 14 第四節 試題關聯結構分析法... 18第三章
研究方法 ... 28
第一節 研究架構... 28 第二節 研究步驟與流程... 29 第三節 研究對象... 31 第四節 研究工具... 31 第五節 資料處理與分析... 36第四章
研究結果 ... 38
第一節 學童解 9 種單步驟乘除法文字題的正確率... 38 第二節 學童解 9 種單步驟乘除法文字題的錯誤類型... 41 第三節 學童在解題知識結構的上下位關聯情形... 52第五章
結論與建議 ... 59
第一節 結論... 59 第二節 建議... 62參考文獻 ... 65
中文部份... 65 英文部份... 67附錄 ... 68
附錄一 ９種單步驟乘除文字題試卷... 68 附錄二 試題檢核表... 75表 次
表 2-1 Lester 的數學解題認知—後設認知模式之認知分類表... 7 表 2-2 Schoenfeld 之數學解題階段與相關問題表... 8 表 2-3 Mayer 的解題歷程與需要的知識類型... 10 表 2-4 Usiskin、Nesher 和 Greer 對乘除問題的分類及觀點對照表... 12 表 2-5 等組型問題範例表... 13 表 2-6 比較型問題範例表... 13 表 2-7 笛卡兒乘積問題範例表... 14 表 2-8 矩形面積/陣列問題範例表... 14 表 2-9 陳淑琳( 2002 )各類型的答對率... 15 表 2-10 陳鵬全( 2002 )各類型的答對率... 16 表 2-11 尤彥喬(2004)各類型的答對率... 17 表 2-12 A、B 組學生得分情形表... 20 表 2-13 A、B 組學生得分情形簡表... 21 表 2-14 A、B 組學生試題得分排序表... 21 表 2-15 A、B 組學生試題得分、人數排序表... 22 表 2-16 試題 i、j 答對與答錯人數統計表... 24 表 2-17 試題順序性係數舉例... 25 表 2-18 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例... 26 表 3-1 三上、三下、四上南一版教科書有關乘除法文字題單元內容分析... 31 表 3-2 單步驟乘法文字題題型分析... 32 表 3-3 單步驟除法文字題題型分析... 33 表 3-4 九種單步驟乘除文字題... 33 表 3-5 九種單步驟乘除文字題的雙向細目表... 34 表 3-6 第四題比較型(除)每一小題與 MAYER 解題歷程所需知識的對照表... 34表 4-1 解題歷程與各題型中各小題答對率對照表... 38 表 4-2 各題型的總答對率... 40 表 4-3 各題型轉譯部分的答題情形... 41 表 4-4 等組型(乘)整合部分錯誤類型... 43 表 4-5 等組型(等分除)整合部分錯誤類型... 44 表 4-6 等組型(包含除)整合部分錯誤類型... 44 表 4-7 比較型(乘)整合部分錯誤類型... 45 表 4-8 比較型(除)整合部分錯誤類型... 45 表 4-9 笛卡兒乘積(乘)整合部分錯誤類型... 46 表 4-10 笛卡兒乘積(除)整合部分錯誤類型... 46 表 4-11 矩形面積(乘)整合部分錯誤類型... 47 表 4-12 矩形面積(除)整合部分錯誤類型... 47 表 4-13 各題型解題計畫及監控過程錯誤類型人數... 49
圖 次
圖 2-1 Lester 的數學解題認知─後設認知模式 ... 7 圖 2-2 A、B 組學生試題關聯結構圖... 23 圖 2-3 試題關聯結構圖舉例 ... 26 圖 2-4 試題關聯結構圖之簡化舉例 ... 27 圖 3-1 研究架構圖 ... 28 圖 3-2 研究流程圖 ... 30 圖 4-1 甲班各題型試題關聯結構圖 ... 52 圖 4-2 丙班各題型試題關聯結構圖 ... 53 圖 4-3 甲班各題型試題關聯結構簡化圖 ... 53 圖 4-4 丙班各題型試題關聯結構簡化圖 ... 54 圖 4-5 甲班各題型的第 4 小題試題關聯結構圖 ... 55 圖 4-6 丙班各題型的第 4 小題試題關聯結構圖 ... 56 圖 4-7 甲班各題型的第 4 小題試題關聯結構簡化圖 ... 56 圖 4-8 丙班各題型的第 4 小題試題關聯結構簡化圖 ... 57第一章 緒論
本研究旨在探討國小四年級學童解不同類型的單步驟乘、除文字題時的正確 率，及其所產生的錯誤類型，並將施測結果以試題關聯結構分析法（IRS）進行 分析，以瞭解學童解題的知識結構。本章將說明研究動機、研究目的與待答問題、 相關的名詞釋義、研究範圍與限制。第一節 研究動機
九年一貫數學正式課程綱要(2003)於九十四學年度起由國小一年級及國中 一年級開始逐年實施，課程綱要中的教學總體目標之一為「學習應用問題的解題 方法」，而且在國民小學階段目標之一為「能利用常用數量關係，解決日常生活 的問題」。而數學文字題又稱為應用問題，是以日常生活事件當材料，並用文字 呈現問題的情境，以讓學生利用所學到的知識去解題，可見研究學童在數學文字 題的解題能力，其重要性不言而喻。 九年一貫數學正式課程綱要(2003)在國小四年級分年細目 4-n-02「能熟練整 數加、減、乘、除的直式計算」中，明確說明了熟練加、減、乘、除直式計算， 是四年級的重要教學目標。所以在直式計算工具是要求熟練了，倘若以文字呈現 問題時，學生解決問題的能力是否也能跟著提升了呢？且雖然國內學者在文字題 上的研究頗多，但對於接受九年一貫數學正式課程的國小四年級學童卻沒有，因 此促成研究者想要研究國小四年級學生在文字題的解題能力為何的動機。 從九年一貫數學正式課程綱要(2003)在數與量主題的能力指標中，可以知道 四則運算在國小階段是一個非常重要的學習重點。而且學習是有邏輯順序的，先 學習加減，再學習乘除，也是分年細目中的特色之一。對四年級的學生來說，雖 然乘除法比加減法更不容易理解，但加減法通常只涉及到同一種單位的合成或分解，也已在三年級的分年細目中要求熟練，而乘除法卻常常涉及到二種單位的問 題類型，例如一隻青蛙有四條腿，五隻青蛙有幾條腿？所以在日常生活中，乘除 法的問題也較加減法的問題應用為廣泛。基於以上理由，本研究擇以單步驟的乘 除法文字題作為研究方向。 研究者在自己本身教學經驗中發現，若想要瞭解學生解文字題時的表現，不 能只是對答案是否正確，其中學生解題的過程、方法更是關鍵，所以在研究學生 解文字題時的表現是無法忽略探究學生的解題過程，及其產生的錯誤類型。國外 學者 Mayer(1992)從認知心理學的觀點，將數學文字題的解題歷程及涉及的知識 作完整的結構性的分析，將解題歷程分為表徵問題、解決問題兩個階段，並進一 步區分為問題轉譯、問題整合、解題計畫及監控、解題執行四個步驟，其所涉及 的解題知識分為五種類型：語文知識、語意知識、基模的知識、策略性知識、程 序性知識。因此本研究以 Mayer 的解題理論為主要依據，藉由測驗瞭解國小四 年級學童解不同類型單步驟的乘除法文字題時的正確率，並分析學童答題時的錯 誤類型，以作為未來數學教材編撰及教師教學實務上之參考。 老師在知道學童解各種文字題時的錯誤類型後，接下來應該如何進行補救教 學？又哪一種文字題應該先被教呢？所以對學童學解題來說，各種文字題間是否 有關聯或上下位的關係，對於進行補救教學又是一個重要的課題。許天維（1995） 的研究中指出若測驗的對象小如只有一個班級學童數的大小時，可使用試題關聯 結構分析法（Item relational structure analysis，簡稱 IRS）來獲得學童學習概念能 力方面所呈現之形成性的結構圖，此種結構圖可與教師依教材的特性所建構的學 習結構圖做比較，亦可與依教科書編者所製的教材地位分析圖做比較，比較結果 對於改善教學方法與指導教材設計，都將有莫大的幫助。因此本研究想透過試題 關聯結構分析法來分析學童解各種單步驟乘除文字題的知識結構，做為補救教學 之參考。
第二節 研究目的與待答問題
一、研究目的
基於以上的想法，本研究的主要目的是要瞭解國小四年級學童解不同類型的 單步驟乘除法文字題時的正確率，及產生的錯誤類型，並將施測結果以試題關聯 結構分析法（IRS）進行分析，以瞭解學童的知識結構。二、待答問題
(一)國小四年級學童解不同類型的單步驟乘除法文字題時，解題正確率為何？ (二)國小四年級學童解不同類型的單步驟乘除法文字題時，所產生的錯誤類型 為何？ (三)國小四年級學童解不同類型的單步驟乘除法文字題時，利用試題關聯結構 分析法（IRS），分析學童在解題知識結構的上下位關聯情形為何？第三節 名詞釋義
一、國小四年級學童
本研究指的國小四年級學童是於九十四學年度入學，第一批接受九年一貫數 學正式綱要課程(2003)的學生。二、單步驟乘除法文字題
本研究使用的單步驟乘除法文字題是指只需要一個乘法或除法算式即可算 出答案的文字題，其中數字大小則以三年級 3-n-03「能熟練三位數乘以一位數的 直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。」及 3-n-05「能熟練三位數除 以一位數的直式計算」的分年細目為原則，亦即被乘數或被除數為三位數以內， 乘數或除數為一位數。本研究在文字題類型上則參考 Greer ( 1992 ) 就整數乘除情境的四個分類：1.等組型問題、2.比較型問題、3.笛卡兒乘積、4.矩形面積/陣 列，加以探討後自編測驗。
三、解題正確率
本研究所指的解題表現是依據 Mayer ( 1992 ) 的解題理論，就是解題歷程中 的四個步驟：問題轉譯、問題整合、解題計畫及監控、解題執行，是否能順利完 成。而解題正確率是指四個步驟皆無誤的人數除以全部受測的人數而得到的百分 比。四、錯誤類型
本研究所指的錯誤類型是指學童在單步驟乘除法文字題試卷中，答題錯誤時 產生的錯誤表徵形式，包含各種不正確列式、計算錯誤、列式及計算正確但答案 錯誤等情形。五、試題關聯結構分析法
本研究採用的試題關聯結構分析法，為日本學者竹谷誠所提出的試題關聯結 構分析法（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法。其方法是在學童 進行試題測驗後，將測驗結果當資料，分析此受測資料彼此間的關聯情形，再依 此繪製成具有指向性的圖形結構，來分析學童做這些試題的特性與知識結構。第四節 研究範圍與限制
一、研究範圍 本研究採立意取樣，以台中縣某國小的四年級學童為對象；研究內容則限於 國小數學領域五大主題中的「數與量」，共有 9 種單步驟乘除文字題題型的解題 活動，且被乘數和被除數在三位數以內，乘數或除數為一位數，其研究結果不宜 擴大推論。二、研究限制
本研究主要探討學童在解題中的認知部分，其他情意部分不在本研究探討 內；由晤談方式分析得到的迷思概念，僅限於個案本身，是否對其他四年級學童 中具有共通性，須更進一步探討；藉由筆試資料及試題關聯結構分析法所繪製的 知識結構圖，屬於該班級學童的知識結構現象，其研究結果不宜擴大解釋。
第二章 文獻探討
第一節 數學解題歷程理論
Polya( 1945 )在其所著的「怎樣解題」( How to solve it )一書中將解題 歷程以系統化的階段做為區隔，在書中提出四階段的解題歷程，並在每一個階段 中提出對應的解題策略，稱之為捷思（heuristics）。後續的研究者雖因研究取 向的不同，但多以此四階段為主軸加以修正而成。以下分別提出 Polya、Mayer、 Lester、Scheonfeld 等研究者的的解題歷程模式( 摘要自楊瑞智，1994 )。
一、Polya 的解題歷程模式
1.瞭解問題：了解已知條件是什麼，未知問題是什麼？ 2.擬定計畫：擬定解題的方法、策略、執行步驟。 3.實行計畫：實行所擬定的計畫。 4.回顧解答：檢驗答案的合理性、使用不同的方法求解、將這個方法應用到別的 問題上。二、Lester 的解題歷程模式
Lester（ 1985 ）修訂 Polya 的解題歷程模式，加入三個後設認知成分，將 後設認知與數學解題的密切關係清楚的表達出來。在這個模式中，Lester 融合 Polya 的解題模式與 Flavell 和 Wellman（ 1977 ）的後設記憶（ metamemory ） 概念，將認知成分分為導引、組織、執行與驗證四項，而後設認知成分則分為個 人、工作及策略三項，見圖 2-1，圖中「」符號，代表後設認知的決策導引認 知活動，Lester 認為後設認知在解題歷程中，扮演監控、調整和修正的角色， 在每個階段將所需考慮的問題串連起來。在表 2-1 數學解題認知—後設認知模式之認知分類表中，Lester 舉出了一些後設認知在解題歷程的作用。 表 2-1 Lester 的數學解題認知—後設認知模式之認知分類表 分類 後設認知決定的例子 導引： 評估及了解問題之策略 我只要找關鍵字，而這些關鍵字將告訴我怎麼 做。這題的數目字對我而言太大了。這題看起 來像某一題型的題目。我不知道如何解這個題 目。這題有太多的數字，不像我以前做過的題 目。 組織： 計畫並選擇所要採取的步驟 執行： 計畫的執行及監控 我想這題是要求解答。我可藉由發現數字而求 出答案。我想首先我應該運算這些數字。我不 確定如何做，我首先將用猜的。這是一種題型 的題目，我將使用類似的方法解這個問題。我 正草率的在演算，所以最好放慢演算的速度。 這題是複雜的，我應該小心的計算每個步驟。 這個方法不可行，我將要嘗試其他方法。我需 要複誦出我正在做什麼，以幫助我不會離題。 我必須寫下這些步驟。 驗證： 評鑑所做決策及計畫 我是不小心的，所以最好再檢查每個步驟。我 不確定這個計畫是否合適，我最好再重頭檢查 一次。我不確定是否已經了解題意了，我將再 把題目重讀一次。這個答案似乎太大了，我應 該再檢查我的演算過程。我想這不是我剛剛認 為的某一類型的題目。
三、Scheonfeld 的解題歷程模式
Schoenfeld（ 1985 ）認為研究數學解題需要考慮四個變項：1.資源：解題 者擁有與解題相關的數學知識；2.捷思：解題的技能與策略；3.控制：如何分配 資源，如何採用策略並決定計畫，及如何監控與評估解題結果等；4.信念系統： 解題者對於數學的觀點。Schoenfeld 發現在這四個變項中，控制常居於解題歷 程中的主導地位，也就是規劃、監控與調整整個解題歷程的活動，使解題活動獲 得最後正確的解答。 Schoenfeld 以控制因素的觀點，將解題歷程區分為六個階段，並同時列舉 出不同階段中用以分析解題行為的相關問題，如表 2-2。 表 2-2 Schoenfeld 之數學解題階段與相關問題表 一、讀題：包括開始的讀題、複述題目中重要條件的狀況。 R1.是否注意到題目所有的條件？條件是明顯的，或只是概略的被注意到？ R2.是否正確的注意到目標？ R3.是否評估解題者所具有的知識與問題之間的關係？ 二、分析：在讀題後，企圖完全的了解題目，選擇適當的觀點以重新描述問題。 A1.採取何種觀點？這種選擇是明顯的或是不明顯的？ A2.根據問題條件採取行動嗎？ A3.根據問題目標採取行動嗎？ A4.條件與目標之間的關係是否被找出來？ A5.解題者（A1-A4）的行動是否合理？ 三、探索：尋求相關資訊能夠被合併成分析--計畫--執行的序列。 E1.這個階段是由條件或是由目標所引起的？ E2.所採取的行動有方向或重點嗎？此行動有目的性嗎？ E3.對解題過程有任何監控嗎？監控的有無對解題結果有何影響？ E4.解題者（E1-E3）的行動是否合理？ 四、計畫--執行：在分析或探索階段得到一解題步驟。 PI1.是否有計畫的證據？計畫是明顯的或是解題者有目的的行為？ PI2.這計畫和問題的解相關嗎？是否適當？是否有良好結構？ PI3.是否評估計畫的相關性、適當性及結構性？ PI4.執行是否依計畫有系統的進行？ PI5.是否從局部或整體的層次評估執行？ PI6.評量的有無對解題結果的影響為何？五、驗證：檢驗答案的正確性。 V1.是否有回顧檢查解答？ V2.是否曾以任何方式檢查答案？如果有，如何檢查？ V3.有任何對解答的評估嗎？對結果的信心有多少？ 六、過渡：各階段間的連結，管理決策的出現或缺少會導致解答或破壞解答。 T1.對目前解題的狀態有無評估？如果一種解題的路徑被放棄，是否保留可能 有用的資料？ T2.有無評估先前放棄的解題路徑？對解題的局部與全面的影響為何？採取 的行動適當或必要嗎？ T3.有無評估採行的新路徑所造成的短期或長期的效應？或是直接跳到新的 路徑？ T4.採取新路徑後，有無評估採行的新路徑所造成的短期或長期的效應？採取 的行動適當或必要嗎？
四、Mayer 的解題歷程模式
Mayer（ 1992 ）從認知心理學的觀點探討小學生應用題的解題行為，認為 解題歷程具有三種特徵：已知狀態、目標狀態及障礙。已知狀態主要是說明已知 情境是什麼，目標狀態說明想達到的狀態為何，障礙則是在已知狀態與目標狀態 之間，缺乏立即相互連結的正確路徑。所謂的解題則是從已知狀態移動到目標狀 態的歷程。Mayer 將解題歷程分成兩個部分，每部分又分成兩個子步驟：(1)問 題表徵(problem represent- ation)：將文字或圖案轉換成心理表徵，又包含轉譯 (translation)、整合（integration）兩個子步驟。(2)問題解決(problem solution) ：從問題的心理表徵進行到最後答案的過程。又可分為計畫與監控(planning and monitoring)、實施(execution)兩個子步驟，而且每一個步驟中都有解題者需要的 解題知識，整理如表 2-3。 (一)問題轉譯：解題者將問題中陳述的句子，轉譯成個人所理解的的內在表徵 ，也就是要瞭解語句間的意義及關係結構，需要知道問題中的已知條件與 解題目標，這必須具備語文知識、語意知識。 (二)問題整合：解題者要將有關的資訊，整合成為連貫的問題表徵，此過程需 要認識問題的類型、及有關或無關的資料，決定問題所需要的資料，用圖 畫或符號來表示問題，此時需要有基模知識。(三)計畫與監控：解題者要想出一項解題計畫和監控這個計畫，此階段需要的 是策略知識。 (四)解題執行：應用演算規則，完成計畫算出答案，這需要程序性知識來執行 正確的演算。 表 2-3 Mayer（ 1992 ）的解題歷程與需要的知識類型 兩個階段 四個步驟 需要的知識 表徵問題 語言知識 問題轉譯 語意知識 問題整合 基模知識 解決問題 計畫與監控 策略知識 解題執行 程序性知識 以解「五隻青蛙有幾條腿？」問題為例，首先兒童必須要有語言、語意知識， 知道問題中的已知條件為有五隻青蛙、每隻青蛙有四條腿的語言知識，在轉譯過 程中，也需要知道問題的解題目標為五隻青蛙總共有幾條腿的語意知識。接下來 在問題的整合過程中，兒童要能將已經知道的資料整合為連貫一致的問題表徵， 必須要有基模知識，心理學家使用基模一詞代表對一組人、物、事件或情境所做 的心理表徵( 賈馥茗等，2000 )，利用基模去比較記憶中已存在的類似基模，對 四年級學童學過乘除法算則而言，可能會用算式填充題來表徵問題。在計畫與監 控過程中，兒童會回顧乘、除法算則事實等解題策略並評估。在解題執行過程中， 兒童利用乘、除法算則事實等解題策略，依照程序實際求出答案。 將以上解題理論加以比較，Polya 的架構為許多學者提出解題理論的藍圖， Lester、Schoenfeld 都重視答案的檢驗與評估，並強調後設認知對解題的影響， 而 Mayer 則由認知心理學的觀點出發，探討解題者心理運思的過程，本研究是探 討國小四年級學童解單步驟乘除法文字題的解題表現，解題過程並不複雜，雖然
在 Polya 回顧解答階段，Mayer 沒有對應的階段，但會輔以訪談的方式來了解兒 童解題的錯誤類型，所以基於以上理由本研究依據 Mayer 的解題理論，對單步驟 乘除法文字題的解題知識界定如下： (一)語言及語意知識：認識及讀出題目中的字詞的能力，轉譯問題中的敘述 ，辨認問題的已知條件和解題目標。 (二)基模知識：將問題結構或情境分類，如乘、除的分類，以符號表徵問題 的能力，如以算式填充題記錄問題。 (三)策略知識：使用已知條件來計畫和檢視解答的技能，及如何執行的方法 ，如使用基本乘法、除法事實等解題策略。 (四)程序性知識：如何執行計畫、運算的實施程序，如使用基本乘法、除法 事實的程序。
第二節 乘除文字題題型分類探討
在許多乘除文字題的相關研究發現，學童會依問題的語意結構或情境運用不 同的解題策略解題，所以有必要探討乘除文字題的分類，以下分別就 Usiskin、 Nesher( 1988 )和 Greer( 1992 )的分類加以探討（摘要自許美華，2000；陳淑 琳，2002）。 (一) Usiskin 的分類： 1.比例因子類（rate factor）指求出數個內含相同數目之物體的集合之總 數的問題，例如：一隻手有 5 根手指頭，6 隻手有幾根手指頭？ 2.大小改變類（size change）指使原來的量呈比例放大或縮小的問題，例 如：一本書的定價是 100 元，打 7 折後還要多少元？ 3.交叉運作（acting across）指兩個量的相互交叉運作，當二個量交互運 作時，兩個量中的任一量都可對另一量運作的問題，例如：面積問題－長4 公尺，寬 5 公尺的長方形，其面積有多少平方公尺？陣列問題－牆上的 瓷磚橫看有 5 列，直看有 6 行，請問牆上共有幾塊瓷磚？組合問題－小明 有 4 件不同顏色的上衣和 5 條不同款式的長褲，請問小明的外出服有幾種 搭配方式？ (二) Nesher 的分類： 1.函數規則（mapping rule）：例如，一隻手有 5 根手指頭，6 隻手有幾根 手指頭？第一部分是描述兩個值（5 根手指頭、6 隻手）；第二部分說明兩 個值的對應關係（一隻手有 5 根手指頭）；第三部分是求答（6 隻手的手 指頭個數）。 2.比較型問題（multiplicative comparison）：小真有 6 本書，小華的書是 小真的 8 倍，請問小華有幾本書？ 3.笛卡兒乘積（cartesian multiplication）：小明有 4 件不同顏色的上衣 和 5 條不同款式的長褲，請問小明的外出服有幾種搭配方式？ (三)Greer 的分類： Greer 將乘除問題的情境分為四類：1.等組型問題；2.比較型問題；3.笛卡 兒乘積；4.矩形面積/陣列。他認為需要讓兒童從問題情境化來了解真實世界和 數學運算連結的本質，並且這樣的觀點可以擴充到分數和小數，也就是經由提供 給學生各種的情境，讓學生分析各種的情境，使得運算具有意義。 表 2-4 Usiskin、Nesher 和 Greer 對乘除問題的分類及觀點對照表 Usiskin 和 Bell Nesher Greer
比例因子類 函數規則 等組型問題
大小改變類 比較型問題 比較型問題
交叉運作 笛卡兒乘積 笛卡兒乘積
矩形面積/陣列 運算使用意義的觀點 邏輯命題結構的觀點 問題情境化的觀點
Usiskin、Nesher 和 Greer 對乘除問題的分類雖然有些相似的地方，但考慮 學童解題的觀點卻不盡相同，因為本研究旨在了解國小四年級學童解單步驟乘除 文字題的表現，且對象為國小四年級，所以用真實情境的問題來測驗學童較為適 當，故本研究採用 Greer 的乘除問題情境模式為主，並將各種情境依運算方式的 不同各分為乘、除兩種，且在等組型問題的除法運算情境中，又分成等分除、包 含除兩種，舉例如下： 1.等組型問題（equal groups）：是算出內含有相同個數之物體的集合總數 的問題，或是從集合總數算出內含有相同個數之物體的個數。 表 2-5 等組型問題範例表 等組型問題 範例 乘法運算 四年級有 195 個小朋友，每人有 5 顆蘋果，請問全四年 級共有幾顆蘋果？ 除法運算(等分除) 靜香總共花了 120 分鐘，做了 8 題應用題，平均一題花 了幾分鐘？ 除法運算(包含除) 大雄帶了 112 元，去買每個賣 7 元的雞蛋，大雄最多可 以買幾個雞蛋？ 2.比較型問題（multiplicative comparison）是一種常被以「n 倍是多少？」 來敘述的情境。此種問題牽涉到二個量：基準量與比較量，也就是須利用 基準量來求比較量，或是利用比較量來求基準量的問題。 表 2-6 比較型問題範例表 比較型問題 範例 乘法運算 小夫的錢是胖虎的 8 倍，胖虎有 200 元，請問小夫有多 少錢？ 除法運算 小夫的錢是大雄的 8 倍，小夫有 200 元，請問大雄有多 少錢？ 3.笛卡兒乘積（Cartesian product）是描述兩個元素的關係，問題必須由 兩個元素有順序的結合算出結合數，或是由結合數算出其中一個元素的問
題。 表 2-7 笛卡兒乘積問題範例表 笛卡兒乘積 範例 乘法運算 靜香有 5 件不同的裙子，10 件不同的衣服，請問靜香 可以搭配出幾套不同的外出服？ 除法運算 小丸子到麥當勞點 1 包薯條和 1 杯飲料的餐共有 12 種 點法，已經知道薯條有大、中、小共 3 種包裝，請問飲 料有幾種？ 4.矩形面積/陣列（rectangular area）也就是算出長方形面積，或是由長 方形的面積、任一邊算出另一邊的問題。這裡的面積問題也可以看成是陣 列問題，即用正方形(1 平方公分或 1 平方公尺)的個數來計數。考慮研究 對象已學過矩形面積公式，測驗題目以矩形面積問題呈現。 表 2-8 矩形面積/陣列問題範例表 矩形面積/陣列 範例 乘法運算 一個長方形土地，長 138 公尺，寬 6 公尺，面積是多少 平方公尺？ 除法運算 一個面積 124 平方公尺的長方形土地，寬 4 公尺，請問 長幾公尺？
第三節 相關研究的探討
(一)陳淑琳的研究
陳淑琳( 2002 )以 Mayer( 1987 )的解題理論為基礎，探討國小二年級學童 乘法文字題的解題歷程，將乘法文字題分成等組型、陣列型、比較型、組合型等 四種類型，以一所國小二年級學童共 263 人進行筆試測驗。以全部的解題表現(每 一個歷程都答對)來說，最容易的是等組型問題，最難的是組合型問題；也會受 數值大小的影響，乘數數值的影響比被乘數的數值要大。其結果整理如表 2-9： 表 2-9 陳淑琳( 2002 )各類型的答對率解題歷程 問題類型 答對率(％) 問題轉譯 等組型(一位×一位) 43 等組型(一位×二位) 68 等組型(二位×一位) 62 陣列型 63 比較型 61 組合型 53 問題整合 等組型(一位×一位) 92 等組型(一位×二位) 73 等組型(二位×一位) 83 陣列型 83 比較型 83 組合型 15 解題計畫及監控 等組型(一位×一位) 92 等組型(一位×二位) 72 等組型(二位×一位) 82 陣列型 83 比較型 82 組合型 11 解題執行 等組型(一位×一位) 90 等組型(一位×二位) 52 等組型(二位×一位) 69 陣列型 80 比較型 74 組合型 11
(二)許美華的研究
許美華( 2000 ) 以 185 位二年級學童為樣本，將乘法問題以自編方式分成 等組型、直積型、比較型三種，目的在探討正整數乘法問題解題活動的類型和在 不同時間(教學前、教學後)的變化過程。結果發現學童在乘法解題活動的類型有 直接表徵、節奏式數數、加法、乘法與過渡型解法等五大類。在教學前學童大多 是以加法來解決乘法問題，到了總結教學後，則改以乘法為主。學童解決乘法問 題的錯誤類型有多單位數、少單位數、加法、減法、二數顛倒、空白與其他七種。 也發現不同類型的乘法問題與不同大小的數字範圍（一位數乘以一位數、一位數 乘以二位數與二位數乘以一位數）對學童的解題活動會造成影響。(三)陳鵬全的研究
陳鵬全( 2002 )參考 Greer( 1992 )的問題情境分類，將除法問題分為等組 問題(包括離散量、連續量、比率問題三種)、乘法比較性問題，每一種問題又分 為等分除和包含除兩種，以高雄市與屏東縣各一所小學之三年級學童共 258 人為 樣本進行紙筆測驗，調查三年級學童在除法問題的解題表現，結果發現如下： 1.大半學童會列出算式填充題。 2.部分學童只模仿寫算式填充題的寫法。 3.學童有多樣的解題表徵方式。 4.部分學童能在直式或橫式記錄的解題過程中能連結「分的策略」來說明解 題紀錄。 5.部分學童尚不清楚除法直式的記錄方式，或未連結橫式的記錄方式。 表 2-10 陳鵬全( 2002 )各類型的答對率 離散量問題 連續量問題 比率問題 乘法比較性問題 等分除 62％ 84％ 75％ 83％ 包含除 75％ 80％ 82％ 83％(四)尤彥喬的研究
尤彥喬(2004) 以屏東市某國小三年級的學童共 56 位為研究對象，研究工具 參考 Greer( 1992 )的問題情境分類，自編成 8 種類型的除法文字題，研究的主 要目的是要瞭解國小三年級學童在學習除法過程中對除法文字題的解題表現及 策略轉變，結果發現如下： 1.影響學童理解除法文字題的主要原因是學童未將題目的字句轉譯成自己 的資訊。 2.離散量的除法教學有助於連續量除法問題及包含除乘法比較型問題的學 習且達到顯著；但是對等分除乘法比較型、陣列型問題及卡氏積型問題並 未達到顯著差異。 3.在教學後，使用累減策略的人數會因問題類型而有顯著不同，其中包含除 問題顯著比等分除問題多。 4.中程度學童在等分除乘法比較型及卡氏積問題的解題表現顯著比離散量 問題差。 5.不同學習能力的學童解題策略的轉變路徑與策略迴轉的次數均不同。 表 2-11 尤彥喬(2004)各類型的答對率 第一階段(教學前) 51 人 第二階段(教學後) 52 人 教學後答對率 離散量等分除 34 44 84.6％ 離散量包含除 37 42 80.8％ 連續量等分除 27 35 67.3％ 連續量包含除 32 41 78.8％ 等分除乘法比較型 15 21 40.4％ 包含除乘法比較型 33 40 77.0％ 陣列型 22 31 60.0％(五)林原宏的研究
林原宏( 1994 ) 以試題關聯結構(itemrelational structure, IRS) 與國 內學者鄭富森(民 82)發展的「無參數試題反應理論」(item response theory of non-parameter) 聯合分析，並以 Fischbein et al. (1985) 所提出的暗隱模式 (implicit model)為基礎，探討國小高年級學生在乘除文字題的列式表現、策略 及概念，結果發現如下： 1.四種解題策略 (1)欲使結果量變大，就用乘法；欲使結果變小，就用除法。 (2)較大的數除以較小的數。 (3)以整數為乘數或除數。 (4)根據某些單位關鍵字，即把附有與答案相同單位的數字當作被乘數或被 除數。 2.試題關聯結構分析結果 (1)影響乘法試題難度的因素是乘數的數值型態。 (2)影響等分除試題難度的因素是 LDS 及 MDI 兩個原則，若試題違反此兩個 原則的情形越多，則試題趨向較難。 (3)影響包含除試題難度的因素是 LDS 一個原則，若試題違反此原則，則試 題趨向較難。
第四節 試題關聯結構分析法
一、試題關連結構分析法的由來及功能
一個班級學童經過教學活動後，其概念能力在結構上的變化，是教學上非常 重要的訊息，但其考驗的方法，長久以來一直付諸闕如。美國學者 P.W. Airasian 與 W.M. Bart 於 1973 年首先揭開次序理論（ordering theory）在教育工學的功用。1977 年日本學者竹谷誠教授參加美國威斯康辛大學的研討會，因 F.B. Baker 的介紹而知悟功用，返回日本之後便致力於改良次序理論的缺點，
在 1980 年代，竹谷誠教授提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得 的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為 「試題關聯結構分析法」（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法（引自許天維，1995）。有了此種方法，才使班級學習情況分析獲得解決。 經過研究的結果，試題關聯結構分析法具有下列五種功能： （一）、教學設計之運用 教師在進行單元教學活動之前，可以將欲進行的課程內容之先前經驗概念， 作一知識結構分析後，再依結構所對應的知識概念分別出題，並加以施測，所得 的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出學童先前經驗概念不足 之處，從而想像出未來指導時的困難所在，以作為進行設計教學歷程的參考。 （二）、形成性評量之運用 經過單元教學活動後，欲知班級學童的學習結果，可以利用知識結構分析出 題，編製形成性評量，再加以施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行 分析，就可以知道兒童學習後的知識結構，以便對兒童不清楚之處，進行補救教 學。 （三）、認知學習構造之分析 形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，從而偵測出 異質性的兒童，此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互為比較，即可知道 此類兒童異質的原因，從而加強輔導教學。 （四）、概念形成過程之考驗 對縱貫研究而言，兒童概念的形成過程有層次之分，例如山田完對教師進行 評定兒童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論 理層次，如果以此四層次來評定各年級班上學童的形成過程，並建立各年級的結 構圖，即可知學童的概念形成過程的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學童的
概念形成過程的分布。 （五）、課程教材構造之解析 由母群體隨機抽出樣本進行測驗後，透過「試題關聯結構分析法」以繪製結 構圖，可得一般兒童的學習構造，對教科書的編者而言，能夠檢視教學目標的達 成狀況，是非常貴重的資料，而且對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質， 都有很大的作用。 本研究試題將於學童學習活動後進行施測，因此運用到形成性評量的功能， 可了解學童學習後的知識結構，對其不清楚之處進行補救教學；除此，亦可於學 童進行新的分數單元活動前，事先知道學童先前經驗概念不足之處，作為單元教 學設計之參考。
二、試題關連結構分析理論的直觀意義
茲試題關連結構分析理論上直觀的意義略做說明。假設有 A、B 兩組學生各 有 10 位，均參加試題共為六題的同一種測驗，若答對者得一分，答錯者得零分， 其得分情況如下表所示（許天維，1995）： 表 2-12 A、B 組學生得分情形表 A 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 0 1 0 0 學生 4 0 1 0 1 0 0 學生 5 0 1 0 1 1 1 學生 6 0 0 0 1 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 4 7 6 6 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以 改成下表： B 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學童 1 1 1 1 1 1 1 學童 2 1 1 1 1 1 1 學童 3 0 0 0 1 0 0 學童 4 0 0 0 0 0 0 學童 5 0 1 1 1 1 1 學童 6 0 1 0 1 1 1 學童 7 0 1 1 1 1 1 學童 8 0 0 0 1 1 1 學童 9 0 0 0 0 0 0 學童 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 4 7 6 61 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 1 6 0 0 0 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 0 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 6 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 表 2-13 A、B 組學生得分情形簡表 A 組 試 題 B 組 試 題 學 學 生 生
答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表： 表 2-14 A、B 組學生試題得分排序表 A 組 試 題 B 組 試 題 學 學 生 生 答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表（引自許天維，1995）。
4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 0 4 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 1 0 0 8 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 表 2-15 A、B 組學生試題得分、人數排序表 A 組 試 題 B 組 試 題 學 學 生 生 答對者數 7 6 6 5 4 2 答對者數 7 6 6 5 4 2 多 少 多 少 由上表知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組之 試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結構圖，依下 列方法細加分析，就會有顯著的不同。 A 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 3，亦 即答對試題 1 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 1 的箭頭，記作 3→1； 同理，答對試題 3 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們亦同時答對了試題 5、 6，所以分別有 5→3、6→3；另一方面，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們 亦同時答對了試題 2，答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號， 他 們亦同時答對了試題 4，所以分別有 2→1、4→2；此外，答對試題 3 的學生有 7 號沒答對試題 2，故沒有試題 2 到試題 3 的箭頭，其餘均依此類推。 同法，在 B 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號亦答對了試題 3，亦即答 對試題 1 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 1 的箭頭，記作 3→1；答 對試題 3 的學生是 1 號、2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 2，所以有 2→3；答對
試題 2 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試題 5、6，所以分別 有 5→2、6→2；答對試題 5、6 的學生有 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號亦 答對了試題 4，故有 4→5、4→6；其餘均依此類推。 從以上分析，如果定義答對率為 試題答對率＝受試學生答對的人數÷受試全體學生的人數 則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題 關聯結構圖，如下圖所示： 答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 1 3 2 5 4 6 1 3 2 5 6 4 圖 2-2 A、B 組學生試題關聯結構圖 在此值得注意的是上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題答 對率相同，然而兩組學童的理解結構卻不相同。左圖顯示 A 組有兩個系列存在， 即試題 1,2,6 的系列以及試題 1,3,5,4 系列，而右圖顯示 B 組的試題形成一個單
純的一元化系列，概念結構圖中的彼此聯結較為堅強。另一方面，左圖亦可改為 兩個理解不同的結構而答對率均質的 S-P 表（試題 1,2,6 及試題 1,3,5,4）。由 上述可知，試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀察不到的各試題間的順序關係， 可作有方向性的圖性判讀。
三
三
三
三、
、
、
、試題關連結構的分析順序
試題關連結構的分析順序
試題關連結構的分析順序
試題關連結構的分析順序
試題關聯結構分析是將兩測驗題目之間的順序性係數建立起來，作為試題 高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立起試題關聯結構構造圖，茲將試題 關聯結構的分析順序敘述如下（許天維，1995；蔡長添，1993）： （一）、建立項目順序性係數 試題間的順序程度，用順序性係數來表示，順序性係數的求法，茲說明如下： 表 2-16 試題 i、j 答對與答錯人數統計表 試 試 題 j 題 i 1 0 總 計 1 A B A＋B 0 C D C＋D 總 計 A＋C B＋D N 表中係指 N 個受試者在試題 i 及試題 j 上的答對與答錯人數。其中 1 代 表答對，0 代表答錯，順序性係數的數學公式表示法如下（引自許天維，1995）： ) )( ( 1 * D C C A CN rij + + − = 順序性係數 r * 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即「相對而言，試題 i 為下位概念（lower concept），而試題 j 為上位概念（upper concept） 的 程度」。 * r 項目順序係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之 則否。根據竹谷誠（1991）的研究，此閥值為 0.5（引自許天維，1995），亦即 * ij r ＜0.5，則試題 i 及試題 j 沒有順序關係 * ij r ＞0.5，則有試題 i 指向試題 j 之順序關係 （二）、建立試題間的順序關係 根據試題間之順序性係數，可以整理出所有試題兩兩間的有順序關係。舉 例如表 2-7 所示： 表 2-17 試題順序性係數舉例 試 試 題 j 題 i 1 2 3 4 5 6 1 .22 .31 .08 .14 .43 2 .65* .41 .39 .24 .25 3 .55* .67* .37 .35 .15 4 .64* .32 .18 .16 .23 5 .72* .41 .37 .71* .53* 6 .62* .12 .27 .52* .55* *表示順序性係數大於 0.5
表 2-8 表示試題 i 指向試題 j 的順序性係數，若以閥值 0.5 為標準，順序 性係數 r ij * ＜0.5，則以 0 表示；順序性係數 r ij * ＞0.5，則以 1 表示， 如此簡化試題的順序，則可表示成表 2-8： 表 2-18 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例 試 試 題 j 題 i 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 5 1 0 0 1 1 6 1 0 0 1 1 （三）、根據試題間順序性關係，畫出試題關聯結構圖 以通過率為縱軸座標，在平面上標示出試題位置。並以「→」箭號來表示 兩 者之間的關係，若兩試題間有順序關係，亦即上列之矩陣表為 1，則有「→」 箭 號；若兩試題間沒有順序關係，亦即上列之矩陣表為 0，則無「→」箭號。 例 如根據上列之矩陣表，則畫出如圖 2-2。 1 圖 2-3 試題關聯結構圖舉例 2 4 3 5 6
竹谷誠認為在構圖時，有兩點必須要注意（引自林原宏，1994）： （一）、簡化試題關聯結構圖 兩試題間若能以直接或間接相連結時，則應除去連結的箭號，以簡化試題關 聯結構圖，增加可讀性，如圖 2-3 之（一）所示。 （二）、對等群性 如圖 2-3（一）之試題關聯結構圖所示，試題 5 和試題 6 有相互連結影響之 關係，此現象則表示試題 5 和試題 6 高度相關，而且試題 4 同時與試題 5 和試題 6 均有直接的上下位概念關係，因此試題 5 和試題 6 可視為同一性質之試題， 於是又可把試題關聯結構圖更簡化如圖 2-3 之（二）。 （一） （二） 圖 2-4 試題關聯結構圖之簡化舉例 因此，本研究之測驗資料採用試題關聯結構分析法來分析，繪出群體試題關聯結 構圖，藉以了解受試者的認知結構。 6 6 5 5 3 3 4 4 2 2 1 1
第三章 研究方法
本研究採調查研究法，以筆試的方式蒐集資料。本章的內容共分成研究架 構、研究步驟與流程、研究對象、研究工具、資料處理與分析五節。第一節 研究架構
圖 3-1 研究架構圖 九年一貫課程綱要 單步驟乘除法文字題教材分析 文獻探討 9 種單步驟乘除文字題題型 問題轉譯 問題整合 計畫及監控 解題執行 語文 知識 語意 知識 基模 知識 策略性 知識 程序性 知識 9 種單步驟乘除文字題施測 不同題型 的正確率 分析學童的 解題策略 IRS 分析後， 繪製試題關聯 結構圖並解釋第二節 研究步驟與流程
一、發展研究工具
1、研究者參考九年一貫課程正式綱要及探討國內外相關文獻後，對三上、 三下、四上南一版的課本與習作內容做單步驟乘、除法文字題類型作分 析。 2、依據 MAYER 的解題理論，編製試題雙向細目表，再據以編製成「9 種單 步驟乘除文字題預試試卷」。 3、諮詢指導教授及實際擔任國小四年級數學領域教學的資深教師數名，採 雙盲及交叉驗證的方式，請其提供修改試卷的建議。 4、試卷修正後，選取台中縣某國小四年級一個班級 35 位學童進行預試。 5、預試資料整理後，分析「9 種單步驟乘除文字題預試試卷」的信、效度， 再據以編成「9 種單步驟乘除文字題正試試卷」。二、正式施測
基於研究時間、人力、物力的考慮下，選取研究者所任教的台中縣某國小四 年級的 2 個班級做為研究對象，合計 67 位學童進行正式施測。三、分析資料
根據「9 種單步驟乘除文字題試卷」筆試的結果算出各題型及各小題的答對 率，並分析歸類學童解各種文字題時，依據 Mayer 的解題歷程探討所產生的錯誤 類型，以及進行試題關聯結構分析，繪製出試題關聯結構圖並解釋各題間的上、 下位的順序關係。四、撰寫研究報告
整理研究資料後加以分析，藉此瞭解國小四年級學童在解不同類型的單步驟 乘、除法文字題時的正確率、並探討所產生的錯誤類型、以及學童在解題知識結構的上下位關聯情形，最後撰寫成研究報告，完成本研究。 以上的研究步驟，可以下列的研究流程圖表示之： 圖 3-2 研究流程圖 確立研究目的與題目 文獻蒐集與探討 編擬 9 種單步驟乘除文字題試卷 試題檢核表 專家檢核試題 進行預試 分析試卷信度與效度 正式施測 算出答對率、分析錯誤類型、進行 IRS 分析 撰寫研究報告
第三節 研究對象
本研究樣本的選取，以第一批接受九年一貫數學正式綱要課程的四年級學生 為對象，基於研究時間、人力、物力的考慮下，選取研究者所任教的台中縣某國 小四年級 2 個班做為研究對象，合計 67 位學童進行正式施測。第四節 研究工具
本節將對本研究的研究工具：9 種單步驟乘除文字題試卷和相關的統計軟體 加以說明。一、9 種單步驟乘除文字題試卷
(一)教材分析 1.內容分析 表 3-1 三上、三下、四上南一版教科書有關乘除法文字題單元內容分析 年 級 教材 單元 教學重點 三 上 認識 除法 1.透過分裝和平分活動理解除法的意義，解決有關除法的問題。 2.能用具體分的活動，理解除法意義並解決二位數除以一位 數，商為一位數的問題。 乘法 1.能在具體情境中，解決二位數乘以一位數，有關乘法的問題。 2.能在具體情境中，解決三位數乘以一位數，有關乘法的問題。 三 下 乘法 1.能在具體情境中，解決四位數乘以一位數的乘法問題。 2.能在具體情境中，解決二位數乘以二位數有關的乘法問題。 3.能解決生活中有關的乘法問題。 除法 1.透過具體分的活動，能理解二位數除以一位數的意義，解決 生活中除法問題。 2.透過具體分的活動，能熟練三、四位數除以一位數的意義， 解決生活中除法直式計算問題。 3.能在具體情境中熟練加除、減除的事實，解決生活中除法問 題。乘法 和除 法 1.認識乘除的相互關係。 2.能在具體情境中單步驟的乘法、除法問題列成算式填充題， 並能解釋式子與原問題情境的關係。 3.能解決乘法、除法的算式填充題。 四 上 乘法 1.能熟練三位數乘以二位數有關的直式乘法問題。 2.能熟練四位數乘以二位數有關的直式乘法問題。 3.能熟練三位數乘以三位數有關的直式乘法問題。 除法 1.能理解並熟練二位數除以二位數有關的除法問題。 2.能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 3.能理解並熟練三位數除以二位數有關的除法問題。 4.能理解並熟練四位數除以二位數有關的除法問題。 面積 和周 長 1.認識面積的普遍單位(1 平方公分、1 平方公尺)，應用在生活 中面積的實測和估測活動。 2.能用乘法簡化長方形面積的點算， 3.認識長方形、正方形的面積公式 4.了解平方公分與平方公尺間的關係，並進行換算。 5.應用長方形和正方形的面積公式解決問題。 6.認識周長公式。 7.了解面積與周長的關係。 2.單步驟乘法文字題題型分析 表 3-2 單步驟乘法文字題題型分析 等組型 比較型 笛卡兒乘 積 矩形面積 三上(5) 54 3 0 0 三下(6) 41 1 0 0 四上(7) 51 1 0 8 總計 146 5 0 8 3.單步驟除法文字題題型分析 表 3-3 單步驟除法文字題題型分析 等組型 (等分除) 等組型 (包含除) 比較型 笛卡兒乘 積 矩形面積 三上(5) 28 50 0 0 0 三下(6) 48 40 0 0 0 四上(7) 32 28 1 0 0 總計 108 118 1 0 0
(二)編製依據與編製過程 在編製 9 種單步驟乘除文字題試卷之前，研究者先參考九年一貫課程正式綱 要及國內外與文字題相關的文獻，知道因為研究目的的不同而有不同的分類方 式。本研究在文字題類型上則參考 Greer ( 1992 ) 就整數乘除情境的四個分類： 1.等組型問題、2.比較型問題、3.笛卡兒乘積、4.矩形面積/陣列，再依乘或除 的運算方式分成 8 種情境，其中在等組型問題的除法情境上又分為等分除和包含 除 2 種，所以共 9 種題型。9 種單步驟乘除文字題如表 3-4。 表 3-4 9 種單步驟乘除文字題 題型 筆試題目 題號 等組型(乘) 四年級有 195 個小朋友，每人有 5 顆蘋果，請問全 四年級共有幾顆蘋果？ 五 等組型(等分除) 靜香總共花了 120 分鐘，做了 8 題應用題，平均一 題花了幾分鐘？ 二 等組型(包含除) 大雄帶了112 元，去買每個賣 7 元的雞蛋，大雄最 多可以買幾個雞蛋？ 九 比較型(乘) 小夫的錢是胖虎的 8 倍，胖虎有 200 元，請問小夫 有多少錢？ 七 比較型(除) 小夫的錢是大雄的 8 倍，小夫有 200 元，請問大雄 有多少錢？ 四 笛卡兒乘積(乘) 靜香有 5 件不同的裙子，10 件不同的衣服，請問 靜香可以搭配出幾套不同的外出服？ 三 笛卡兒乘積(除) 小丸子到麥當勞點 1 包薯條和 1 杯飲料的餐共有 12 種點法，已經知道薯條有大、中、小共 3 種包 裝，請問飲料有幾種？ 八 矩形面積(乘) 一個長方形土地，長 138 公尺，寬 6 公尺，面積是 多少平方公尺？ 一 矩形面積(除) 一個面積 124 平方公尺的長方形土地，寬 4 公尺， 請問長幾公尺？ 六 (三)信度與效度 1.信度 9 種單步驟乘除文字題試卷經過 35 位學童預試後，透過 SPSS（12.0 for Windows）統計套裝軟體資料整理後，得到庫李信度( Kuder-Richardson
reliability )的係數 Cronbach’s Alpha 值為 0.950，顯示本工具有良好的信 度。 2.效度 9 種單步驟乘除文字題試卷工具採專家效度，並依據 Mayer( 1992 )的解題 理論，將每一題的解題過程分成四個步驟和五種知識類型，以探討學童的解題歷 程，並做出 9 種單步驟乘除文字題試卷的雙向細目表，如表 3-5，及以第四題比 較型(除)為例的每一小題的對照表，如表 3-6，以提高試卷的內容效度。 表 3-5 9 種單步驟乘除文字題的雙向細目表 解題歷程 問題轉譯 問題整合 計畫及監控 解題執行 題型/解題知識 語文知識 語意知識 基模知識 策略性知識 程序性知識 等組型(乘) 五~1、2 五~3 五~4 五~5 五~5 等組型(等分除) 二~1、2 二~3 二~4 二~5 二~5 等組型(包含除) 九~1、2 九~3 九~4 九~5 九~5 比較型(乘) 七~1、2 七~3 七~4 七~5 七~5 比較型(除) 四~1、2 四~3 四~4 四~5 四~5 笛卡兒乘積(乘) 三~1、2 三~3 三~4 三~5 三~5 笛卡兒乘積(除) 八~1、2 八~3 八~4 八~5 八~5 矩形面積(乘) 一~1、2 一~3 一~4 一~5 一~5 矩形面積(除) 六~1、2 六~3 六~4 六~5 六~5 表 3-6 第四題比較型(除)每一小題與 MAYER 解題歷程所需知識的對照表 MAYER 解題歷程 所需的知識 問題敘述： 四、小夫的錢是大雄的 8 倍，小夫有 200 元， 請問大雄有多少錢？ 問題轉譯 語文知識 1.( ) 小夫的錢是大雄的幾倍？8 倍 200 倍208 倍。 2.( ) 小夫有幾元？8 元 200 元 208 元。 語意知識 3.( ) 這個問題要你算出什麼？小夫的 錢是大雄的幾倍 小夫有幾元 大雄有多 少錢。 問題整合 基模知識 4.用算式填充題記錄問題：( )。
計畫及監控 策略性知識 5.把你的做法寫在下面： 答案是：( ) 解題執行 程序性知識 5.把你的做法寫在下面：
答案是：( )
(四)選擇題命題指導原則（Haladyna,1999; Osterlind,1998Haladyna,1999; Osterlind,1998Haladyna,1999; Osterlind,1998Haladyna,1999; Osterlind,1998） 1.內容要項 (1)每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定 的心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 (2)在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，尤其題組易發生相互依 賴的內容。 (3)試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 (4)在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動 (5)避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 (6)避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 2.題幹要項 (1)使用有問題的題幹或是未完句。 (2)確定題幹的指示是非常清楚的。 (3)試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 (4)題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。 (5)使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語。 3.選項要項 (1)採用四選一的單選題，即題所列答案數目為四個。 (2)確定選項中只有一個是正確的。 (3)根據選項數目，變化正確所在的位置。 (4)文字力求淺顯簡短，題意明確，解題所依據的必要條件避免遺漏。 (5)保持選項內容的同質性。
(6)保持選項的長度一致性。 (7)避免「以上皆非」、「以上皆是」、「不知道」的答案。 (8)選項採用正面陳述，避免負面陳述。 (9)試題內容避免使用具有暗示性的字詞。 (10)應使所有選項具誘答力。 (11)應用考生典型的錯誤作為選項。 (12)避免使用幽默選項。 根據以上選擇題命題指導原則，另編製「試題檢核表」，提供命題者逐一檢 查其所命試題，以期提升命題品質。「試題檢核表」如附錄二所示。
二、相關的統計軟體
本研究所使用之電腦軟體包括： (一)Microsoft Excel：計算每道試題的難易度及鑑別度。 (二)SPSS（12.0 for Windows）統計套裝軟體：進行筆試資料的信度分析。 (三)IRSP：用來繪製群體受試者之試題關聯結構圖（郭伯臣、田聖才，1995）。第五節 資料處理與分析
一、9 種單步驟乘除文字題試卷筆試資料分析 9 種單步驟乘除文字題試卷各種題型中的每一小題，給分的方式為非對及 錯，正確的給 1 分，錯誤的給 0 分，且在第 5 小題解題執行的歷程中，須計算過 程與答案皆正確才給 1 分，否則給 0 分，所以每一題的總分為 5 分。批改完畢之 後，分別算出每一種題型中每一小題的答對率，以及對每一種題型得 5 分的人數 除以全部筆試的人數的各種題型答對率。此外將分別對每一題未得 5 分的人，做 錯誤類型分析歸類，並記錄在分析表中。 二、試題關聯結構分析因為老師的教學方式與學生的學習方式會影響學習成就，所以分成甲班和丙 班來探討知識結構的上下位關係，並比較兩班在關聯結構圖的異同，做為補救教 學上的參考。進行試題關聯結構分析時，以閥值為 0.5 進行電腦分析，並依據第 二章文獻探討討論的簡化原則將電腦繪圖簡化，再從簡化的圖進行討論及比較分 析。
第四章 研究結果
本研究旨在探討國小四年級學童解不同類型的單步驟乘、除文字題時的正確 率，及其所產生的錯誤類型，並將施測結果以試題關聯結構分析法（IRS）進行 分析，以瞭解學童解題的知識結構的上下位關聯情形。根據研究目的，分析筆試 資料，將研究結果共分為三節：學童解 9 種單步驟乘除法文字題的正確率、學童 解 9 種單步驟乘除法文字題的錯誤類型、學童在解題知識結構的上下位關聯情 形。第一節 學童解 9 種單步驟乘除法文字題的正確率
一、施測結果
1.將每一種題型的每一小題答對的人數除以總人數，算出每一小題的答對 率，並依據解題歷程與解題知識，整理如表 4-1。 表 4-1 解題歷程與各題型中各小題答對率對照表 題型(運算) 題號 解題歷程與解題知識 答對率(％) 五~1 95.52 五~2 問題轉譯(語文知識) 98.51 五~3 問題轉譯(語意知識) 86.57 五~4 問題整合 65.67 等組型(乘) 五~5 計畫及監控、解題執行 56.72 二~1 83.58 二~2 問題轉譯(語文知識) 91.04 二~3 問題轉譯(語意知識) 91.04 二~4 問題整合 67.16 等組型(等分除) 二~5 計畫及監控、解題執行 61.19 九~1 86.57 九~2 問題轉譯(語文知識) 85,07 等組型(包含除) 九~3 問題轉譯(語意知識) 85.07九~4 問題整合 67.16 九~5 計畫及監控、解題執行 37.31 七~1 94.03 七~2 問題轉譯(語文知識) 92.54 七~3 問題轉譯(語意知識) 85.07 七~4 問題整合 65.67 比較型(乘) 七~5 計畫及監控、解題執行 58.21 四~1 89.55 四~2 問題轉譯(語文知識) 91.04 四~3 問題轉譯(語意知識) 85.07 四~4 問題整合 50.75 比較型(除) 四~5 計畫及監控、解題執行 47.76 三~1 82.09 三~2 問題轉譯(語文知識) 80.60 三~3 問題轉譯(語意知識) 86.57 三~4 問題整合 14.93 笛卡兒乘積(乘) 三~5 計畫及監控、解題執行 10.45 八~1 85.07 八~2 問題轉譯(語文知識) 80.60 八~3 問題轉譯(語意知識) 80.60 八~4 問題整合 29.85 笛卡兒乘積(除) 八~5 計畫及監控、解題執行 29.85 一~1 89.55 一~2 問題轉譯(語文知識) 92.54 一~3 問題轉譯(語意知識) 91.04 一~4 問題整合 68.66 矩形面積(乘) 一~5 計畫及監控、解題執行 47.76 六~1 91.04 六~2 問題轉譯(語文知識) 91.04 六~3 問題轉譯(語意知識) 82.09 六~4 問題整合 47.76 矩形面積(除) 六~5 計畫及監控、解題執行 38.81 2.以每個解題歷程都正確才算整題答對的人數除以總人數，算出各題型的總 答對率，整理如表 4-2。
表 4-2 各題型的總答對率 題型(運算) 題號 答對率(％) 等組型(乘) 五 49.25 等組型(等分除) 二 53.73 等組型(包含除) 九 35.82 比較型(乘) 七 46.27 比較型(除) 四 40.30 笛卡兒乘積(乘) 三 7.46 笛卡兒乘積(除) 八 20.90 矩形面積(乘) 一 40.30 矩形面積(除) 六 31.34
二、討論
(一)依每一種題型的每一小題的答對率討論 1.在第 1、2、3 小題的問題轉譯過程中，每一種題型的答對率都達到 80％ 以上，表示有 80％以上的學童能了解問題的已知條件和解題目標。 2.在第 4 小題的問題整合過程中，即學童將題目表徵為算式填充題，各題型 的答對率由高到低為：矩形面積(乘)→等組型(等分除)、等組型(包含除) →等組型(乘)、比較型(乘)→比較型(除)→矩形面積(除)→笛卡兒乘積 (除)→笛卡兒乘積(乘)。 3.在第 5 小題的計畫及監控、解題執行過程中，即學童將題目的做法寫下來 並寫出答案，有作答的學童都以乘法或除法的直式呈現，答對率由高到低 為：等組型(等分除)→比較型(乘)→等組型(乘)→矩形面積(乘)、比較型 (除)→矩形面積(除)→等組型(包含除)→笛卡兒乘積(除)→笛卡兒乘積 (乘)。 4.將第 4 小題與第 5 小題的答對率相比，矩形面積(乘)和等組型(包含除) 二種題型的答對率差異甚大，大部分是因為寫錯答案的單位，顯示學童對 矩形面積(乘)和等組型(包含除)二種題型的單位較難掌握。 (二)依每一種題型的總答對率討論1.每一種題型的總答對率由高到低為：等組型(等分除)→等組型(乘)→比較 型(乘)→矩形面積(乘)、比較型(除)→等組型(包含除)→矩形面積(除) →笛卡兒乘積(除)→笛卡兒乘積(乘)。 2.依運算方式將每一種題型的總答對率由高到低排序，乘法運算為：等組型 (乘)→比較型(乘)→矩形面積(乘)→笛卡兒乘積(乘)，與陳淑琳( 2002 ) 的研究中，最容易的是等組型問題，最難的是組合型問題有同樣的結果； 除法運算為：等組型(等分除)→比較型(除)→等組型(包含除)→矩形面積 (除)→笛卡兒乘積(除)，如果排除因寫錯答案單位的等組型(包含除)，則 和乘法運算有同樣的結果，與尤彥喬(2004)的研究也有類似的結果。
第二節 學童解 9 種單步驟乘除法文字題的錯誤類型
本節將分析學童筆試的答題情形，依 Mayer 的四個解題歷程：問題轉譯、問 題整合、解題計畫及監控、解題執行分析統計，並歸納探討學童在各歷程所發生 的錯誤類型。一、問題轉譯
(一)施測結果 筆試中每一個題型的轉譯部分有三個小題，第一、二小題是找該問題的已知 條件，第三個小題是找該問題的解題目標，將學童對各題型的轉譯部分答題情形 (人數)整理如表 4-3。 表 4-3 各題型轉譯部分的答題情形 題 型 題 號 其 他 1 2 3 題 號 其 他 1 2 3 題 號 其 他 1 2 3 等組型 (乘) 五 ~1 1 64 1 1 五 ~2 1 0 66 0 五 ~3 2 4 3 58等組型 (等分 除) 二 ~1 3 6 56 2 二 ~2 2 61 4 0 二 ~3 3 1 61 2 等組型 (包含 除) 九 ~1 8 ＊ 58 1 0 九 ~2 8 ＊ 1 57 1 九 ~3 8 ＊ 57 2 0 比較型 (乘) 七 ~1 3 1 63 0 七 ~ 4 62 1 0 七 ~3 5 57 2 3 比較型 (除) 四 ~1 5 60 1 1 四 ~2 6 0 61 0 四 ~3 7 ＊ 2 1 57 笛卡兒 (乘) 三 ~1 4 5 55 3 三 ~2 7 ＊ 54 5 1 三 ~3 4 1 58 4 笛卡兒 (除) 八 ~1 7 ＊ 57 0 3 八 ~2 7 ＊ 2 54 4 八 ~3 8 ＊ 54 4 1 面積 (乘) 一 ~1 1 4 60 2 一 ~2 1 62 3 1 一 ~3 2 1 3 61 面積 (除) 六 ~1 3 61 0 3 六 ~2 5 1 61 0 六 ~3 3 7 ＊ 55 2 註：1.若該選項的人數有底線，表示為該小題的正確答案。 2.＊表示選擇錯誤選項的人數超過 7 個人(10％)以上，包含 7 個人。 3.其他欄包含空白及異於選項 1、2、3 以外的答案。 (二)討論 1.在八~1、八~2、八~3、九~1、九~2、九~3、四~1、四~2、四~3 小題中， 空白人數較多，可能是因為時間不夠或較不了解題意和解題目標。 2.六~3 的第 3 選項有 7 人選填，可能是看到題目是有關長方形面積的問題， 就誤以為解題目標是要算出長方形的面積。 3.三~2 選其他選項的 7 人中，有 3 人空白，4 人寫「5」，可能是答案 5 件的 數值太接接近選項而誤填。
