相關研究的探討

表 2-7 笛卡兒乘積問題範例表

笛卡兒乘積 範例

乘法運算 靜香有 5 件不同的裙子，10 件不同的衣服，請問靜香 可以搭配出幾套不同的外出服？

除法運算 小丸子到麥當勞點 1 包薯條和 1 杯飲料的餐共有 12 種 點法，已經知道薯條有大、中、小共 3 種包裝，請問飲 料有幾種？

4.矩形面積/陣列（rectangular area）也就是算出長方形面積，或是由長 方形的面積、任一邊算出另一邊的問題。這裡的面積問題也可以看成是陣 列問題，即用正方形(1 平方公分或 1 平方公尺)的個數來計數。考慮研究 對象已學過矩形面積公式，測驗題目以矩形面積問題呈現。

表 2-8 矩形面積/陣列問題範例表 矩形面積/陣列 範例

乘法運算 一個長方形土地，長 138 公尺，寬 6 公尺，面積是多少 平方公尺？

除法運算 一個面積 124 平方公尺的長方形土地，寬 4 公尺，請問 長幾公尺？

第三節 相關研究的探討

(一)陳淑琳的研究

陳淑琳( 2002 )以 Mayer( 1987 )的解題理論為基礎，探討國小二年級學童 乘法文字題的解題歷程，將乘法文字題分成等組型、陣列型、比較型、組合型等 四種類型，以一所國小二年級學童共 263 人進行筆試測驗。以全部的解題表現(每 一個歷程都答對)來說，最容易的是等組型問題，最難的是組合型問題；也會受 數值大小的影響，乘數數值的影響比被乘數的數值要大。其結果整理如表 2-9：

表 2-9 陳淑琳( 2002 )各類型的答對率

解題歷程 問題類型 答對率(％)

問題轉譯 等組型(一位×一位) 43

等組型(一位×二位) 68 等組型(二位×一位) 62

陣列型 63

比較型 61

組合型 53

問題整合 等組型(一位×一位) 92

等組型(一位×二位) 73 等組型(二位×一位) 83

陣列型 83

比較型 83

組合型 15

解題計畫及監控 等組型(一位×一位) 92 等組型(一位×二位) 72 等組型(二位×一位) 82

陣列型 83

比較型 82

組合型 11

解題執行 等組型(一位×一位) 90

等組型(一位×二位) 52 等組型(二位×一位) 69

陣列型 80

比較型 74

組合型 11

(二)許美華的研究

許美華( 2000 ) 以 185 位二年級學童為樣本，將乘法問題以自編方式分成 等組型、直積型、比較型三種，目的在探討正整數乘法問題解題活動的類型和在 不同時間(教學前、教學後)的變化過程。結果發現學童在乘法解題活動的類型有 直接表徵、節奏式數數、加法、乘法與過渡型解法等五大類。在教學前學童大多 是以加法來解決乘法問題，到了總結教學後，則改以乘法為主。學童解決乘法問 題的錯誤類型有多單位數、少單位數、加法、減法、二數顛倒、空白與其他七種。

也發現不同類型的乘法問題與不同大小的數字範圍（一位數乘以一位數、一位數 乘以二位數與二位數乘以一位數）對學童的解題活動會造成影響。

(三)陳鵬全的研究

陳鵬全( 2002 )參考 Greer( 1992 )的問題情境分類，將除法問題分為等組 問題(包括離散量、連續量、比率問題三種)、乘法比較性問題，每一種問題又分 為等分除和包含除兩種，以高雄市與屏東縣各一所小學之三年級學童共 258 人為 樣本進行紙筆測驗，調查三年級學童在除法問題的解題表現，結果發現如下：

1.大半學童會列出算式填充題。

2.部分學童只模仿寫算式填充題的寫法。

3.學童有多樣的解題表徵方式。

4.部分學童能在直式或橫式記錄的解題過程中能連結「分的策略」來說明解 題紀錄。

5.部分學童尚不清楚除法直式的記錄方式，或未連結橫式的記錄方式。

表 2-10 陳鵬全( 2002 )各類型的答對率

離散量問題 連續量問題 比率問題 乘法比較性問題

等分除 62％ 84％ 75％ 83％

包含除 75％ 80％ 82％ 83％

(四)尤彥喬的研究

尤彥喬(2004) 以屏東市某國小三年級的學童共 56 位為研究對象，研究工具 參考 Greer( 1992 )的問題情境分類，自編成 8 種類型的除法文字題，研究的主 要目的是要瞭解國小三年級學童在學習除法過程中對除法文字題的解題表現及 策略轉變，結果發現如下：

1.影響學童理解除法文字題的主要原因是學童未將題目的字句轉譯成自己 的資訊。

2.離散量的除法教學有助於連續量除法問題及包含除乘法比較型問題的學 習且達到顯著；但是對等分除乘法比較型、陣列型問題及卡氏積型問題並 未達到顯著差異。

3.在教學後，使用累減策略的人數會因問題類型而有顯著不同，其中包含除 問題顯著比等分除問題多。

4.中程度學童在等分除乘法比較型及卡氏積問題的解題表現顯著比離散量 問題差。

5.不同學習能力的學童解題策略的轉變路徑與策略迴轉的次數均不同。

表 2-11 尤彥喬(2004)各類型的答對率 第一階段(教學前)

51 人

第二階段(教學後)

52 人 教學後答對率

離散量等分除 34 44 84.6％

離散量包含除 37 42 80.8％

連續量等分除 27 35 67.3％

連續量包含除 32 41 78.8％

等分除乘法比較型 15 21 40.4％

包含除乘法比較型 33 40 77.0％

陣列型 22 31 60.0％

(五)林原宏的研究

林原宏( 1994 ) 以試題關聯結構(itemrelational structure, IRS) 與國 內學者鄭富森(民 82)發展的「無參數試題反應理論」(item response theory of non-parameter) 聯合分析，並以 Fischbein et al. (1985) 所提出的暗隱模式 (implicit model)為基礎，探討國小高年級學生在乘除文字題的列式表現、策略 及概念，結果發現如下：

1.四種解題策略

(1)欲使結果量變大，就用乘法；欲使結果變小，就用除法。

(2)較大的數除以較小的數。

(3)以整數為乘數或除數。

(4)根據某些單位關鍵字，即把附有與答案相同單位的數字當作被乘數或被 除數。

2.試題關聯結構分析結果

(1)影響乘法試題難度的因素是乘數的數值型態。

(2)影響等分除試題難度的因素是 LDS 及 MDI 兩個原則，若試題違反此兩個 原則的情形越多，則試題趨向較難。

(3)影響包含除試題難度的因素是 LDS 一個原則，若試題違反此原則，則試 題趨向較難。